第3章力矩与平面力偶系
教学提示：本章主要研究力矩、力偶和平面力偶系的理论。这都是有关力的转动效应的基本知识，在理论研究和工程实际应用中都有重要的意义。
教学要求：本章让学生掌握力矩、力偶和平面力偶系的概念，掌握力对点之矩的两种求解方法，即直接作力臂的方法与利用合力矩定理求解的方法，掌握平面力偶的性质及平面力偶系的合成与平衡条件，会利用平衡条件求解约束反力。
力对点之矩
1.力矩的概念
力不仅可以改变物体的移动状态，而且还能改变物体的转动状态。力使物体绕某点转动的力学效应，称为力对该点之矩。以扳手旋转螺母为例，如图3－1所示，设螺母能绕点O转动。由经验可知，螺母能否旋动，不仅取决于作用在扳手上的力F的大小，而且还与点O到F的作用线的垂直距离d有关。因此，用F与d的乘积作为力F使螺母绕点O转动效应的量度。其中距离d称为F对O 点的力臂，点O称为矩心。由于转动有逆时针和顺时针两个转向，则力F对O 点之矩定义为：力的大小F与力臂d的乘积冠以适当的正负号，以符号m o(F)表示，记为
m o(F)＝±Fh（3－1）通常规定：力使物体绕矩心逆时针方向转动时，力矩为正，反之为负。
图
由图3－1可见，力F对O点之矩的大小，也可以用三角形OAB的面积的两倍表示，即
m o(F)＝±2ΔABC（3－2）在国际单位制中，力矩的单位是牛顿?米（N?m）或千牛顿?米（kN?m）。
由上述分析可得力矩的性质：
（1）力对点之矩，不仅取决于力的大小，还与矩心的位置有关。力矩随矩
心的位置变化而变化。
（2）力对任一点之矩，不因该力的作用点沿其作用线移动而改变，再次说明力是滑移矢量。
（3）力的大小等于零或其作用线通过矩心时，力矩等于零。
2.合力矩定理
定理：平面汇交力系的合力对其平面内任一点的矩等于所有各分力对同一点之矩的代数和。
m o(F R)＝m o(F1)＋m o(F2)＋…＋m o(F n)
即
m o(F R)＝Σm o(F)（3－3）
上式称为合力矩定理。合力矩定理建立了合力对点之矩与分力对同一点之矩的关系。这个定理也适用于有合力的其它力系。
例试计算图中力对A点之矩。
图
解本题有两种解法。
（1）由力矩的定义计算力F对A点之矩。
先求力臂d。由图中几何关系有：
d=ADsinα=(AB-DB)sinα=(AB-BCctg)sinα=(a-bctgα)sinα=asinα-bcosα
所以
m A(F)=F?d=F(asinα-bcosα)
（2）根据合力矩定理计算力F对A点之矩。
将力F在C点分解为两个正交的分力和，由合力矩定理可得
m A(F)= m A(F x)+ m A(F y)=－F x?b+ F y?a=－F(bcosα＋asinα) =F(asinα-bcosα)
本例两种解法的计算结果是相同的，当力臂不易确定时，用后一种方法较为简便。
力偶和力偶矩
1.力偶和力偶矩
在日常生活和工程实际中经常见到物体受动两个大小相等、方向相反，但不在同一直线上的两个平行力作用的情况。例如，司机转动驾驶汽车时两手作用在方向盘上的力（图3.3a）；工人用丝锥攻螺纹时两手加在扳手上的力（图）；以及用两个手指拧动水龙头（图3.3c）所加的力等等。在力学中把这样一对等值、反向而不共线的平行力称为力偶，用符号( F ,F′)表示。两个力作用线之间的垂直距离称为力偶臂，两个力作用线所决定的平面称为力偶的作用面。
图
实验表明，力偶对物体只能产生转动效应，且当力愈大或力偶臂愈大时，力偶使刚体转动效应就愈显著。因此，力偶对物体的转动效应取决于：力偶中力的大小、力偶的转向以及力偶臂的大小。在平面问题中，将力偶中的一个力的大小和力偶臂的乘积Fd加上适当的符号，作为力偶对刚体转动效应的量度，称为力偶矩，用M或M( F ,F′)表示，即
M＝±F?d (3-4)
式中的正负号表示力偶使刚体转动的方向，通常规定：力偶使物体逆时针方向转动时，力偶矩为正，反之为负。力偶矩的单位与力矩的单位相同，在国际单位制中，力矩的单位是牛顿?米（N?m）或千牛顿?米（kN?m）。
力偶是由两个力组成的特殊力系，它的作用只改变物体的转动状态。力偶对物体的转动效应用力偶矩来度量。平面力偶对物体的作用效应由以下两个因素决定：
(1) 力偶矩的大小；
(2) 力偶在作用面内的转向。
2.力偶的基本性质及等效条件
力和力偶是静力学中两个基本要素。力偶与力具有不同的性质：
性质一力偶不能简化为一个力，即力偶不能用一个力等效替代。因此力偶不能与一个力平衡，力偶只能与力偶平衡。
性质二力偶对其作在平面内任一点的矩恒等于力偶矩，与矩心位置无关。
图
如图所示，力偶( F ,F′)的力偶矩m(F)＝F?d在其作用面内任取一点O为矩心，因为力使物体转动效应用力对点之矩量度，因此力偶的转动效应可用力偶中的两个力对其作用面内任何一点的矩的代数和来量度。设O到力F′的垂直距离为x，则力偶( F ,F′)对于点O的矩为
m o( F ,F′)= m o( F )+ m o( F′)= F（x+d）-F′x=F?d = m 所得结果表明，不论点O选在何处，其结果都不会变，即力偶对其作用面内任一点的矩总等于力偶矩。所以力偶对物体的转动效应总取决于力偶矩（包括大小和转向），而与矩心位置无关。
由上述分析得到如下结论：
在同一平面内的两个力偶，只要两力偶的力偶矩相等，则这两个力偶等效。这就是平面力偶的等效条件。
根据力偶的等效性，可得出下面两个推论：
推论1力偶可在其作用面内任意移动或转动，而不会改变它对物体的作用效应。
推论2只要保持力偶矩不变，可同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长度，而不会改变它对物体的作用效应。
由力偶的等效性可知，力偶对物体的作用，完全取决于力偶矩的大小和转向。因此，力偶可以用一带箭头的弧线来表示如图所求，其中箭头表示力偶的转向，m表示力偶矩的大小。
图
平面力偶系的合成与平衡条件
1.平面力偶系的合成
作用在刚体同一平面内的各个力偶，称为平面力偶系。
设作用于刚体的同一平面内的三个力偶( F1,F1′) ( F2,F2′) 和( F3,F3′)，如图所示。各力偶矩分别为：
m1＝F1?d1，m2＝F2?d2，m3＝－F3?d3，
图
在力偶作用面内任取一线段AB＝d，按力偶等效条件，将这三个力偶都等效地改为以为d力偶臂的力偶( P1,P1′) ( P2,P2′) 和( P3,P3′)。如图所示。由等效条件可知
P1?d=F 1?d1，P2?d＝F2?d2，－P3?d＝－F3?d3则等效变换后的三个力偶的力的大小可求出。
然后移转各力偶，使它们的力偶臂都与AB重合，则原平面力偶系变换为作用于点A、B的两个共线力系（图）。将这两个共线力系分别合成，得
F R＝P1＋P2－p3
F R′＝P1′＋P2′－P3′
可见，力F R与F R′等值、反向作用线平行但不共线，构成一新的力偶（F R，F R′），如图所示。为偶（F R，F R′）称为原来的三个力偶的合力偶。用M表示此合力偶矩，则M＝F R d＝（P1＋P2－P3）d= P1?d+P2?d－P3?d=F 1?d1+F2?d2－F3?d3
所以M＝m1＋m2＋m3
若作用在同一平面内有n个力偶，则上式可以推广为
M＝m1＋m2＋…＋m n＝Σm （3－5）
由此可得到如下结论：
平面力偶系可以合成为一合力偶，此合力偶的力偶矩等于力偶系中各分力
偶的力偶矩的代数和。
2.平面力偶系的平衡条件
平面力偶系中可以用它的合力偶等效代替，因此，若合力偶矩等于零，则原力系必定平衡；反之若原力偶系平衡，则合力偶矩必等于零。由此可得到平面力偶系平衡的必要与充分条件：平面力偶系中所有各力偶的力偶矩的代数和等于零。 即
Σm ＝0 （3－6）
平面力偶系有一个平衡方程，可以求解一个未知量。
例 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径的孔,每个钻头的力偶矩为 ,求工件的总切削力偶矩和A 、B 端水平反力
图
解: 各力偶的合力偶矩为
由力偶只能与力偶平衡的性质，力A N 与力 B N 组成一力偶。
根据平面力偶系平衡方程有: 例 一平行轴减速箱如图所示，所受的力可视为都在图示平面内。减速箱输
入轴I 上作用一力偶，其矩为500-1=m N ·m ；输出轴II 上作用一反力偶，其矩为
20002=m N ·m 。设AB 间距80=l cm ，不计减速箱重量。试求螺栓A 、B 以
及支承面所受的力。
图
m N m m m m ?====154
3
2
1
m
N 60)15(4 4321?-=-?=+++=m m m m M 0
2.04321=----?m m m m N B
N
3002
.060==∴B N N
300==∴B A N N
解：取减速箱为研究对象。减速箱除受1m 、2m 的两个力偶矩作用外，还受到螺栓与支承面的约束力的作用。因为力偶必须用力偶来平衡，故这些约束力也必定组成一力偶，A 、B 处的约束反力方向如图所示，且B A F F =。
根据平面力偶系的平衡条件，列平衡方程
∑==n
i i
m
1
0 021=-+l F m m A
18758
.02000
50021=+-=+=
l m m F A N 得1875==B A F F N
约束力A F 及B F 分别由A 处支承面和B 处螺栓产生。其中A F 是支承面的反作用力，因而，A 处支承面受压力，B 处螺栓受拉力。
例 如图所示，电动机轴通过联轴器与工作轴相连，联轴器上4个螺栓A 、B 、C 、D 的孔心均匀地分布在同一圆周上，此圆的直径d ＝150mm ，电动机轴传给联轴器的力偶矩m ＝ kN ?m ，试求每个螺栓所受的力为多少
图
解 取联轴器为研究对象，作用于联轴器上的力有电动机传给联轴器的力偶，每个螺栓的反力，受力图如图所示。设4个螺栓的受力均匀，即F 1＝F 2＝F 3＝F 4＝F ，则组成两个力偶并与电动机传给联轴器的力偶平衡。
由 Σm ＝0， m －F ×AC －F ×d ＝0 解得
本章小结
本章研究了平面力偶系的合成和平衡问题：
1.本章让学生掌握力矩、力偶和平面力偶系的概念，掌握力对点之矩的两种求解方法，即直接作力臂的方法与利用合力矩定理求解的方法，掌握平面力偶的性质及平面力偶系的合成与平衡条件，会利用平衡条件求解约束反力。
2.力偶系的合成和平衡应用下面公式进行求解
∑==n
i i
m M 1
∑==n
i i
m
1
习 题
将图所示A 点的力F 沿作用线移至B 点，是否改变该力对O 点之矩
图 图
一矩形钢板放在水平地面上，其边长a ＝3m ，b ＝2m （如图所示）。按图示方向加力，转动钢板需要P ＝P ′＝250N 。试问如何加力才能使转动钢板所用的力最小，并求这个最小力的大小。
一力偶( F 1 ,F 1′)作用在Oxy 平面内，另一力偶( F 2 ,F 2′)作用在Oyz 平面内，力偶矩之绝对值相等（图），试问两力偶是否等效为什么
图
图中四个力作用在某物体同一平面上A 、B 、C 、D 四点上（ABCD 为一矩形），若四个力的力矢恰好首尾相接，这时物体平衡吗为什么
图
力偶不能与一力平衡，那么如何解释图所示的平衡现象
图
试计算图中力F对点O的矩。
图
如图所示，简支梁AB受集中载荷F。若已知10
F KN，求支座A、B二处的约束反力。
图
如图所示，已知梁AB上作用一力偶，力偶矩为M，梁长为l。求出图(a)、(b)、(c)三种情况下，支座A和B的约束反力。
图
如图所示用多轴钻床在一工件上同时钻出4个直径相同的孔，每一钻头作用于工件的钻削力偶，其矩的估计值20=M N ·m 。求作用于工件的总的钻削力偶矩。如工件用两个圆柱销钉A 、B 来固定，4.0=b m 。设钻削力偶矩由销钉的反力来平衡，求销钉A 、B 反力的大小。
图
杆AB 以铰链B 和折杆BC 支持，如图所示。AB 杆上作用力偶M ，a AC AB ==，杆的自重不计。求铰链A 、C 的约束反力。
图
四连杆机构OABD 在图所示位置平衡。已知：5.0=OA m ，0.1=BD m ，作用在OA 上的力偶的力偶矩101=M N ·m 。各杆的重量不计，试求力偶矩2M 的大小和杆AB 所受的力AB F 。
图
曲柄连杆活塞机构的活塞上受作用力600
P N。如不计所有构件的重量，问
在曲柄上应加多大的力偶M，方能使机构在图所示位置平衡
图
第五节力矩和平面力偶系 一、力矩 1．力矩概念 力对刚体的移动效应取决于力的大小、方向和作用线；而力对刚体的转动效应则用力矩来度量。实践告诉我们，用扳手拧（转动）螺母时，见图7-18a，其转动效应取决于力F的大小、方向（扳手的旋向〕以及力F到转动中心O的距离h。 a) b) 图7-18 力矩概念 一般情况下，刚体在图示平面内受力F作用，见图7-18b，并绕某一点O转动，则点O称为矩心，矩心O到力F作用线的距离h称为力臂，乘积F·h并加上适当的正负号称为力对O点之矩，简称力矩，用符号M O（F）或M O表示。即 M O＝M O（F）＝±Fh （7-9） 力矩的正、负号规定如下：力使刚体绕矩心作逆时针方向转动时为正，反之为负。因此，力矩是一个与矩心位置有关的代数量。力矩的单位为N·m。 2．合力矩定理 设刚体受到一合力为F的平面力系F1，F2，…，F n的作用，在平面内任取一点O为矩心，由于合力与整个力系等效，所以合力对O点的矩一定等于各个分力对O点之矩的代数和（证明从略），这一结论称为合力矩定理。记为 M O（F）＝M O（F1）＋M O（F2）＋…＋M O（F n）＝ΣM O（F i）（7-10） 或M O＝M O l＋M O2＋…＋M O n＝ΣM Oi=ΣM O 例7-4图7-19所示为一渐开线（在平面上，一条动直线（发生线）沿着一个固定的圆（基圆）作纯滚动时，此动直线上一点的轨迹）直齿圆柱齿轮，其齿廓在分度圆上的P点处受到一法向力F n的作用，且已知F n＝1000N，分度圆直径d＝200mm，分度圆压力角(P点处的压力角)α＝20°，试求力F n对轮心O点之矩。
第3章力矩与平面力偶系 教学提示：本章主要研究力矩、力偶和平面力偶系的理论。这都是有关力的转动效应的基本知识，在理论研究和工程实际应用中都有重要的意义。 教学要求：本章让学生掌握力矩、力偶和平面力偶系的概念，掌握力对点之矩的两种求解方法，即直接作力臂的方法与利用合力矩定理求解的方法，掌握平面力偶的性质及平面力偶系的合成与平衡条件，会利用平衡条件求解约束反力。 力对点之矩 1.力矩的概念 力不仅可以改变物体的移动状态，而且还能改变物体的转动状态。力使物体绕某点转动的力学效应，称为力对该点之矩。以扳手旋转螺母为例，如图3－1所示，设螺母能绕点O转动。由经验可知，螺母能否旋动，不仅取决于作用在扳手上的力F的大小，而且还与点O到F的作用线的垂直距离d有关。因此，用F与d的乘积作为力F使螺母绕点O转动效应的量度。其中距离d称为F对O 点的力臂，点O称为矩心。由于转动有逆时针和顺时针两个转向，则力F对O 点之矩定义为：力的大小F与力臂d的乘积冠以适当的正负号，以符号m o(F)表示，记为 m o(F)＝±Fh（3－1）通常规定：力使物体绕矩心逆时针方向转动时，力矩为正，反之为负。 图 由图3－1可见，力F对O点之矩的大小，也可以用三角形OAB的面积的两倍表示，即 m o(F)＝±2ΔABC（3－2）在国际单位制中，力矩的单位是牛顿?米（N?m）或千牛顿?米（kN?m）。 由上述分析可得力矩的性质： （1）力对点之矩，不仅取决于力的大小，还与矩心的位置有关。力矩随矩
心的位置变化而变化。 （2）力对任一点之矩，不因该力的作用点沿其作用线移动而改变，再次说明力是滑移矢量。 （3）力的大小等于零或其作用线通过矩心时，力矩等于零。 2.合力矩定理 定理：平面汇交力系的合力对其平面内任一点的矩等于所有各分力对同一点之矩的代数和。 m o(F R)＝m o(F1)＋m o(F2)＋…＋m o(F n) 即 m o(F R)＝Σm o(F)（3－3） 上式称为合力矩定理。合力矩定理建立了合力对点之矩与分力对同一点之矩的关系。这个定理也适用于有合力的其它力系。 例试计算图中力对A点之矩。 图 解本题有两种解法。 （1）由力矩的定义计算力F对A点之矩。 先求力臂d。由图中几何关系有： d=ADsinα=(AB-DB)sinα=(AB-BCctg)sinα=(a-bctgα)sinα=asinα-bcosα 所以 m A(F)=F?d=F(asinα-bcosα) （2）根据合力矩定理计算力F对A点之矩。 将力F在C点分解为两个正交的分力和，由合力矩定理可得 m A(F)= m A(F x)+ m A(F y)=－F x?b+ F y?a=－F(bcosα＋asinα) =F(asinα-bcosα) 本例两种解法的计算结果是相同的，当力臂不易确定时，用后一种方法较为简便。 力偶和力偶矩
第三章 力矩 平面力偶系 一、目的要求 1.能够熟练运算力对平面内一点的力矩。 2.深入理解力偶和力偶矩的概念，明确平面力偶的性质和平面力偶的等效条件。 3.掌握平面力偶系的平衡条件，能计算在平面力偶系作用下物体的平衡问题。 二、主要内容 课前提问 1、在正交坐标轴上的投影与力沿这两个轴的分力有何区别？又有何关系？ 2、有人说："作用于刚体上的平面力系，若其力多边形自行封闭，则此刚体静止不动"。试问这种说法是否正确？为什么？ 3、力对点之矩矢、力偶矩矢三者各有什么特点？ 4、根据各物体系的结构和主动力，指出二力构件。 第一节 力对点之矩 （一）、力对点之矩 力对刚体的作用效应使刚体的运动状态（移动和转动） 改变，其中移动效应可以用力来度量，而转动部分则需要另一个物理量来表示，即力矩。 力矩用)(F o M 来表示，其中F 代表产生力矩之力，o 代表力矩的中心，即矩心，M 代表力矩，所以完整的意思是：力F 对点O 之矩。 ()OAB S Fh M ?±=±= 2F o
OAB S ?代表三角形OAB 的面积。 （二）、平面汇交力系的合力矩定理 力矩有如下特点： 1． 力矩不仅决定于力的大小，还和力臂有关。 2． 力矩不因为力沿作用线移动而发生改变。 3． 如果力的作用线通过矩心，力臂为零，它对矩心的力矩也等于零。 4． 互为平衡的两个力对同一点的力矩的代数和为零。 合力矩定理 平面汇交力系的合力对于平面内任一点之矩等于所有各分力对于该点之矩的代数和。即 ()()∑= F R o o M M 有()yX xY M -= F o ，对于合力来说有：()∑ =-=n i i i i i X y Y x M 1 R o 。 例一：试计算图中力F 对点O 之矩。 例二、如图所示，圆的半径为r ，角α、β、γ 均为已知，力F 与圆共面，试求力F 对点A 的矩。 第二节 平面力偶系 （一）、力偶与力偶矩 由两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的力系，称为力偶。力偶是由两个力 组成的特殊力系，它的作用只改变物体的转动状态。因此，需要引入力偶矩的概念。力偶矩的大小等于两个力产生矩的代数和。由于两个力的作用线相同，方向相反，力的大
力矩与平面力偶系 2.2.1 力对点之矩(简称为力矩) 1.力对点之矩的概念 为了描述力对刚体运动的转动效应，引入力对点之矩的概念。 （F）来表示，即 力对点之矩用M O Mo(F) = ± Fd 一般地，设平面上作用一力F，在平面内任取一点O——矩心，O点到力作用线的垂直距离d称为力臂。 Mo(F) = ± 2△OAB
力对点之矩是一代数量，式中的正负号用来表明力矩的转动方向。矩心不同，力矩不同。 规定：力使物体绕矩心作逆时针方向转动时，力矩取正号；反之，取负号。 力矩的单位是Nmm。 由力矩的定义可知： （1）若将力F沿其作用线移动，则因为力的大小、方向和力臂都没有改变，所以不会改变该力对某一矩心的力矩。 （2）若F=0，则Mo(F) = 0；若Mo(F) = 0，F≠0，则d=0，即力F通过O点。 力矩等于零的条件是：力等于零或力的作用线通过矩心。 2.合力矩定理 设在物体上A点作用有平面汇交力系F 1、F 2 、---F n ，该力的合力F可由汇交力系 的合成求得。
计算力系中各力对平面内任一点O的矩，令OA=l，则 --- 由上图可以看出，合力F对O点的矩为 据合力投影定理，有 F y=F1y+F2y+---+F ny 两边同乘以l，得 F y l=F1y l+F2y l+---+F ny l 即 M o(F)=M o(F1)+M o(F2)+---+M o(F n) 合力矩定理：平面汇交力系的合力对平面内任意一点之矩，等于其所有分力对同一点的力矩的代数和。
3 .力对点之矩的求法(力矩的求法) （1）用力矩的定义式，即用力和力臂的乘积求力矩。 注意：力臂d 是矩心到力 作用线的距离，即力臂必须垂直于力的作用线。 例2-3 如图所示，构件OBC 的O 端为铰链支座约束，力F 作用于C 点，其方向角为α，又知OB=l ，BC=h ，求力F 对O 点的力矩。 解 （1）利用力矩的定义进行求解
力矩与平面力偶系 第一节 力对点之矩 力对点的矩是很早以前人们在使用杠杆、滑车、绞盘等机械搬运或提升重物时所形成的一个概念。现以板手拧螺母为例来说明。如图3－1所示，在板手的A 点施加一力F ，将使板手和螺母一起绕螺钉中心O 转动，这就是说，力有使物体（扳手）产生转动的效应。实践经验表明，扳手的转动效果不仅与力F 的大小有关，而且还与点O 到力作用线的垂直距离d 有关。当d 保持不变时，力F 越大，转动越快。当力F 不变时，d 值越大，转动也越快。若改变力的作用方向，则扳手的转动方向就会发生改变，因此，我们用F 与d 的乘积再冠以适当的正负号来表示力F 使物体绕O 点转动的效应，并称为力F 对O 点之矩，简称力矩，以符号M O （F ）表示，即 d F F M ?±=)(O （3－1） O 点称为转动中心，简称矩心。矩心O 到力作用线的垂直距离d 称为力臂。 式中的正负号表示力矩的转向。通常规定：力使物体绕矩心作逆时针方向转动时，力矩为正，反之为负。在平面力系中，力矩或为正值，或为负值，因此，力矩可视为代数量。 由图3－2可以看出，力对点之矩还可以用以矩心为顶点，以力矢量为底边所构成的三角形的面积的二倍来表示。即 面积OAB 2)(O ?±=F M （3－2） 显然，力矩在下列两种情况下等于零：（1）力等于零；（2）力的作用线通过矩心，即力臂等于零。 力矩的单位是牛顿?米（N ?m ）或千牛顿?米（kN ?m ） 【例3－1】 分别计算图3－3所示的F 1、F 2对O 点的力矩。 【解】：由式（3－1），有 m kN 455.130)(m kN 530sin 110)(222O 111O ?-=?-=?-=?=? ??=?=d F F M d F F M 第二节 合力矩定理 图3-1