空间解析几何数学竞赛辅导
一. 向量代数
1、已知空间中任意两点),,(1111z y x M 和),,(2222z y x M ，则向量
),,(12121221z z y y x x M M ---=→
2、已知向量),,(321a a a a =→、),,(321b b b b =→
，则 （1）向量→a 的模为232221||a a a a ++=→
（2）),,(332211b a b a b a b a ±±±=±→
→
（3）),,(321a a a a λλλλ=→ 3、向量的内积→
→?b a
（1）>
→→→→→b a b a b a ,cos |||| （2）332211b a b a b a b a ++=?→→
其中><→
→b a ,为向量→
→
b a ,的夹角，且π>≤≤<→
→b a ,0
注意：利用向量的内积可求直线与直线的夹角、直线与平面的夹角、平面与平面的夹角。
4、向量的外积→
→
?b a （遵循右手原则，且→
→
→
⊥?a b a 、→
→
→
⊥?b b a ）
3
2
1
3
21
b b b a a a k j i
b a →
→
→
→
→=? （1）3
3
2211//b a b a b a b a b a ==?
=?→
→
→
→
λ （2）00332211=++?=??⊥→
→→
→
b a b a b a b a b a
（3）几何意义： ||a b ?代表以,a b 为邻边的平行四边形的面积S ；
平面上三点11(,,0)A x y ,22(,,0)B x y ,33(,,0)C x y 构成的三角形的面积为
212131
3111
|||0|22
ABC
i
j k S
AB AC x x y y x x y y =?=---- 21
21
31
3112x x y y x x y y --=--的绝对值
也可以写成1
1223
31
1121
ABC
x y S
x y x y =的绝对值。
5. 混合积：(,,)()a b c a b c =??。 (1)注意：(,,)(,,)(,,)a b c b c a c a b ==
(2)坐标表示：1
11
2
223
3
3
(,,)()x y z a b c a b c x y z x y z =??=, 其中， ()111,,a x y z =，()222,,b x y z =, ()333,,c x y z =。
(3)几何意义：(,,)a b c 的绝对值表示以,,a b c 为三条邻边的平行六面体
的体积。
,,a b c 共面的充要条件是(,,.)0a b c =。
空间不共面的四点111(,,)A x y z ,222(,,)B x y z ,333(,,)C x y z ,
444(,,)D x y z 构成的四面体的体积为
1
11212121
2
2231
3131
3
3341
41
41
4
4
41
111
166
1
x y z x x y y z z x y z V x x y y z z x y z x x y y z z x y z ---=
=------的绝对值。 （它实际是以,,AB AC AD 为邻边的平行六面体的体积的六分之一）
例1 设径矢1r OA =, 2r OB =,
3r OC =, 证明 133221r r r r r r R
?+?+?=垂直于ABC 平面.
证明 :由于 R AB ?=)(12r r -?[)()()(133221r r r r r r ?+?+?]
=)()()()()()(131321211132322212r r r r r r r r r r r r r r r r r r ---++ =0)()(321321=-r r r r r r ,
所以 R AB ⊥.同理可证 R AC ⊥.所以 R ⊥平面ABC .
例2．设P 是球内一定点，A ，B ，C 是球面上三个动点.
2/CPA B PC APB π=∠=∠=∠. 以PA ，PB ，PC 为棱作平行六面体， 记与P 相对的顶点为Q ，求Q 点的轨迹.（见北京大学2007考研题）
二．直线与平面方程 (一)、平面
1、平面的点法式方程
已知平面过点),,(000z y x P ，且法向量为),,(C B A n =→
，则平面方程为
0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A
注意：法向量为),,(C B A n =→
垂直于平面
2、平面的一般方程0=+++D Cz By Ax ，其中法向量为),,(C B A n =→
3、求平面方程的主要方法 （1）过直线??
?=+++=+++00
2222
1111D z C y B x A D z C y B x A 的平面方程可设为
0)()(22221111=+++++++D z C y B x A D z C y B x A λ
如果直线方程是点向式或参数式可转化为上述形式处理 例（1）在过直线?
??=++=+++020
4z y x z y x 的平面中找出一个平面，使原点到它
的距离最长。
（2）平面过OZ 轴，且与平面0=-z y 的夹角为060，求该平面方程
（两平面夹角等于两法向量的夹角或两法向量的夹角的补角） （3）求过点)1,0,1(-M 和直线1
1
0122-=
-=-z y x 的平面方程 （4）过直线??
?=+-=-+083042z y z x 作平面，使它平行于直线?
??=--=--0604z y y x
(5)过平面02=+y x 和6324=++z y x 的交线作切于球面4222=++z y x 的平面
（6）求由平面0173,0122=++=+-y x z x 所构成的两面角的平分面方程 （2）利用点法式求平面方程
注意：（i ）任何垂直于平面的向量→
n 均可作为平面的法向量 （ii ）和平面0=+++D Cz By Ax 平行的平面可设为01=+++D Cz By Ax （iii ）如存在两个向量),,(321a a a a =→
、),,(321b b b b =→
和平面平行（或在
平面内），则平面的法向量为3
2
1
321
b b b a a a k j i
b a n →
→
→
→
→
→
=?= 例1（1）已知两直线为111111--=-=-z y x ，2
2
1113-=
--=-z y x ，求过两直线的平面方程
（2）求过)1,3,8(-A 和)2,7,4(B 两点，且垂直于平面02153=--+z y x 的平面
（3）一平面垂直于向量)2,1,2(且与坐标面围成的四面体体积为9，求平面方程
（4）已知球面0642222=-+-++z y x z y x 与一通过球心且与直线
??
?=-=0
z y x 垂直的平面相交，求它们的交线在xoy 面上的投影 例2．已知椭球面
122
222
2=++c
z b y a x )(b a c <<， 试求过x 轴且与椭球面的交线是圆的平面方程。
解 平面过x 轴，从而过原点，得0D =。设法向量(,,)n A B C =，
由平面过
x 轴得(,,)n A B C =与(1,0,0)i =垂直，得0A =，平面
方程：0By Cz +=。又
0y =与0z =都不符合题意，所以
0,0B C ≠≠。不妨令B
z y ky C
=-
=，它与椭球面的交线为 22222222
222222
11x y z x c b k y a b c a b c z ky z ky ??+++=+=???????==??
（1）
由于交线圆的圆心在原点，且该圆过点(,0,0),(,0,0)a a -，故该圆的方程也可表示为
22
222222211
x k
x y z a y a a z ky z ky
?+?++=+=???
?=??=?
(2)
比较（1）和（2）得
222222
21c b k k c k b c a ++=?=±，
所求平面方程为：
0±=。
(3)轨迹法求方程
方法：（i ）设平面上任一一点),,(z y x M （ii ）列出含有z y x ,,的方程化简的平面方程
例 求由平面013=++-z y x 和023=--+z y x 所构成的二面角的平分面的方程
（二）、直线 1、直线的对称式方程
过点),,(000z y x P 且方向向量为),,(321v v v v =→
直线方程
3
2010v z z v y y v x x -=-=- 注意：方向向量),,(321v v v v =→
和直线平行 2、直线的一般方程??
?=+++=+++0
22221111D z C y B x A D z C y B x A ，注意该直线为平面
01111=+++D z C y B x A 和02222=+++D z C y B x A 的交线
3、直线的参数方程??
?
??+=+=+=t
v z z t v y y t v x x 302010
4、求直线方程的主要方法
(1)把直线的一般方程化为点向式方程 方法：已知直线方程为???=+++=+++0
22221111D z C y B x A D z C y B x A ，则该直线的方向向量
为
),,(3212
2
2
111
v v v C B A C B A k
j i v ==→
→
→
→
在直线上任取一点),,(000z y x ，则直线方程为3
2010v z z v y y v x x -=-=- 例化直线的一般方程??
?=--+=-++0
1320
52z y x z y x 为标准方程
(2)根据直线的方向向量求直线方程
例（1）过点)2,1,0(M ，且平行于两相交平面013=++-z y x 和
023=--+z y x 的直线方程
（2求过点)0,4,2(M ，且与直线?
??=--=-+0230
12z y z x 平行的直线方程
（3）求过点)2,0,1(-M ，且与平面0643=+-+z y x 平行，又与直线
1
4213z
y x =+=-垂直的直线方程 注意：一直线和两直线垂直；一直线和两平面平行；一直线和一平面平行，和另一直线垂直均可确定直线的方向向量 (3)利用直线和直线的位置关系求直线方程 注意：（1）两直线平行，则3
3
2211n m n m n m ==，其中),,(321m m m 和),,(321n n n 为直线的方向向量
（2）两直线302010m z z m y y m x x -=-=-和3
1
2111n z z n y y n x x -=-=-相交，则 03
2
1
32101010
1=---=
?n n n m m m z z y y x x 且
3
3
2211n m n m n m ≠≠ （3）两直线
302010m z z m y y m x x -=-=-和3
1
2111n z z n y y n x x -=-=-异面，其中公垂线的方向向量为),,(3213
2
1321
v v v n n n m m m k
j i
v ==→
→
→
→
，则两异面直线的距离为
|
|||→?=v d ；公垂线方程为??????????
?=---=---003
2
1
3211
11321
3210
0v v v n n n z z y y x x v v v m m m z z y y x x
例（1）求通过点)1,1,1(M 且与两直线321
z y x ==和4
3
1221-=
-=-z y x 都相交的直线方程
解：设所求直线的方向向量为),,(c b a ，已知两直线的方向向量为)3,2,1(、
)4,1,2(，且分别过点)0,0,0(、)3,2,1(
则0321111=c
b a ，即02=+-
c b a ；04122
10=--c
b
a
，即02=-+c b a 故b c a 2,0==，故)2,1,0(),,(=c b a 所求直线为
2
1
1101-=
-=-z y x （2）已知两异面直线0111
+=-=z y x
和0
1
1111-=
-=-z y x ，求它们的距离与公垂线方程 （3）求与直线
1
3
7182-=
-=+z y x 平行且与下列两直线相交的直线 ??
?+=-=3465x z x z 和???+=-=5
34
2y z x z （4）求过点)3,2,1(-P 与z 轴相交，且与已知直线2
2
334--=
-=z y x 垂直的直线方程
（三）有关知识补充:
1. 不在一条直线上的三点(,,)(1,2,3)i i i i P x y z i =的平面等价于
11213,,PP PP PP 共面
?11213(,,)0PP PP PP =?1
11
2
1
212131
31
31
0x x y y z z x x y y z z x x y y z z ------=---。
2. 二条直线111:L P P tS =+, 222:L P P tS =+共面
?1212(,,)0PP S S =?
2121211112
2
2
0x x y y z z l m n l m n ---=；
于是1L 与2L 异面?
21
21211112
2
2
0x x y y z z l m n l m n ---≠。
另外：1L 与2L 相交 ?12121212(,,)0
0(PP S S S S L L ?=???=??即与不平行）
3. 点000(,,)P x y z 到平面0Ax By Cz D +++=的距离
||
Ax By Cz D d +++=
；
4. 点000(,,)P x y z 到直线L （过点(,,)A a b c ，方向向量为(,,)S l m n =）的距离
||||sin ||
||sin ||||
AP S AP S d AP S S θθ?===
|(,,)(,,)|
i j k a x b y c z l m n ---?=
=
5. 两条异面直线的公垂线方程
两条异面直线1L ,2L 的公垂线L 可以看作是过1LL 的平面与过2LL 的 平面的交线，即
11122212(,,S )0(,,S )0
P P S S P P S S ?-?=??-?=?? 写成分量的形式为
11111
12222220
0x x y y z z l m n l m n x x y y z z l m n l
m
n
?---?=????
---??=???
此处，111222()()()l,m,n l ,m ,n l ,m ,n =?。
6．两条异面直线之间的距离: 等于21P P 在上的投影，即
12121212|||(,,)|||||PP S PP S S d S S S ?==?。
例1. 直线L 的方程为：
022221111=+++=+++D z C y B x A D z C y B x A
问系数要满足什么条件，才能使得直线：
（1）过原点；（2）平行于x 轴，但不与x 轴重合；（3）与y 轴相交； （4）与z 轴重合。（见北京大学2007考研题）
例2．已知二直线111
:110
x y z L -+==-，211:212x y z L +-==- （1）说明它们异面；(2)求它们的公垂线方程；（3）求它们之间的距离。
解 （1）12121
01
(,,)110302
12
PP
S S -=-=≠-，所以异面。 （2）12110(2,2,1)212
i
j k
S S ?=-=---, 公垂线方程为
111
100221112120
2
21x y z x y z ?-+?
-=??--??
+-??-=?
--??， 即4302230x y z x y z +++=??--+=?。 （3）距离为12121212|||(,,)|3
1||||
441
PP S PP S S d S S S ?=
===?++。
同类型题：求直线?
??-=-=321
3:1z y z x l 和直线???+=-=2752:2x z x y l 的公垂
线l 的方程
及两条直线之间的距离.
解：先将给定的直线1l 及2l 的一般方程转化成对称式方程
12130052
:,:321127
x y z x y z l l ++--+-==== 再按第二题的做法。 答案：3103720111220x z x y z -+=?
?+-+=?
例3. 平面通过两直线1
5
2211:1-=+=-z y x L 和 2
1
331:
2+=+=z y x L 的公垂线L ，且平行于向量)1,0,1(-=c ，求
此平面的方程
解
12121(1,1,1)
132
i
j k
s s s =?==-，
11
1(1,2,1)1
1
i j k
n s c =?=-=-。
设L 与12,L L 的交点分别为,A B ，则
(1,22,5),(,33,21)A t t t B λλλ+-++--，
(1,312,26)AB t t t λλλ------。
131226111
t
t t AB s λλλ------?
==-，解得6,5t λ==，
(7,10,11)A ，
所求平面方程为(7)2(10)(11)0x y z -+-+-=，即
2380x y z ++-=。
例 4. 一直线L 过点)3,6,2(，与平面0532:=-+-z y x α
平
行，且和直线2
68252:1-=--=--z y x l 相交，求此直线方程。 解 不妨设直线方程为226
:
x y z L l m n
---==，其中,,l m n 待定。 1230L
l m n α??-?+?=。 （1）
L 与1l 相交?L 与1l 共面?
226236
58201615200
l m n l
m
n
-----=?--=。 （2）
由（1）和（2）得5,4l
n m n ==，代入L 的方程得
226
:541
x y z L ---==。
三．曲线族形成的曲面 (一) 柱面
1、设柱面的准线方程为???==0),,(0
),,(2
1z y x f z y x f ，母线的方向向量),,(321v v v v =→，
求柱面方程
方法：在准线上任取一点),,(111z y x M ，则过点),,(111z y x M 的母线为
3
1
2111v z z v y y v x x -=-=- 又因为),,(111z y x M 在准线上，故
0),,(1111=z y x f （1） 0),,(1112=z y x f （2） 令
t v z z v y y v x x =-=-=-3
1
2111 （3） 由（1）、（2）、（3）消去111,,z y x 求出t ，再把t 代入求出关于z y x ,,的方程0),,(=z y x F ，则该方程为所求柱面方程
例1：柱面的准线为???=++=++2
2212
22222z y x z y x ，而母线的方向为{}1,0,1-=v
，求这柱面方程。 解：在柱面的准线上任取一点),,(111z y x M ，则过点),,(111z y x M 的母线为
1
011
11z z y y x x -=-=-- 即t z z y y t x x -==+=111,,（1）
又因为),,(111z y x M 在准线上，故1212121=++z y x （2），222212121=++z y x （3）
由（1）（2）（3）得012222=-+++xz z y x
2、圆柱面是动点到对称轴的距离相等的点的轨迹，该距离为圆柱面的半径
把与一条定直线的距离是一个定常数的空间动点的轨迹称为直圆 柱面，定直线叫做直圆柱面的轴，定常数叫做直圆柱面的半径。 如果轴的方程为直线0P P tS =+，半径为R ，则直圆柱面的方程为
()0
||
MP
S
R
S ?=，其中(,,)M x y z 。
方法：在圆柱面上任取一点),,(0000z y x M ，过),,(0000z y x M 点做一平面垂直于对称轴，该平面的法向量为对称轴的方向向量，把该平面方程和对称轴方程联立求得平面和对称轴的交点),,(1111z y x M ，则||10M M 为圆柱的半径
例2：已知圆柱面的轴为2
12
11
-+=--=z y x ，点1M （1，-2，1）在此圆柱
面上，求这个圆柱面的方程。
解：设圆柱面上任取一点),,(0000z y x M ，过点),,(0000z y x M 且垂直于轴的平面为
0)(2)(2)(000=-----z z y y x x
轴方程的参数式为t z t y t x 21,21,--=-==代入平面方程得 9
220
00z y x t --=
故该平面和轴的交点为
)9
4429,94429,922(
00000000z y x z y x z y x ++--++--- 过点1M （1，-2，1）和轴垂直的平面和轴的交点为)3
5,31
,31(- 因为圆柱截面的半径相等，故利用距离公式得
0991818844558222=-+--++++z y yz xz xy z y x
注意：也可找圆柱面的准线圆处理
例3：求以直线x=y=z 为对称轴，半径R=1的圆柱面方程
解：在圆柱面上任取一点),,(0000z y x M ，过点),,(0000z y x M 且垂直于轴的平面为
0)()()(000=-+-+-z z y y x x
轴方程的参数式为t z t y t x ===,,代入平面方程得 3
00z y x t ++=
故该平面和轴的交点为M 1)3
,3,3(0
00000000z y x z y x z y x ++++++ 则10M M 的长等于半径R=1 故利用距离公式得
1)3
()3()3(2
00002000020000=++-+++-+++-
z y x z z y x y z y x x 即所求方程为9)2()2()2(200020002000=+--+-+-+--z y x z y x z y x 例4. 求过三条平行直线211,11,-=+=--==+==z y x z y x z y x 与的圆
柱面方程。
解：过原点且垂直于已知三直线的平面为0=++z y x ：它与已知直线
的交点为())34,31,31(),1,0,1(,0,0,0--，这三点所定的在平面0=++z y x 上
的圆的圆心为)15
13
,1511,152(0--M ，圆的方程为：
?????
=++=
-++++0
7598)1513()1511()152(222z y x z y x 此即为欲求的圆柱面的准线。
又过准线上一点),,(1111z y x M ，且方向为{}1,1,1的直线方程为：
???
??-=-=-=?
??
?
??+=+=+=t z z t y y t
x x t
z z t y y t x x 1
11111 将此式代入准线方程，并消去t 得到：
013112)(5222=-++---++z y x zx yz xy z y x
此即为所求的圆柱面的方程。
附：（09年数学专业竞赛题）
求经过三条平行直线1: L x y z ==，2:11 L x y z -==+，
3:11 L x y z =+=-的圆柱面的方程. （15分）
(二) 锥面
锥面是指过定点且与定曲线相交的所有直线产生的曲面。这些直线是母线，定点为顶点，定曲线为准线。
1、设锥面的准线为???==0
),,(0),,(21z y x f z y x f ，顶点为),,(0000z y x M ，求锥面方程
方法：在准线上任取一点),,(1111z y x M ，则过点),,(1111z y x M 的母线为
10
010010z z z z y y y y x x x x --=--=-- （1） 又因为),,(111z y x M 在准线上，故
0),,(1111=z y x f （2） 0),,(1112=z y x f （2）
由（1）、（2）、（3）消去111,,z y x 求出关于z y x ,,的方程0),,(=z y x F ，则该方程为所求锥面方程
例1锥面的顶点在原点，且准线为?????==+c
z b y a x 12
2
22，求这锥面方程。 解：在准线上任取一点),,(1111z y x M ，则过点),,(1111z y x M 的母线为
1
11z z
y y x x == 又因为),,(111z y x M 在准线上，故122
122
1=+b
y
a x 且c z =1
上面三个方程消去111,,z y x 得022
2222=-+c
z b y a x
2、圆锥面
空间动点到一条定直线l 上的定点A 的连线与该定直线的夹角成 定角，这样的动点的轨迹称为直圆锥面，定直线l 和它上面的定点A 分别叫做直圆锥面的轴和顶点，定角（锐角）叫做直圆锥面的半顶角。 如果轴的方程为直线0:l P P tS =+，0P 为顶点，θ为半顶角，则直
圆锥面的方程为 00|cos ||||
MP S MP S θ?=。
已知圆锥面的顶点),,(0000z y x M ，对称轴（或轴）的方向向量为
),,(321v v v v =→
，求圆锥面方程
方法：在母线上任取一点),,(z y x M ，则过该点的母线的方向向量为
),,(000z z y y x x n ---=→
利用→v 和→
n 的夹角不变建立关于z y x ,,的方程，该方程为所求 例2求以三根坐标轴为母线的圆锥面的方程。 （2222)(z y x z y x ++=++）
解：在坐标轴上取三点)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(，则过三点的平面为
1=++z y x 故对称轴的方向向量为)1,1,1(，一条母线的方向向量为)0,0,1(， 则母线和对称轴的夹角为αcos 13010111??=?+?+?，即3
3cos =
α 在母线上任取一点),,(z y x M ，则过该点的母线的方向向量为),,(z y x n =→
αcos 3222?++=++z y x z y x
所以2222)(z y x z y x ++=++
例3圆锥面的顶点为)3,2,1(，轴垂直于平面0122=+-+z y x ，母线和轴成030，求圆锥面方程
解：在母线上任取一点),,(z y x M ，轴的方向向量为)1,2,2(-，母线的方向向量为)3,2,1(---=→
z y x n
则022230cos 9)3()2()1()3()2(2)1(2?-+-+-=---+-z y x z y x 即 2222)3(27)2(27)1(27)322(4-+-+-=--+z y x z y x 例2. 已知两条直线1: L x y z ==，2:1
1
x
y z b L a -=
=。
（1）问：参数,a b 满足什么条件时，1L 与2L 是异面直线？ （2）当1L 与2L 不重合时，求2L 绕1L 旋转所生成的旋转曲面π的方程，并指出曲面π的类型。
（09年首届全国大学生数学专业竞赛题）
解 （1）11(1,1,1),(0,0,0)S M =，22(1,,1),(0,0,)S a M b =，
1
11
11(1)0
a b a b
=-，
所以当1a ≠且0b ≠时，1L 与2L 是异面直线。 （2）1L 与2L 不重合意味着不能同时有1,0a b ==，于是
当1,0a b =≠时，1L 与2L 平行不重合，此时2L 绕1L 旋转所生成的旋转曲面π为直圆柱面，其方程满足
|(,,)||(,,0)|y z z x x y b b =
?---=-
化简整理得
22220x y z xy yz xz b ++----=。
当1,0a b ≠=时，2:11
x y z
L a ==，此时1L 与2L 相交于原点，2L 绕
1L 旋转所生成的旋转曲面π
为直圆锥面，方程满足
cos θ==
，
化简整理得
第十五讲 统计的思想方法 20世纪90年代，美国麻省理工学院教授尼葛洛庞帝写过一本畅销全球的《数字化生存》一书．事实上，我们的生活、工作离不开数据，要做到心中有数、用数据说话是信息社会对人的基本要求． 统计学是一门研究如何收集、整理、分析数据，并在此基础上作出推断的科学． 随机抽样与统计推断是统计中最重要的思想方法，也是认识客观世界的事物和现象的方法之一．即用样本的某种特征去估计总体的相应特征，用样本的平均水平、波动情况、分布规律等特征估计总体的平均水平、波动情况和分布规律． 【例题求解】 【例1】 现有A ，B 两个班级，每个班级各有45名学生参加一次测验．每名参加者可获得0，1，2，3，4，5，6，7，8，9分这几种不同的分值中的一种．测试结果A 班的成绩如下表所示，B 班的成绩如图所示． (1)由观察所得， 班的标准差较大； (2)若两班合计共有60人及格，问参加者最少获 分才可以及格． 思路点拨 对于(2)，数一数两班在某一分数以上的人数即可，凭直觉与估计得出答案． 注： 平均数、中位数、众数都是反映一组数据集中趋势的特征数，但是它们描述集中趋势的侧重点是不同的： (1)平均数易受数据中少数异常值的影响，有时难以真正反映“平均”； (2)若一组数据有数据多次重复出现，则常用众数来刻画这组数据的集中趋势． 【例2】 已知数据1x 、2x 、3x 的平均数为a ，1y 、2y 、3y 的平均数为b ，则数据1132y x +、2232y x +、3332y x +的平均数为( ) A ．2a+3b B ．b a +3 2 C ．6a+9b D ．2a+b 思路点拨 运用平均数计算公式并结合已知条件导出新数据的平均数．
（第7题图） B C D G F E （第5题图） 全国初中数学竞赛试题 一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里。不填、多填或错填均得0分） 1、在高速公路上，从3千米处开始，每隔4千米经过一个限速标志牌；并且从10千米处开始，每隔9千米经过一个速度监控仪。刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施，那么第二次同时经过这两种设施的千米数是（ ） A 、36 B 、37 C 、55 D 、90 2、已知21+=m ，21-=n ，且()()876314722=--+-n n a m m ，则a 的值等于（ ） A 、5- B 、5 C 、9- D 、9 3、ABC Rt ?的三个顶点A ，B ，C 均在抛物线2x y =上，并且斜边AB 平行于x 轴。若斜边上的高为h ，则（ ） A 、1 h B 、1=h C 、21 h D 、2 h 4、一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；拿出 其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去，最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（ ） A 、2004 B 、2005 C 、2006 D 、2007 5、如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，连结DP ，交AC 于点Q ．若 QO QP =，则 QA QC 的值为（ ） A 、132- B 、32 C 、23+ D 、23+ 二、填空题 （共5小题，每小题6分，满分30分） 6、已知a ，b ，c 为整数，且2006=+b a ，2005=-a c ．若b a ，则c b a ++的最大值为 ． 7、如图，面积为c b a -的正方形DEFG 内接于面积为1的正三角形ABC ，其中a ，
中国教育学会中学数学教学专业委员会 全国初中数学竞赛试题 一、选择题（共5小题，每小题6分，共30分.） 1（甲）．如果实数a ，b ，c ||||a b b c ++可以化简为（ ）． （A ）2c a - （B ）22a b - （C ）a - （D ）a 1（乙） ．如果2a =-111 23a + + +的值为（ ）． （A ） （B （C ）2 （D ）2（甲）．如果正比例函数y = ax （a ≠ 0）与反比例函数y = x b （b ≠0 ）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（－3，－2），那么另一个交点的坐标为（ ）． （A ）（2，3） （B ）（3，－2） （C ）（－2，3） （D ）（3，2） 2（乙）． 在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式x 2＋y 2≤2x ＋2y 的整数点坐标（x ，y ）的个数为（ ）． （A ）10 （B ）9 （C ）7 （D ）5 3（甲）．如果a b ，为给定的实数，且1a b <<，那么1121a a b a b ++++，， ，这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（ ）． （A ）1 （B ） 214a - （C ）12 （D ）1 4 3（乙）．如图，四边形ABCD 中，AC ，BD 是对角线， △ABC 是等边三角形．30ADC ∠=?，AD = 3，BD = 5， 则CD 的长为（ ）． （A ）23 （B ）4 （C ）52 （D ）4.5 4（甲）．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n 倍”；小玲对小倩说：“你若给我n 元，我的钱数将是你的2倍”，其中n 为正整数，则n 的可能值的个数是（ ）．
2013年暑期初一数学竞赛第五讲：二元一次方程组（1） 【典型例题】 例1、二元一次方程组的解 x?3?m2?2ymx?的值是？1、已知是方程的一个解，则?y?5? x?y?2?mm的值为多少？使方程组62、若，则的解的和为?x?2y?m? ax?by??16x?8??c抄错了，得到解的解应为，小明解题时把3、已知方程组 ??cx?20y??224y??10??x?12?222a?b?c值为多少？，则?y??13? 例2、二元一次方程组的两种通用解法 x?1?y? 1、用代入法解方程组?2x?3y?5? 2x?3y?1? 2、用加减法解方程组?3x?5y?1? 例3、解二元一次方程组及高元一次方程组（综合） 21???1?63y?23x?173y?x?16??、解方程组1、解方程组 2??1117x?23y?57????0?2x?22y?1? ?115???xy16?zyy?x????8y?23x?711???、解方程组、解方程组43 ??y?zz?x12xy1?????2x?3y7311???? z?xx?y4? 1 / 5 a?a?a?aa?a?a?aa?a?a?aa?a?a?a5324245553112431??? 5、若 aaaa4132a?a?a?a4312a?a?a?a?a?0k??k的值。，求，且51432a5 bcdef??4?a?acdef?9??b?abdef?16??c(a?c?e)?,d,ef(b?d?f),ab,c,的满足解方程组，求6、已知正数?abcef1??4d??abcdf1?? e9??abcde1??f16?值。 x?x?x?x?x?x?...?x?x?x?x?1?19994219972199831199837、解方程组?x?x?...?x?x?1999?1219981999 例4、含绝对值的方程组 |x|?|y|?7|x?y|?1??1、解方程组2、解方程组??2|x|?3|y|??1|x|?2|y|?3??
数学初中竞赛大题训练：几何专题 1．阅读理解： 如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”．证明“四点共圆”判定定理有：1、若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆；2、若平面上四点连成的四边形对角互补，那么这四点共圆．例：如图1，若∠ADB＝∠ACB，则A，B，C，D四点共圆；或若∠ADC+∠ABC＝180°，则A，B，C，D四点共圆． （1）如图1，已知∠ADB＝∠ACB＝60°，∠BAD＝65°，则∠ACD＝55°； （2）如图2，若D为等腰Rt△ABC的边BC上一点，且DE⊥AD，BE⊥AB，AD＝2，求AE 的长； （3）如图3，正方形ABCD的边长为4，等边△EFG内接于此正方形，且E，F，G分别在边AB，AD，BC上，若AE＝3，求EF的长． 解：（1）∵∠ADB＝∠ACB＝60°， ∴A，B，C，D四点共圆， ∴∠ACD＝∠ABD＝180°﹣∠ADB﹣∠BAD＝180°﹣60°﹣65°＝55°， 故答案为：55°； （2）在线段CA取一点F，使得CF＝CD，如图2所示： ∵∠C＝90°，CF＝CD，AC＝CB， ∴AF＝DB，∠CFD＝∠CDF＝45°， ∴∠AFD＝135°， ∵BE⊥AB，∠ABC＝45°， ∴∠ABE＝90°，∠DBE＝135°， ∴∠AFD＝∠DBE， ∵AD⊥DE，
∴∠ADE＝90°， ∵∠FAD+∠ADC＝90°，∠ADC+∠BDE＝90°， ∴∠FAD＝∠BDE， 在△ADF和△DEB中，， ∴△ADF≌△DEB（ASA）， ∴AD＝DE， ∵∠ADE＝90°， ∴△ADE是等腰直角三角形， ∴AE＝AD＝2； （3）作EK⊥FG于K，则K是FG的中点，连接AK，BK，如图3所示：∴∠EKG＝∠EBG＝∠EKF＝∠EAF＝90°， ∴E、K、G、B和E、K、F、A分别四点共圆， ∴∠KBE＝∠EGK＝60°，∠EAK＝∠EFK＝60°， ∴△ABK是等边三角形， ∴AB＝AK＝KB＝4，作KM⊥AB，则M为AB的中点， ∴KM＝AK?sin60°＝2， ∵AE＝3，AM＝AB＝2， ∴ME＝3﹣2＝1， ∴EK＝＝＝， ∴EF＝＝＝．
初三数学竞赛试题(含答案) 2009年全国初中数学竞赛天津赛区初赛试题 参考答案及评分标准 一、选择题（本大题共5小题，每小题7分，满分35分） （1）已知（），则的值为（B）． （A）（B）（C）（D） 【解】，． 又，∴.故选（B）． （2）若关于的方程的一个根大于且小于，另一个根大于2且小于3，则m的取值范围是（C）． （A）（B）（C）（D） 【解】根据题意，由根的判别式，得．设，由已知，画出该二次函数的大致图象，观察图象， 当时，有，即； 当时，有，即； 当时，有，即； 当时，有，即． 综上，.故选（C）． （3）某段公路由上坡、平坡、下坡三个等长的路段组成，已知一辆汽车在三个路段上行驶的平均速度分别为，，，则此辆汽车在这段公路上行驶的平均速度为（D）． （A）（B）（C）（D） 【解】设这段公路长为3s，则三个不同路段的长度均为s， 此辆汽车在各路段上行驶 的时间分别为（），则此辆汽车在这段公路上行驶的平均速 度为 ．故选（D）． （4）已知边长为1的正方形ABCD，E为CD边的中点，动点P在正方形ABCD边上沿运动，设点P经过的路程为，△的面积为，则关于的函数的图象大致为（A）． 【解】由已知，在边长为1的正方形ABCD中， 如图①，当点P在AB边上运动时，（），∴； 如图②，当点P在BC边上运动时，
，即（），有， ∴ =； 如图③，当点P在线段CE上运动时， ，有（）， ∴． 故选（A）． （5）已知矩形ABCD中，AB=72，AD=56，若将AB边72等分，过每个分点分别作AD的平行线；将AD边56等分，过每个分点分别作AB的平行线，则这些平行线把整个矩形分成了边长为1的72×56个小正方形．于是，被对角线AC从内部穿过的小正方形（小正方形内部至少有AC上的两个点）共有（D）．（A）130个（B）129个（C）121个（D）120个【解】根据题意，建立平面直角坐标系，使得，则． 因为AC与水平线（含AB与DC）、竖直线（含AD与BC）中的每 一条都相交， 所以有57+73=130个交点（含重合的交点）． 由表示直线AC的正比例函数为，于是重合的交点坐标为（，）（0，1，2，…，8）．即有9个重合的交点． 因此共有个彼此不同的交点，它们将对角线AC分成120段，每段仅穿过1个小正方形，于是AC共穿过120个小正方形．故 选（D）． 二、填空题(本大题共5小题，每小题7分，满分35分) （6）将一枚骰子掷两次，若第一次出现的点数为，第二次出现的点数为，则由，所确定的点在双曲线上的概率等于. 【解】 123456 1(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)(6,1) 2(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)(5,2)(6,2) 3(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)(5,3)(6,3) 4(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)(5,4)(6,4) 5(1,5)(2,5)(3,5)(4,5)(5,5)(6,5) 6(1,6)(2,6)(3,6)(4,6)(5,6)(6,6) 其中点（1，6），（6，1），（2，3），（3，2）在双曲线 上，因此所求的概率等于． （7）计算（的整数）的值等于100．
初中数学竞赛教程
七年级 第一讲 有理数（一） 一、【能力训练点】 1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。 2、有理数的两种分类： 3、有理数的本质定义，能表成m n （0,,n m n ≠互质）。 4、性质：① 顺序性（可比较大小）； ② 四则运算的封闭性（0不作除数）； ③ 稠密性：任意两个有理数间都存在无数 个有理数。 5、绝对值的意义与性质： ① (0) ||(0)a a a a a ≥?=?-≤? ② 非负性 2 (||0,0)a a ≥≥ ③ 非负数的性质： i ）非负数的和仍为非 负数。ii ）几个非负数的和为0，则他们都为0。 二、【典型例题解析】： 1． 如果m 是大于1的有理数，那么m 一定小于它的（ ） A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平 方 2.已知两数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝 对值是2，求2 2006 2007 ()()()x a b cd x a b cd -+++++-的值。 3.如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置，如下图所示，那么||||a b a b -++化简的结果等于（ ）
A.2a B. 2a - C.0 D.2b 4.有3个有理数a,b,c ，两两不等，那么,, a b b c c a b c c a a b ------中有几个负数？ 5.设三个互不相等的有理数，既可表示为1，,a b a +的形式式，又可表示为0，b a ，b 的形式，求2006 2007 a b +。 6.三个有理数,,a b c 的积为负数，和为正数，且 ||||||||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac = +++++则3 21 ax bx cx +++的值是多少？ 7.若,,a b c 为整数，且2007 2007|| ||1 a b c a -+-=，试求|||||| c a a b b c -+-+-的值。 第二讲 有理数（二） 一、【能力训练点】： 1、绝对值的几何意义
观察——归纳—猜想——找规律 给出几个具体的、特殊的数、式或图形，要求找出其中的变化规律，从而猜想出一般性的结论.解题 的思路是实施特殊向一般的简化；具体方法和步骤是： （1）通过对几个特例的分析，寻找规律并且归纳； （2）猜想符合规律的一般性结论； （3）验证或证明结论是否正确,下面通过举例来说明这些问题. 一、数字类 基本技巧 （一）标出序列号： 例如，观察下列各式数：0，3，8，15，24，……。 我们把有关的量放在一起加以比较： 给出的数：0，3，8，15，24，……。 序列号： 1，2，3， 4， 5，……。 容易发现，已知数的每一项，都等于它的序列号的平方减1。因此，第n 项是2 n -1 （二）公因式法： 每位数分成最小公因式相乘，然后再找规律，看是不是与n,或2n 、3n 有关。 例如：1，9，25，49，（81），（121），的第n 项为（ 2 )12(-n ）， 1，2，3，4，5．。。。。。。，从中可以看出n=2时，正好是2×2-1的平方,n=3时，正好是2×3-1的平方，以 此类推。 （三）增副 A ： 2、9、28、65.....增幅是7、19、37....，增幅的增幅是12、18 答案与3有关且是n 的3次幂，即：n 3 +1 B ：2、4、8、16.......增幅是2、4、8.. .....答案与2的乘方有关即：n 2 （四）有的可对每位数同时减去第一位数，成为第二位开始的新数列，然后用（一）、（二）、（三）技巧找出每位数与位置的关系。再在找出的规律上加上第一位数，恢复到原来。 例：2、5、10、17、26……，同时减去2后得到新数列： 0、3、8、15、24……， 序列号：1、2、3、4、5，从顺序号中可以看出当n=1时，得1*1-1得0，当n=2时，2*2-1得3，3*3-1=8，以此类推，得到第n 个数为12 -n 。再看原数列是同时减2得到的新数列，则在12 -n 的基础上加2，得 到原数列第n 项 12+n （五）有的可对每位数同时加上，或乘以，或除以第一位数，成为新数列，然后，在再找出规律，并 恢复到原来。 例 ： 4，16，36，64，？，144，196，… ？（第一百个数） 同除以4后可得新数列：1、4、9、16…，很显然是位置数的平方，得到新数列第n 项即n 2 ，原数列是同除以4得到的新数列，所以求出新数列n 的公式后再乘以4即，4 n 2 ，则求出第一百个数为4*1002 =40000 (一)等差数列 例题：2，5，8，( )。 例题5： 12，15，18，( )，24，27。 A.20 B.21 C.22 D.23 (二)等比数列
初三数学百题竞赛试题 一、选择题（每小题2分） 1. 已知,5252 a b = =-+，则227a b ++的值为( ) （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 2．下列计算正确的是（ ） A ．2 4 6 x x x += B ．235x y xy += C ．326 ()x x = D ．632 x x x ÷= 3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A ．等腰梯形 B ．平行四边形 C ．正三角形 D ．矩形 4．已知ABC DEF △∽△，相似比为3，且ABC △的周长为18，则DEF △的周长为（ ） A ．2 B ．3 C ．6 D ．54 5．如果x ＝4是一元二次方程2 2 3a x x =-的一个根，则常数a 的值是（ ） A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．±4 6．如图，AB 是⊙O 的直径，C 为AB 上一个动点（C 点不与A 、B 重合），CD ⊥AB ，AD 、CD 分别交⊙O 于E 、F ，则与AB ?AC 相等的一定是（ ） A ． AE ?AD B ． AE ?ED C ．CF ?C D D ．CF ?FD 7．计算2 2-的结果是（ ） A ．4 B ．4- C ． 1 4 D ．14 - 8．下列函数中，自变量x 的取值范围是2x >的函数是（ ） A ．2y x = - B ．2 y x = - C ．21y x =- D ．21 y x = -9．高速公路的隧道和桥梁最多．如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分，路面AB =10米，净高CD =7米，则此圆的半径OA =（ ） A ．5 B ．7 C ．375 D ．377 10．如图，是某工件的三视图，其中圆的半径为10cm ，等腰三角形的高为30cm ，则此工件的侧面积是( )2 cm ． A ．π150 B ．π300 C ．10π D ．10010π O D A B C 正 视 图 左 视 图 俯 视 图
１ 全国初中数学竞赛试题及答案 考试时间：2018年4月1日上午9：30—11：30 一、选择题：（共5小题，每小题6分，满分30分．以下每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后括号里．不填、多填或错填都得0分） 1．方程组?????=+=+6 12y x y x 的实数解的个数为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 解：选（A ）。当x ≥0时，则有y －|y|=6,无解；当x<0时，则y ＋|y|=18,解得：y=9,此时x=－3. 2．口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（ ） （A ）14 （B ）16 （C ）18 （D ）20 解：选（B ）。只用考虑红球与黑球各有4种选择：红球（2,3,4,5），黑球（0,1,2,3）共4×4＝16种 3．已知a 、b 、c 是三个互不相等的实数，且三个关于x 的一元二次方程02 =++c bx ax ， 02 =++a cx bx ，02 =++b ax cx 恰有一个公共实数根，则ab c ca b bc a 2 22++的值为（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 解：选（D ）。设这三条方程唯一公共实数根为t ，则20at bt c ++=，20bt ct a ++=，2 0ct at b ++= 三式相加得：2 ()(1)0a b c t t ++++=，因为210t t ++≠，所以有a+b+c=0,从而有3333a b c abc ++=， 所以 ab c ca b bc a 222++＝333 a b c abc ++＝33abc abc = 4．已知△ABC 为锐角三角形，⊙O 经过点B ，C ，且与边AB ，AC 分别相 交于点D ，E ．若⊙O 的半径与△ADE 的外接圆的半径相等，则⊙O 一定经 过△ABC 的（ ） （A ）内心 （B ）外心 （C ）重心 （D ）垂心 解：选（B ）。如图△ADE 外接圆的圆心为点F ，由题意知：⊙O 与⊙F 且弧DmE ＝弧DnE ，所以∠EAB ＝∠ABE ，∠DAC ＝∠ACD ， 即△ABE 与△ACD 都是等腰三角形。分别过点E ，F 作AB ，AC 相交于点H ，则点H 是△ABC 的外心。又因为∠KHD ＝∠ACD ， 所以∠DHE+∠ACD ＝∠DHE+∠KHD ＝180°，即点H ，D ，C ，E 在同一个圆上， 也即点H 在⊙O 上，因而⊙O 经过△ABC 的外心。 5．方程2563 2 3 +-=++y y x x x 的整数解x (，)y 的个数是（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）3 （D ）无穷多 解：选（A ）。原方程可变形为：x(x+1)(x+2)+3x(x+1)=y(y-1)(y+1)+2，左边是6的倍数，而右边不是6的倍数。
配方法 把一个式子或一个式子的部分改写成完全平方式或者几个完全平方式的和的形式，这种解题方法叫配方法。 配方法的作用在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具；配方法的实质在于改变式子的原有结构，是变形求解的一种手段。 运用配方法解题的关键在于“配凑”，“拆”与“添”是配方中常用的技巧。熟悉以下基本等式： 1.222)(2b a b ab a ±=+± 2.2222)(222c b a ac bc ab c b a ++=+++++； 3.[] 2222 2 2 )()()(2 1 a c c b b a ca b c ab c b a ±+±+±= ±±±++ 4.a b ac a b x a c bx ax 44222 2 -+ ??? ? ?+=++ 【例1】已知y x ,实数满足0332=-++y x x ，则y x +的最大值为 （镇江市中考题） 思路点拨 把y 用x 的式子表示，通过配方法求出y x +的最大值。 【例2】已知c b a 、、，满足722 =+b a ，122 -=-c b ， 1762 -=-a c ，则c b a ++的值等于（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 （河北省竞赛题） 思路点拨 由条件等式的特点，从整体叠加配方入手 【例3】已知a 是正整数，且a a 2004 2 +是一个正整数的平方，求a 的最大值。 （北京市竞赛题） 思路点拨 设2 2 2004m a a =+（m 为正整数），解题的关键是把等式左边配成完全平方式。 【例4】已知c b a 、、是整数，且01,422 =-+=-c ab b a ，求c b a ++的值 （浙江省竞赛题）
初三数学竞赛试题 班级 姓名 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分） 1．要使方程组???=+=+2 3223y x a y x 的解是一对异号的数，则a 的取值范围是（ ） （A ）334<a （D ）3 43<>a a 或 2．一块含有?30AB ＝8cm, 里面 空 心DEF ?的各边与ABC ?的对应边平行，且各对应边的距离都是 1cm,那么DEF ?的周长是（ ） (A)5cm (B)6cm (C) cm )(36- (D) cm )(33+ 3．将长为15cm 的木棒截成长度为整数的三段，使它们构成一个三角形的三边，则不同的截法有( ) (A)5种 (B) 6种 (C)7种 (D)8种 4．作抛物线A 关于x 轴对称的抛物线B ，再将抛物线B 向左平移2个单位，向上平移1个单位，得到的抛物线C 的函数解析式是1122-+=)x (y ，则抛物线A 所对应的函数表达式是 ( ) (A)2322-+-=)x (y (B) 2322++-=)x (y (C) 2122---=)x (y (D) 2322++-=)x (y 5．书架上有两套同样的教材，每套分上、下两册，在这四册教材中随机抽取两册，恰好组成一套教材的概率是( ) (A) 32 (B) 31 (C) 21 (D) 6 1 6．如图，一枚棋子放在七边形ABCDEFG 的顶点处，现顺时针方 向移动这枚棋子10次，移动规则是：第k 次依次移动k 个顶点。 如第一次移动1个顶点，棋子停在顶点B 处，第二次移动2个顶 点，棋子停在顶点D 。依这样的规则，在这10次移动的过程中， 棋子不可能分为两停到的顶点是( ) (A)C,E,F (B)C,E,G (C)C,E (D)E,F.
中国教育学会中学数学教学专业委员会 “《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题 答题时注意： 1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交. 一、选择题<共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．设1a ，则代数式32312612a a a +--的值为( >. .，0y >，且满足3y y x xy x x y ==，，则x y +的值为( >. . （共30套）初中数学竞赛辅导讲义及习题解答大全适合中学教师作为辅导教材使用 第一讲 走进追问求根公式 形如02=++c bx ax （0≠a ）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法. 而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法. 求根公式a ac b b x 2422 ,1-±-= 内涵丰富: 它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美. 降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决. 解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法. 【例题求解】 【例1】满足1)1(22=--+n n n 的整数n 有 个. 思路点拨: 从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程. 【例2】设1x 、2x 是二次方程032=-+x x 的两个根，那么1942231+-x x 的值等于（ ） A 、一4 B 、8 C 、6 D 、0 思路点拨: 求出1x 、2x 的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如1213x x -=，2223x x -=. 【例3】 解关于x 的方程02)1(2=+--a ax x a . 思路点拨: 因不知晓原方程的类型，故需分01=-a 及01≠-a 两种情况讨论. 【例4】 设方程04122=---x x ，求满足该方程的所有根之和. 思路点拨: 通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解. 【例5】 已知实数a 、b 、c 、d 互不相等，且x a d d c c b b a =+=+=+=+ 1 111， 试求x 的值. 思路点拨: 运用连等式，通过迭代把b 、c 、d 用a 的代数式表示，由解方程求得x 的值. 注: 一元二次方程常见的变形形式有: (1)把方程02=++c bx ax （0≠a ）直接作零值多项式代换； (2)把方程02=++c bx ax （0≠a ）变形为c bx ax --=2，代换后降次； (3)把方程02=++c bx ax （0≠a ）变形为c bx ax -=+2或bx c ax -=+2，代换后使之转化关系或整体地消去x . 解合字母系数方程02=++c bx ax 时，在未指明方程类型时，应分0=a 及0≠a 两种情况讨论；解绝对值方程需脱去绝对值符号，并用到绝对值一些性质，如222 x x x ==. 2014年全国初中数学联赛决赛试题 一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1．已知,x y 为整数，且满足22441 111211 ()()()3x y x y x y + +=--，则x y +的可能的值有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答】 C. 由已知等式得2244 224423x y x y x y xy x y x y ++-?=?，显然,x y 均不为0，所以x y +＝0或32()xy x y =-. 若32()xy x y =-，则(32)(32)4x y +-=-.又,x y 为整数，可求得12,x y =-??=? ，或21.x y =-??=?， 所以1 x y +=或1x y +=-. 因此，x y +的可能的值有3个. 2．已知非负实数,,x y z 满足1x y z ++=，则22t xy yz zx =++的最大值为 （ ） A ． 47 B ．59 C ．916 D ．12 25 【答】 A. 21 222()2()()4 t xy yz zx x y z yz x y z y z =++=++≤+++ 212(1)(1)4x x x =-+-2731424x x =-++2734 ()477x =--+， 易知：当37x =，27y z ==时，22t xy yz zx =++取得最大值4 7 . 3．在△ABC 中，AB AC =，D 为BC 的中点，BE AC ⊥于E ，交AD 于P ，已知3BP =，1PE =，则AE ＝ （ ） A ． 6 2 B ．2 C ．3 D ．6 【答】 B. 因为AD BC ⊥，BE AC ⊥，所以,,,P D C E 四点共圆，所以12BD BC BP BE ?=?=，又2BC BD =，所以6BD = ，所以3DP =. 又易知△AEP ∽△BDP ，所以 AE PE BD DP = ，从而可得1623 PE AE BD DP =?=?=. 4．6张不同的卡片上分别写有数字2，2，4，4，6，6，从中取出3张，则这3张卡片上所写的数字可 以作为三角形的三边长的概率是 （ ） 初三数学竞赛试题 一、选择题：（30分） 1．－ 20001999, －19991998, －999998 , －1000 999这四个数从小到大的排列顺序是 （A ）－20001999<－19991998<－1000999<－999998 （B ）－999998 <－1000999<－19991998<－20001999 （C ）－ 19991998<－20001999<－1000999<－999998 （D ）－1000999<－999998 <－20001999<－1999 1998 2．一个三角形的三条边长分别是a , b , c (a , b , c 都是质数)，且a ＋b ＋c ＝16，则这个三角形的形状是 （A ）直角三角形（B ）等腰三角形（C ）等边三角形（D ）直角三角形或等腰三角形 3．已知25x =2000, 80y =2000，则 y 1 x 1+等于 （A ）2 （B ）1 （C ）21 （D ）2 3 4．设a ＋b ＋c =0, abc >0，则 | c |b a | b |a c |a |c b +++++的值是 （A ）－3 （B ）1 （C ）3或－1 （D ）－3或1 5．设实数a 、b 、c 满足a 第一篇 一元一次方程的讨论 第一部分 基本方法 1. 方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。一元方程的解也叫做根。 例如：方程 2x ＋6＝0， x （x －1）=0, |x |=6, 0x =0, 0x =2的解 分别是： x =－3, x =0或x =1, x =±6, 所有的数，无解。 2. 关于x 的一元一次方程的解（根）的情况：化为最简方程ax =b 后， 讨论它的解：当a ≠0时，有唯一的解 x =a b ； 当a =0且b ≠0时，无解； 当a =0且b ＝0时，有无数多解。（∵不论x 取什么值，0x ＝0都成立） 3. 求方程ax =b (a ≠0)的整数解、正整数解、正数解 当a ｜b 时，方程有整数解； 当a ｜b ，且a 、b 同号时，方程有正整数解； 当a 、b 同号时，方程的解是正数。 综上所述，讨论一元一次方程的解，一般应先化为最简方程ax =b 第二部分 典例精析 例1 a 取什么值时，方程a (a －2)x =4(a －2) ①有唯一的解？②无解？ ③有无数多解？④是正数解？ 例2 k取什么整数值时，方程①k(x+1)=k－2（x－2）的解是整数？②（1－x）k=6的解是负整数？ 例3己知方程a(x－2)=b(x+1)－2a无解。问a和b应满足什么关系？ 例4a、b取什么值时，方程（3x－2）a+（2x－3）b=8x－7有无数多解？ 第三部分典题精练 1. 根据方程的解的定义，写出下列方程的解： ① (x +1)=0, ②x 2 =9, ③|x |=9， ④|x |=－3, ⑤3x +1=3x －1, ⑥x +2=2+x 2. 关于x 的方程ax =x +2无解，那么a __________ 3. 在方程a (a －3)x =a 中， 当a 取值为＿＿＿＿时，有唯一的解； 当a ＿＿＿时无解； 当a ＿＿＿＿＿时,有无数多解； 当a ＿＿＿＿时,解是负数。 4. k 取什么整数值时，下列等式中的x 是整数？ ① x = k 4 ②x =16-k ③x =k k 32+ ④x =123+-k k 5. k 取什么值时，方程x －k =6x 的解是 ①正数？ ②是非负数？ 6. m 取什么值时，方程3（m +x ）=2m －1的解 ①是零？ ②是正数？ 7. 己知方程 2 2 1463+= +-a x 的根是正数，那么a 、b 应满足什么关系？ 数学初中竞赛 逻辑推理 专题训练 ．选择题 则不同的站位方法有（ ） 3．仪表板上有四个开关，每个开关只能处于开或者关状态，如果相邻的两个开关不能同时 是开的，那么所有不同的状态有（ ） 6．﹣2 和 2对应的点将数轴分成 3 段，如果数轴上任意 n 个不同的点中至少有 3 个在其中 之 一段，那么 n 的最小值是（ ） 1．某校九年级 6 名学生和 1 位老师共 7 人在毕业前合影留念 站成一行） ，若老师站在中间， A ．6种 B ． 120种 C ．240 种 D ．720 种 2．钟面上有十二个数 1， 2， 3，?， 12．将其中某些数的前面添上一个负号，使钟面上所 有数之代数和等于零，则至少要添 n 个负号，这个数 n 是（ A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 A ．6 种 B ．7种 4．小明训练上楼梯赛跑．他每步可上 同方法共有（ ） （注：两种上楼梯的方法，只要有 A ．15 种 B ．14 种 5．如图， 2× 5 的正方形网格中， C ． 8 种 D ．9 种 2 阶或 3 阶（不上 1 阶），那么小明上 12 阶楼梯的不 1 步所踏楼梯阶数不相同，便认为是不同的上法． ） C ．13种 D ．12 种 5张 1×2的矩形纸片将网格完全覆盖，则不同的覆盖 A ．3 种 B ．5种 C ． 8 种 D ．13 种 C ．7 D ．8 A ．5 B ．6 10．如图所示，韩梅家的左右两 侧各摆了 3 盆花，韩梅每次按照以下规则往家中搬一盆花， 先 选择左侧还是右侧，然后搬该侧离家最近的，要把所有的花搬到家里，共有（ ） 种不同的搬花顺序． A ． 8 B ． 12 C ．16 D ．20 11．如图，在一块木板上均匀钉了 9颗钉子， 用细绳可以像图中那样围成三角形， 在这块木 板上，还可以围成 x 个与图中三角形全等但位置不同的三角形，则 x 的值为 （ ） 7．计算机中的堆栈是一些连续的存储单元，在每个堆栈中数据的存入、取出按照“先进后 出''的原则．如图，堆栈（ 1）的 2 个连续存储单元已依次存入数据 b ，a ，取出数据的 顺序是 a ， b ；堆栈（ 2）的 3 个连续存储单元已依次存人数据 e ， d ， c ，取出数据的顺序 则是 c ，d ，e ，现在要从这两个堆栈中取出这 5 个数据（每次取出 1 个数据），则不同顺 序的取法的种数有（ A ．5种 B ．6种 C ．10种 D ．12 种 8．用六根火柴棒搭成 4 个正三角形 （如图），现有一只虫子从点 A 出发爬行了 5 根不同的火 D ．7 条 并使每条边的两端异色， 若共有 3 种颜色可供使 用（并不要求每种颜色都用上） ，则不同的涂色方法为（ ）种． A ．6 B ． 12 C ．18 D ． 24 C ．6条 9．将四边 ABCD 的每个顶点涂上一种颜 色， 1991年全国初中数学联合竞赛决赛试题 第一试 一、选择题 本题共有8个小题，每小题都给出了（A ）、（B ）（C ）、（D ）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内． ． 设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立，其中a ，x ，y 是两两不 同的实数，则22223y xy x y xy x +--+的值是 （A ）3 ； （B ）31； （C ）2； （D ）35 ． 答（ ） ． 如图，AB ‖EF ‖CD ，已知AB =20，CD =80，BC =100，那么EF 的值是 （A ） 10； （B ）12； （C ） 16； （D ）18． 答（ ） ． 方程0 12=--x x 的解是 （A ）251±； （B ）25 1±-； （C ）251±或251±-； （D ）251±-± ． 答（ ） ． 已知：)19911991(21 1 1n n x --=（n 是自然数）．那么 n x x )1(2+-，的值是 （Ａ）11991-； （Ｂ）1 1991--； （Ｃ）1991)1(n -； （Ｄ）1 1991)1(--n ． 答（ ） ． 若M n 1210099321=????? ，其中Ｍ为自然数，n 为使得等式成立的最大的自然数，则Ｍ （Ａ）能被２整除，但不能被３整除； （Ｂ）能被３整除，但不能被２整除； （Ｃ）能被４整除，但不能被３整除； （Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除． 答（ ） ． 若a ，c ，d 是整数，b 是正整数，且满足c b a =+，d c b =+，a d c =+，那么 d c b a +++的最大值是 （Ａ）1-；（Ｂ）5-；（Ｃ）0；（Ｄ）１． 答（ ） ． 如图，正方形OPQR 内接于ΔABC ．已知ΔAOR 、ΔBOP 和ΔCRQ 的面积分别是11=S ，32=S 和 1 3=S ，那么，正方形OPQR 的边长是 （Ａ）2；（Ｂ）3；（Ｃ）2 ；（Ｄ）3． 答（ ） 1 1=S超级资源(共30套)初中数学竞赛辅导讲义及习题解答大全 (含竞赛答题技巧)
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