函数及其表示法要点归纳

函数的表示法1.函数的三种表示法： 图象法、列表法、解析法2.分段函数：在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。

3.映射：一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射。

记作“f ：A →B ”给定一个集合A 到B 的映射，如果a ∈A,b ∈B.且元素a 和元素b 对应，那么，我们把元素b 叫做元素a 的象，b=f （a ），元素a 叫做元素b 的原象.说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，①集合A 、B 及对应法则f 是确定的；②对应法则有“方向性”，即强调从集合A 到集合B 的对应，它与从B 到A 的对应关系一般是不同的；③对于映射f ：A →B 来说，则应满足：（Ⅰ）集合A 中的每一个元素，在集合B 中都有象，并且象是唯一的；（Ⅱ）集合A 中不同的元素，在集合B 中对应的象可以是同一个；（Ⅲ）不要求集合B 中的每一个元素在集合A 中都有原象。

注意：(1)函数一定是映射，映射不一定是函数；(2)函数三要素：定义域、值域、对应法则；(3)B 中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；(4)原象集合=定义域，值域=象集合.4.常用的函数表示法及各自的优点：函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据；2 解析法：必须注明函数的定义域；3 图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；4 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．注意：解析法：便于算出函数值。

列表法：便于查出函数值。

图象法：便于量出函数值5.分段函数：在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。

函数及其表示知识点一、函数的定义和特征在数学中，函数是一种关系，它将一个或多个输入值映射到一个唯一的输出值。

函数通常用字母表示，例如f(x)或g(y)，其中x和y是输入值，f(x)和g(y)是对应的输出。

函数的定义可以用多种方式表达，比如公式、算法或图表。

函数的核心特征是单值性和一对一性。

单值性要求每个输入对应唯一的输出，而一对一性则要求每个输出值只能由一个输入产生。

二、函数的符号表示函数可以用多种符号来表示，最常见的是用函数名和自变量表示函数。

例如，f(x)表示一个以x为自变量的函数。

函数的符号表示还可以用映射符号箭头“→”表示，例如f: x→f(x)。

在离散数学中，函数也可以使用集合的形式表示。

例如，如果定义了一个函数f，将集合A中的元素映射到集合B中的元素，可以用f: A→B表示。

三、函数的图像表示函数的图像是一种常用的表示方式。

通过绘制函数的图像，我们可以直观地了解函数的特点和关系。

函数的图像通常是在笛卡尔坐标系中绘制的。

横轴表示自变量，纵轴表示函数的值。

函数的图像可以是曲线、直线、折线等不同形状。

曲线图像可以反映函数的变化趋势和特征，而直线和折线图像则更加简单明了。

四、函数的性质和分类函数有许多性质和分类。

其中一些重要的性质包括：1. 定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是函数的所有可能输出值的集合。

2. 奇偶性：如果一个函数满足f(-x) = -f(x)，则称其为奇函数；如果满足f(-x) = f(x)，则称其为偶函数。

3. 增减性：函数的增减性描述了函数的单调性。

如果函数在定义域上是递增的，称其为增函数；如果在定义域上是递减的，称其为减函数。

根据函数的具体形式和性质，我们可以将函数进行分类，常见的函数包括：1. 线性函数：形如f(x) = kx + b的函数，其中k和b是常数。

2. 幂函数：形如f(x) = x^a的函数，其中a是常数。

3. 指数函数：形如f(x) = a^x的函数，其中a是常数。

函数的概念及其表示方法一、函数的基本概念（一）函数的有关概念设A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的函数，记作)(x f y =， x ∈A其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈|)(（⊆B ）叫做函数y=f(x)的值域。

函数符号)(x f y =表示“y 是x 的函数”，有时简记作函数)(x f .(1)函数实际上就是集合A 到集合B 的一个特殊对应 B A f →:这里 A, B 为非空的数集.（2）A ：定义域；B ：值域，其中{}A x x f ∈|)( ⊆ B ；f ：对应法则 ， x ∈A ， y ∈B（3）函数符号：)(x f y = ↔y 是 x 的函数，简记 )(x f（二）已学函数的定义域和值域1．一次函数b ax x f +=)()0(≠a ：定义域R, 值域R;2．反比例函xk x f =)()0(≠k ：定义域{}0|≠x x , 值域{}0|≠x x ; 3．二次函数c bx ax x f ++=2)()0(≠a ：定义域R值域：当0>a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥a b ac y y 44|2；当0<a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤a b ac y y 44|2 （三）函数的值：关于函数值 )(a f例：)(x f =2x +3x+1 则 f(2)=22+3×2+1=11注意：1︒在)(x f y =中f 表示对应法则，不同的函数其含义不一样2︒)(x f 不一定是解析式，有时可能是“列表”“图象”3︒)(x f 与)(a f 是不同的，前者为变数，后者为常数（四）函数的三要素： 对应法则f 、定义域A 、值域{}A x x f ∈|)(只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数（五）区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．【定义域补充】求函数的定义域时列不等式组的主要依据是（1）分式的分母不等于零；（2）偶次方根的被开方数不小于零；（3）对数式的真数必须大于零;（4）指数、对数式的底数必须大于零且不等于1.（5）如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零（7）实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.(注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域.)例1 求下列函数的定义域：① 21)(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ xx x f -++=211)(.变式：求下列函数的定义域：①14)(2--=x x f ②2143)(2-+--=x x x x f ③=)(x f x11111++ ④x x x x f -+=0)1()( ⑤373132+++-=x x y例2 若函数aax ax y 12+-=的定义域是R ，求实数a 的取值范围例3 已知函数)(x f =32x -5x+2，求f(3), f(-2), f(a+1).变式：已知f (x )=x 2-1 g (x )=1+x 求f [g (x )]例4下列函数中哪个与函数x y =是同一个函数？ ⑴()2x y =；⑵33x y =；⑶2x y =例5 下列各组中的两个函数是否为相同的函数？ ①3)5)(3(1+-+=x x x y 52-=x y ②111-+=x x y )1)(1(2-+=x x y ③21)52()(-=x x f 52)(2-=x x f【抽象函数定义域的求法】 例6 若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域变式：若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求f （x+1）、f （2x ）的定义域；若函数y=f （x -1）的定义域为[-1，1]，求f （x ）的定义域二、函数的表示法【知识要点】1、常用的函数表示法及各自的优点（1）函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据：作垂直于x 轴的直线与曲线最多有一个交点。

高中数学知识点总结——函数_高三数学知识点总结函数是高中数学中一个重要的知识点，涉及到函数的概念、性质、图像、分类和应用等方面。

以下是高中数学中关于函数的知识点总结。

1、函数的定义：对于一个自变量集合D和一个值域集合R，如果存在一种规律使得对于任意一个自变量x∈D，都能唯一确定一个值y∈R，则称y是x的函数，记作y=f(x)，其中x称为自变量，y称为因变量，f称为函数。

2、函数的表示方法：（1）显式表示法：y=f(x)（2）参数表示法：y=f（x,a,b,c……）（1）定义域：x的取值范围（2）值域：对于定义域中的每一个x，其得到的函数值y的集合（3）奇偶性：f(x)=f（-x）时，称函数f(x)为偶函数；f（x）=-f（-x）时，称函数f（x）为奇函数；对于任意函数f（x），其可分解为奇函数和偶函数的和（4）单调性：若对于定义域D内的任意两个数x1<x2，都有f（x1）<f（x2），则函数f（x）在D内单调递增；若对于定义域D内的任意两个数x1<x2，都有f（x1）>f（x2），则函数f（x）在D内单调递减；若函数f（x）在D内单调递增或单调递减，则称其为单调函数（5）周期性：若存在一个正数T，使得对于定义域D内的任意x，均有f(x+T)=f(x)，则称函数f(x)为周期函数，T称为函数的周期4、函数的图像:（1）一般函数的图像：曲线（2）奇函数的图像：关于原点对称（4）周期函数的图像：具有一定的对称性（1）初等函数：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数（2）组合函数：由多个初等函数组合而成（3）参数方程、隐函数、微积分中的函数等函数在数学中的应用范围非常广泛，涉及到数学、物理、化学、工程、生物等多个领域。

例如：（1）最值问题（2）曲线的切线和法线（3）求函数的零点、极值、间断点（4）微积分、求导和积分（5）奇偶性的应用综上所述，函数是高中数学中的重要知识点，需要掌握其定义、性质、分类和应用等方面的内容。

1.知识点：函数的表示法掌握几种表示方法：解析法、图象法、列表法根据题目内容列出对应的函数式子，需要分类讨论。

掌握分段函数和映射的特点：映射：一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A B为从集合A到集合B的一个映射。

记作f：A→B分段函数(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

(2)各部分的自变量的取值情况．(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．3.知识点二：函数的基本性质1.函数的单调性(局部性质)（1）增函数设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2 时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.注意：函数的单调性是函数的局部性质；（2）图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.(3).函数单调区间与单调性的判定方法．函数的奇偶性（整体性质）（1）偶函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．（2）．奇函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．（3）具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．利用定义判断函数奇偶性的步骤：○1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；○2确定f(－x)与f(x)的关系；○3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．(2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1来判定;(3)利用定理，或借助函数的图象判定 .例题：已知定义域为R的函数f(x)在(8，＋∞)上为减函数，且函数f(x＋8)为偶函数，则()A．f(6)>f(7)B．f(6)>f(9)C．f(7)>f(9) D．f(7)>f(10)[答案] D[解析]∵y＝f(x＋8)为偶函数，∴y＝f(x)的图象关于直线x＝8对称，又f(x)在(8，＋∞)上为减函数，∴f(x)在(－∞，8)上为增函数，∴f(10)＝f(6)<f(7)＝f(9)，故选D函数最大（小）值（定义见课本p36页）○1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值○2 利用图象求函数的最大（小）值○3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；课后习题：某物体一天中的温度是时间t的函数：T(t)＝t3－3t＋60，时间单位是小时，温度单位为℃，t＝0表示，其后t的取值为正，则上午8时的温度为()A．8℃B．112℃C．58℃D．18℃．函数y ＝1－x 2＋x 2－1的定义域是( )A ．[－1,1]B ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)C ．[0,1]D ．{－1,1}函数f (x )＝2x －1，x ∈{1,2,3}，则f (x )的值域是( )A ．[0，＋∞)B ．[1，＋∞)C ．{1，3，5}D ．R对于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2 (x ≥0)(x ＋1)2 (x <0)，下列结论中正确的是( ) A ．是奇函数，且在[0,1]上是减函数B ．是奇函数，且在[1，＋∞)上是减函数C ．是偶函数，且在[－1,0]上是减函数D ．是偶函数，且在(－∞，－1]上是减函数设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )某种茶杯，每个2.5元，把买茶杯的钱数y (元)表示为茶杯个数x (个)的函数，则y ＝________，其定义域为________．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点A (0，－5)，B (5,0)，它的对称轴为直线x ＝2，则这个二次函数的解析式为________．.已知函数f (x )＝2x x 2＋1 (1)求函数的定义域；(2)判断奇偶性；（3）求f(1)和f（-2）。

初中函数知识点总结图初中函数知识点总结图函数是数学中的一种基本概念，也是数学与其他学科之间重要的桥梁，对于学习数学的同学来说，掌握函数的概念和相关知识点是非常重要的。

下面是初中函数知识点的总结图。

一、函数的概念函数是一种特殊的依赖关系，即每个自变量对应唯一一个因变量。

函数可以用集合对来表示，也可以用具体的公式来描述。

函数的自变量通常表示为x，因变量通常表示为y。

二、函数的表示方法1. 函数的集合对表示法：{(x, y)}函数的集合对表示法是最简单的一种表示方法，其中x为自变量的取值，y为对应的因变量的取值。

2. 函数的函数式表示法：y = f(x)函数的函数式表示法是一种常见的表示方法，其中f表示函数的名称，x为自变量，y为因变量。

三、函数的性质1. 定义域和值域定义域是函数输入值的范围，值域是函数输出值的范围。

2. 奇偶性如果对于任意x，有f(-x) = -f(x)，则函数为奇函数；如果对于任意x，有f(-x) = f(x)，则函数为偶函数；否则，函数既不是奇函数也不是偶函数。

3. 单调性如果对于任意x1 < x2，有f(x1) ≤ f(x2)，则函数为递增函数；如果对于任意x1 < x2，有f(x1) ≥ f(x2)，则函数为递减函数；否则，函数既不是递增函数也不是递减函数。

4. 零点如果f(x0) = 0，且x0为函数的定义域内的一个点，则x0称为函数的零点。

5. 极值如果对于函数f(x)，存在一个区间(x1, x2)，在这个区间内，函数在某点x0处的函数值f(x0)大于等于f(x1)和f(x2)的函数值，或者小于等于f(x1)和f(x2)的函数值，则函数在x0处取得极值。

四、函数的图像函数的图像是函数在直角坐标系上的图形表示，通过函数的图像可以直观地了解函数的性质。

五、常见的函数类型1. 一次函数一次函数也称为线性函数，表示为y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。

一次函数的图像是一条直线。

函数常用公式及知识点总结一、基本的函数类型及其表达式1. 线性函数线性函数是最简单的一类函数，其表达式可以写成y = kx + b的形式，其中k和b是常数，k代表斜率，b代表截距。

线性函数的图像通常是一条直线，斜率决定了直线的倾斜程度，截距决定了直线和y轴的交点位置。

2. 二次函数二次函数的一般形式是y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c分别是二次项系数、一次项系数和常数。

二次函数的图像通常是一条开口向上或向下的抛物线，抛物线的开口方向取决于二次项系数a的正负。

3. 指数函数指数函数的一般形式是y = a^x，其中a是底数。

指数函数的特点是以指数形式增长或衰减，当底数a大于1时，函数图像呈现增长趋势；当底数a介于0和1之间时，函数图像呈现衰减趋势。

4. 对数函数对数函数的一般形式是y = log_a(x)，其中a是底数。

对数函数和指数函数是互为反函数的关系，对数函数的图像通常是一条斜率逐渐趋近于零的曲线。

5. 三角函数常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们分别表示了角的正弦值、余弦值和正切值。

三角函数的图像是周期性的波形，具有很强的周期性和对称性特点。

二、函数的常见性质和变换1. 奇偶性函数的奇偶性是指当x取相反数时，函数值是否相等。

如果函数满足f(-x) = f(x)，则称其为偶函数；如果函数满足f(-x) = -f(x)，则称其为奇函数。

2. 周期性周期性是指函数在一定范围内具有重复的规律性。

对于三角函数和指数函数等周期函数，周期可以通过函数表达式或图像来确定。

3. 平移、缩放和翻转函数可以通过平移、缩放和翻转等方式进行变换。

平移指的是将函数图像沿着x轴或y轴进行平移，缩放指的是改变函数图像的大小或形状，翻转指的是将函数图像进行对称变换。

4. 复合函数复合函数是指一个函数作为另一个函数的自变量，通过这种方式可以得到新的函数。

复合函数的求导、积分和求极限等运算与单个函数类似，但需要注意变量的替换和链式求导法则。

高一数学函数知识点归纳总结大全函数是数学中非常重要的概念之一，在高一阶段的数学学习中，我们会接触到许多有关函数的知识点。

本文将对高一数学函数知识点进行归纳总结，旨在帮助同学们系统地理解和掌握这些内容。

一、函数的定义和表示方法函数是一个将一个集合中的元素（称为自变量）映射到另一个集合中的元素（称为因变量）的规则。

函数可以用各种方式来表示，常见的有解析式、图像和表格。

1. 解析式表示法：函数可以用解析式来表示，通常采用f(x)或y的形式表示。

例如：f(x) = 2x + 1，y = sin(x)。

2. 图像表示法：函数的图像是用直角坐标系上的点表示的，其中自变量通常对应横坐标，因变量对应纵坐标。

3. 表格表示法：函数可以用表格形式来表示，其中列出自变量的取值和对应的因变量的取值。

二、函数的性质了解函数的性质有助于我们更好地理解函数的特点和行为。

1. 定义域和值域：函数的定义域是指所有使得函数有意义的自变量的取值范围，而值域则是函数的所有可能的因变量的取值范围。

2. 奇偶性：如果对于函数的定义域中的任意x值，都有f(-x) =f(x)成立，则函数是偶函数；如果对于函数的定义域中的任意x值，都有f(-x) = -f(x)成立，则函数是奇函数；否则函数既不是偶函数也不是奇函数。

3. 单调性：如果函数的自变量增加时，其对应的因变量是单调递增或单调递减的，我们称这个函数是单调函数。

4. 周期性：如果函数的某个正数T满足对于函数的所有x值都有f(x+T) = f(x)成立，则称函数具有周期性，T是函数的一个周期。

三、常见函数的类型在高一阶段，我们会学习到以下几类常见的函数。

1. 一次函数：一次函数的解析式为f(x) = ax + b，其中a和b是常数，且a≠0。

一次函数的图像是一条斜率为a的直线。

2. 二次函数：二次函数的解析式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c是常数，且a≠0。

二次函数的图像通常是一个开口向上或向下的抛物线。

数学所有函数知识点总结一、函数的概念函数是数学中的一个基本概念，它描述了一种特殊的关系，其中每个自变量的值都对应一个唯一的因变量的值。

通俗来讲，函数就是一个“黑匣子”，输入一个自变量，通过某种规律运算之后，得到一个因变量的值。

函数通常用f(x)表示，其中x为自变量，f(x)为因变量。

二、函数的表示1. 显式表示法：y = f(x)，其中y表示因变量，x表示自变量，f(x)表示因变量和自变量的关系。

2. 参数方程表示法：x=f(t), y=g(t)，其中t是参数。

3. 值域法：f: X → Y，表示自变量X的取值范围与因变量Y的取值范围之间的对应关系。

4. 函数图形表示法：通过画出函数的图形来表示函数的性质和特点。

三、函数的分类1. 按定义域和值域的关系分类：一元函数、多元函数。

2. 按函数的解析表达式的形式分类：代数函数、三角函数、指数函数、对数函数、幂函数、双曲函数、常数函数、分段函数等。

3. 按导数的存在性分类：可导函数、不可导函数。

四、函数的性质1. 定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。

2. 奇偶性：奇函数和偶函数。

3. 单调性：增函数和减函数。

4. 周期性：周期函数。

5. 对称性：轴对称函数和中心对称函数。

五、函数的运算1. 四则运算：加法、减法、乘法、除法。

2. 复合运算：f(g(x))，表示g(x)的结果再作为自变量输入到f(x)中进行运算。

3. 反函数运算：如果f(x)是函数，且f(x)在其定义域内是一一对应的，那么可以定义一个函数g(x)，使得g(f(x)) = x，这个函数称为f(x)的反函数。

六、函数的极限1. 函数极限的概念：当自变量趋于某个值时，因变量的值趋于一个确定的值。

2. 极限的性质：有界性、保号性、夹逼性、局部有界性、局部保号性、局部夹逼性。

3. 函数极限的计算方法：利用极限的性质和函数的性质进行计算。

七、函数的导数1. 导数的概念：定义导数为函数在某一点的切线的斜率，也可以表示为函数的变化率。