数值计算方法 第二章

a12 a22 (2) 0 0
a13 a23(2) a33(3) 0
a1n a2 n (2) (3) a3n A( n ) 0 ann ( n )
(2) (3) (k) ( n) 关键a11 , a22 , a33 ,, akk , ann 0 可用归纳法说明！ :
第一部分 直接解法 Gauss主元素消去法
矩阵的三角分解法
平方根法与改进6 12 x1 3x2 3x3 15 18 x 3 x x 15 1 2 3
解：
先消后两个方程的x1,得同解方程组
x1 x2 x3 6 15 x2 9 x3 57 21x2 17 x3 93
a2 n (2) ( k 1) ak 1,k ( k 1) ann a1n
det Ai( k 1) 0,(i 1, 2,, n 1) 且
由数学归纳法，存在初等方阵L1,L2,…,Ln-1, 使得
A( n)
a11 a12 a22 (2) Ln1 L2 L1 A 0 a13 ak ,k ( k ) a1n a2 n (2) ak ,n ( k ) (n) an ,n
选取 的
下面举例来说明高斯消 去法。
例1 用高斯消去法解方程组
1 2 3 x1 14 0 1 2 x 8 2 2 4 1 x3 13
解 对增广矩阵进行初等变 换
14 1 2 3 14 1 2 3 0 1 2 8 r0 1 2 ( 2 ) r 8 2 4 1 13 0 0 5 15

《数值计算方法》复习资料课程的性质与任务数值计算方法是一门应用性很强的基础课，在学习高等数学，线性代数和算法语言的基础上，通过本课程的学习及上机实习、使学生正确理解有关的基本概念和理论，掌握常用的基本数值方法，培养应用计算机从事科学与工程计算的能力，为以后的学习及应用打下良好基础。

第一章数值计算方法与误差分析一考核知识点误差的来源类型；绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字；绝对误差的传播。

二复习要求1. 知道产生误差的主要来源。

2. 了解绝对误差和绝对误差限、相对误差和相对误差限和有效数字等概念以及它们之间的关系。

3. 知道四则运算中的误差传播公式。

三例题例1设x*= =3.1415926…近似值x=3.14＝0.314×101,即m=1，它的绝对误差是－0.001 592 6…，有即n=3，故x=3.14有3位有效数字.x=3.14准确到小数点后第2位.又近似值x=3.1416，它的绝对误差是0.0000074…，有即m=1,n＝5，x=3.1416有5位有效数字.而近似值x=3.1415，它的绝对误差是0.0000926…，有即m=1,n＝4，x=3.1415有4位有效数字.这就是说某数有s位数，若末位数字是四舍五入得到的，那么该数有s位有效数字；例2 指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限：2.000 4 －0.002 00 9 000 9 000.00=2.000 4＝0.200 04×101, 它的绝对误差限0.000 05=0.5×10 1―5，即解因为x1m=1,n=5,故x=2.000 4有5位有效数字. a=2，相对误差限1x 2=－0.002 00，绝对误差限0.000 005，因为m =－2，n=3，x 2=－0.002 00有3位有效数字. a 1=2，相对误差限εr ==0.002 5x 3=9 000，绝对误差限为0.5×100，因为m =4, n=4, x 3=9 000有4位有效数字，a =9，相对误差限εr ＝＝0.000 056x 4=9 000.00，绝对误差限0.005，因为m =4，n=6，x 4=9 000.00有6位有效数字，相对误差限为εr ＝＝0.000 000 56由x 3与x 4可以看到小数点之后的0，不是可有可无的，它是有实际意义的. 例3 ln2=0.69314718…，精确到10－3的近似值是多少？解 精确到10－3＝0.001，意旨两个近似值x 1,x 2满足，由于近似值都是四舍五入得到的，要求满足，近似值的绝对误差限应是ε＝0.0005,故至少要保留小数点后三位才可以。

x [1,2]
所以 ( x)是区间 [a, b]上严格单调增函数。
例题
而 (1) 3 2 1 ， (2) 3 3 2
即[ (1), (2)][1,2]，所以 ( x)满足条件（ 1 ）。
又 1 | ' ( x) || ( x 1) 3
2 3
|
1 3 4
(1) ( 2) 输入 : 有根区间 [a, b]的a, b值及精度控制量 ; if f ( a ) f (b) 0 then 返回第 1步, 重新
输入a, b值else转第3步; (3) while | a b | 时做 1 1)令x ( a b), 计算f ( x); 2 2)if f (a) f ( x) 0 then else endwhile; ( 4)输出x 1 ( a b). 2 [ a, b][ a, x]; [ a, b][ x, b].
a x13 1.365173390 本题的精确解为： a 1.36523001 ... 故绝对误差( x) x* x 0.000056 ... 二分法的区间每次只缩 小一半，因此它是一种 收敛 速度很慢的方法。
等步长扫描法求有根区间

用计算机求有根区间：等步长扫描法。 设h>0是给定的步长，取 x0 a, x1 a h ，
f ( x0 ) f ( x1 ) 0
若
则扫描成功；否则令
x0 x1 , x1 x0 h ，继续上述方法，直到成
功。如果 x1 b 则扫描失败。再将h 缩小，
继续以上步骤。
等步长扫描算法
算法：（求方程 f ( x) 0 的有根区间） (1) 输入 a, b, h ； (2) f 0 f (a) ； (3) x a h, f1 f ( x)，若 x b 输出失败信息， 停机。 (4)若 f1 0。输出 x ，已算出方程的一个根，停 机。

（2）计算
f
(
a
2
b)
。
（3）若
f
(
a
2
b
)
0
，计算停止；若
f
(
a
2
b
)
f
(a)
0
，用
若
f
(
a
2
b)
f
(b)
0
，以
a
2
b
代替
a
。
a
2
b
代替
b
；
（4）反复执行第二步与第三步，直到区间长缩小到允许误差范围
之内，此时区间中点即可作为所求的近似解。
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证明方程 x3 3x2 6x 1 0 在区间（0，1）内有唯一的实根，并
在[－1,－0.25]，[0.5，1.25]，[1.25，2]各区间内至少有一个实根。
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2.1.3 区间二分法
定理 函数f(x)在[a,b]上单调连续，且f(a)f(b)<0， 则方程f(x)=0在区间[a,b]上有且仅有一个实根x*。
二分法的基本思想 将有根的区间二分为两个小区间，然后判断根在那 个小区间，舍去无根的小区间，而把有根的小区间 再一分为二，再判断根属于哪个更小的区间，如此 反复 ，直到求出满足精度要求的近似根。
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有根区间
介值定理 若函数 f (x) 在[a, b] 连续，且
f (a) f (b) 0 ，则方程 f ( x) 0 在(a,b) 内至
少有一个实根。将[a, b] 称为 f (x) 的有根区间。
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2.1.2 逐步搜索法
假设f(x)在区间[a,b]内有一
个实根x*,若 b – a较小，则可 在(a,b)上任取一点x0作为初始 近似根。