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第一章-纠错码的基本概念..资料讲解

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《纠错码概述》课件

《纠错码概述》课件

03
常见的纠错码技术
奇偶校验码
总结词
简单但可靠性较低
详细描述
奇偶校验码是一种简单的错误检测和纠正方法，通过在数据中添加校验位，使得整个数据（包括校验位）中1的 个数为偶数（偶校验）或奇数（奇校验）。这种方法简单易行，但只能检测到一位错误，且无法纠正错误。
海明码
总结词
具有中等可靠性和实现复杂度
详细描述
词
度。
优化解码算法，降低其
详 细
计算复杂度和实现难度
描
，提高解码速度。
述
在解码过程中，采用多 径传播抑制技术，减少 多径干扰对解码的影响
。
1. 降低 复杂
度
解码算法的优化主要包 括以下几个方面
2. 改进 迭代 算法
通过改进迭代算法的收 敛速度和稳定性，提高
解码准确率。
3. 多径 传播 抑制
硬件实现优化
常见的纠错码编码方式有奇偶校验、 海明码、循环冗余校验（CRC）等。
纠错码的解码原理
纠错码解码是在接收端收到编码数据后，根据预先设定的解码算法，对接收到的 数据进行解码，以检测和纠正传输过程中产生的错误。
解码算法通常基于一定的数学原理，如代数、概率统计等，通过特定的计算方法 实现错误检测和纠正。
纠错码的性能指标
软件实现方式
通用软件实现
使用通用的编程语言（如C、C、Python等 ）来实现纠错码的编码和解码过程。这种方 式具有较低的成本和较好的跨平台性，适用 于对成本和灵活性要求较高的场景。
专用软件实现
针对特定的纠错码算法，使用专用的软件库 或工具来实现编码和解码过程。这种方式具 有较高的性能和效率，适用于对性能要求较
纠错能力
编码效率

纠错编码技术

纠错编码技术

第一章 1.2.1差错控制编码的分类
从差错控制码功能的角度，可以分为以下3类：
1.检错码（error detection code） 只能发现错误，不 能纠正错误。在一些仅需要给出错误提示以及 ARQ（自动请求重发，automatic repeat request）系 统中使用这类码。
2.纠错码（error correcting code） 能够发现错误也能 纠正错误。FEC（前向纠错，feed-forward error correction）和HEC（混合纠错，hybrid-errorcorrection）系统都使用这类码。
第一章
图1-1 数字通信系统框图
第一章
可以把纠错编码（即差错 控制编码）看成是为提高通信 系统的性能而设计的信号变换， 其目的是提高通信的可靠性， 使传输的消息更好地抵抗各种 信道损伤的影响，如噪声、干 扰、以及衰落等。
第一章
1.2纠错编码的分类
1.2.1差错控制编码的分类 1.2.2差错控制系统分类 1.2.3纠错编码的分类
第一章 1.1纠错编码的理论基础
通信的目的是要把消息及时可靠地传送 给对方。
若要求快速，则必然使得每个数据码元 所占的时间缩短、波形变窄、能量减少，从 而在受到干扰后产生错误的可能性增加，传 送消息的可靠性减低。
若要求可靠，则使得传送消息的速率变 慢。
在数字通信系统中可靠与快速往往是一 对矛盾。
通信理论本身(包括纠错码)也正是在解决 这对矛盾中不断发展起来的。
的可靠性。
第一章
有实用价值的码应该具备良好 的结构特性，这样可保证译码简单 易行。香农在证明有噪声信道编码 定理时提出随机编码方法，这不过 是一种为避免寻找好码而采取的权 宜之计，有理论意义而无实用价值。 真正实用的信道编码还须用适当的 数学工具来构造，使得构造出的码 具有很好的结构特性，以便译码。

纠错码

纠错码

编码距离与纠错检测的关系

几个基本概念 码重:码组中“1”的个数成为码组的重量。 码距 :两个码组中对应位上数字不同的位数称为码组的距离。我们把 某种编码中各个码组之间距离最小值称为最小码距（d0）。一种编码 的最小码距d0的大小直接关系着这种编码的检错和纠错能力。
1011101 与 1001001 之间的码距是 2。
接收端收到禁用码组时，就认为发现了错误
这种方法只能检测错误，但不能纠正错误
比如：当接收端收到禁用码组100时，无法判决哪一位码 发生了错误
000（晴） 101（云） 110（雨） 错一位 100
要想纠正错误，需要增加多余度，比如，只准使用两个码组
000（晴）
111（阴）
其他均为禁用码组，则它可检测两个错码或能纠正一个错码。

译码:在接收端,利用这种规律性来鉴别传输过程是否发生错误或纠正 错误，恢复原始信息序列。
纠错编码的分类

按功能分：检错码和纠错码 按监督码元与信息码元之间是否存在线性关系分：线性码与非线性码 按信息码元与监督码元之间的约束关系不同分：分组码与非分组码如 卷积码 按纠正差错的类型分：纠正随机错误的码与纠正突发错误的码 按码元的取值分：二进制码与多进制码
1 1 n 1 0

v v ，若对任一 v a , a ,, a v 恒有 v a ,, a , a v ，则称 vn ,k 为循环码。
n,k n
0 1 n 1
n,k
n,k
在下表中给出了一种（7,3）循环码的全部码组
卷积码

把信源输出的信息序列，以个 k 0(k 0 通常小于 k)码元分为一段，通过 编码器输出长为 n 0(≥k 0 )一段的码段。 但是该码段的 n 0 k 0 个校验 元不仅与本组的信息元有关，而且也与其前m段的信息元有关，称m为 编码存贮。因此卷积码用(n 0， k 0， m)表示。

第1章 纠错码的基本概念

第1章 纠错码的基本概念
应当指出，当码元作删除处理时，它在序列中的位置是已 知的，仅不知其值是0还是1，故对这种BEC信道的纠错要比 BSC信道容易。
18
第18页，本讲稿共76页
图 1 - 7 二进制删除信道
19
第19页，本讲稿共76页
图 1 - 8 二进制纯删除
20
第20页，本讲稿共76页
上述三种信道模型只是为了讨论问题方便而简化成理想的 情况，它们表达了某些实际信道传送信号的主要特征。但有很 多实际信道如高频、散射、有线等信道， 由于各种干扰所造成 的错误， 往往不是单个地而是成群成串地出现的， 表现为错 误之间的相关性。产生这种错误的信道称有记忆信道或突发信 道。
第1章 纠错码的基本
概念
1
第1页，本讲稿共76页
• 课程性质：学位课 • 课程课时：48（3学分） • 考试形式：闭卷（平时成绩30%、试卷成
绩70%） • 参考书目：
– 纠错码---原理与应用 王新梅等 – 无线通信调制与编码 王军选等 – 其它编码类书籍
2
第2页，本讲稿共76页
• 课程内容
– 什么是编码 – 为什么要编码 – 编码的应用
如果把干扰也用二进制序列E：(en-1，en-2，…，e1，e0)表示， 则相应有错误的各位ei取值为1，无错的各位取值为0，而R就是 C与E序列模2相加的结果，我们称E为信道的错误图样或干扰矢 量。
例如，发送序列C：(1111100000)， 收到的序列R： (1001010000)，第二、三、五、六位产生了错误， 因此信道的 错误图样E的二、 三、 五、 六位取值为1，其它各位取值为0， 即E： (0110110000)。 用式子可表示成：
第11页，本讲稿共76页
二、

纠错码PPT

纠错码PPT
da min d, dmin(1Ci), i1,2,L,2k
min d, dmin(Ci), i1,2,L,2k
mind, n-dmax(C)
9
增余删信(Expurgated)码
基本原理
➢ 在原码基础上删去一个信息元，增加一个校验元。和 增广码构造过程相反
基本实现方法
➢ 删掉原码生成矩阵G中的一行，得到新矩阵Ge，该矩 阵有n列，k-1行，即得到一个[n, k-1, de]码
线性码是同距离分布码
2k
n
pud pj Aipei(1pe)ni
j1 i1
若码字等概发送
n
pud Ai pei (1pe)ni i1
平均不可检 错误概率
p u d2 (n k)(1 (1 p e)k)
20
译码错误与译码失败概率
teD译码器正确译码的概率
pwc it0nipei(1pe)ni
➢ 共有6种方法
3
扩展(Expanded)码
基本原理：对[n, k, d]线性分组码中的每一个码字，
增加一个校验元 ，c 0满足： c n - 1 c n -2 L c 0 c 0 0
c0 称为全校验位
➢ 若d为偶数， [n, k, d]码变成了[n+1, k, d]
➢ 若d为奇数， [n, k, d]码变成了[n+1, k, d+1]
13
修正的线性码
改变线性码参数n, k, n-k的任意两个 ➢ Shorten: 删除信息符号 nkfixed,k n ➢ lengthen: 增加信息符号 nkfixed,k n ➢ Puncture: 删除校验符号 kfixed,nk n ➢ Expand :增加校验符号 kfixed,nk n ➢ Expurgate: 删除码字，增加校验符号 nfixed,k nk ➢ Augment: 增加码字，删除校验符号 nfixed,k nk

信道编码和纠错编码相关概念

信道编码和纠错编码相关概念

外码 译码输出 译码
• 优点：性能较一般短码有译很码器 大改善 • 缺点：编码效率低；当R/C →1时性能迅速恶化
信道编码和纠错编码相关概念
产生背景（续）
• 软输入软输出和迭代译码
对数似然比LLR
^
L' (d)
L(d
|
x)
log
P(d P(d
1| 1|
x) x)
logPP((xx
| |
d d
信道编码和纠错编码相关概念
（2）编码原理
• 原理图
uj0 uj1 uj,k-1
...
xj0
uj-m,0
xj1
...
... ...
uj-m,1
映射
uj-m,k-1
xj,n-1
... ... ...
m stage delay
信道编码和纠错编码相关概念
编码原理（续）
• 几个例子
xj0
+
uj
uj
+
xj1
1) 1)
logPP((dd
1) 1)
L(x| d)L(d) Lc(x)L(d)
^
^
^
^
L(d) L'(d)Le(d) Lc(x)L(d)Le(d)
信道编码和纠错编码相关概念
产生背景（续）
• 软输入软输出和迭代译码
feedback for the next iteration
L(d)
Lc(x)
信道编码和纠错编码相关概念
（2）线性分组码----举例
• 奇偶监督码 • 汉明码 • BCH码 • RS码 • CRC码
信道编码和纠错编码相关概念
奇偶监督码

纠错码

[ d 1 ] 2 位错误。
证明 设发出码字x C ，信息发生错误 Fqn ,从而收到的向量为 y x 。
如果发生小于等于d-1位错误，即 1 w( ) d 1 。则1 d ( x, y) w( y x) w( ) d 1 ，
由于不同码字之间的汉明距离都大于等于d，而 x C ，可知 y C 。 从而收方可发现出了错。
6.1 什么是纠错码
例1 （重复码）把每个信息
( a0 a1a2 a3 ) F24 重复三次而传送成
12 (a0 a1a2 a3a0 a1a2 a3a0 a1a2 a3 ) F2
F212 中只有 所以
2
4
个向量才表示有意义的信息，它们形成F212 的一个子集合
C {(a0 a1a2 a3a0 a1a2 a3a0 a1a2 a3 ) : ai F2}
n 定义6.1.3 设C是码长为n的q元纠错码（即C为 Fq 的一个子集合）。
定义C的最小距离
即
d d (C ) 为C中不同码字之间汉明距离的最小值，
d (C ) min{d (c, c C, c c}
定理6.1.4 设纠错码C的最小距离为d，则此码可检查 d 1 位错误，也可纠正
的一组基，从而生成阵可取为
1 I G n 1 1
码的参数为[n,n-1,2]（易知C的最小距离为2）。当q=2时，此码即是 F2 中 汉明重量为偶数的全部向量组成的线性码
n
q元线性码C=[n,k]是 Fq 的一个k维向量子空间。由线性代数知C必是某个 线性齐次方程组
证明 零向量0是线性码C中的码字，并且任何两个码字之差仍是码字。 可知C中不同码字之差所形成的集合就是C中非零码字形成的集合。 由此及

第一章 纠错编码的基本概念


2.重传反馈(ARQ)方式 ARQ (Automatic Repeat Request)方式是，发端发 出能够发现错误的码（检错码），收端译码器收到 后，判断在传输中有无错误产生，并通过反馈信道 把捡测结果告诉发端。发端把收端认为有错的消息 再次传送，直到收端认为正确接收为止。 缺点是必须有一条从收端至发端的反馈信道。 并要求信源产生信息的速率可以进行控制，收、发 两端必须互相配合，其控制电路比较复杂，传输信 息的连贯性和实时性也较差。该方式的优点是译码 设备简单，在多余度一定的情况下，码的检错能力 比纠错能力要高得多，因而整个系统能获得极低的 误码率。
这种编码中每一码组的校验元仅与 本组的信息元有关，而与别组无关。分 组码用（n，k）表示，n表示码长，k表 示信息位。分组码的构成如图1-3所示。
（2）卷积码是把信源输出的信息序列，以k0 个码元分为一段，通过编码器输出长为n0 （>k0 ）的码段，但是该码段的n0 – k0个 校验元不仅与本组的信息元有关，而且也 与其前m段的信息元有关，一般称m为编码 存贮，因此卷积码用（ n0 ， k0 ，m）表示。 卷积码的构成如图1-4所示。
例1.2 考虑有两个码字｛0100，1111｝的码C。 码字的汉明重量为w(0100)=1和w(1111)=4。 这两个码字间的汉明距离为3，因为它们在第1、 第3和第4位置上不同。 观察到w(0100-1111)= w(1011)=3=d(0100,1111) 。 一般而言，对于任意一种编码，其中各 码组之间的距离不一定都相等。
香农第二定理是有噪信道编码定理， 作为一个存在性定理，指出可以用任意接 近信道容量的信息传输速率传送消息，且 出错的概率可以任意小，这就引发了人们 对纠错码的研究。纠错码理论的中心任务 就是要针对具有不同干扰特性的各种信道 设计出编码效率高、抗干扰性能好而编译 设备又较简单的纠错码。

纠错码课件---第一章 绪论


TCM(1976)
电话Modem IS-95, 3G
3G,DVB, 802.16
CDMA(1980s）
Turbo码(1993) MIMO (1995) 合作与网络编码 (2000)
B3G/4G
新一代无线系统
编码调制技术贯穿整个 移动通信系统的设计
• 现代无线通信系统的设计是以Shannon理论为指导，以 编码为主线，通过（迭代式）编译码将各功能模块联成一 个有机的整体 网络编码与多用户协作编码 Shannon 信息理论 多用户预编码与多址编码 MIMO编码 信道编码 现代 无线 通信 系统
数字通信系统模型（5）
信道译码器：将接收序列{R}变换为二进制序列 估计信息序列。 译码策略根据信道编码规则和信道的噪声特性设计。
ˆ ，称之为 m
本课程的另一主要内容，就是设计和实现使译码错误概率最小的
信道译码器。
数字通信系统模型（6）
纠错码的发展概况
• • • • • • • • • • 通信的数学理论，Shannon(1948) 汉明码，Hamming (1950) 级连码，Forney(1966) 卷积码及有效译码, (60年代) RS码及BCH码的有效译码(60年代) TCM，Ungerboeck(1982),Forney(1984) Turbo码，Berrou(1993) LDPC 码，Gallager(1963),Macky(1996) 空时编码,Tarokh(2000) 协作与网络编码(2000;2002)
汉明重量：n重x中非零码元的个数，称为它的汉明重量， 简称
重量，用w(x)表示。
例如，若x： (10101)，则w(x)＝3。若y： (01111)，则w(y)
＝4，等等。

第一章 纠错码的基本概念


信源编码器：将信源发出的消息如语言、 图像、 文字等转换成为二进制(也可转换成为多进制)形 式的信息序列。
信源编码器的设计目标： （1）以最低的比特率表示信源的输出消息； （2）信源的输出可由信息序列{m}准确的重现。
2020/4/8
纠错编码技术
5
1.1 编码系统模型
纠错码的基本概念 第一章
信道编码器：将信息序列{m}变换成离散的编码序 列{C}，称之为码字。
2020/4/8
纠错编码技术
16
纠错码的基本概念 第一章
1.2 信道错误类型与信道模型
例：发送序列C：（1111100000），收到的 序列R：（1001010000），第二、三、五、 六位产生了错误，因此错误图样e的二、三、 五、六位取值为1，即e：(0110110000)
对于突发信道，错误图样中，第一个“1” 和最后一个“1”之间的码元总个数称为突 发长度，其图样成为突发图样。该例中， 突发图样是（11011），突发长度为5。
突发错误和突发信道
突发错误：噪声对各传输码元的影响不是 独立的，从而导致差错是一连串出现的。
✓例如移动通信中信号在某一段时间内发 生衰落，造成一串差错；光盘上的一条划 痕等等。
存在突发错误的信道，称之为有记忆信道 （突发信道）。
2020/4/8
纠错编码技术
14
纠错码的基Leabharlann 概念 第一章1.2 信道错误类型与信道模型
本课程的主要内容之一，就是设计和实现信道 编码器，以抵抗传输或存储码字所面临的噪声 环境的影响。
2020/4/8
纠错编码技术
6
1.1 编码系统模型
纠错码的基本概念 第一章
调制器或写入单元：将信道编码器输出的每个符 号，转换为持续时间为T秒的适合传输（或记录） 的波形，这些波形进入信道或存储媒质，并受到 噪声的干扰。 解调器或读出单元：处理收到的每个持续时 间为T秒的波形，然后产生离散（量化）或连 续（非量化）的输出。
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6/29/2020
纠错编码技术
16
纠错码的基本概念 第一章
1.3 差错控制的基本方式
反馈重传方式 前向纠错方式 混合方式
6/29/2020
纠错编码技术
17
纠错码的基本概念 第一章
1.3 差错控制的基本方式
反馈重传方式(ARQ)
工作原理：发送端发送检错码，通过信道传输 到接收端，接收端译码器根据编码规则判断是 否有错误，并把判决信号通过反馈信道送回发 送端。发送端根据判决信号确定是否重新发送， 直到接收端检查无误为止。
纠错码的基本概念 第一章
第一章-纠错码的基本概念..
本章要求
纠错码的基本概念 第一章
掌握： 差错控制方式 纠错码的基本概念
理解： 最大似然译码
了解：
纠错编码的作用、基本思想和编码系统 模型
6/29/2020
纠错编码技术
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1.1 编码系统模型
纠错码的基本概念 第一章
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纠错编码技术
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纠错编码技术
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纠错码的基本概念 第一章
1.2 信道错误类型与信道模型
例：发送序列C：（1111100000），收到的 序列R：（1001010000），第二、三、五、 六位产生了错误，因此错误图样e的二、三、 五、六位取值为1，即e：(0110110000)
对于突发信道，错误图样中，第一个“1” 和最后一个“1”之间的码元总个数称为突 发长度，其图样成为突发图样。该例中， 突发图样是（11011），突发长度为5。
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1.1 编码系统模型
纠错码的基本概念 第一章
编码系统的简化模型
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纠错编码技术
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纠错码的基本概念 第一章
1.2 信道错误类型与信道模型
随机错误和随机信道 突发错误和突发信道 混合错误和混合信道
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纠错编码技术
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纠错码的基本概念 第一章
10
纠错码的基本概念 第一章
1.2 信道错误类型与信道模型
二进制对称信道（Binary Symmetric Channel, BSC）
0
1-p
0
P(0/0)=1-p
p
P(1/0)=p
X p
Y
P(1/1)=1-p
1
1-p
1
P(0/1)=p
输入符号取值集合 X={0，1}
输出符号取值集合 Y={0，1}
1.2 信道错误类型与信道模型
随机错误和随机信道
随机错误：信道传输中，信息序列各码 元发生的出错事件彼此独立，即每个码 元独立的按一定的概率发生差错。
只存在随机错误的信道称为无记忆信道 （随机信道），用信道转移概率来描述。 例如，二进制对称信道BSC和离散无记忆 信道DMC。
6/29/2020
纠错编码技术
纠错码的基本概念 第一章
信道编码器：将信息序列{m}变换成离散的编码序 列{C}，称之为码字。
本课程的主要内容之一，就是设计和实现信道 编码器，以抵抗传输或存储码字所面临的噪声 环境的影响。
6/29/2020
纠错编码技术
5
1.1 编码系统模型
纠错码的基本概念 第一章
调制器或写入单元：将信道编码器输出的每个符 号，转换为持续时间为T秒的适合传输（或记录） 的波形，这些波形进入信道或存储媒质，并受到 噪声的干扰。 解调器或读出单元：处理收到的每个持续时 间为T秒的波形，然后产生离散（量化）或连 续（非量化）的输出。
1.1 编码系统模型
纠错码的基本概念 第一章
信源编码器：将信源发出的消息如语言、 图像、 文字等转换成为二进制(也可转换成为多进制)形 式的信息序列。
信源编码器的设计目标： （1）以最低的比特率表示信源的输出消息； （2）信源的输出可由信息序列{m}准确的重现。
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纠错编码技术
4

1.1 编码系统模型
解调器的输出序列称为接收序列{R}。
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纠错编码技术
6
1.1 编码系统模型
纠错码的基本概念 第一章
信道译码器：将接收序列{R}变换为二进制序列 mˆ 估计信息序列。
译码策略根据信道编码规则和信道的噪声特性设 计。
本课程的另一主要内容，就是设计和实现使译码 错误概率最小的信道译码器。
6/29/2020
纠错编码技术
11
纠错码的基本概念 第一章
1.2 信道错误类型与信道模型
离散无记忆信道（Discrete Memoryless Channel, DMC）
x0
x.1 .
PPPPP(Py((P((yy(Qyy(y01-y221//1//xx0//xxx/x00x010))1))1)))
y0 y1
y.2
. P(yQ-1/x1)
.
xq-1
. yQ-1
输入符号取值集合
X={x0, x1,…,xq-1} 输出符号取值集合
Y={y0, y1,…,yQ-1} qQ个条件概率：
P(yj/xi)=pij 其中，i=0,1,…q-1; j=0,1,…Q-1
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纠错编码技术
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纠错码的基本概念 第一章
1.2 信道错误类型与信道模型
突发错误和突发信道
突发错误：噪声对各传输码元的影响不是 独立的，从而导致差错是一连串出现的。
✓例如移动通信中信号在某一段时间内发 生衰落，造成一串差错；光盘上的一条划 痕等等。
存在突发错误的信道，称之为有记忆信道 （突发信道）。
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纠错编码技术
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纠错码的基本概念 第一章
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纠错编码技术
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纠错码的基本概念 第一章
1.3 差错控制的基本方式
信源
编码器和缓存器
重发控制
检错码
双
译码器
向
信
道 反馈控制器
缓存器
信宿
ARQ通信系统组成
优点：
缺点：
1.编译码设备简单
1.需反馈信道
2.纠错能力强
2.控制电路复杂
3.对信道的适应性强
3.传送信息的实时性、连贯性差
6/29/2020
1.2 信道错误类型与信道模型
混合错误和混合信道
混合错误：既有突发错误又有随机错误。
突发错误和随机错误并存的信道称之为混 合信道。
6/29/2020
纠错编码技术
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纠错码的基本概念 第一章
1.2 信道错误类型与信道模型
错误图样：
设发送的是序列C（码元长度为n），通过信道传 输后，接收端的序列为R。由于信道中存在干扰， R序列中的某些码元和C序列中的对应码元的值可 能不同，如果信道中的干扰采用二进制序列e表示， 相应有错误的位取值为1，无错的位取值为0，可 得e=C⊕R。
纠错编码技术
19
纠错码的基本概念 第一章
1.3 差错控制的基本方式