初中数学竞赛解题方法归纳

第八章 二次方程与方程组第一节 一元二次方程【赛题精选】§1、一元一次方程的解法主要有：直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法。

例1、利用直接开平方法解下列关于x 的方程。

（1）0)1(9)2(22=+--x x （2）)0(0)22()(22>=+-+a a x a x（3）)21(2142222nx n x n x x ++=++例2、利用因式分解法解下列关于x 的方程。

（1）(5x+2)(x-1)=(2x+11)(x-1) （2）0452=+-x x(3)02_23()12(2=++-+x x (4)0)()(22222=-++-q p pq x q p x（5）x m x m x x m )1()1()1(2222-=--+-例3、用配方法解下列关于x 的方程。

（1）)0(02≠=++a c bx ax （2）03)12()1(2=-+-+-m x m x m（3）01333223=-+++x x x§2、根的判别式、根与系数的关系韦达定理：若)0(02≠=++a c bx ax 的两个根为1x 、2x ，那么1x 、2x 与a 、b 、c的关系为：两根之和a b x x -=+21；两根之积ac x x =21。

例4、若首项系数不相等的两个二次方程02)2()1(222=+++--a a x a x a （1）、02)2()1(222=+++--b b b x b （2）（其中a 、b 均为正整数）有一个公共根。

求ab ab b a b a --++的值。

例5、已知方程02=++c bx x 与02=++b cx x 各有两个根1x 、2x 及'1x 、'2x ，且1x 2x ＞0，'1x '2x ＞0。

求证：（1）1x ＜0，2x ＜0，'1x ＜0，'2x ＜0；（2）b-1≤c ≤b+1；（3）求b 、c 所有可能的值。

初中数学竞赛中的思维方法
初中数学竞赛中的思维方法可以包括以下几点：
1. 归纳法：通过观察数列或图形的规律，总结出规律的特点，然后运用归纳的结论解决问题。

2. 反证法：通过假设与题目条件相反的情况，并推导出矛盾的结论，从而证明原命题的正确性。

3. 递推法：通过观察规律，找到每个数或对象与前一数或对象的关系，进行递推，得到结果。

4. 分类讨论法：将问题按不同情况分类讨论，分别对每种情况进行独立的分析与解决。

5. 可视化方法：将问题抽象成几何图形，通过图形上的特点进行分析与推导。

6. 矛盾法：通过假设与题目条件相反的情况，并通过逻辑推理得出矛盾的结论，从而推导得到问题的解答。

7. 数学模型：将问题抽象成数学模型，通过建立方程或不等式等数学关系，解决问题。

8. 假设法：通过假设问题中未知条件，结合已知条件进行分析和求解。

9. 数学思维工具的应用：例如奇偶性、数的性质、质因数分解等常用工具的运用。

以上是初中数学竞赛中常用的思维方法，通过熟练运用这些方法可以提高解题效率和准确性，培养数学思维能力。

初中数学竞赛中的思维方法数学竞赛作为一项考验学生数学思维和解题能力的活动，需要学生掌握多种思维方法。

在初中数学竞赛中，以下几种思维方法尤为重要：一、归纳思维归纳思维是指从一系列具体事实中概括出一般原理的思维方式。

在数学竞赛中，归纳思维常常用于探究数学规律和性质。

例如，通过观察一组数列，归纳出数列的通项公式；或者通过比较几个图形的性质，归纳出一般图形的性质。

二、演绎思维演绎思维是指从一般原理推导出特殊情况的思维方式。

在数学竞赛中，演绎思维常常用于证明题和推理题。

例如，利用已知定理和性质推导出一个新的定理或性质；或者通过逻辑推理，证明一个数学命题的正确性。

三、类比思维类比思维是指根据两个或多个事物的某些属性相似，推出其他属性也可能相似的思维方式。

在数学竞赛中，类比思维常常用于解决几何、代数和概率问题。

例如，通过比较相似三角形的性质，推出另一个相似三角形的性质；或者通过比较两个函数的图像，推断出它们的其他性质。

四、联想思维联想思维是指根据事物的特征或属性，联想到其他相关事物的思维方式。

在数学竞赛中，联想思维常常用于寻找解题思路。

例如，通过观察一个图形的形状，联想到与该图形相关的定理或公式；或者通过分析一个函数的性质，联想到与该函数相关的数学概念和方法。

五、逆向思维逆向思维是指从问题的反面或另一个角度来思考问题的思维方式。

在数学竞赛中，逆向思维常常用于解决一些常规方法难以解决的问题。

例如，通过反证法证明一个命题的错误；或者通过尝试反例来推翻一个错误的命题。

六、创新思维创新思维是指突破传统思维方式，提出新观念、新方法的思维方式。

在数学竞赛中，创新思维常常用于解决一些非常规问题。

例如，通过构造一个新函数或新模型来解决一个复杂的问题；或者通过观察和猜想，发现一个全新的数学规律或性质。

七、逻辑思维逻辑思维是指按照逻辑规则进行推理和论证的思维方式。

在数学竞赛中，逻辑思维是必不可少的思维方式。

通过逻辑推理，我们可以证明一个命题的正确性或推导出新的结论。

初中数学竞赛解题模型初中数学竞赛的解题模型有许多，以下是部分内容：
1. 将军饮马模型（对称点模型）
2. 利用三角形两边差求最值
3. 手拉手全等取最值
4. 手拉手相似取最值
5. 平移构造平行四边形求最小
6. 两点对称勺子型连接两端求最小
7. 两点对称折线连两端求最小
8. 时钟模型，中点两定边求最小值
9. 时钟模型，相似两定边求最小值
10. 转化构造两定边求最值
11. 面积转化法求最值
12. 相似转化法求最值
13. 相似系数化一法求最值
14. 三角函数化一求最值
15. 轨迹最值
16. 三动点的垂直三角形
17. 旋转最值
18. 隐圆最值-定角动弦
19. 隐圆最值-动角定弦
这些模型能够帮助解题者在面对复杂数学问题时找到解决方法。

使用这些方法需要具备一定的数学基础和思维能力，因此建议在掌握这些方法后多做一些练习题，以加深理解和提高应用能力。

初中数学比赛考点归纳数学是人类对事物的抽象结构与模式进行严格描写的一种通用手段，可以运用于现实世界的任何问题，所有的数学对象本质上都是人为定义的。

数学属于情势科学，而不是自然科学。

今天作者在这给大家整理了一些初中数学比赛考点归纳，我们一起来看看吧!初中数学比赛考点归纳二元一次方程组1、定义：含有两个未知数，并且未知项的次数是1的整式方程叫做二元一次方程。

2、二元一次方程组的解法(1)代入法由一个二次方程和一个一次方程所组成的方程组通常用代入法来解，这是基本的消元降次方法。

(2)因式分解法在二元二次方程组中，至少有一个方程可以分解时，可采取因式分解法通过消元降次来解。

(3)配方法将一个式子，或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和。

(4)韦达定理法通过韦达定理的逆定理，可以利用两数的和积关系构造一元二次方程。

(5)消常数项法当方程组的两个方程都缺一次项时，可用消去常数项的方法解。

解一元二次方程解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。

1、直接开平方法：用直接开平方法解形如(x-m)2=n(n≥0)的方程，其解为x=±m.直接开平方法就是平方的逆运算.通常用根号表示其运算结果.2、配方法通过配成完全平方式的方法，得到一元二次方程的根的方法。

这种解一元二次方程的方法称为配方法，配方的根据是完全平方公式。

(1)转化：将此一元二次方程化为ax^2+bx+c=0的情势(即一元二次方程的一样情势)(2)系数化1：将二次项系数化为1(3)移项：将常数项移到等号右侧(4)配方：等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方(5)变形：将等号左边的代数式写成完全平方情势(6)开方：左右同时开平方(7)求解：整理即可得到原方程的根3、公式法公式法：把一元二次方程化成一样情势，然后运算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项系数a,b,c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。

初中数学竞赛专题［配方法］一、内容提要1. 配方：这里指的是在代数式恒等变形中，把二次三项式a2土2ab+b2写成完全平方式(a土b) 2.有时需要在代数式中添项、折项、分组才能写成完全平方式.常用的有以下三种：①由a +b配上2ab, ②由 2 ab 配上a +b ,③由a2土2ab配上b2.2. 运用配方法解题，初中阶段主要有：①用完全平方式来因式分解例如：把x4+4因式分解.2 2 2 2 2母乱=x +4 + 4x — 4x =(x +2) — 4x = ...........这是由a2+b2配上2ab.②二次根式化简常用公式：福|a ,这就需要把被开方数写成完全平方式.例如：化简、一5一2 6.我们把5-2*写成2 - 2逐+ 3=(克V - ^ 2^3 + (V3)2=(V2 —V3 ).这是由2 ab配上a2+b2.③求代数式的最大或最小值，方法之一是运用实数的平方是非负数，零就是最小值.即a >0, .,•当a=0时, a2的值为0是最小值.例如：求代数式a2+2a — 2的最值... a2+2a— 2= a2+2a+1 - 3=(a+1) 2- 3当a=— 1时,a +2a— 2有最小值—3.这是由a2土2ab配上b2④有一类方程的解是运用几个非负数的和等于零，则每一个非负数都是零，有时就需要配方.例如：：求方程x2+y2+2x-4y+5=0的解x, y.解：方程x2+y2+2x-4y+1 + 4= 0.配方的可化为(x+1) 2+(y - 2) 2=0.要使等式成立，必须且只需x 1 0y 2 0x 1 y2解得此外在解二次方程中应用根的判别式，或在证明等式、不等式时，也常要有配方的知识和技巧.二、例题2 2 2 2例 1.因式分解：a b —a +4ab— b +1.解：a b — a +4ab — b +1 = a b +2ab+1+( — a +2ab — b ) (折项，分组)=(ab+1 ) 2 - (a - b)：(配方)= (ab+1+a-b ) (ab+1-a+b) (用平方差公式分解)本题的关键是用折项，分组，树立配方的思想^例2.化简下列二次根式：①J7 5 ；②*2焰；③了10时3 2豆. 解：化简的关键是把被开方数配方①(7 4>/3 = J4 2 2/3 3 = J(2 V3)2=2 < 3 = 2 + 43.②户=居=疗=\吁<2（73 1）=无V2 2 . 2③\；10 4^3 2龙=寸10 4》（。

初中数学竞赛应对技巧数学竞赛是检验学生数学综合素质的有效手段，对于提高学生的数学思维能力、解决问题能力具有重要的促进作用。

初中数学竞赛更是培养学生数学兴趣、挖掘数学潜能的重要途径。

为了帮助学生在初中数学竞赛中取得优异成绩，本文将从以下几个方面介绍应对初中数学竞赛的技巧。

一、了解竞赛特点，明确考查方向初中数学竞赛主要考查学生的数学基础知识、逻辑思维能力、空间想象能力和创新意识。

在竞赛中，学生需要熟练掌握以下几个方面的内容：1.初中数学基础知识，如代数、几何、概率等；2.数学逻辑思维，如归纳总结、推理证明等；3.空间想象能力，如立体几何、平面几何等；4.数学创新意识，如数学建模、数学探究等。

了解竞赛特点，有助于学生在备考过程中有的放矢，有针对性地进行复习。

二、培养良好的数学思维习惯1.细心阅读题目，理解题目要求，避免因粗心大意导致失分；2.分析题目，找出已知条件和求解目标，理清解题思路；3.运用合适的解题方法，注重数学公式、定理的灵活运用；4.检查答案，确保解题过程完整、逻辑清晰。

三、提高解题速度和准确性1.强化训练，提高解题熟练度；2.做好时间规划，合理分配解题时间，避免因时间不足导致题目无法完成；3.培养题目分析能力，快速找出解题关键点；4.注重基础，提高基本运算速度和准确性。

四、积极参加模拟竞赛，提高应试能力1.参加学校组织的模拟竞赛，熟悉竞赛环境和流程；2.分析模拟竞赛中的错误，总结经验教训，及时调整学习方法；3.参加各类数学竞赛培训班，提高专业指导；4.与同学交流学习心得，相互借鉴，共同进步。

五、注重创新能力培养1.参与数学课题研究，锻炼数学探究能力；2.多做创新性数学题，培养数学建模能力；3.参加数学竞赛研讨会，拓宽视野，激发创新思维；4.注重数学与实际生活的联系，培养解决实际问题的能力。

总之，要想在初中数学竞赛中取得好成绩，学生需要扎实的数学基础、良好的数学思维习惯、较高的解题速度和准确性以及创新能力的培养。

初中数学奥林匹克竞赛解题方法大全-第07章-代数式的
运算
此章介绍了一些重要的代数式的运算方法，包括多项式的加减乘除、平方差公式、完全平方公式、公式的展开与因式分解等。

一、多项式的加减乘除
1.加法和减法：将同类项进行合并，即将具有相同字母和相同指数的项相加或相减。

2.乘法：首先用分配律将多项式和多项式相乘化为多个单项式之和，然后用乘法原则计算各个单项式的乘积。

3.除法：主要采用长除法的形式，将被除式逐步除以除式。

二、平方差公式
平方差公式是解决具有连续变量的代数式的重要方法之一
根据平方差公式：
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
其中a和b是任意实数。

三、完全平方公式
完全平方公式是解决具有二次项的代数式的重要方法之一
根据完全平方公式：
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
其中a和b是任意实数。

四、公式的展开与因式分解
1.公式的展开：利用分配律将复杂的代数式展开为简单的形式。

2.因式分解：将代数式分解成为两个或更多的乘积形式。

常用的因式分解方法有：
（1）公因式法：找到公共因子并提取。

（2）提公式法：根据指定的公式将代数式进行变换。

（3）配方法：根据两个乘积的和或差的公式将代数式进行变换。

（4）分组法：将代数式中的项分成两组，然后利用提取公因子或公式进行变换。

（5）差平方因式法：利用平方差公式进行变换。

（6）和差三角型法：利用三角函数的和差公式进行变换。

初中生如何应对数学竞赛数学竞赛是考验学生数学能力和思维能力的一项挑战。

对于初中生来说，参加数学竞赛不仅能够提高数学水平，还可以培养逻辑思维和解决问题的能力。

然而，如何有效地应对数学竞赛成为了许多初中生关心的问题。

本文将介绍一些初中生应对数学竞赛的方法和技巧。

一、熟悉竞赛规则和题型在准备数学竞赛之前，首先要了解竞赛的规则和题型。

不同的数学竞赛可能采用不同的规则和题型，如奥数、中考或各种数学竞赛等。

在了解规则和题型后，可以更有针对性地进行备考。

二、掌握基础知识数学竞赛离不开扎实的基础知识。

初中生要先掌握好各个年级的数学知识，包括整数、分数、代数、几何等。

要通过课本、习题册或辅导资料进行系统性的复习和巩固，做到知识扎实。

三、注重思维能力的培养数学竞赛更注重学生的思维能力。

学生需要培养逻辑思维和问题解决的能力。

可以通过解决一些有趣的数学题目来锻炼思维，如数学游戏、数学谜题等。

此外，参加数学俱乐部或数学讨论小组也可以提高思维能力。

四、刷题提高刷题是提高数学竞赛水平的重要方法。

可以选择一些经典的数学竞赛题目来进行刷题，例如各种竞赛的往年试题或专门的竞赛习题册。

通过大量的题目练习和解题经验的积累，可以提高解题速度和思维灵活性。

五、注意考试技巧参加数学竞赛时，除了知识和思维能力外，考试技巧也非常重要。

例如，要掌握一些快速计算的方法，学会合理分配时间，注意答题顺序等。

此外，还要注意审题和解题过程的准确性，避免粗心和计算错误。

六、合理安排时间要合理安排时间来备考和参加数学竞赛。

不能在数学竞赛上花费太多时间，导致其他学科的学习或生活受到影响。

可以制定一个备考计划，合理安排每天的学习和练习时间，并且要保证有足够的休息和娱乐时间，以避免疲劳。

七、保持乐观心态参加数学竞赛是一个挑战性的过程，会遇到困难和挫折。

初中生要保持乐观的心态，相信自己的努力会有回报。

即使遇到难题，也要镇静下来，分析问题并找到解决方法。

在解题过程中保持冷静和耐心，不要着急，相信自己能够克服困难。

初中数学竞赛必备——42个定理与解题模型一、概述1. 数学竞赛在培养学生的逻辑思维能力、数学解决问题的能力以及快速计算的能力方面具有重要的作用。

2. 初中数学竞赛中，掌握一定的数学定理和解题模型对于取得好成绩至关重要。

3. 本文将介绍初中数学竞赛必备的42个定理与解题模型，希望能为参加数学竞赛的同学们提供帮助。

二、数学定理与解题模型1. 代数部分1.1. 一元二次方程的求解方法1.2. 因式分解1.3. 角平分线定理1.4. 勾股定理1.5. 平方差公式1.6. 公式a^2-b^2=(a+b)(a-b)1.7. a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)2. 几何部分2.1. 同位角性质2.2. 对顶角性质2.3. 三角形的内角和2.4. 三角形的外角和2.5. 圆的性质2.6. 相似三角形的性质2.7. 三角形的高到底边的距离是线段的中线3. 概率部分3.1. 随机事件的概率计算3.2. 排列组合问题的概率计算3.3. 互斥事件和对立事件4. 数论部分4.1. 奇数与偶数的性质4.2. 质数与合数4.3. 最大公约数与最小公倍数5. 解题模型5.1. 分析题目5.2. 构建数学模型5.3. 运用定理解题5.4. 推理思路与方法三、数学竞赛练习与应用1. 多做数学竞赛题目，提高解题速度和正确率。

2. 运用所学的定理和解题模型解决实际问题，提高数学应用能力。

3. 对于涉及到竞赛的数学知识点，进行整体性的复习和整理。

四、结语1. 数学竞赛对于学生的数学能力提升有着一定的促进作用。

2. 要想在数学竞赛中取得好成绩，掌握基本数学定理和解题模型至关重要。

3. 希望本文介绍的42个定理与解题模型能为广大初中生在数学竞赛中取得优异成绩提供一定帮助。

五、举例演练1. 代数部分：一元二次方程的求解方法：解方程x^2+5x+6=0，可以使用因式分解或者配方法来进行求解。

因式分解：对于表达式x^2-4，可以因式分解为(x+2)(x-2)。