第一章基本概念一综述1．本章是本门课程所需要的最基本概念（集合、映射、整数的一些性质、数环和数域）和方法（数学归纳法、反证法）.所需位置不同,可根据课时安排及进度分散处理.如集合、整数的一些整除性质、数学归纳法、数环和数域可先讲,映射可放在线性空间前讲.2．从内容上讲,除集合中的卡氏积的概念及数环、数域的概念外,其它内容是学生在中学数学当中熟知的,只不过是将有关内容的系统化、理论化（如整数的整除性、映射、数学归纳法,其在中学中熟知其一些事实,今在理论上加以严密论证）.3．新的知识点是集合的卡氏积、数环、数域的概念,数学归纳法作为定理的论证.4．学习本部分的难点是：从概念出发进行推理论证,这需要从具体例子引导训练,逐步培养.二重点、难点1. 重点在于所有基本概念,特别是引入的新概念.2. 难点是可逆映射、整数的整除性、数学归纳法本身的证明.1．1 集合一教学思考1．集合可以作为不定义的概念来处理,有些教材上给出了一个简单刻化.2．确定一个集合A,就是要确定哪些是集合的元素,哪些不是集合的元素.说明一个集合包含哪些元素时,常用“列举法”、“示性法”（描述法）.3．中学代数大部分的内容是计算,因此一开始遇到证明题时,往往不知从何入手,此需注意培养学生的推理能力,这里应通过证明“集合相等”来加强这方面的训练.4．为稍拓宽知识,可讲解一下补集、幂集等概念.二重点、要求1．重点、难点：卡氏积的概念及从概念出发（集合相等、子集等）进行推理.2．要求：使学生了解有关集合的刻化及运算,培养推理能力.三 教学过程1．集合：简称集,在此是一个不定义的原始概念,通常可给出如下描述性的解释：即所谓集合,是指由某些确定的事物（或具有某种性质的事物）组成的集体.其中每个事物称为这个集合的元素.常用大写字母A 、B 、C K 表示集合,用小写字母a 、b 、c K 表示集合的元素.若a 是集合A 的元素,就说a 属于A,记作A a ∈,或者说A 包含a.若a 不是集合A 的元素,就说a 不属于A,记作a ∉A,或者说A 不包含a.常采用两种方法：（1）列举法：列出集合的所有元素（包括利用一定的规律列出无限集）的方法.如{}K ,3,2,1=A . （2）示性法（描述法）：给出集合所具有的特征性质.如{}043|2=-+=x x x B 表示方程0432=-+x x 的解集.2．集合的分类（按所含元素的个数分）：有限集：只含有有限多个元素的集合.无限集：由无限多个元素组成的集合.空集：不含任何元素的集合.用Φ表示.约定：Φ是任何集合的子集.3．集合间的关系：（1） 设A 、B 是两个集合.子集：若A 的每个元素都是B 的元素,则称A 是B 的子集.（即若""B x A x ∈⇒∈∀）.记作B A ⊆（读作A 属于B ）；或者A B ⊇（读作B 包含A ）.相等：若集合A 和B 是由完全相同的元素组成的,则称A 与B 相等,记为A=B.（2）性质：（由定义易得）A ）A A ⊆；（反身性）B ）若C A C B B A ⊆⇒⊆⊆,；（传递性）C ）B A ⊆且A B ⊆⇒A=B.（反对称性）4．几个常用的数集（略）5．集合的运算（由两个集合得到一个新的集合）——交、并、补、卡氏积：设A 、B 是两个集合（1）并：由A 的一切元素和B 的一切元素组成的集合叫做A 与B 的并集,简称并.记作B A Y .即{}B x A x x B A ∈∈=或,|Y .（2）交：由集合A 与B 的公共元素组成的集合,叫做A 与B 的交集,简称交.记作B A I .即{}B x A x x B A ∈∈=但,|I . （3）余（差、补）：由一切属于A 而不属于B 的元素组成的集合,叫做B 在A 中的余（补）集,或称为A 与B 的差集.记作A-B.即{}B x A x x B A ∉∈=-,|.（4）积（卡氏积）：由一切元素对),(b a 所成的集合称为A 与B 的笛卡儿积（简称为积）.其中第一个位置的元素取自A,第二个位置的元素取自B.记为B A ⨯.即{}B b A a b a B A ∈∈=⨯,|),(.1．2 映 射一 教学思考 1．映射是近代数学中的一个基本概念.为使本部分内容更加系统化,可作必要的调整及层次化,按映射的概念（包括相等）及例子、映射的合成、几种特殊的映射来处理.2．概念多且成系列,注意 帮助学生弄清概念的实质（包括概念的转述、注释、否定概念的描述、以及新概念与已有概念的联系,如映射的合成是函数与函数的合成的概念的推广）,注意训练从定义验证有关问题（给定一个法则是否为映射、分辨一个映射是不是单射、满射、可逆映射）的方法,语言要准确、清楚、有条理.同时初步领会怎样举例——包括正例和反例（内容与作业中皆有此问题）.二 内容、重点、要求1． 内容：映射、单、满、双（可逆）映射的概念、映射的合成等.2． 重点：映射及有关概念,举例及由定义验证有关问题的方法.3． 要求：理解并记住上述概念,学会举例与用定义的条件进行验证问题的方法.三 教学过程1．概念与例子定义1. 设A 、B 是两个非空集合,A 到B 的一个映射指的是一个对应法则,通过这个法则,对于,x A y B ∀∈∃∈与它唯一对应.例子：（1）对,,Z n Z ∈∀令n n f 2)(=.（2）{}2)(,.0|,x x f R x x x B R A =∈∀≥==. （3）{}14,43,32,21:.,4,3,2,1ααααf B A ==.（4）*设A 是任一集合,对x x f A x =∈∀)(,.这是A 到自身的一个映射（称为A 的变换）,称为恒等映射（此为恒等变换）,记为A j . 定义2. 设B A g B A f →→:,:都是A 到B 的映射,若对,A x ∈∀都有)()(x g x f =,则称映射f 与g 相等,记为g f =. 如：2,:;,:x x R R g x x R R f αα→→.有g f =.2．映射的合成（1）定义3. 设C B g B A f →→:,:是两个映射,对A x ∈∀,有B x f ∈)(,从而C x f g ∈))((,这样,对,A x ∈∀就有C 中唯一的))((x f g 与之对应,就得到A 到C 的一个映射,这个映射是由:f A B →和C B g →:所决定的,称为f 与g 的合成.记作f g ο.即：))((,:x f g x C A f g αο→.例子：x x R R g x x R R f sin ,:;,:2αα→→ .则 x x R R g f x x R R f g 22sin ,:;sin ,:αοαο→→.（2）映射合成满足结合律：设,:,:,:D C h C B g B A f →→→则由合成映射的定义可得D A →的两个映射：f g h f g h οοοο)(),(,则f g h f g h οοοο)()(=.3．几类特殊映射定义4. 设,:B A f →对,A x ∈∀有B x f ∈)(,则所有这样的象所作成B 的子集,用)(A f 表示,即{}A x x f A f ∈=|)()(,叫做A 在f 下的象,或叫做映射f 的象.（1）满射: 定义5. 设B A f →:是一映射,若B A f =)(,则称f 是A 到B 上的一个映射,也称f 是一个满射.（2）单射: 定义6. 设B A f →:是一个映射,若对A x x ∈∀21,,只要21x x ≠,就有)()(21x f x f ≠,则称f 是A 到B 的一个单射,简称单射.（3）双射（1-1对应）:定义7. 若B A f →:既是单射又是满射,即1）若 A x x x x x f x f ∈∀=⇒=212121,,)()(；2）B A f =)(.则称f 是A 到B 的一个双射.特别若f 是A 到A 上的一个1-1对应,就称f 为A 的一个一一变换；有限集A 到自身的双射称为A 的一个置换.如：A j 是A 的一个一一变换,同样B j 是B 的一个一一变换.由映射合成及相等：若:f A B →,则有,A B f j f j f f ==o o .TH1.2.1令:f A B →是一个映射,则：下述两条等价：1）f 是双射；2）存在:g B A →使得,A B g f j f g j ==o o .且2）成立时,其中的g 由f 唯一决定.（4）可逆映射及其逆映射定义8. 设:f A B →,若存在:g B A →,使得,A B g f j f g j ==o o ,则称f 是可逆映射,且称g 为f 的逆映射.求其逆的方法由定理知：:f A B →可逆⇔f 是双射.而验证双射有具体方法,所以可先证f 可逆（双射）,再求其逆.而由TH1证知f 可逆时其逆唯一为:,g B A y x →a （若())f x y =（即对y B ∈,找在f 下的原象）.（5）代数运算引例：我们常说整数加法是整数的一个“代数运算”.其意思是说对任一对整数(,)a b ,有确定的唯一一个整数（通过相加）与之对应,用映射的观点来说整数加法是Z Z Z ⨯→的一个映射：:(,)a b a b ++a .同样实数乘法亦然.一般地：定义9. 设A 是一个非空集合,我们把A A A ⨯→的一个映射叫做集合A 的一个代数运算.若集合A 有代数运算σ,也说A 对σ封闭.数学归纳法一 教学思考1. 本节主要介绍了数学证明中的一种非常重要的方法——数学归纳法；对于该内容学生不感陌生,因在中学内容中曾会应用.问题在于数学归纳法自身的理论证明,为此需要一个原理——（自然数集的）最小数原理.2. 本节主要讲清最小数原理（给出分析证明及必要的说明）,以及在此基础上的数学归纳法的证明.但更重要的是归纳法的解释——从特殊认识一般的思想方法,及数学归纳法应用中的关键（第二步）的突破.二 内容、重点、要求1. 内容：最小数原理、数学归纳法（第一、第二）.2. 重点：数学归纳法的证明、应用,归纳思想的建立.3. 要求：了解最小数原理、理解数学归纳法的证明、掌握数学归纳法的应用.三 教学过程引言：现实生活中经常使用这种方法：即首先考察、研究某些个别特殊的事物,再由这些事物总结和抽象出带有一般性规律和结论.这样的方法叫归纳法.1. 数学归纳法的基础——自然数集的一个基本性质：最小数原理最小数原理：自然数集N *的任一非空子集S 必含有一个最小数,即a S ∃∈,对,c S ∀∈都有a c ≤. 2. 数学归纳法TH1.3.1（第一数学归纳法）设有一个与自然数n 有关的命题()P n ,若满足下列两条：1）当1n =时()P n 成立；2）假设n k =时成立,则当1n k =+时也成立.则命题()P n 对于一切自然数n 都成立.TH1.3.2（第二数学归纳法原理）设有一个与自然数n 有关的命题()P n ,若满足下列两条：1）当1n =时()P n 成立；2）假设命题对于一切小于k 的自然数都成立时,命题对于k 也成立.则命题()P n 对于一切自然数n 都成立.整数的一些整除性质一 教学思考1. 整数的性质是学生熟知的,本节只是将其系统化、理论化.主要从整除的定义、性质、带余除法,最大公因数及性质,互素三方面作了介绍.新的问题是有些概念较之在中学的概念有所区别,理论证明中运用最小数原理还不适应.2. 本节的目的主要为在多项式部分有与之平行的内容,助于学生对多项式类似内容的理解.作为自身的内容,需要将该部分层次化得清晰些.二 内容、重难点、要求1. 内容：整数的整除性、带余除法、最大公因数及性质、互素.2. 重难点：带余除法、最大公因数的性质定理的证明.3. 要求：掌握有关概念、证明整除的方法、反证法的运用.三 教学过程引言: 整除是研究整数性质的最基本的概念,从这个基本概念出发引进带余除法和辗转相除法,然后利用这两个工具建立了最大公因数（和最小公倍数）的理论（进一步证明了非常有用的算术基本定理）,这些都是初等数论的基本内容.注意：本节所述的概念在小学、中学是熟知的事实,但未加以严格的叙述,因而不要盲目地相当然,要从中体会严格的推理论述.此与多项式相应的问题平行,到时应对照学习.1. 整除、带余除法（1）整除A ）定义1. 设,a b Z ∈,若d Z ∃∈使得b ad =,则称a 整除b （或b 被a 整除）.用符号|a b 表示.这时a 叫做b 的一个因数,而b 叫做a 的一个倍数.若a 不整除b （即对,d Z ad b ∀∈≠）,记作|a b .B ）整除的性质：1）|,||a b b c a c ⇒； （传递性）2）|,||();a b a c a b c ⇒+3）|,|a b c Z a bc ∀∈⇒；4）由2）、3）|,,1,2,3,,|i i i i a b c Z i n a b c ∀∈=⇒∑L ；5）1|,|0,|()a a a a a Z ±±∀∈；由此任意整数a 有因数1,a ±±,它们称为a 的平凡因数； 6）若||a b a b ⇒±±；7）|a b 且|b a a b ⇒=或a b =-.（对称性）(2) 带余除法“整除”是整数间的一种关系,任意两个整数可能有这种关系,可能没有这种关系,一般地有：TH1.4.1(带余除法) 设,a b Z ∈,且0a ≠；那么,q r Z ∃∈使得b aq r =+ 且0r a ≤≤.满足上述条件的,q r 是唯一的.2. 最大公因数、互素（1）最大公因数A ）定义2. 设,,a b Z d Z ∈∈,若d 满足：1）|d a 且|d b （即d 是a 与b 的一个公因数）；2）若c Z ∈且|,||c a c b c d ⇒（即d 能被a 与b 的任一个公因数整除）.则称d 为a 与b 的一个最大公因数. 最大公因数的概念可推广至有限个整数.B ）最大公因数的存在性（及求法）TH1.4.2 任意n (2)n ≥个整数12,,,n a a a L 都有最大公因数；若d 为12,,,n a a a L 的一个最大公因数,则d -也是；12,,,n a a a L 的两个最大公因数至多相差一个符号.C ）性质TH1.4.3 设d 为12,,,n a a a L 的一个最大公因数,那么12,,,n t t t Z ∃∈L 使得1122n n d t a t a t a =+++L .略证：若120n a a a ====L ,则0d =,从而对i t Z ∀∈都有11220n n t a t a t a =+++L ；若i a 不全为0,由证明过程知结论成立.（2）互素定义3. 设,a b Z ∈,若(,)1a b =,则称,a b 互素；一般地设12,,,n a a a Z ∈L ,若12(,,,)1n a a a =L ,则称12,,,n a a a L 互素.TH1.4.4 n 个整数12,,,n a a a L 互素12,,,n t t t Z ⇔∃∈L 使得11221n n t a t a t a +++=L .3. 素数及其性质（1）定义4. 一个正整数1p >叫做一个素数,若除1,p ±±外没有其他因数.（2）性质1）若p 是一个素数,则对a Z ∀∈有(,)a p p =或(,)1a p =.（注意转换为语言叙述,证易；略）2）a Z ∀∈且0,1a ≠±；则a 可被某一素数整除.3）TH1.4.5 设p 是一个素数,,a b Z ∈,若|p ab ,则|p a 或|p b .1．5 数环和数域一 教学思考1. 数环、数域是本章引入的两个新概念,其是鉴于很多数学问题不仅与所讨论的范围（数集）有关,而且与数集所满足的运算有关.也就是说需论及所具有的运算.为体现这个问题,引入了数环、数域的概念.2. 数环、数域简而言之是分别关于加、减、乘和加、减、乘、除封闭的非空数集,这可知之联系与区别,且由于对于不同的运算的封闭性,可讨论各自具有的简单性质.3. 本节内容简洁,不难理解,需要注意的是：一、“任意数域都包含有理数域”的证法——归谬法；二、给定一个数集验证是否是数环、数域；三、关于数环、数域的深入的问题——因数环、数域都是数集,而集合有所谓的运算：交、并,那么问题是数环、数域的交、并是否仍是之从中体会“从定义出发加以验证”以及举例证明的方法.二 教学过程1. 概念定义1. 设S C ⊆且S ≠Φ,若对,a b S ∀∈都有,,a b a b ab S +-∈,则称S 是一个数环.定义2. 设F 是一个数环,若1）F 含有一个非0数；2）若,a b F ∈且0b ≠,则a Fb ∈.则称F 是一个数域.例子：1）整数集为数环,有理数集、实数集、复数集为数域.2）取定a Z ∈,令{}|S na n Z =∈,S 为数环.3）{}2|,,1S a bi a b Z i =+∈=- 是数环.4）{},F a a b Q =+∈ 是数域.2. 性质1）设S 是一个数环,则0S ∈.2）设F 是一个数域,则0,1F ∈.3）有理数域是最小的数域（在集合包含意义下）TH1.5.1 任何数域都包含有理数域Q .。
