北师大版数学八年级上册 第四章 一次函数专题复习练习
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首师大附中初二下学期数学复习专题试卷（一次函数）一、单选题1若一次函数y=kx+2经过点（1，1），则下面说法正确的是（）A. y随x的增大而增大B. 图象经过点（3，-1）C. 图象不经过第二象限D. 图象与函数y=-x图象有一个交点2 如图，可以得出不等式组的解集是（）A. x＜-1B. -1＜x＜0C. -1＜x＜4D. x＞43 如图，直线y=-x+m与直线y=nx+5n（n≠0）的交点的横坐标为-2，则关于x的不等式-x+m＞nx+5n＞0的整数解为（）A. -5，-4，-3B. -4，-3C. -4，-3，-2D. -3，-24 小阳在如图①所示的扇形舞台上沿O-M-N匀速行走，他从点O出发，沿箭头所示的方向经过点M再走到点N，共用时70秒．有一台摄像机选择了一个固定的位置记录了小阳的走路过程，设小阳走路的时间为t（单位：秒），他与摄像机的距离为y（单位：米），表示y与t的函数关系的图象大致如图②，则这个固定位置可能是图①中的（）A. 点QB. 点PC. 点MD. 点N5 图1是某娱乐节目中一个游戏环节的录制现场，场地由等边△ADE和正方形ABCD 组成，正方形ABCD两条对角线交于点O，在AD的中点P处放置了一台主摄像机．游戏参与者行进的时间为x，与主摄像机的距离为y，若游戏参与者匀速行进，且表示y 与x的函数关系式大致如图2所示，则游戏参与者的行进路线可能是（）A. A→O→DB. E→A→CC. A→E→DD. E→A→B二、填空题6 在平面直角坐标系xoy中，点A的坐标为（2，1），正比例函数y=kx的图象与线段OA的夹角是45°，求这个正比例函数的表达式为 ______ ．7 如图，有一种动画程序，屏幕上正方形ABCD是黑色区域（含正方形边界），其中A （1，1），B（2，1），C（2，2），D（1，2），用信号枪沿直线y=-2x+b发射信号，当信号遇到黑色区域时，区域便由黑变白，则能够使黑色区域变白的b的取值范围为______ ．三、解答题8 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为．（1）求直线AB所对应的函数表达式．（2）点C在直线AB上，且到y轴的距离是1，求点C的坐标．9 如图，在平面直角坐标系中，直线AC：y=-x+2.5与x轴交于C点，与y轴交于A 点，直线AB与x轴交于C点，与y轴交于A点，已知B（-3，0）．（1）求直线AB的解析式．（2）直线AD过点A，交线段BC于点D，把s△ABC的面积分为1：2两部分；求出此时的点D的坐标．10 在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3）、点B（3，0），一次函数y=2x的图象与直线AB交于点M．（1）求直线AB的函数解析式及M点的坐标；（2）若点N是x轴上一点，且△MNB的面积为6，求点N的坐标．11 如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AD=3，A（，0），B（2，0），直线y=kx+b经过B，D两点．（1）求直线y=kx+b的解析式；（2）将直线y=kx+b平移，若它与矩形有公共点，直接写出b的取值范围．12 问题：探究一次函数y=kx+k+2（k是不为0常数）图象的共性特点，探究过程：小明尝试把x=-1代入时，发现可以消去k，竟然求出了y=2．老师问：结合一次函数图象，这说明了什么？小组讨论得出：无论k取何值，一次函数y=kx+k+2的图象一定经过定点（-1，2），老师：如果一次函数的图象是经过某一个定点的直线，那么我们把像这样的一次函数的图象定义为“点旋转直线”．已知一次函数y=（k+3）x+（k-1）的图象是“点选直线”（1）一次函数y=（k+3）x+（k-1）的图象经过的顶点P的坐标是 ______ ．（2）已知一次函数y=（k+3）x+（k-1）的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B①若△OBP的面积为3，求k值；②若△AOB的面积为1，求k值．13 如图，在平面直角坐标系中，A、B均在边长为1的正方形网格格点上（1）求线段AB所在直线的函数解析式；（2）若点P在图中所给网格中的格点上，△APB是等腰三角形，满足条件的点P共有 ______ 个，在图上标出P点的位置．：y=x+b与x轴14 在平面直角坐标系xOy中，直线l1交于点A，与y轴交于点B，且点C的坐标为（4，-4）．（1）点A的坐标为______________，点B的坐标为______________；（用含b的式子表示）（2）当b=4时，如图所示．连接AC，BC，判断△ABC的形状，并证明你的结论；（3）过点C作平行于y轴的直线l2，点P在直线l2上．当-5<b<4时，在直线l1平移的过程中，若存在点P使得△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形，请直接写出所有满足条件的点P的纵坐标．备用图15 如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，且点B的坐标为（0，）将△AOB沿直线AB翻折，得△ACB，若点C的坐标为（，），求该一次函数的表达式．16 如图所示，已知OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，且OA=15，OC=9，在边AB上选取一点D，将△AOD沿OD翻折，使点A落在BC边上，记为点E．（1）求DE所在直线的解析式；（2）设点P在x轴上，以点O、E、P为顶点的三角形是等腰三角形，问这样的点P有几个，并求出所有满足条件的点P的坐标；（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使四边形MNED的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．17 在平面直角坐标系xOy中，有一点C，过点C分别作CA⊥x轴，CB⊥y轴，点A、B 是垂足．定义：若长方形OACB的周长与面积的数值相等，则点C是平面直角坐标系中的平衡点．（1）请判断下列是平面直角坐标系中的平衡点的是 ______ ；（填序号）①E（1，2）②F（-4，4）（2）若在第一象限中有一个平衡点N（4，m）恰好在一次函数y=-x+b（b为常数）的图象上；①求m、b的值；②一次函数y=-x+b（b为常数）与y轴交于点D，问：在这函数图象上，是否存在点M，使S△OMD=3S△OND，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）过点P（0，-2），且平行于x轴的直线上有平衡点Q吗？若有，请求出平衡点Q的坐标；若没有，说明理由．答案与解析一、单选题1B试题解析：解：将（1，1）代入y=kx+2中，1=k+2，解得：k=-1，∴一次函数解析式为y=-x+2．A、∵-1＜0，∴一次函数y=-x+2中y随x的增大而减小，A结论不正确；B、当x=3时，y=-3+2=-1，∴一次函数y=-x+2的图象经过点（3，-1），B结论正确；C、∵k=-1＜0，b=2＞0，∴一次函数y=-x+2的图象经过第一、二、四象限，C结论不正确；D、∵直线y=-x+2与y=-x平行，∴一次函数y=-x+2的图象与函数y=x图象没有交点，D结论不正确．故选B．本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数的性质、两直线相交或平行以及一次函数图象与系数的关系，根据点的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键．2 D试题解析：解：∵直线y=ax+b交x轴于点（4，0），∴ax+b＜0的解集为：x＞4，∵直线y=cx+d交x轴于点（-1，0），∴cx+d＞0的解集为：x＞-1，∴不等式组的解集是：x＞4．故选D．根据直线y=ax+b交x轴于点（4，0），直线y=cx+d交x轴于点（-1，0），再结合图象即可得出两不等式的解集，进而得出答案．本题考查了一次函数与一元一次不等式，属于基础题，关键是正确根据图象解题．3 B试题解析：解：∵直线y=-x+m与y=nx+5n（n≠0）的交点的横坐标为-2，∴关于x的不等式-x+m＞nx+5n的解集为x＜-2，∵y=nx+5n=0时，x=-5，∴nx+5n＞0的解集是x＞-5，∴-x+m＞nx+5n＞0的解集是-5＜x＜-2，∴关于x的不等式-x+m＞nx+5n＞0的整数解为-3，-4．故选B．满足不等式-x+m＞nx+5n＞0就是直线y=-x+m位于直线y=nx+5n的上方且位于x轴的上方的图象，据此求得自变量的取值范围即可．本题考查了一次函数的图象和性质以及与一元一次不等式的关系，要熟练掌握．4 B试题解析：解：从图②图象上观察得到小阳沿着O-M匀速行走时，离摄像机距离越来越近；在弧M-N行走时，离摄像机距离先越来越近，再越来越远，观察图①可得：这个固定位置可能是图①中的P点．故选：B．此题考查了动点问题的函数图象，弄清图象中的数据及变化过程是解本题的关键．5 A试题解析：解：由题意可得，当经过的路线是A→O→D时，从A→O，y随x的增大先减小后增大且图象对称，从O→D，y随x的增大先减小后增大且函数图象对称，故选项A符号要求；当经过的路线是E→A→C时，从E→A，y随x的增大先减小后增大，但后来增大的最大值小于刚开始的值，故选项B不符号要求；当经过的路线是A→E→D时，从A→E，y随x的增大先减小后增大，但后来增大的最大值大于于刚开始的值，故选项C不符号要求；当经过的路线是E→A→B时，从E→A，y随x的增大先减小后增大，但后来增大的最大值小于刚开始的值，故选项D不符号要求；故选：A．本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，明确各个选项中路线对应的函数图象，利用数形结合的思想解答．二、填空题6 y=3x或y=-x试题解析：解：分两种情况：①当直线过第一、三象限时，如图1，过点A作AB⊥OA，交待求直线于点B，过点A 作平行于y轴的直线交x轴于点C，过点B作BD⊥AC于点D，则∠OAB=∠OCA=∠D=90°，∴△OCA∽△ADB，∵A（2，1），∠AOB=45°，∴OC=2，AC=1，AO=AB，∴AD=OC=2，BD=AC=1，∴点D的坐标为（2，3），∴点B的坐标为（1，3），此时正比例函数的解析式为y=3x；②当直线过第二、四象限时，过点A作AB⊥OA，交待求直线于点B，过点A作直线平行于x轴，交y轴于点C，过点B作BD⊥AC，则∠OAB=∠OCA=∠D=90°，∴△OCA∽△ADB，∵A（2，1），AC=2，AO=AB，∴AD=OC=1，BD=AC=2，∴D点坐标为（3，1），∴点B的坐标为（3，-1），此时正比例函数解析式为y=-x，故答案为：y=3x或y=-x．①当直线过第一、三象限时，如图1，过点A作AB⊥OA，交待求直线于点B，过点A 作平行于y轴的直线交x轴于点C，过点B作BD⊥AC于点D，由∠OAB=∠OCA=∠D=90°知△OCA∽△ADB，得==，根据A（2，1）、∠AOB=45°得AD=OC=2、BD=AC=1，即可得点D、B的坐标，从而得出答案；②当直线过第二、四象限时，过点A作AB⊥OA，交待求直线于点B，过点A作直线平行于x轴，交y轴于点C，过点B作BD⊥AC，与（1）同理．本题主要考查待定系数法求正比例函数解析式、相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的判定与性质得出点D、点B的坐标是解题的关键．7 3≤b≤6试题解析：解：由题意可知当直线y=-2x+b经过A（1，1）时b的值最小，即-2×1+b=1，b=3；当直线y=-2x+b过C（2，2）时，b最大即2=-2×2+b，b=6，故能够使黑色区域变白的b的取值范围为3≤b≤6．根据题意确定直线y=-2x+b经过哪一点b最大，哪一点b最小，然后代入求出b的取值范围．本题是一次函数在实际生活中的运用，解答此类题目时一定要注意数形结合的运用．三、解答题8 解：（1）设直线AB所对应的函数表达式为y=kx+b，依题意有解得：故函数解析式为：y=-x+3；（2）①x=1时，y=-+3=；②x=-1时，y=+3=．故点C的坐标为（1，）或（-1，）．试题解析：（1）设出函数解析式，将两点代入，运用待定系数法求解；（2）分两种情况：①x=1；②x=-1；代入直线AB所对应的函数表达式可求点C的坐标．本题考查待定系数法求函数解析式及一次函数图象上点的坐标特征，难度不大，注意掌握待定系数法的运用．9 解：（1）在直线AC：y=-x+2.5中，令x=0，则y=2.5，则A点坐标为（0，2.5），设直线AB的解析式为y=kx+b，则解得．故直线AB的解析式为y=x+2.5．（2）在直线AC：y=-x+2.5中，令y=0，则x=2.5，则C点坐标为（2.5，0），BC=2.5-（-3）=5.5，5.5×=，则点D的坐标为（-3+，0）或（2.5-，0），即（-，0）或（，0）．试题解析：（1）在直线AC：y=-x+2.5中，令x=0，求出A点坐标，再根据待定系数法可求直线AB的解析式．（2）根据等高的三角形面积比等于底边的比可求点D的坐标．本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．10 解：（1）设直线AB的函数解析式为y=kx+b（k≠0）．把点A（0，3）、点B（3，0）代入得：解得：，∴直线AB的函数解析式为y=-x+3；由得：，∴M点的坐标为（1，2）．（2）设点N的坐标为（x，0）．∵△MNB的面积为6，∴×2×|x-3|=6，∴x=9，或x=-3．∴点N的坐标为（-3，0）或（9，0）．试题解析：（1）由待定系数法求出直线AB的解析式，由两条直线的解析式即可得出点M的坐标；（2）设点N的坐标为（x，0）．由△MNB的面积为6得出方程，解方程即可．此题主要考查了两条直线的相交或平行问题，熟练掌握待定系数法求直线的解析式是解决问题的关键．11 解：（1）∵A（，0），B（2，0），AD=3．∴D（，3）．将B，D两点坐标代入y=kx+b中，得，解得，∴y=-2x+4．（2）把A（，0），C（2，3）分别代入y=-2x+b，得出b=1，或b=7，∴1≤b≤7．试题解析：（1）利用矩形的性质，得出点D坐标，进一步利用待定系数法求得函数解析式；（2）分别把点A、C点的坐标代入y=kx+b，[k是（1）中数值知，b未知]求得b的数值即可．此题考查待定系数法求函数解析式、一次函数的图象与几何变换及矩形的性质，以及函数平移的特点，难度较大．12 （-1，-4）试题解析：解：（1）∵一次函数y=（k+3）x+（k-1）整理为y=k（x+1）+3x-1的形式，∴令x+1=0，则x=-1，∴y=-4，∴P（-1，-4）．故答案为：（-1，-4）；（2）∵一次函数y=（k+3）x+（k-1）的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B∴A（，0），B（0，k-1）．①∵△OBP的面积为3，∴|k-1|=3，解得k=7或-5；②∵△AOB的面积为1，∴×|k-1|×||=1，解得k=5或-1．（1）先把一次函数y=（k+3）x+（k-1）整理为y=k（x+1）+3x-1的形式，再令x+1=0，求出y的值即可；（2）先用k表示出AB的坐标，再根据三角形的面积公式即可得出结论．本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．13 4试题解析：解：（1）设直线AB的函数解析式为y=kx+b（k、b为常数且k≠0），依题意，得A（1，0），B（0，2），把A与B坐标代入解析式得：，解得：k=-2，b=2，则直线AB的函数解析式为y=-2x+2；（2）如图，点P共有4个．故答案为：4．（1）设直线AB解析式为y=kx+b，把A与B坐标代入求出k与b的值，即可确定出直线解析式；（2）根据图形确定出满足△APB是等腰三角形时P 的位置，即可得到结果．此题考查了待定系数法求一次函数解析式，以及等腰三角形的判定，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．14 解：（1）（-2b，0），（0，b）；（2）等腰直角三角形，证明：过点C作CD⊥y轴于点D，如图，则∠BDC=∠AOB=90°，∵点C的坐标是（4，-4），∴点D的坐标是（0，-4），CD=4，∵当b=4时，点A，B的坐标分别为（-8，0），（0，4），∴AO=8，BO=4，BD=8，∴AO=BD，BO=CD，在△AOB和△BDC中，∴△AOB≌△BDC，∴∠1=∠2，AB=BC，∵∠1+∠3=90°，∴∠2+∠3=90°，即∠ABC=90°，∴△ABC是等腰直角三角形；（3）-12，，8，试题解析：此题考查了一次函数的图像和性质、全等三角形的性质和判定、等腰直角三角形的判定等知识.（1）分别求出x=0和y=0时，对应的y和x的值，即可求出A、B两点的坐标，（2）先确定出A、B、D的坐标，利用SAS求出△AOB≌△BDC，由此得出∠1=∠2，AB=BC，再利用等量代换即可求出∠2+∠3=90°，即∠ABC=90°；（3）画出所有符合题意的图形，根据全等列出关于b的方程，求解，就可以表示出点P的纵坐标.【解答】解：（1）y=x+b，当x=0时，y=b，∴B（0，b），当y=0时，x+b=0，x=-2b，∴A（-2b，0），故答案为（-2b，0），（0，b）；（2）见答案；（3）如图（1），可证△OAB≌△EPA，∴OA=PE=-2b，AE=OB=-b，∴-2b+（-b）=4，解得：b=-，∴2b=-，∴点P的纵坐标是-；如图（2），可证△OAB≌△EBP，∴OA=BE=-2b，PE=OB=-b=4，∴b=-4，∴OE=-3b=12，∴点P的纵坐标是-12；如图（3），可证△OAB≌△APE，∴OA=PE=-2b，AE=OB=-b，∴-2b-4=-b，解得：b=-4，∴PE=8，∴点P的纵坐标是8，故所有满足条件的点P的纵坐标为：-，-12，8.15 解：过点C作CD⊥x轴于点D，设点A的坐标为（a，0），则OA=a，∵将△AOB沿直线AB翻折得△ACD，C（，），∴AC=OA=a，CD=，OD=∴AD=OD-OA=-a，在Rt△ACD中，根据勾股定理得：AD2+CD2=AC2，即：（-a）2+（）2=a2，解得：a=1，∴点A的坐标为（1，0），设一次函数的表达式为：y=kx+b（k≠0）将A（1，0），B（0，）代入y=kx+b得：解得：，∴该一次函数的表达式为：y=-x+．试题解析：利用翻折变换的性质结合锐角三角函数关系得出CO，AO的长，进而得出A，坐标，再利用待定系数法求出直线AB的解析式．此题主要考查了翻折变换的性质以及锐角三角函数关系和待定系数法求一次函数解析式等知识，得出A，B点坐标是解题关键．16 解：（1）由题意知，OE=OA=15，AD=DE，在Rt△OCE中，由勾股定理得：CE===12，∴BE=BC-CE=15-12=3在Rt△BED中，由勾股定理知：AD2=DE2=BE2+BD2，即DE2=（9-DE）2+32，解得DE=5，∴AD=5∴D（15，5），E（12，9）设DE直线的解析式为y=kx+b，解得k=-，b=25∴DE直线的解析式为y=-x+25；（2）当在x的正半轴上，OP1=OE=15时，点P1与点A重合，则P1（15，0）；当在x的负半轴上，OP2=OE=15时，则P2（-15，0）；当OE=EP3时，作EH⊥OA于点H，有OH=CE=HP3=12，则P3（24，0）；当OP4=EP4时，由勾股定理知P4H2+EH2=P4E2，即（12-P4E）2+92=P4E2解得OP4=EP4=，即P4（，0）；∴满足△OPE为等腰三角形的点有四个：P1（15，0）；P2（-15，0）；P3（24，0）；P4（，0）；（3）作点D关于x的对称点D′，点E关于y轴的对称点E′，连接E′D′，分别交于y轴、x轴于点N、点M，则点M、N是所求得的点．在Rt△BE′D′中，D′E′==5∴四边形DENM的周长=DE+EN+MN+MD=DE+D′E′=5+5．试题解析：（1）由于OE=OA=15，AD=DE，在Rt△OCE中，由勾股定理求得CE的值，再在Rt△BE D 中，由勾股定理建立关于DE的方程求解；（2）分四种情况：在x的正半轴上，OP=OE时；在x的负半轴上，OP=OE时；EO=EP 时；OP=EP时，分别可以求得点P对应的点的坐标；（3）作点D关于x的对称点D′，点E关于y轴的对称点E′，连接E′D′，分别交于y轴、x轴于点N、点M，则点M、N是所求得的点，能使四边形的周长最小，周长且为E′D′+ED．本题综合考查矩形的性质、翻折的性质、勾股定理、待定系数法、轴对称的性质、等腰三角形．注意第2小题中不要漏了某种情况．17 ②试题解析：解：（1）∵1×2≠2×（|-1|+2），4×4=2×（|-4|+4），∴点E不是平衡点，点N是平衡点，故答案为：②；（2）①∵N是第一象限中的平衡点，∴4m=2（4+m），解得m=4，∴N（4，4），∵N 点在y=-x+b 的图象上，∴4=-4+b ，解得b=8；②由①可知一次函数解析式为y=-x+8，∴D（0，8），∴OD=8，且N （4，4），∴S △OND =×4×8=16，∴S △OMD =3S △OND =3×16=48，设M 坐标为（t ，-t+8），则M 到y 轴的距离为|t|， ∴×8×|t|=48，解得t=12或t=-12，当t=12时，-t+8=-4，当t=-12时，-t+8=20，∴存在满足条件的点M ，其坐标为（12，-4）或（-12，20）；（3）∵PQ∥x 轴，且P （0，-2），∴可设点Q 坐标为（x ，-2），∵点Q 为平衡点，∴2|x|=2（|x|+2），该方程无解，∴不存在满足条件的Q 点．（1）计算1×2≠2×（|-1|+2），4×4=2×（4+4）即可求得答案；（2）①（4+m ）×2=4m，可求出m ，把N 点坐标代入一次函数解析式可求得b ；②由一次函数解析式可求得D 点坐标，则可求得△OND 的面积，由条件则可求得点M 到y 轴的距离，则可求得M 点的坐标；（3）可设Q 点坐标为（x ，-2），由平衡点的定义可得到关于x 的方程，解方程进行判断即可．本题为一次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形面积、新定义、分类讨论及方程思想等知识点．解决本题的关键是理解题目中所给的平衡点的定义．本题考查知识点不多，难度不大．。
