第二十二章 固体能带理论基础
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《固体能带理论》课件
分类
导带、价带、禁带等，导带与价带之 间的区域称为能隙，决定了固体是否 导电。
能带结构的形成
原子轨道重叠
固体中的原子通过轨道重叠形成分子轨道，进一步形 成能带。
周期性结构
固体中的原子按照一定的周期性排列，导致能带结构 的周期性。
电子相互作用
电子之间的相互作用会影响能带结构，包括电子间的 排斥力和交换力等。
量子场论和量子力学
与量子场论和量子力学的结合，将有助于更全面地描述和理解固体中的电子行为 和相互作用。
谢谢聆听
新材料的设计与发现
拓扑材料
随着拓扑学的发展，将会有更多具有独特电子结构和性质的拓扑材料被发现， 为新材料的设计和开发提供新的思路。
二维材料
二维材料具有独特的物理性质和结构，未来将会有更多新型二维材料被发现和 应用。
与其他理论的结合与发展
强关联理论
固体能带理论与强关联理论的结合，将有助于更深入地理解强关联体系中的电子 行为和物理性质。
电子在能带中的状态
01
02
03
占据电子
价带中的电子被原子轨道 上的电子占据，导带中的 电子较为自由。
热激发
在温度较高时，价带中的 电子可以被激发到导带中 ，形成电流。
光电效应
光照在固体表面时，能量 较高的光子可以使价带中 的电子激发到导带中，产 生光电流。
03 固体能带理论的的基本方程，描述 了电子密度随时间和空间的变化 。
02
交换相关泛函
03
自洽迭代方法
描述电子间的交换和相关作用的 能量，是密度泛函理论中的重要 部分。
通过迭代求解哈特里-福克方程 ，得到电子密度和总能量，直至 收敛。
格林函数方法
格林函数
导带、价带、禁带等，导带与价带之 间的区域称为能隙，决定了固体是否 导电。
能带结构的形成
原子轨道重叠
固体中的原子通过轨道重叠形成分子轨道，进一步形 成能带。
周期性结构
固体中的原子按照一定的周期性排列，导致能带结构 的周期性。
电子相互作用
电子之间的相互作用会影响能带结构，包括电子间的 排斥力和交换力等。
量子场论和量子力学
与量子场论和量子力学的结合，将有助于更全面地描述和理解固体中的电子行为 和相互作用。
谢谢聆听
新材料的设计与发现
拓扑材料
随着拓扑学的发展，将会有更多具有独特电子结构和性质的拓扑材料被发现， 为新材料的设计和开发提供新的思路。
二维材料
二维材料具有独特的物理性质和结构，未来将会有更多新型二维材料被发现和 应用。
与其他理论的结合与发展
强关联理论
固体能带理论与强关联理论的结合，将有助于更深入地理解强关联体系中的电子 行为和物理性质。
电子在能带中的状态
01
02
03
占据电子
价带中的电子被原子轨道 上的电子占据，导带中的 电子较为自由。
热激发
在温度较高时，价带中的 电子可以被激发到导带中 ，形成电流。
光电效应
光照在固体表面时，能量 较高的光子可以使价带中 的电子激发到导带中，产 生光电流。
03 固体能带理论的的基本方程，描述 了电子密度随时间和空间的变化 。
02
交换相关泛函
03
自洽迭代方法
描述电子间的交换和相关作用的 能量，是密度泛函理论中的重要 部分。
通过迭代求解哈特里-福克方程 ，得到电子密度和总能量，直至 收敛。
格林函数方法
格林函数
固体能带理论
利用能带理论可以解释这一基本现象：固 体的导电能力取决于固体中能带的填充情况， 满带或空带均不导电，只有不满带才能导电。
以 l = 0 ，即每个子能级至多容纳 2 个电子为例：
满带中的电子运动 不产生电流
导带中的电子运动 可以形成电流
电子运动,分布不变
电子运动 ,分布变化
1. 导体的能带结构 1)价带为导带
价带
带进入空带时，绝缘体击穿，
原空带
导带
3. 半导体
价带为满带，与空 带间的禁带较窄。
空带
E=0.1~1.5eV
价带
1) 本征半导体（纯净半导体）
热运动足以使一些电子从满带进入空带，使空
带成为导带，满带中留下空穴。
空带
E
空带
E=0.1~1.5eV
价带
E=0.1~1.5eV
价带
外 场
导带中电子逆电场方向运动 ——电子导电
P-N 结的单向导电性
第六篇 多粒子体系的热运动
前言
20世纪以前，人们主要研究了三类自然现象：经典 力学研究的机械运动现象；由电磁场理论研究的电 磁运动现象和由热学研究的热运动(热现象)。
热现象
与人的冷热感觉有关的现象 ？？？
与温度有关的现象
有没实有证实性证 性
3) 价带为导带，又与空带部分重叠
例： Na 1s22s22p63s1
每个原子一个价电子，3s 能带形成导带，又与空带 重叠，形成更宽导带。
空带 价带
空带 价带
2. 绝缘体的能带结构
价带为满带，且与空带间的禁带较宽。
一般：从满带到空带激发微不 空带 足道，可以认为不存在导带。
E=1.5~10eV 当外来激发使较多电子越过禁
以 l = 0 ，即每个子能级至多容纳 2 个电子为例：
满带中的电子运动 不产生电流
导带中的电子运动 可以形成电流
电子运动,分布不变
电子运动 ,分布变化
1. 导体的能带结构 1)价带为导带
价带
带进入空带时，绝缘体击穿，
原空带
导带
3. 半导体
价带为满带，与空 带间的禁带较窄。
空带
E=0.1~1.5eV
价带
1) 本征半导体（纯净半导体）
热运动足以使一些电子从满带进入空带，使空
带成为导带，满带中留下空穴。
空带
E
空带
E=0.1~1.5eV
价带
E=0.1~1.5eV
价带
外 场
导带中电子逆电场方向运动 ——电子导电
P-N 结的单向导电性
第六篇 多粒子体系的热运动
前言
20世纪以前，人们主要研究了三类自然现象：经典 力学研究的机械运动现象；由电磁场理论研究的电 磁运动现象和由热学研究的热运动(热现象)。
热现象
与人的冷热感觉有关的现象 ？？？
与温度有关的现象
有没实有证实性证 性
3) 价带为导带，又与空带部分重叠
例： Na 1s22s22p63s1
每个原子一个价电子，3s 能带形成导带，又与空带 重叠，形成更宽导带。
空带 价带
空带 价带
2. 绝缘体的能带结构
价带为满带，且与空带间的禁带较宽。
一般：从满带到空带激发微不 空带 足道，可以认为不存在导带。
E=1.5~10eV 当外来激发使较多电子越过禁
第二十二章固体能带理论基础
一. 本征半导体的导电机制
价带中少数电子被热激发进入 导带，在电场作用下，导带中的电 子和满带中的空穴都可引起电流。
跃迁 电子
3p 导带
Eg 禁带 3s 填满的能带
空穴
导带中的电子是负载流子，形成电子流；满带中的空穴是正载流子，形成 空穴电流。总电流是电子流和空穴电流的代数和。
二. 杂质半导体的导电机制
N 个原子组成的晶 体，角量子数为 l 的能 级对应的能带包含(2l +1) N个能级。
E 能带
禁带
能带
间距减小能级分裂 2s 分 立 的 1s 能 级
d0
d
6个原子组成的晶体
自由原子中电子的能级越高，对应的能带越宽。
E
3p
3s
2p
d0
d
钠晶体的能带随
原子间距的变化
E 禁带
3N 2p 2s
N
d0
d
金刚石晶体的能带 随原子间距的变化
§22-3 电子填充能带的情况 金属导体、 绝缘体和本征半导体
一. 电子填充能带的情况 当温度接近 0 K时，电子由低能级到高能级逐个填充能带。
一般，原子的内层能级都被电子填满，成为满带。价电子引起的能带（价 带）可能是满带，也可能不是满带。
有些能带相互交叠形成混合能带，交叠后的能带还可能再分裂为上下两个 能带。
2. 绝缘体 完全填满的能带上面都是空带。
满带和空带之间是较宽的禁带。除 非外电场相当强，否则不能使电子获得 足够的能量从满带跃迁到空带。
2p
空带
Eg 禁带
2s 填满的能带
即使有外电场，也不可能改变电子速度分布的对称性，即不能引起电子的 定向流动而形成电流。
金刚石是典型的绝缘体。
固体物理基础-能带理论
NZ
e j 1 j i 4 0 ri r j
NZ
1
2
NZ ve ri i 1
1 ve ri 2
e2 j 1 j i 4 0 ri r j
NZ
1
2）单电子近似
• 电子体系的哈密顿量变为：
ˆ T Rm Rn r Rm Rn r 又 ˆ T ˆ r r T R Rm Rn m Rn Rm Rn Rm Rn 将Rn =e Rn 带入得 Rm Rn = Rn + Rm , 仅当 是Rn的线性函数 时满足，因此取 Rn =k Rn , 则
Bloch定理说明
ik Rn r Rn e r
i k r k r e uk r , uk r Rn uk r
用Bloch波函数描述的电子，或遵从周期势单电子薛 定谔方程的电子，称为Bloch电子； 布洛赫波的特征：周期性条幅的平面波；当平移晶 ik R 格矢量 ������ ������ 时，波函数只变化一个相位因子 e n • 表明在不同原胞的对应点上，波函数只相差一个相 位因子，波函数的大小相同，所以电子出现在不同 原胞的对应点上几率是相同的。这是晶体周期性的 反映。
将使矢量 ������ 平移 ������ ������ ，即
ˆ f r f r R T n Rn
各平移算符之间互相对易
ˆ T ˆ f r T ˆ f r R f r R R T m n m Rn Rn Rm ˆ T ˆ f r T ˆ f r R f r R R T n m n R R Rm m n ˆ T ˆ f r T ˆ T ˆ f r T ˆ T ˆ T ˆ T ˆ T Rm Rn Rn Rm Rm Rn Rn Rm ˆ ,T ˆ 0 T Rn Rm
e j 1 j i 4 0 ri r j
NZ
1
2
NZ ve ri i 1
1 ve ri 2
e2 j 1 j i 4 0 ri r j
NZ
1
2）单电子近似
• 电子体系的哈密顿量变为：
ˆ T Rm Rn r Rm Rn r 又 ˆ T ˆ r r T R Rm Rn m Rn Rm Rn Rm Rn 将Rn =e Rn 带入得 Rm Rn = Rn + Rm , 仅当 是Rn的线性函数 时满足，因此取 Rn =k Rn , 则
Bloch定理说明
ik Rn r Rn e r
i k r k r e uk r , uk r Rn uk r
用Bloch波函数描述的电子，或遵从周期势单电子薛 定谔方程的电子，称为Bloch电子； 布洛赫波的特征：周期性条幅的平面波；当平移晶 ik R 格矢量 ������ ������ 时，波函数只变化一个相位因子 e n • 表明在不同原胞的对应点上，波函数只相差一个相 位因子，波函数的大小相同，所以电子出现在不同 原胞的对应点上几率是相同的。这是晶体周期性的 反映。
将使矢量 ������ 平移 ������ ������ ，即
ˆ f r f r R T n Rn
各平移算符之间互相对易
ˆ T ˆ f r T ˆ f r R f r R R T m n m Rn Rn Rm ˆ T ˆ f r T ˆ f r R f r R R T n m n R R Rm m n ˆ T ˆ f r T ˆ T ˆ f r T ˆ T ˆ T ˆ T ˆ T Rm Rn Rn Rm Rm Rn Rn Rm ˆ ,T ˆ 0 T Rn Rm
§17.3 固体能带理论基础
分开，原子数N变化时，能带宽度不变，密度变化。 2)能带宽度随能量增加而增加，随离子对电子约束程
度增加而减少。
E N个子能级
E N个子能级
N个子能级
3)每个角量子数一定的能带中最多容纳的电子数为： 2(2l+1)N
能带被电子填满： 满带 能带未被电子填满： 导带 完全未被电子填充： 空带（激发态能级）
热运动足以使一些电子从满带进入空带，使空 带成为导带，满带中留下空穴。
E
空带
空带
E=0.1~1.5eV
价带
E=0.1~1.5eV
价带
外 场
导带中电子逆电场方向运动 ——电子导电
作 原满带中电子填补空穴
用 满带中空穴沿电场方向运动 ——空穴导电 下
“电子—空穴”对为载流子
2) n型半导体（四价元素中掺入五价元素）
同学们好！
一.物态 §17.3 固体能带理论基础
物质的聚集态：大量粒子在一定温度、压力等外界 条件下聚集而成的稳定结构状态。
p
T
一定条件下，各种物态可以相互转化，有时还可以共存。
物态 条 件
结构
热运动动能 气态 >>分子相互 完全无序
作用势能
性质
对称性
无外场时自动趋向稳 定、均匀的平衡态， 最高 无一定形状、体积。
2) 泡利不相容原理 由于共有化电子彼此间量子数不能完全相同，于是 各原子中能量相同的能级分裂为N个与原来能级接 近的新能级，组成能带来容纳这些共有化电子。
N个
数量级概念： 晶格常数：d~10-10m，1cm3中点阵数：N~1023-1024
能带宽度：△E：几个eV，子能级间隔：10-23eV
2. 能带特点 1)能带由准连续的N个子能级组成，能带之间用禁带
度增加而减少。
E N个子能级
E N个子能级
N个子能级
3)每个角量子数一定的能带中最多容纳的电子数为： 2(2l+1)N
能带被电子填满： 满带 能带未被电子填满： 导带 完全未被电子填充： 空带（激发态能级）
热运动足以使一些电子从满带进入空带，使空 带成为导带，满带中留下空穴。
E
空带
空带
E=0.1~1.5eV
价带
E=0.1~1.5eV
价带
外 场
导带中电子逆电场方向运动 ——电子导电
作 原满带中电子填补空穴
用 满带中空穴沿电场方向运动 ——空穴导电 下
“电子—空穴”对为载流子
2) n型半导体（四价元素中掺入五价元素）
同学们好！
一.物态 §17.3 固体能带理论基础
物质的聚集态：大量粒子在一定温度、压力等外界 条件下聚集而成的稳定结构状态。
p
T
一定条件下，各种物态可以相互转化，有时还可以共存。
物态 条 件
结构
热运动动能 气态 >>分子相互 完全无序
作用势能
性质
对称性
无外场时自动趋向稳 定、均匀的平衡态， 最高 无一定形状、体积。
2) 泡利不相容原理 由于共有化电子彼此间量子数不能完全相同，于是 各原子中能量相同的能级分裂为N个与原来能级接 近的新能级，组成能带来容纳这些共有化电子。
N个
数量级概念： 晶格常数：d~10-10m，1cm3中点阵数：N~1023-1024
能带宽度：△E：几个eV，子能级间隔：10-23eV
2. 能带特点 1)能带由准连续的N个子能级组成，能带之间用禁带
固体能带理论简介
k ( x) eikxuk ( x)
uk ( x) 是周期等于晶格常数
a 的周期函数 uk ( x) uk ( x na)
9
这一结果称为布洛赫定理
证明布洛赫定理 势场具有周期结构,则电子概率密度具有相同的周期性,即
| k ( x) |2 | k ( x a) |2
则:
4
•隧道效应：
晶体是由大量原子有规则 地排列形成的,晶体中包含 着大量的离子,如正离子和 电子,它们之间存在着相互 作用。 离子实
u (r )
r0
f (r )
r
r0
单个正离子 的库仑势
r
各离子的库仑势场迭加形 成周期势场，这个势场是 由一系列势垒组成的。
各库仑势叠加
成的周期势
5
离子实
单个正离子 的库仑势
28
六. 固体能带与原子能级
设想组成晶体的N个原子原来都是孤立存在的，都处于某一能 级，具有相同的能量，当它们靠拢来形成晶体时，每个原子中 的电子不仅受到本身正离子或原子核的作用，还要受到其它正 离子或原子核的作用，这些相互作用都具有相应的能量，电子 原来（原子孤立时）的能量状态就发生了改变，原来的一个能 级就分裂为非常接近的N个。 原子能级分裂成能带。如图。 能带是从原子能级分裂（或 称展宽）而成的，因此表示能 带时常沿用分裂前原子能级的 名称，如 s, p, d , 带
正是能带论，导致了电子科学与技术学科的形成和发展。
1
“能带理论”:是一个近似的理论。在固体中存在着 大量的电子，它们的运动是相互关联着的，每个电 子的运动都要受其它电子运动的牵连，这种多电子 系统严格的解显然是不可能的。 “能带理论”:是单电子近似的理论，就是把每个电子 的运动看成是独立的在一个等效势场中的运动。
能带理论-固体物理理论
三 倒格子
基矢+法线取向 周期性的点 米勒指数 倒格子 晶面族 基矢 P点的位矢： 光程差 正格矢
衍射极大值条件 令 则
令 则 倒格矢
若倒格矢写为：
倒格矢和正格矢之间的关系：
反比 倒格矢是电子在市场傅立叶展开的元函数。
四 布里渊区
Wigner-Seitz原胞(WS)：以晶格中某一格点为中心， 作其与近邻的所有格点连线的垂直平分面，这些平 面所围成的以该点为中心的凸多面体即为该点的WS 原胞。
周期边界条件(Born-Von Karman)
边界上原子的振动对于晶格振动的色散关系的影响是很小的。 1.固定边界条件 即固定两端的原子不动，得到驻波解。 2.周期边界条件 行波解
波矢是量子化的
七一维双原子链
色散关系
色散关系
声学支 光学支
禁带
光学波&声学波
主要依据长波极限下的性质
&
极化波
长光学波可以利用光波的电磁场激发
假定，所有离子产生的势场和其他电子饿 平均场是周期势场，其周期为晶格的周期。 单电子的薛定谔方程为：
Bloch定理： 周期势场的平移对称性
周期势场中粒子波函数的形式为： 即，波函数不再是平面波，而是调幅的平面波，幅度周期性变化。 另外一种形式：
它表明在不同原胞的对应点上，波函数相差一个位相因子 ， 所以不同原胞对应点上，电子出现的几率是相同的，这是晶体周期性的反映。
声子
晶格的振动是一种集体运动形式，表现为不同模式的格波
简正变化，消除交叉项
晶格振动的总Hamiltonian
晶格振动系统的总能量为 能量是量子化的
声子：
特点： 1.准粒子：不是真实的粒子，不能游离于固体之外 2.准动量： 3.Bose子：
固体能带论
注意：因各原子相似壳层上的电子才有相同
的能级，电子只能在相似壳层间转移。因此， 共有化运动的产生是由于不同原子的相似壳层 间的交叠。例：2p支壳层的交叠，3s支壳层的 交叠。也可以说，结合成晶体后，每一个原子 能引起“与之相应”的共有化运动。例：3s能级 引起“3s”的共有化，2p能级引起“2p”的共有化 运动，等等。由于内外壳层交叠程度很不相同， 所以只有最外层电子的共有化运动才显著。
求晶体中的电子态，要解定态薛定谔方程 ∇ 2 ψ(k,r)＋[E －V(r)] ψ(k,r)＝0 其中势能函数V(r)具有晶格周期性，即
V (r ) = V (r + Rn )
= V (r + n1a1 + n2 a2 + n2 a2 )
（一）布洛赫定理
晶体中的电子波函数是按照晶格周期性 进行的调幅平面波. 进行的调幅平面波 即（以一维为例） ψ（k ,x）＝u（k，x）eikx 其中 u（k，x）＝u（k ,x+na） 晶体中的电子波又称为Bloch波。
以Na晶体为例： 设想N个Na原子按Na晶体的体心立方晶 格在空间排列，但近邻原子间的距离R比 实际Na晶体的晶格常数a大得多，原子间 的相互作用可以忽略。两个原子的所有电 子都被厚为R ≫ a的势垒隔开，电子几乎不 可能从一个原子跑到另一个原子去。例如 当R≈30A时，严格计算表明，大约要等 1020年，电子才能从一个原子转移到另一 个原子一次。
3、周期势场假设 由于晶体结构的周期性，使我们有 理由认为：晶体中的每个价电子都处于一 个完全相同的严格周期性势场之内。于是 求解晶体中电子的能量状态的问题——能 带论就归结为求解这样一个周期性势场内 的单电子薛定谔方程的问题。
问题转变为求解单电子定态薛定谔方程： ∇2ψ＋ [E－V(r)]ψ＝0 其中V(r) 是势函数，V(r)=V(r+Rn), Rn为 正格矢，所以能带论即是周期场中的单电 子理论。
能带理论
能带理论能带理论是目前研究固体中电子运动的一个主要理论基础，它预言固体中电子能量会落在某些限定范围或“带”中，因此，这方面的理论称为能带理论。
对于晶体中的电子，由于电子和周围势场的相互作用，晶体电子并不是自由的，因而其能量与波失间的关系E(k)较为复杂，而这个关系的描述这是能带理论的主要内容。
本章采用一些近似讨论能带的形成，并通过典型的模型介绍能带理论的一些基本结论和概念。
一、三个近似绝热近似：电子质量远小于离子质量，电子运动速度远高于离子运动速度，故相对于电子的运动，可以认为离子不动，考察电子运动时，可以不考虑离子运动的影响，取系统中的离子实部分的哈密顿量为零。
平均场近似：让其余电子对一个电子的相互作用等价为一个不随时间变化的平均场。
周期场近似： 无论电子之间相互作用的形式如何，都可以假定电子所感受到的势场具有平移对称性。
原本哈密顿量是一个非常复杂的多体问题，若不简化求解是相当困难的，但 经过三个近似处理后使复杂的多体问题成为周期场下的单电子问题，从而本章的中心任务就是求解晶体周期势场中单电子的薛定谔方程，即其中二、两个模型（1）近自由电子模型1、模型概述在周期场中，若电子的势能随位置的变化（起伏）比较小，而电子的平均动能要比其势能的绝对值大得多时，电子的运动就几乎是自由的。
因此，我们可以把自由电子看成是它的零级近似，而将周期场的影响看成小的微扰来求解。
（也称为弱周期场近似） (222U m ∇+)()(r U R r U n =+2、怎样得到近自由电子模型近自由电子近似是晶体电子仅受晶体势场很弱的作用，E(K)是连续的能级。
由于周期性势场的微扰 E(K)在布里渊区边界产生分裂、突变形成禁带，连续的能级形成能带，这时晶体电子行为与自由电子相差不大，因而可以用自由电子波函数来描写今天电子行为。
3、近自由电子近似的主要结果1) 存在能带和禁带：在零级近似下，电子被看成自由粒子，能量本征值 E K0 作为 k 的函数具有抛物线形式。
固体的能带结构介绍(ppt 78页)
禁带：不能填充电子的能区。
空带
禁带 不满带
价带
价带：和价电子能级相应的能带，
禁带
满带
即最高的充有电子的能带。
对半导体，价带通常是满带。
3. 能带中电子的导电性
导电性 ： 电子在电场作用下作定向运动，得到 附加能量，电子能量发生变化。
满带不导电：
电子交换能态 并 不 改 变能量状态，所以满带 不导电。
E外
E外和 E内同向，
p型
n型
I 阻挡层势垒升 高、变宽，
无正向电流 E内
+
不利于空穴向n 区运动， 也不利于电
子向p区运动。但是由于少数载流子的存在，
会形成很弱的反向电流，称漏电流（Ａ级）。
击穿电压
加反向偏压时， p n结的伏安特性 曲线如左图。
I （微安）
-30 -20
V (伏)
-10
§4.3 半导体的导电机构
一. 本征半导体（semiconductor）
本征半导体是指纯净的半导体。
本征半导体的导电性能在导体与绝缘体之间。
1.本征半导体的能带结构
E
空带（导带） 禁带 Eg=0.12eV
满带
半导体的禁带宽度Δ Eg 很窄（0.1 ～2eV），
所以加热、光照、加电场 都能把电子从满带激到发 空带中去，同时在满带中
原来孤立原子的能级发生分裂 若有N个原子组成一体，对于原来孤立原子 的一个能级，就分裂成 N条靠得很近的能级， 称为能带（energy band）。
能带的宽度记作 E E ～eV 的量级 若N~1023，则能带中两相邻能级的间距 约为10-23eV。
能级
能带
E
能隙，禁带
N条
空带
禁带 不满带
价带
价带：和价电子能级相应的能带，
禁带
满带
即最高的充有电子的能带。
对半导体，价带通常是满带。
3. 能带中电子的导电性
导电性 ： 电子在电场作用下作定向运动，得到 附加能量，电子能量发生变化。
满带不导电：
电子交换能态 并 不 改 变能量状态，所以满带 不导电。
E外
E外和 E内同向，
p型
n型
I 阻挡层势垒升 高、变宽，
无正向电流 E内
+
不利于空穴向n 区运动， 也不利于电
子向p区运动。但是由于少数载流子的存在，
会形成很弱的反向电流，称漏电流（Ａ级）。
击穿电压
加反向偏压时， p n结的伏安特性 曲线如左图。
I （微安）
-30 -20
V (伏)
-10
§4.3 半导体的导电机构
一. 本征半导体（semiconductor）
本征半导体是指纯净的半导体。
本征半导体的导电性能在导体与绝缘体之间。
1.本征半导体的能带结构
E
空带（导带） 禁带 Eg=0.12eV
满带
半导体的禁带宽度Δ Eg 很窄（0.1 ～2eV），
所以加热、光照、加电场 都能把电子从满带激到发 空带中去，同时在满带中
原来孤立原子的能级发生分裂 若有N个原子组成一体，对于原来孤立原子 的一个能级，就分裂成 N条靠得很近的能级， 称为能带（energy band）。
能带的宽度记作 E E ～eV 的量级 若N~1023，则能带中两相邻能级的间距 约为10-23eV。
能级
能带
E
能隙，禁带
N条
第二十二章固体能带理论基础
第二十二章固体能带理论基 础
汇报人：XX
• 固体能带理论概述 • 晶体中电子的能级和波函数 • 固体中的电子状态和能带结构
• 固体中的光学性质和电学性质 • 固体中的缺陷和杂质对能带结构的
影响 • 总结与展望
01
固体能带理论概述
能带理论的发展历史
01
早期量子理论
20世纪初，量子力学的诞生为固体电子理论提供了基础。早期量子理论
自由电子近似和正交化平面波方法等。
实验结果
02
通过实验手段如光电效应、X射线衍射等可以观测到固体的能带
结构。
理论与实验的比较
03
理论计算和实验结果在解释固体电子状态和能带结构方面相互
补充，共同揭示了固体中电子行为的奥秘。
04
固体中的光学性质和电学性质
固体的光学性质
光的反射和折射
固体表面对光的反射和折射遵循菲涅尔公式和斯涅尔 定律。
波函数的交叠
不同能级上的波函数之间 存在交叠，交叠程度决定 了电子在不同能级之间的 跃迁几率。
布洛赫定理及其物理意义
布洛赫定理
对于周期性势场中的电子，其波函数可以写成布洛赫波函数的形式。
物理意义
布洛赫定理表明，在晶体中，电子的行为受到晶格周期性的影响，因此电子的能级和波函数都具有周期性。同时 ，布洛赫定理也揭示了晶体中电子的共有化运动特征，即电子不再局限于某个原子附近，而是在整个晶体中运动 。这种运动特征决定了晶体的导电、光学等物理性质。
阱，影响载流子的复合和发光过程。
06
总结与展望
固体能带理论的重要性
1 2
描述固体电子结构
固体能带理论是描述固体中电子运动状态和能量 分布的基本理论，能够解释固体的导电性、光学 性质、热学性质等。
汇报人：XX
• 固体能带理论概述 • 晶体中电子的能级和波函数 • 固体中的电子状态和能带结构
• 固体中的光学性质和电学性质 • 固体中的缺陷和杂质对能带结构的
影响 • 总结与展望
01
固体能带理论概述
能带理论的发展历史
01
早期量子理论
20世纪初，量子力学的诞生为固体电子理论提供了基础。早期量子理论
自由电子近似和正交化平面波方法等。
实验结果
02
通过实验手段如光电效应、X射线衍射等可以观测到固体的能带
结构。
理论与实验的比较
03
理论计算和实验结果在解释固体电子状态和能带结构方面相互
补充，共同揭示了固体中电子行为的奥秘。
04
固体中的光学性质和电学性质
固体的光学性质
光的反射和折射
固体表面对光的反射和折射遵循菲涅尔公式和斯涅尔 定律。
波函数的交叠
不同能级上的波函数之间 存在交叠，交叠程度决定 了电子在不同能级之间的 跃迁几率。
布洛赫定理及其物理意义
布洛赫定理
对于周期性势场中的电子，其波函数可以写成布洛赫波函数的形式。
物理意义
布洛赫定理表明，在晶体中，电子的行为受到晶格周期性的影响，因此电子的能级和波函数都具有周期性。同时 ，布洛赫定理也揭示了晶体中电子的共有化运动特征，即电子不再局限于某个原子附近，而是在整个晶体中运动 。这种运动特征决定了晶体的导电、光学等物理性质。
阱，影响载流子的复合和发光过程。
06
总结与展望
固体能带理论的重要性
1 2
描述固体电子结构
固体能带理论是描述固体中电子运动状态和能量 分布的基本理论，能够解释固体的导电性、光学 性质、热学性质等。
固体物理总结能带理论、固体物理知识点总结
一、考试重点晶体结构、晶体结合、晶格振动、能带论的基本概念和基本理论和知识二、复习内容第一章晶体结构基本概念1、晶体分类及其特点：单晶粒子在整个固体中周期性排列非晶粒子在几个原子范围排列有序（短程有序）多晶粒子在微米尺度内有序排列形成晶粒，晶粒随机堆积准晶体粒子有序排列介于晶体和非晶体之间2、晶体的共性：解理性沿某些晶面方位容易劈裂的性质各向异性晶体的性质与方向有关旋转对称性平移对称性3、晶体平移对称性描述：基元构成实际晶体的一个最小重复结构单元格点用几何点代表基元，该几何点称为格点晶格、平移矢量基矢确定后，一个点阵可以用一个矢量表示，称为晶格平移矢量基矢元胞以一个格点为顶点，以某一方向上相邻格点的距离为该方向的周期，以三个不同方向的周期为边长，构成的最小体积平行六面体。
原胞是晶体结构的最小体积重复单元，可以平行、无交叠、无空隙地堆积构成整个晶体。
每个原胞含1个格点，原胞选择不是唯一的晶胞以一格点为原点，以晶体三个不共面对称轴（晶轴）为坐标轴，坐标轴上原点到相邻格点距离为边长，构成的平行六面体称为晶胞。
晶格常数WS元胞以一格点为中心，作该点与最邻近格点连线的中垂面，中垂面围成的多面体称为WS原胞。
WS原胞含一个格点复式格子不同原子构成的若干相同结构的简单晶格相互套构形成的晶格简单格子点阵格点的集合称为点阵布拉菲格子全同原子构成的晶体结构称为布拉菲晶格子。
4、常见晶体结构：简单立方、体心立方、面心立方、金刚石闪锌矿铅锌矿氯化铯氯化钠钙钛矿结构5、密排面将原子看成同种等大刚球，在同一平面上，一个球最多与六个球相切，形成密排面密堆积密排面按最紧密方式叠起来形成的三维结构称为密堆积。
六脚密堆积密排面按AB\AB\AB…堆积立方密堆积密排面按ABC\ABC\ABC…排列5、晶体对称性及分类：对称性的定义晶体绕某轴旋转或对某点反演后能自身重合的性质对称面对称中心旋转反演轴8种基本点对称操作14种布拉菲晶胞32种宏观对称性7个晶系6、描述晶体性质的参数：配位数晶体中一个原子周围最邻近原子个数称为配位数。
固体物理中的能带理论
固体物理中的能带理论摘要本文综述了固体能带理论中的布洛赫定理、一维周期场中电子运动的近自由电子近似、包络函数模型(平面波展开方法)等基本理论。
还介绍了采用了包络函数法和近自由电子近似法来计算其能带结构。
可以看出，采用包络函数方法外推势能分布为体材料的势能分布时得到能带结构与利用准自由电子近似的方法得到的结果一致；另外，外推势能分布近似成为有限深势阱时与用超越方程得到的结果相吻合。
而采用近自由电子近似方法在外推势能分布为量子阱的势能分布时与直接采用近自由电子近似来处理小带阶的量子阱的结果一致。
关键词：能带理论包络函数近自由电子近似1 引言能带理论[1]是研究固体中电子运动的一个主要理论基础。
在二十世纪二十年代末和三十年代初期，在量子力学运动规律确定以后，它是在用量子力学研究金属电导理论的过程中开展起来的。
最初的成就在于定性地阐明了晶体中电子运动的普遍性的特点。
例如，在这个理论基础上，说明了固体为什么会有导体、非导体的区别；晶体中电子的平均自由程为什么会远大于原子的间距等。
在这个时候半导体开始在技术上应用，能带理论正好提供了分析半导体理论问题的基础，有利地推动了半导体技术的发展。
后来由于电子计算机的发展使能带论的研究从定性的普遍规律到对具体材料复杂能带的结构计算。
到目前，计算材料能带结构的方法有:近自由电子近似法、包络函数法(平面波展开法)[2，9，10，13]、赝势法[3，6]、紧束缚近似——原子轨道线性组合法[4，5， 7， 8， 11]、K.P方法[12]。
人们用这些方法对量子阱[2， 8， 9，10]。
量子线[11，12，13]、量子点结构[16， 17]的材料进行了计算和分析，并取得了较好计算结果。
使得对这些结构的器件的设计有所依据。
并对一些器件的特性进行了合理的解释。
固体能带论指出，由于周期排列的库仑势场的祸合，半导体中的价电子状态分为导带与价带，二者又以中间的禁带(带隙)分隔开。
从半导体的能带理论出发引出了非常重要的空穴的概念，半导体中电子或光电子效应最直接地由导带底和价带顶的电子、空穴行为所决定，由此提出的P-N结及其理论己成为当今微电子发展的物理依据。
能带理论-固体物理理论
2.平均场近似： 多电子问题
单电子问题
可把多电子中每一电子，看作是在离子场及其他电子产生的平均场中运动。
Hartree平均场：只考虑电子间的库仑相互作用；
Hartree-Fock平均场：计及自旋，考虑电子之间的库仑相互作用和交换相互作用。
3.周期场近似： 平均场
周期场
假定，所有离子产生的势场和其他电子饿 平均场是周期势场，其周期为晶格的周期。
• 如果晶体是由完全相同的一种原子所组成的，则格点代表原子或者原 子周围相应点的位置；
• 如果晶体由多种原子组成，通常把由这几种原子构成晶体的基本结构 单元称为基元
• 格点代表基元的重心的位置 • 原胞：体积最小的可重复单元
取一个结点为顶点，边长分别为3个不同的方向上的平行六面体作为 重复单元来反映晶格的周期性； 原胞选取不唯一；体积都相等，但不一定最小。
三 倒格子
米勒指数
晶面族
倒格子
基矢
P点的位矢：
光程差 衍射极大值条件
令
则 令 则
正格矢 倒格矢
若倒格矢写为： 倒格矢和正格矢之间的关系：
倒格矢是电子在市场傅立叶展开的元函数。
反比
四 布里渊区
Wigner-Seitz原胞(WS)：以晶格中某一格点为中心， 作其与近邻的所有格点连线的垂直平分面，这些平 面所围成的以该点为中心的凸多面体即为该点的WS 原胞。 第一布里渊区： 从倒格子点阵的原点出发，作出它最近邻点的倒格子点阵矢量，并作出 每个矢量的垂直平分面，可得到倒格子的WS原胞，称为第一布里渊区。
原子核+芯电子=原子实 价电子=传导电子 处理方法：经典的分子运动学理论
N*传导电子=自由电子气系统
电子气视为理想气体的条件： 1.独立电子近似：完全忽略电子与电子之间的相互作用 近自由电子近似：完全忽略电子与原子实之间的相互作用 电子气系统的总能量为电子的动能，势能被忽略。
能带理论基础
h3 h1 h2 k= b1 + b2 + b3 N1 N2 N3
ik ⋅aα
这里b1，b2和b3为倒格子基矢，于是有
λα = e
aα ⋅ bβ = 2πδ αβ
ψ ( r + Rl ) = ψ ( r + l1a1 + l 2 a2 + l 3a3 )
= T T T ψ (r ) = λ λ λ ψ (r )
②证明： （1）平移算符 由于势场的周期性反映了晶格的平移对称性，可定 义一个平移算符Tα，使得对于任意函数f(r)有
Tα f ( r ) = f ( r + aα )
这里，aα，α＝1, 2, 3是晶格的三个基矢。 而
Tα Tβ f ( r ) = Tα f ( r + aβ ) = f ( r + aβ + aα )
周期性势场： U ( x ) = U ( x + a ) 作Fourier展开：
这表明，这两个波矢量k和k’＝ k＋Gn所描述的电子在 晶体中的运动状态相同。因此，为了使k和平移算符的 本征值一一对应， k必须限制在一定范围内，使之既 能概括所有不同的λ的取值，同时又没有两个波矢k相 差一个倒格矢Gn。与讨论晶格振动的情况相似，通常 将k取在由各个倒格矢的垂直平分面所围成的包含原点 在内的最小封闭体积，即简约区或第一布里渊区中。
第五章
能带理论基础
§1 能带论的基本假设
1、能带的形成： Li 1s22s1 Li2 LiN
N个原子组成的固体，如能级分裂宽度（最大差别）5eV, N=1023, 则次能级的平均间隔约为5×10-23eV,完全可以视为连续分布。 能带的形成不是由于周期性，而是来源于原子多
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I I1 I2 I2(eeU / kT 1)
I
0
I2
U
p-n 结的伏安特性曲线
p-n 结具有明显的单向导电特性，在电路中可
以起到整流的作用。
一般来说，角量子数为 l 的能级是 (2l +1) 度 简并的， 对应于每一个这样的能级有(2l +1) 个量 子态，可容纳2(2l +1)个电子。
二. 晶体的能带
在实际晶体中，原子中的外层电子在相邻原
子的势场作用下，可以在整个晶体中作共有化运
动，原来自由原子的简并能级分裂为许多和原来
能级很接近的能级，形成能带。
当温度接近 0 K
时，价带都被电子填 满，价带以上的能带 都是空带。因此和绝
能有 跃些 入电 空子 带可
3p 空带 Eg 禁带
3s 填满的能带
缘体一样都没有导电
性。
本征半导体的禁带比绝缘体的窄很多，在常温 下，少数电子经热激发可越过禁带跃迁到空带中， 这时，半导体就具有一定的导电性。
§22-4 半导体的导电机制 p-n 结
一. 本征半导体的导电机制 价带中少数电子
被热激发进入导带， 跃迁 在电场作用下，导带 电子 中的电子和满带中的 空穴都可引起电流。
3p 导带
Eg 禁带 3s 填满的能带 空穴
导带中的电子是负载流子，形成电子流；满带 中的空穴是正载流子，形成空穴电流。总电流是电 子流和空穴电流的代数和。
二. 杂质半导体的导电机制 1. n 型半导体 杂质原子在紧靠导带边沿形成附
2. 绝缘体 完全填满的能带上面都是空带。
满带和空带之间是较
宽的禁带。除非外电场相 当强，否则不能使电子获 得足够的能量从满带跃迁 到空带。
2p 空带 Eg 禁带 2s 填满的能带
即使有外电场，也不可能改变电子速度分布的
对称性，即不能引起电子的定向流动而形成电流。
金刚石是典型的绝缘体。
3. 本征半导体 不含杂质的纯净半导体。
§22-1 晶体
晶体由相同的原子或原子群在空间规则地排列 而成，每一个原子群构成晶体的基本结构单元（基 元）。基元的重心在空间规则排列形成晶格（晶体 点阵）。
晶 胞
晶体点阵和晶胞
体心立方 晶胞
面心立方 晶胞
雪花的晶体
金刚石的点阵结构
§22-2 自由原子中电子的能级 晶体的能带
一. 自由原子中电子的能级 多电子原子中，主量子数为n 角量子数为l =
第二十二章 固体能带理论基础
§22-1 晶体 §22-2 自由原子中电子的能级 晶体的能带
§22-3 电子填充能带的情况 金属导体、 绝缘体和本征半导体
§22-4 半导体的导电机制 p – n 结
了解固体能带的形成，并用能带观点区分 导体、半导体和绝缘体。
了解本征半导体、 n 型半导体和 p 型半导 体。
§22-3 电子填充能带的情况 金属导 体、绝缘体和本征半导体
一. 电子填充能带的情况 当温度接近 0 K时，电子由低能级到高能级逐
个填充能带。 一般，原子的内层能级都被电子填满，成为满
带。价电子引起的能带（价带）可能是满带，也可 能不是满带。
有些能带相互交叠形成混合能带，交叠后的能 带还可能再分裂为上下两个能带。
0,1,2,…的能级分别为 ns,np,nd,…能级。所有 s能 级都是非简并的，只有一个量子态(l =0, ml=0 )， 可容纳 2 个电子。 p 能级是 3 度简并的， l =1 , ml =-1,0,1，可容纳 6 个电子。 d 能级是 5 度简并 的， l =2 , ml = -2,-1,0,1,2，可容纳10个电子。
加的施主能级，电子因热激发由施主能级跃迁到导
带中可形成电子电流。
Si
Si
Si
跃迁电子
导带
Si
P +净正电荷
施主能级
Si
Si
Si
多余的 共价键
价电子
价带
四价的硅、锗掺入五价的磷、砷形成的n 型半导体
2. p 型半导体 杂质原子在紧靠价带边沿形成附 加的受主能级，电子因热激发由价带跃迁到受主能 级中在价带中留下空穴，可形成空穴电流。
Ge
净负电荷
导带
Ge
Ge
Ge
留下的 共价键
空穴
空穴
受主能级 价带
四价的硅、锗掺入三价的硼、镓形成的p 型半导体
三. p-n 结
空穴 p 区
I2
I2 +
n 区 电子
相互扩散
I1
p区 U n区
动态平衡
U0
I1
U
- 正向电流
I2 U I1 -
U
U + 反向抑制
在 p-n 结中由 p 区到 n 区的净余总电流与外加 电压的关系可以表示为
N 个原子
E
间距减小能级分裂
组成的晶体， 能带
角量子数为 l
禁带
的能级对应的
能带包含(2l +1) 能带
2s 分 立 的
1s 能 级
N个能级。
d0
d
6个原子组成的晶体
自由原子中电子的能级越高，对应的能带越
宽。
E
3p
E
3N
3s 禁带
2p
2s
N 2p
d0
d
钠晶体的能带随
原子间距的变化
d0
d
金刚石晶体的能带 随原子间距的变化
二. 金属导体、绝缘体和半导体
1. 导体 较低的能带都被电子填满，上面的能带 只是部分地被电子填充。
当无外电场时， 晶体中的电子速度分 布对称，不引起宏观 电流。
3s 未填满的导带
Eg 禁带 2p 填满的能带
当有外电场时，晶体中的运动着电子有些被加 速，有些被减速，即有些动能增加有些动能减小。 只有当电子所在的能带内有未被占据的空能级，即 为非满带时，这样的跃迁才有可能实现。
I
0
I2
U
p-n 结的伏安特性曲线
p-n 结具有明显的单向导电特性，在电路中可
以起到整流的作用。
一般来说，角量子数为 l 的能级是 (2l +1) 度 简并的， 对应于每一个这样的能级有(2l +1) 个量 子态，可容纳2(2l +1)个电子。
二. 晶体的能带
在实际晶体中，原子中的外层电子在相邻原
子的势场作用下，可以在整个晶体中作共有化运
动，原来自由原子的简并能级分裂为许多和原来
能级很接近的能级，形成能带。
当温度接近 0 K
时，价带都被电子填 满，价带以上的能带 都是空带。因此和绝
能有 跃些 入电 空子 带可
3p 空带 Eg 禁带
3s 填满的能带
缘体一样都没有导电
性。
本征半导体的禁带比绝缘体的窄很多，在常温 下，少数电子经热激发可越过禁带跃迁到空带中， 这时，半导体就具有一定的导电性。
§22-4 半导体的导电机制 p-n 结
一. 本征半导体的导电机制 价带中少数电子
被热激发进入导带， 跃迁 在电场作用下，导带 电子 中的电子和满带中的 空穴都可引起电流。
3p 导带
Eg 禁带 3s 填满的能带 空穴
导带中的电子是负载流子，形成电子流；满带 中的空穴是正载流子，形成空穴电流。总电流是电 子流和空穴电流的代数和。
二. 杂质半导体的导电机制 1. n 型半导体 杂质原子在紧靠导带边沿形成附
2. 绝缘体 完全填满的能带上面都是空带。
满带和空带之间是较
宽的禁带。除非外电场相 当强，否则不能使电子获 得足够的能量从满带跃迁 到空带。
2p 空带 Eg 禁带 2s 填满的能带
即使有外电场，也不可能改变电子速度分布的
对称性，即不能引起电子的定向流动而形成电流。
金刚石是典型的绝缘体。
3. 本征半导体 不含杂质的纯净半导体。
§22-1 晶体
晶体由相同的原子或原子群在空间规则地排列 而成，每一个原子群构成晶体的基本结构单元（基 元）。基元的重心在空间规则排列形成晶格（晶体 点阵）。
晶 胞
晶体点阵和晶胞
体心立方 晶胞
面心立方 晶胞
雪花的晶体
金刚石的点阵结构
§22-2 自由原子中电子的能级 晶体的能带
一. 自由原子中电子的能级 多电子原子中，主量子数为n 角量子数为l =
第二十二章 固体能带理论基础
§22-1 晶体 §22-2 自由原子中电子的能级 晶体的能带
§22-3 电子填充能带的情况 金属导体、 绝缘体和本征半导体
§22-4 半导体的导电机制 p – n 结
了解固体能带的形成，并用能带观点区分 导体、半导体和绝缘体。
了解本征半导体、 n 型半导体和 p 型半导 体。
§22-3 电子填充能带的情况 金属导 体、绝缘体和本征半导体
一. 电子填充能带的情况 当温度接近 0 K时，电子由低能级到高能级逐
个填充能带。 一般，原子的内层能级都被电子填满，成为满
带。价电子引起的能带（价带）可能是满带，也可 能不是满带。
有些能带相互交叠形成混合能带，交叠后的能 带还可能再分裂为上下两个能带。
0,1,2,…的能级分别为 ns,np,nd,…能级。所有 s能 级都是非简并的，只有一个量子态(l =0, ml=0 )， 可容纳 2 个电子。 p 能级是 3 度简并的， l =1 , ml =-1,0,1，可容纳 6 个电子。 d 能级是 5 度简并 的， l =2 , ml = -2,-1,0,1,2，可容纳10个电子。
加的施主能级，电子因热激发由施主能级跃迁到导
带中可形成电子电流。
Si
Si
Si
跃迁电子
导带
Si
P +净正电荷
施主能级
Si
Si
Si
多余的 共价键
价电子
价带
四价的硅、锗掺入五价的磷、砷形成的n 型半导体
2. p 型半导体 杂质原子在紧靠价带边沿形成附 加的受主能级，电子因热激发由价带跃迁到受主能 级中在价带中留下空穴，可形成空穴电流。
Ge
净负电荷
导带
Ge
Ge
Ge
留下的 共价键
空穴
空穴
受主能级 价带
四价的硅、锗掺入三价的硼、镓形成的p 型半导体
三. p-n 结
空穴 p 区
I2
I2 +
n 区 电子
相互扩散
I1
p区 U n区
动态平衡
U0
I1
U
- 正向电流
I2 U I1 -
U
U + 反向抑制
在 p-n 结中由 p 区到 n 区的净余总电流与外加 电压的关系可以表示为
N 个原子
E
间距减小能级分裂
组成的晶体， 能带
角量子数为 l
禁带
的能级对应的
能带包含(2l +1) 能带
2s 分 立 的
1s 能 级
N个能级。
d0
d
6个原子组成的晶体
自由原子中电子的能级越高，对应的能带越
宽。
E
3p
E
3N
3s 禁带
2p
2s
N 2p
d0
d
钠晶体的能带随
原子间距的变化
d0
d
金刚石晶体的能带 随原子间距的变化
二. 金属导体、绝缘体和半导体
1. 导体 较低的能带都被电子填满，上面的能带 只是部分地被电子填充。
当无外电场时， 晶体中的电子速度分 布对称，不引起宏观 电流。
3s 未填满的导带
Eg 禁带 2p 填满的能带
当有外电场时，晶体中的运动着电子有些被加 速，有些被减速，即有些动能增加有些动能减小。 只有当电子所在的能带内有未被占据的空能级，即 为非满带时，这样的跃迁才有可能实现。