晶体中电子能带理论习题测

E s (k ) Esat J 0 J1 ei k ( R n R s )
近邻
E J 0 J 1[ e
at s
a i (kx k y ) 2
e
a i ( k x k y ) 2
e
a i ( k x k y ) 2
e
a i ( k x k y ) 2


a
解： 由（4.4）的结果：面心立方晶格s态原 子能级在紧束缚近似下能带函数为 a a s E (k ) s 4 [cos k x cos k y
同理可求得（2）、（3）、（4）式。
2 1 (2) 沿 L(k x k y k z ,0 ) a 2 E s 12 cos2 2 3 (3) 沿 K (k z 0, k x k y ,0 ) a 4 E s 4 cos2 2 cos 2 1 2 (4) 沿 X (k z 0, k x , k y ,0 1) a 2 a E s 4 1 2 cos
N (E) 2 2 Na L 2 2 k E k
1 N 1 2aJ1 sin ka J1 sin ka
(3)一维情况下，由于状态在k空间分布是均匀 的，若每个原子s态上只有一个电子，在T=0K 时，电子只能从最低能态依次填充，由于每个 态可容纳不同自旋的两个电子，故电子只能填 充一半的能态，有
e
a i (kx kz ) 2 a i ( k z k y ) 2
e
e e e e e a a a at Es J 0 2 J1[cos (k x k y ) cos (k x k y ) cos (k x k z ) 2 2 2 a a a cos (k x k z ) cos (k z k y ) cos (k z k y )] 2 2 2 a a a a a a at Es J 0 4 J1[cos k x cos k y cos k x cos k z cos k z cos k y ] 2 2 2 2 2 2

C
D
kz
B
O ky
kx
a (1,1,0) 2
a (1,0,1) 2
a (0,1,1) 2
a (1,1,0) 2
a (1,0,1) 2
a (0,1,1) 2
B
a (1,1,0) C
2
a (1,0,1) D a (0,1,1)
2
2
a (1,1,0) 2
a (1,0,1) 2
a (0,1,1) 2
结果Es
E Emax Emin 12J1
能带宽度由两因素决定：
(1)重叠积分J1的大小；
2)J1 前数字,即最近邻格点数目 （晶体的配位数）
因此,波函数重叠程度越大,配位数越大,能带越宽,反之.
5.6 紧束缚方法 第五章 晶体中电子能带理论
四、原子能级与能带的对应
EkiJ0RsJ最近邻
k
s
J
0
4J
cos
kxa 2
cos
kya 2
cos kxa cos kza
2
2
cos
kya 2
cos
kza 2
5.6 紧束缚方法 第五章 晶体中电子能带理论
适用性
1.前面讨论的是最简单的情况,只适用于s态电子,一个原子能级 i
5.6 紧束缚方法 第五章 晶体中电子能带理论
解：设 J1 J Rs
简立方结构的最近邻格点数为6，位置矢量的坐标： (a,0,0)，(0,a,0)，(0,0,a) (其中a为晶格常量)
Ek
i
J0
Rs
最
J
近邻
Rs
e ikRs
vvvv
k kxi ky j kzk

.
从上式可以看出，当电子从外场力获得的能量又都输送给了晶格时, 电子的有效质量 m* 变 为 . 此时电子的加速度
a= 1 F =0
m*
,
即电子的平均速度是一常量. 或者说, 此时外场力与晶格作用力大小相等, 方向相反. 11. 万尼尔函数可用孤立原子波函数来近似的根据是什么?
[解答] 由本教科书的（5.53）式可知, 万尼尔函数可表示为
m* = 1 m 1 + 2Tn
Vn <1.
10. 电子的有效质量 m* 变为 的物理意义是什么?
[解答] 仍然从能量的角度讨论之. 电子能量的变化
(dE)外场力对电子作的功 = (dE)外场力对电子作的功 + (dE)晶格对电子作的功
m*
m
m
=
1 m
(dE ) 外场力对电子作的功
− (dE)电子对晶格作的功
i 2 nx
V (x) = Vne a
n
中, 指数函数的形式是由什么条件决定的?
[解答] 周期势函数 V(x) 付里叶级数的通式为
上式必须满足势场的周期性, 即
V (x) = Vneinx
n
显然
V (x + a) = Vnein (x+a) = Vneinx (eina ) = V (x) = Vneinx
Es (k)
=
E
at s
− Cs
−
Js
e ik Rn
n
即是例证. 其中孤立原子中电子的能量 Esat 是主项, 是一负值, − Cs和 − J s 是小量, 也是负 值. 13. 紧束缚模型下, 内层电子的能带与外层电子的能带相比较, 哪一个宽? 为什么?

固体物理练习题其中带* 的为附加题第1讲晶体结构1.1画出下列晶体结构的原胞，说明他们的Bravais格子，并标出原胞中原子的坐标。

（1）面心立方金属、氯化钠、金刚石；（2）体心立方金属、氯化铯。

1.2利用钢球密堆模型，求致密度：（1）简单立方；（2）体心立方；（3）六方密堆；（4）金刚石结构。

1.3证明对于六角密堆积结构，理想的c/a比为（8/3）1/2≈1.633。

又：金属Na在273 K 因马氏体相变从体心立方转变为六角密堆积结构，假定相变时金属的密度维持不变，已知立方相的晶格常数a = 0.423 nm，设六角密堆积结构相的c/a维持理想值，试求其晶格常数。

1.4画出正四面体的所有基本对称操作。

1.5写出面心立方晶格的基矢，轴矢，配位数，致密度，体积1.6金刚石结构原子间的键间角与立方体的体对角线间的夹角相同，试用矢量分析方法证明这一夹角为109º28'。

1.7画出体心立方和面心立方晶格结构的金属在（100），（110）和（111）面上的原子排列。

1.8指出立方晶格（111）面与（110）面，（111）面与（100）面的交线的晶向。

1.9如将布拉维格子的格点位置在直角系中用一组数（n1，n2，n3）表示，证明（1）对于体心立方格子，n i全部为偶数或奇数；（2）对于面心立方格子，n i的和为偶数。

1.10 证明体心立方和面心立方格子互为正、倒格子。

1.11 对于密堆六方结构，原胞基矢为12322a a c =+=-+=a i j a i j a k试求倒格子基矢，并画出第一Brillouin 区。

1.12 考虑晶格中的一个晶面hkl（1）证明倒格矢123h k l =++G b b b 垂直于这个晶面；（2）证明晶格中另个相邻平行晶面的间距为()2/d hkl π=G ，对于简单立方晶格有22222()/()d hkl a h k l =++。

1.13 证明第一Brillouin 的体积为3(2)/c V π，其中V c 是晶体原胞的体积。

固体物理期末试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列关于晶体的说法，错误的是：A. 晶体具有规则的几何外形B. 晶体内部原子排列是无序的C. 晶体具有各向异性D. 晶体具有固定的熔点答案：B2. 电子在金属中的自由运动是金属导电的主要原因，这种现象称为：A. 金属键B. 离子键C. 共价键D. 范德华力答案：A3. 半导体材料的导电性介于导体和绝缘体之间，这是因为：A. 半导体材料中的电子不能自由移动B. 半导体材料中的电子在特定条件下才能自由移动C. 半导体材料中的电子数量少于导体D. 半导体材料中的电子数量多于绝缘体答案：B4. 根据泡利不相容原理，一个原子轨道中最多可以容纳的电子数是：A. 1个B. 2个C. 4个D. 8个答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 晶体的三种基本类型是________、________和________。

答案：单晶体、多晶体、非晶体2. 根据能带理论，固体中的能带可以分为________和________。

答案：导带、价带3. 固体物理中，费米能级是指在绝对零度时，电子占据的最高能级，其对应的温度是________。

答案：0K4. 根据德布罗意波理论，物质粒子也具有波动性，电子的波长与其动量成________关系。

答案：反比三、简答题（每题10分，共30分）1. 简述布拉格定律及其在晶体结构分析中的应用。

答案：布拉格定律是指当X射线或电子波以一定角度入射到晶体表面时，如果满足nλ=2d*sinθ的条件，其中n为整数，λ为波长，d为晶面间距，θ为入射角，那么会发生衍射现象。

这个定律在晶体结构分析中非常重要，因为它允许科学家通过测量衍射角来确定晶体的晶面间距和晶体结构。

2. 解释什么是超导现象，并简述其应用。

答案：超导现象是指某些材料在低于临界温度时，电阻突然降为零的现象。

这意味着在超导状态下，电流可以在材料内部无损耗地流动。

超导现象的应用非常广泛，包括但不限于磁悬浮列车、粒子加速器中的超导磁体、以及医疗成像设备如MRI。

固体物理期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 晶体中原子排列的周期性结构被称为：A. 晶格B. 晶胞C. 晶面D. 晶向答案：A2. 描述固体中电子行为的基本理论是：A. 经典力学B. 量子力学C. 相对论D. 电磁学答案：B3. 以下哪项不是固体物理中的晶体缺陷：A. 点缺陷B. 线缺陷C. 面缺陷D. 体缺陷答案：D4. 固体物理中，晶格振动的量子称为：A. 声子B. 光子C. 电子D. 空穴答案：A5. 以下哪个不是固体的电子能带结构：A. 价带B. 导带C. 禁带D. 散射带答案：D二、简答题（每题10分，共30分）6. 解释什么是晶格常数，并举例说明。

晶格常数是晶体中最小重复单元的尺寸，通常用来描述晶体的周期性结构。

例如，立方晶系的晶格常数a是指立方体的边长。

7. 简述能带理论的基本概念。

能带理论是量子力学在固体物理中的应用，它描述了固体中电子的能量分布。

在固体中，电子的能量不是连续的，而是分成一系列的能带。

价带是电子能量较低的区域，导带是电子能量较高的区域，而禁带是两带之间的能量区域，电子不能存在。

8. 什么是费米能级，它在固体物理中有什么意义？费米能级是固体中电子的最高占据能级，它与温度有关，但与电子的化学势相等。

在绝对零度时，费米能级位于导带的底部，它决定了固体的导电性质。

三、计算题（每题15分，共30分）9. 假设一个一维单原子链的原子质量为m，相邻原子之间的弹簧常数为k。

求该链的声子频率。

解：一维单原子链的声子频率可以通过下面的公式计算：\[ \omega = 2 \sqrt{\frac{k}{m}} \]10. 给定一个半导体的电子亲和能为Ea，工作温度为T，求该半导体在该温度下的费米-狄拉克分布函数。

解：费米-狄拉克分布函数定义为：\[ f(E) = \frac{1}{e^{\frac{E-E_F}{kT}} + 1} \] 其中，E是电子的能量，E_F是费米能级，k是玻尔兹曼常数，T 是温度。

3.n+多晶硅栅极MOSFET，衬底Na=41015cm-3,栅氧化层厚tox=60nm,栅氧化层等效电荷密度QSS=31011cm-2. (a)计算阈值电压VT；(b)欲将阈值电压调整到VT= 0.90V.计算所需的离子注入剂量和杂质类型。（16分）
衬底费米势
氧化层电容
衬底最大耗尽层厚度
衬底耗尽层电荷
“突变空间电荷区近似”模型认为，由于自建电场的作用，可近似认为空间电荷区内的自由载流子—电子和空穴被完全“扫出”该区域，只剩下电离受主和电离施主原子，空间电荷区是一个高阻区，所以空间电荷区又称为耗尽区或阻挡层。此外，空间电荷区的边界虽然是缓变的，但计算表明过度区很窄，因此，可近似认为空间电荷区边界是突变的。空间电荷区外是电中性的，与空间电荷区内相比，电阻率很小，可近似为零。这三个近似条件，称为突变空间电荷区近似或突变耗尽近似。
题号
一
二
三
四
五
六
七
总分
统分人
得分
得分
评分人
一、能带理论（共22分）
1.画出零偏理想条件下金属-n型硅半导体接触后的能带图（不考虑界面态和表面态），(a) 金属功函数大于半导体功函数；(b) 金属功函数小于于半导体功函数。分别说明是整流接触还是欧姆接触。（8分）
2.画出p型硅衬底上的理想MOS结构在零偏、负偏和正偏条件下的能带图，指出半导体表面的积累、耗尽和反型状态。（共14分）
3．简述正向有源状态下双极型晶体管的发射结注入效率、基区输运系数两参数的物理意义。（6分）
提要：以npn晶体管为例，正偏的BE结，既有发射区电子向基区的注入，也有基区空穴向发射区的注入。就晶体管的使用而言，希望发射区电子向基区的注入的比例越大越好，可称其为正向有效注入。发射结注入效率指正向有效注入与总注入的比例。

第五章固体的能带理论1.布洛赫电子论作了哪些基本近似？它与金属自由电子论相比有哪些改进？解：布洛赫电子论作了 3 条基本假设，即①绝热近似，认为离子实固定在其瞬时位置上，可把电子的运动与离子实的运动分开来处理；②单电子近似，认为一个电子在离子实和其它电子所形成的势场中运动；③周期场近似，假设所有电子及离子实产生的场都具有晶格周期性。

布洛赫电子论相比于金属自由电子论，考虑了电子和离子实之间的相互作用，也考虑了电子与电子的相互作用。

2.周期场对能带形成是必要条件吗？解：周期场对能带的形成是必要条件，这是由于在周期场中运动的电子的波函数是一个周期性调幅的平面波，即是一个布洛赫波。

由此使能量本征值也称为波矢的周期函数，从而形成了一系列的能带。

3.一个能带有N 个准连续能级的物理原因是什么？解：这是由于晶体中含有的总原胞数 N 通常都是很大的，所以 k 的取值是十分密集的，相应的能级也同样十分密集，因而便形成了准连续的能级。

4.禁带形成的原因如何？您能否用一物理图像来描述？解：对于在倒格矢K h中垂面及其附近的波矢k ，即布里渊区界面附近的波矢k ，由于采用简并微扰计算，致使能级间产生排斥作用，从而使E (k)函数在布里渊区界面处“断开”，即发生突变，从而产生了禁带。

可以用下面的图 5.1 来描述禁带形成的原因：E(k)>0<0D BA CO kaa5.近自由电子模型与紧束缚模型各有何特点？它们有相同之处？解：所谓近自由电子模型就是认为电子接近于自由电子状态的情况，而紧束缚模型则认为电子在一个原子附近时， 将主要受到该原子场的作用， 把其它原子场的作用看成微扰作用。

这两种模型的相同之处是： 选取一个适当的具有正交性和完备性的布洛赫波形式的函数 集，然后将电子的波函数在所选取的函数集中展开， 其展开式中有一组特定的展开系数，将展开后的电子的波函数代入薛定谔方程，利用函数集中各基函数间的正交性，可以得到一组各展开系数满足的久期方程。

能带理论 - 练习题袁建勇：1.布洛赫函数满足)()(r e R r n R ik n ϕϕ•=+，何以见得上式中k 具有波矢的意义？[解答] 人们总可以把布洛赫函数)(r ϕ展成傅里叶级数∑•++=hrK Ki h h e K K a r )(//)()(ϕ ,其中/K 是电子的波矢。

将)(r ϕ代入 )()(r e R r nR ik n ϕϕ•=+得到 n nR ik R ik e e••=/其中利用了p p R K n h (2π=•是整数），由上式可知，/k k =， 即 k 具有波矢的意义。

2.波矢空间与倒格空间有何关系？为什么说波矢空间内的状态点是准连续的？[解答] 波矢空间与倒格空间处于统一空间，倒格空间的基矢分别为1b ，2b ，3b ，而波矢空间的基矢分别为 11/N b ，22/N b ，33/N b ；1N ，2N ，3N 分别是沿正格基矢1a ，2a ，3a 方向晶体的原胞数目。

倒格空间中一个倒格点对应的体积为 *321)(Ω=⨯•b b b ，波矢空间中一个波矢点对应的体积为 NN b N b N b *332211)(Ω=⨯• 即波矢空间中一个波矢点对应的体积，是倒格空间中一个倒格点对应的体积的N /1 。

由于N 是晶体的原胞数目，数目巨大，所以一个波矢点对应的体积与一个倒格点对应的体积相比是极其微小的。

也就是说， 波矢点在倒格空间看是极其稠密的。

因此，在波矢空间内作求和处理时，可把波矢空间内的状态点看成是准连续的。

3.一维周期势函数的傅里叶级数 ∑=nnx ain eV x V π2)(中，指数函数的形式是由什么条件决定的？[解答] 周期势函数)(x V 傅里叶级数的通式为 ∑=nxi n n e V x V λ)(。

上式必须满足势场的周期性，即()()()n n n n i x a i x i a i x n n n nnnV x a V e V e e V x V e λλλλ++==⨯==∑∑∑显然 1=ai n eλ 。

第六章 能带理论 (习题参考答案)1. 一矩形晶格，原胞长10a 210m-=⨯，10b410m-=⨯（1）画出倒格子图（2）以广延图和简约图两种形式，画出第一布里渊区和第二布里渊区（3）画出自由电子的费米面（设每个原胞有2个电子）解：（1）因为a =a i=20A i b =b j=40A j倒格子基矢为12a iA*=, 014bj A*=以a *b *为基矢构成的倒格子如图。

由图可见，矩形晶格的倒格子也是矩形格子。

(2)取任一倒格子点O作为原点，由原点以及最近邻点A i,次近邻点B i的连线的中垂线可以围成第一，第二布里渊区，上图这就是布里渊区的广延图。

如采用简约形式，将第二区移入第一区，我们得到下图。

(3) 设晶体中共有N个原胞，计及自旋后，在简约布里渊区中便有2N个状态。

简约布里渊区的面积21()8A a bA ***-=⨯=而状态密度22()16()N g K N A A*==当每个原胞中有2个电子时，晶体电子总数为 22()216Fk FN g k kdk N k ππ=⨯=⎰所以1/211111()0.2()210()8F k A m π---=≈=⨯这就是费米圆的半径。

费米圆如下图所示2. 已知一维晶体的电子能带可写成()2271cos cos 2,88E k ka ka m a ⎛⎫=-+⎪⎝⎭式中a 是晶格常数。

试求： （i ）能带的宽度；（ii ）电子在波矢k 状态时的速度； （iii ）能带底部和顶部电子的有效质量。

()()()()()()()()22222m in 2m ax 22m ax m in 22222m in 71cos cos 2,8811cos 24400,2;221sin 24sin 404k i E k ka ka m a ka m a k E k E am a E E E m am aii v E kv ka ka m aiii E k kk E E mπ⎛⎫=-+⎪⎝⎭⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦====∆=-=∴=∇∴=--==+解：当时，当时，能带的宽度为：在能带底部，将在附近用泰勒级数展开，可得：()()()22m in 22m ax 22m ax 220342203k E mm m E k k E E k mk E mm m ππδδδ****=+∴===-=+∴=-在能带顶部，将在附近用泰勒级数展开，令k=+k 可得：aa3. 试证明：如果只计及最近邻的相互作用，用紧束缚方法导出的简单立方晶体中S 态电子的能带为()2cos 2cos 2cos 2s x y z E k E A J ak ak ak πππ⎡⎤=--++⎣⎦并求能带的宽度。

固体物理学考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 固体物理学中，描述晶体中原子排列的周期性规律的数学表达式是（）。

A. 布洛赫定理B. 薛定谔方程C. 泡利不相容原理D. 费米-狄拉克统计答案：A2. 固体中电子的能带结构是由（）决定的。

A. 原子的核外电子B. 晶体的周期性势场C. 原子的核电荷D. 原子的电子云答案：B3. 在固体物理学中，金属导电的原因是（）。

A. 金属中存在自由电子B. 金属原子的电子云重叠C. 金属原子的价电子可以自由移动D. 金属原子的电子云完全重叠答案：C4. 半导体材料的导电性介于导体和绝缘体之间，这是因为（）。

A. 半导体材料中没有自由电子B. 半导体材料的能带结构中存在带隙C. 半导体材料的原子排列无序D. 半导体材料的电子云完全重叠答案：B5. 固体物理学中，描述固体中电子的波动性的数学表达式是（）。

A. 薛定谔方程B. 麦克斯韦方程C. 牛顿第二定律D. 热力学第一定律答案：A6. 固体中声子的概念是由（）提出的。

A. 爱因斯坦B. 德拜C. 玻尔D. 费米答案：B7. 固体中电子的费米能级是指（）。

A. 电子在固体中的最大能量B. 电子在固体中的最小能量C. 电子在固体中的平均水平能量D. 电子在固体中的动能答案：A8. 固体物理学中，描述固体中电子的分布的统计规律是（）。

A. 麦克斯韦-玻尔兹曼统计B. 费米-狄拉克统计C. 玻色-爱因斯坦统计D. 高斯统计答案：B9. 固体中电子的能带理论是由（）提出的。

A. 薛定谔B. 泡利C. 费米D. 索末菲答案：D10. 固体中电子的跃迁导致（）的发射或吸收。

A. 光子B. 声子C. 电子D. 质子答案：A二、填空题（每题2分，共20分）1. 固体物理学中，晶体的周期性势场是由原子的______产生的。

答案：周期性排列2. 固体中电子的能带结构中，导带和价带之间的能量区域称为______。

答案：带隙3. 金属导电的原因是金属原子的价电子可以______。

复习题：半导体物理学引言：半导体物理学是研究半导体材料的电学和光学性质的科学学科。

半导体材料由于其特殊的能带结构，介于导体和绝缘体之间。

在半导体物理学中，我们研究电子行为、能带理论、掺杂效应和半导体器件等方面的内容。

本文将通过一系列复习题来回顾半导体物理学的相关知识。

一、电子行为：1. 什么是载流子？在半导体中有哪两种类型的载流子？在半导体中，带有电荷的粒子称为载流子。

一种是带负电荷的电子，另一种是带正电荷的空穴。

2. 什么是能带？能带理论是用来描述什么的？能带是指具有一定能量范围的电子能级分布。

能带理论用于描述电子在半导体中的分布和运动行为。

3. 什么是禁带宽度？它对半导体的导电性质有什么影响？禁带宽度是指能带中能量差最小的范围，该范围内的能级没有允许态。

禁带宽度决定了半导体的导电性能。

能带中存在禁带宽度时，半导体表现出绝缘体的性质；当禁带宽度足够小的时候，允许电子状态穿越禁带，半导体表现出导体的性质。

二、掺杂效应：1. 什么是掺杂？常见的掺杂元素有哪些？掺杂是指向纯净的半导体中引入少量杂质元素，以改变半导体的导电性质。

常见的掺杂元素有磷、锑、硼等。

2. 控制掺杂浓度的方法有哪些？掺杂浓度可以通过掺杂杂质元素的量来控制。

掺杂浓度越高，半导体的导电性越强。

3. P型和N型半导体有什么区别？P型半导体是指通过掺杂三价元素使半导体中存在过剩的空穴，空穴是主要的载流子。

N型半导体是指通过掺杂五价元素使半导体中存在过剩的电子，电子是主要的载流子。

三、半导体器件：1. 什么是PN结？它的主要作用是什么？PN结是由P型半导体和N型半导体组成的结构。

PN结的主要作用是将半导体材料的导电性质从P型区域传导到N型区域，形成电子流和空穴流。

2. 什么是二极管？它的特点是什么？二极管是PN结的一种常见应用。

它具有单向导电性，允许电流从P区域流向N区域，而阻止电流从N区域流向P区域。

3. 什么是晶体管？它的工作原理是怎样的？晶体管是由三个掺杂不同类型的半导体构成的器件。

Vn E E
0 k 0 k'

0 k'
2 2 k 0 Ek 2m
当 Ek0 Ek0' , i.e. k k 时（ k n a ），修正项发散。 由简并微扰得到： k n a K n 2 存在能隙，为2|Vn|




3 1/ 3 k (3 n) 提示：这里的kF采用自由电子气的结果，即 F
3.4.1 小结
1. 周期性势场中单电子具有Bloch波函数形式
ik r k ( r ) e uk ( r )
uk (r Rn ) uk (r )
晶体中准自由电子近似
无能带重叠（有禁带）

随k增
长较慢

带1 布里渊 区边界
B A
A
b a c b a
0
c
带2

ab c
k 0
a
c a
有能带重叠（无禁带）


c a b a
0 ab c
k
b
c
A
B
0
a a c

（4）费米面

自由电子气——费 米面为球面

B

准自由电子近似： Li、Na、K（bcc价带 半满）：球面 Cu、Ag、Au（fcc）： 沿[111]方向的费米 面离布里渊边界较 近，发生强烈变形。
A
0
a
c a
作业：
1. 证明碱金属（bcc的单价晶体）中，费米波矢 2 1/ 3 6 kF k N 0.8873k N 2 其中N为正十二面体FBZ的面心。 2. 证明贵金属（fcc的单价晶体）中，费米波矢 2 1/ 3 12 kF k L 0.9025k L 3 其中L为截角八面体FBZ在[111]方向的面心。

能带理论 - 3 （Band Theory）
近自由电子适用于价电子束缚较弱的金属晶体, 采用赝 势方法后也可以用来研究半导体的价带和导带；对于价电子 束缚较强的半导体和绝缘体, 通常采用紧束缚近似 (TightBinding Approximation, TBA) 来讨论其电子结构.
1
与利用平面波描写零级近似状态的近自由电子 近似不同, 紧束缚近似中首先把电子看作所属原子 的电子, 晶体环境对电子的影响则作为微扰处理.
N
2
V
2
3
4
3
kF2
kF
3 2n 1/3 .
Fermi 球的表面称为 Fermi 面, Fermi 面的能量
称为Fermi 能 (级). Fermi 能对应的动量和速度分称
为 Fermi 动量和 Fermi 速度.
15
一方面, 三维晶体的能量作为简约波矢的函数, 随波矢方向变换而性质有所变化; 另一方面, 三维BZ 构造复杂, 讨论起来比较困难.
由于对称性的存在, 实际上人们并不需要研究整 个BZ (FBZ). 利用对称性, 人们可以通过研究部分 FBZ的情况来了解整个FBZ.
16
晶体全部对称操作的集合构成空间群.
26
原子中的电子能级是分立的, 可以具体表明各能 级的能量. 固体中, 电子能级形成准连续的能带, 标明 每个能级很困难也没有必要. 这时通常引入能态密度 来描写能级的分布：
状态数
能态密度： N E lim Z
E0 E
能量间隔
27
k 空间等能面 E 和 E + ΔE 之间的状态数为
Z
2V
V
当 取遍晶体所属点群中的所有对称操作, 得到一组
k , 它们是等价的, 称为 k*.

4.4 用紧束缚近似求出面心立方晶格和体心立方晶格s 态原子能级相对应的能带函数)(k E s先求面心立方晶格s 态原子能级相对应的能带E s （k ）函数，利用公式：∑=⋅−−−=NearestR R k i s s s s seR J J k E)()(0ε解：0*01()()[()()]()}0s i s i J J R R U V d ϕξξξϕξξ==−−−>∫ 01()s s ik R ss R NearestE k J J eε−⋅==−−∑ s 原子态波函数具有球对称性，则：解：只计入最近邻格点原子的相互作用时，s 态原子能级相对应的能带函数表示为：∑=⋅−−−=NearestR R k i s s ss seR J J k E )()(0ε4.7 有一一维单原子链，原子间距a ，总长度为L ＝Na 1) 用紧束缚近似方法求出与原子s 态能级相对应的能带函数2) 求出其能带密度函数的表达式3) 如每个原子s 态中只有一个电子，计算T=0K 时的费密能级和处的能态密度0F E 0FE )(E N二价金属每个原子可以提供2个自由电子，内切球内只能装下每原子1.047个电子，余下的0.953个电子可填入其它状态中。

如果布里渊区边界上存在大的能量间隙，则余下的电子只能填满第一区内余下的所有状态(包括B点)。

这样，晶体将只有绝缘体性质。

然而由(2)可知，B点的能量比A点高很多，从能量上看，这种电子排列是不利的。

事实上，对于二价金属，布里渊区边界上的能隙很小，对于三维晶体，可出现一区、二区能带重迭．这样，处于第一区角顶附近的高能态的电子可以“流向”第二区中的能量较低的状态，并形成横跨一、二区的球形Fermi面。

因此，一区中有空态存在，而二区中有电子存在，从而具有导电功能。

实际上，多数的二价金属具有六角密堆和面心立方结构，能带出现重达，所以可以导电。

4.8题解答完毕。

6.本征半导体的能带与绝缘ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的能带有何异同?
在低温下, 本征半导体的能带与绝缘体的能带结构 相同. 但本征半导体的禁带较窄, 禁带宽度通常在2 个电子伏特以下. 由于禁带窄, 本征半导体禁带下 满带顶的电子可以借助热激发, 跃迁到禁带上面空 带的底部, 使得满带不满, 空带不空, 二者都对导电 有贡献.

a
ika

a
x ) sin

a x

a
x
sin
( x a) e sin
e
ika
1
，
ka
k

a
3 3 3 i cos x a i cos x 3 i cos x a a a
e
ika
1

a
4.当有电场后, 满带中的电子能永远漂移下去吗?
当有电场后, 满带中的电子在波矢空间内将 永远循环漂移下去, 即当电子漂移到布里渊 区边界时, 它会立即跳到相对的布里渊区边 界, 始终保持整体能态分布不变.
5.一维简单晶格中一个能级包含几个电子?
设晶格是由N个格点组成, 则一个能带有N 个不同的波矢状态, 能容纳2N个电子. 由于 电子的能带是波矢的偶函数, 所以能级有 (N/2)个. 可见一个能级上包含4个电子.
2.在布里渊区边界上电子的能带有何特点?
电子的能带依赖于波矢的方向, 在任一方向上, 在布里渊区边界上, 近自由电子的能带一般会出 现禁带. 若电子所处的边界与倒格矢正交, 则禁 带的宽度 Eg 2V ( K n )
V (K n ) 是周期势场的付里叶级数的系数.
不论何种电子, 在布里渊区边界上, 其等能面在 垂直于布里渊区边界的方向上的斜率为零, 即电 子的等能面与布里渊区边界正交.

2
⎜ ⎝
⎟ a ⎠
= u ( x)
6.4 在一维周期势场中，电子的波函数ψ k ( x ) 应满足布洛赫定理。若晶格常数时 a，电子的波函数为
x π a 3x （2）ψ k ( x ) = i cos π a
（1）ψ k ( x ) = sin （3） （1）ψ k ( x ) =
∑ f ( x − la )
（1）ψ k ( x + a ) = sin
( x + a ) π = sin ⎛ x + 1⎞ π = − sin x π = −ψ
a ⎜ ⎝a ⎟ ⎠ a
2
k
( x)
第六章 能带理论基础 结合（b）式有
eika = −1
因此得
ka = ( 2m + 1) π
即 k = ( 2m + 1)
π
a
, m = 0, ±1, ±2, ⋅⋅⋅
1
第六章 能带理论基础
1 Vn = L
∫ V ( x) e
0
L
−i
2 nπ x a
dx
u ( x + xl ) = 1 +
∑
n≠0
⎡1 2m ⎢ ⎢ ⎣L
∫
L 0
L
0
⎤ − i 2 nπ ( x + xl ) V ( x + xl ) e dx ⎥ e a ⎥ ⎦ 2 2nπ ⎞ ⎛ =2k 2 − =2 ⎜ k − ⎟ a ⎠ ⎝
( )
(
) (
)
() (
)
( ) ()
JJG 只表示相应的 ∂ / ∂x , ∂ / ∂y , ∂ / ∂z 中变数 x, y , z 改变一常数，这显然不影响微分算符，又 在上式中 ∇ G r+R