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从定积分概念的数学结构谈对“微元法”的理解

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二、 对 微 元 法 的 数 学 理 解
ｆ ｂ ） ｄ ｘ ＝ ｉ 二 ， （ ） △ ＝ ） Ａ ｘ ＋ ） △ ： ＋
＿ ， ３ ） △ ３＋… ＋／ ＜ ） ／ ｔ ｘ ＋…
其中 ， Ａ ＝ ｍａ ｘ｛ Ａ ｘ ｝ ， ∈ ［ １ ， ］ ．
Ｆ （ ） 【 ｆ ， （ ｔ ） ｄ ￡ Ｊ ＝ ， （ ）
目 口 ｄ Ｆ ＝Ｆ （ ） ｄ ｘ＝－ ， ） ｄ ， △ Ｆ
一＿ ， ） △ ＝／ ） ｄ ｘ＝ｄ Ｆ，
【 关键 词】 定积分概念 ； 数 学结构 ； 微元法理解
布鲁 纳 的认 知 结 构 学 习论 认 为 ， 知 识 结 构 的 学 习 有 助 于对 知识 的理 解 和 记忆 ， 也有 助于知识 的迁移． 但 其 中 相 关 的知识点要在学 生 的头脑 中形 成一个 结构 ， 并 达 到 真 正 理 解， 还需要一 个“ 螺旋式 ” 的认 知 过 程 ． 对 定 积 分 概 念 的 结 构 分析 ， 既 有 助 于 将 定 积 分 的 数 学 逻 辑 结 构 与 心 理 认 知 结 构
ｒ
［ ｎ ，
ｆ ， （ ） ｄ ＝Ｆ （ ６ ） 一 Ｆ （ 。 ） ．
事实上 ， 在微积分发展史上 ， 正 是 微 积 分 基 本 定 理 架 起 了微 分 与 积 分 之 间 联 系 的 桥 梁 ， 它 不 仅 给 出 了 计 算 定 积 分 的有效方法 ， 而 且 在 理 论 上 标 志 着 微 积 分 完 整 体 系 的形 成．
本公式 （ 牛顿 一 莱布尼兹公式 ） ， 将 定 积 分
ｒ ｊ ｂ 厂 （ ） ｄ ｘ＝ｌ ｉ ｍ － ＝ ＿
Ｊ ｎ ＾＿’ ０
） Ａ ｘ
统一起来 ， 更有助于学 习者对 “ 微元 法 ” 的 数 学 思 想 和 方 法
进行积极 主动的意 义构建 ， 从 而 达 到 对 定 积 分 概 念 更 深 层 次 的理 解 和掌 握．
的数 学结 构 分 析 出发 ， 给 出寻 找 “ 微 元” 的一 般 方 法 ， 对 定 积 分 概 念 的理 解 和 “ 微 元 法 ”的 掌 握 提 出 了 一 个 有 益 的 参 考
思路 ．
过程 中 ， Ｚ Ｉ ｘ＝ ｄ ｘ ， 根 据 微 积 分 基 本
定理 （ 如图） ， 我们 知 道
化过程 中， ＿ 厂 （ ） △ （ ｉ＝ １ ， ２ ， …， ｎ ， …） 无 穷 累加 的 和 ． 如 何 认识这个 “ 和 ”呢 ？ 首先 ， 这种 “ 和 ” 已不 是 一 般 意 义 的 代 数
似， 求和取极限” ． 在解 决 具 体 问 题 时 ， 这 一 方 法 主要 针 对 求
某 一总量问题 ， 例 如 求 面积 、 体积 、 质量、 功、 液 体压力 等 ， 是 具 有 可 加性 连 续 分 布 的 量 ． 用 定 积分 去 计 算 这 个 量 ， 时 ， 按
不妨设， （ ） 在 闭区间［ ｏ ， ｂ ］ 上连续 ， 则 无 论 闭 区间 ［ ｏ ， ｂ ］ 如何分 ， ｅ［ ， ］如 何 取 ， 所 得 到 无 穷 多项 ， （ ） △
从 古 希 腊 阿基 米 德 的 “ 穷竭 法 ” 、 刘徽 的“ 割 圆术” 、 开 普勒 的“ 行 星 运 动 三 大 定 律 ”， 到 牛 顿 — — 莱 布 尼 兹 微 积 分 理 论 的初 步 确 立 ， 其基 本 思想 方法 可 以概 括 为 “ 分 割 取 近
●
解 题 技 巧 与 方 法
。 ．
鼯 船 ０
—■， ・
●
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攀练
２ ３ ３ ０ １ ２ ）
’ 麟
◎ 李 海 军 盖 丽 （ 海军蚌埠士官学校
【 摘要 】 定积分概念是《 高等 教学》 课程 中的核心概念 ，
与极 限 、 连 续、 导数 、 微 分 及 不 定 积 分 有 着 密切 联 系． “ 微 元 法” 是 定 积 分理 论 应 用 于 实 际 问题 的 一 种 数 学 分 析 方 法 ， 是
不 妨 令 取 ， ｚ ％ ｘ ＝ Ａ ｘ ， 则 部 分 量 △Ｆ 用线性函数， （ ） △ 近 似 代 替 的过 程 ， 可 以表 示 为 △ Ｆ 一＿ 厂 （ ） △ ．
又在 Ａ ＝应 用 于 实 践 的 简 化 形 式． 但在 初学者 的学 习中， 普 遍 存 在 将 这 些概 念 割裂 开来 ， 不 能 有 机 地 联 系在 一 起 ， 导致 应用 “ 微 元法” 只 停 留在 机 械 模 仿 的 层 次 上． 本 文 从 定 积 分 概 念
和的值 （ 定 积分 的值 ）都 存 在 且 唯 一 确 定 的． 即定 积 分 的 值 是 由 函数 厂 （ ） （ 称 为 被 积 函 数 ）与 其 定 义 区 间 ［ Ⅱ ， ｂ ］ （ 称 为 积 分 区 间 ）唯 一 决 定 的 ， 其 值是在 Ａ ＝’ ｍ ａ ｘ ｔ △ ． ｝ 趋 于 零 变
也 就是 说 ， 将 Ｆ无 限 分 割 的 过 程 ， 就 是 求 Ｆ 的 微 分 过 程． 数学上把 ｄ Ｆ ＝， （ ） ｄ ｘ称 之 为 微 元 素 （ 简称微 元 ） ． 从 定
积分定义表达式结构上说 ， 寻 找 量 Ｆ的微 元 ｄ Ｆ ＝． 厂 （ ） 是
计算 Ｆ ＝ Ｊ ／ （ ） ｄ ｘ的关键． 有 了微元 就可 以根据微 积分基
一
和式极限的计算 ， 转 化为求． 厂 （ ）的 原 函 数 Ｆ（ ）在 ［ ｏ ， ６ ］ 上 的增 量 ， 即
、
定 积 分 概 念 的数 学 结 构
根据高等数 学我们 知道 ， 对 于有界 函数 ． 厂 （ ） ， ｂ ］ ， 在 闭区间［ ｏ ， ｂ ］上 的 定 积 分 定 义 表 达 式 为

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定积分的微元法的思想和原理

定积分的微元法的思想和原理

定积分的微元法的思想和原理
微元法是一种以单元为基础的教学设计理论，由美国教育学家托马斯·贝尔（ThomasBell）提出。

该理论认为，有效的教学设计必须精细分解教学内容，组织成微小的教学单元，深入解释。

微元法把教学内容分解为一系列有关联的“微元”，它为每一元建立一个独立的学习任务环境，通过各种媒体手段描述并引导学生们进行学习，在每一元完成后，引导学生们评估自己的学习过程中的微观目标，从而实现全局目标的累积，最终实现达到学习目的。

微元法以学习为主要目的，它的最大特点是将学习者的目标从大的宏观抽象层
次转移到微观具体层次上。

整个系列的学习目标可分为“综述型”（宏观型）和“分解型”（微观型）两部分。

前者以核心问题或主题为中心展开，重在主题内容的学习和理解，后者则以明确的学习任务为基点展开，重点在于细节技能的具体演练和指导学习者实际应用具体技能。

与其他教学方法不同，微元法倡导以学习者为中心，强调充分发挥学习者的主
观能力，同时又增强了学习者的自我管理能力与自我调整能力，强调环境引导和自主学习的结合。

学习者在完成各元学习，主要通过视频、多媒体、互联网、学习软件等多种技术手段自主学习，具有更大的自我掌控学习的能力，既可以获得丰富的知识和技能，同时还可以提高自我的学习质量。

微元法是一种以学习为中心的设计思想，其主要目的是将学习者的目标从宏观
抽象层级转移到微观具体层次上，实现更细致的学习效果。

集合视频、多媒体、互联网、学习软件等技术手段，构建教学环境，让学习者可以规划自己的学习过程，促进自主学习，有效提高学习效果。

第6.1节 定积分的微元法

第6.1节 定积分的微元法


二
定积分的元素法
设U是可用定积分表达的量，则计算量U的步骤为 步骤一 选择函数f(x)，并确定自变量x的变化区间[a, b];
步骤二 在[a, b]内考虑小区间[x, x+dx]，求出相应于这 个小区间的部分量ΔU的近似值f(x)dx.称f(x)dx为量U的元素， 记为dU=f(x)dx． 步骤三 计算U= f ( x ) d x .
(2) 以微分表达式ƒ(x)dx为被积表达式,在[a , b]上作 定积分 (面积元素(微元)进行求和累加)
A

b
d A
a

b
f (x)d x.
a
用定积分来计算的量U具有以下特点： (1)量U与函数f(x)及x的变化区间[a, b]有关,若f(x)≡常 数，则U=f(x)(b－a)． (2)量U对区间具有可加性,即：把[a, b]分成若干部分区 间,则U相应地被分成了许多部分量之和． (3)在区间[a, b]的任一个子区间[x, x+Δx]上，部分量 ΔU≈f (x)Δx．
第6章 定积分应用
求定积分的过程,充分体现了整体与局部、 总量与部分量、变与不变、近似与精确、量变 与质变等矛盾的对立统一,它是对立与统一的完 美结合.它告诉我们,要用辨证的观点化解矛盾， 对待困难问题采取化整为零、各个击破,再积零 为整、整体解决的思想策略不失为一种上策.
第6.1节 定积分的微元法
一、微元法的基本思想 二、关于微元法
一
元素法(微元法)Biblioteka 基本思想如图:曲边梯形 AabB 的面积为定积分,而这个积分的 y y=ƒ(x) B 被积表达式ƒ(x)dx, 正好是区间[a , b]
上的任意小区间[x, x + ∆ x]上的窄曲边 梯形 DEFH 面积ΔA的近似值, 而
定积分的应用之微元法沐风教学

定积分的应用之微元法沐风教学


R 1 (R2 x2 ) tandx tan
R (R2 x2 )dx
R 2
0
y
x2 y2 R2
x
tan (R2 x x2 ) R 2 R3 tan .
3 3 0 优讲课堂
15
2、 旋转体体积 设 旋 转 体 是 由 连 续 曲 线 y f (x) 和 直 线 x a, x b(a b)，及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转而 成（如下图），我们来求它的体积 V .
而第三、第四两步可以合并成一步：在区间 a,b 上无限累加， 即在 a,b上积分. 至于第一步，它只是指明所求量具有可加性，
这是 F 能用定积分计算的前提，于是，上述四步简化后形成实用
的微元法.
定积分应用的微元法：
(一) 在区间 a,b 上任取一个微小区间 x, x dx ，然后写出
在这个小区间上的部分量ΔF 的近似值，记为dF f (x)dx (称为 F 的微元);
2a sin t dt , 2
由于在[0,2π]上，sin t 0 ，故这一拱摆线长为 2
s
2π 0
2a
sin
t 2
dt
4a
cos
t 2
2π
8a.
0
优讲课堂
23
Oa
页左图）为
V π d 2 ( y)dy. c
优讲课堂
A(x) bx
16
y
y
d
x ( y)
c
O
x
-a
O
ax
2
2
2
例 7 求由星形线 x3 y 3 a 3 (a 0) 绕 x 轴旋
转所成旋转体体积（如上右图）.
解 由方程
《定积分的微元法》课件

《定积分的微元法》课件

2 缺点
微元法在处理复杂曲线时可能过于繁琐，需要进行大量的计算。
定积分的性质1：可加性
定积分具有可加性，即对于一个区间[a, b]上的函数f(x)，如果区间[a, b]可以分解为无穷个不相交的子区间[a, c] 和[c, b]，则有∫[a, b] f(x)dx = ∫[a, c] f(x)dx + ∫[c, b] f(x)dx。
微元法的具体步骤
1. 将曲线划分为无穷多个微小区间。 2. 选择一个微小区间，确定微小区间的宽度和高度。 3. 计算微小区间的面积。 4. 将所有微小区间的面积相加，得到曲线下的总面积。
微元法求解示例1
以求解曲线y=x^2在区间[0, 2]下的面积为例。将区间划分为无穷多个微小区间，每个区间的宽度为dx。然后 计算每个微小区间的面积，并将其相加得到总面积。
微元法的引入
微元法是一种使用微小的元素来近似计算整体问题的方法。在定积分中，微 元法采用微小的矩形来近似曲线下的面积，从而实现定积分的计算。
微元法的思路
微元法的核心思路是将整体问题分解为无穷多个微小的部分，并通过对每个 微小部分进行计算来得到整体的结果。在定积分中，我们将曲线划分为无穷 多的微小矩形，并计算每个矩形的面积。
微元法求解示例2
以求解曲线y=sin(x)在区间[0, π]下的面积为例。将区间划分为无穷多个微小区 间，每个区间的宽度为dx。然后计算每个微小区间的面积，并将其相加得到 总面积。
微元法求解示例3
以求解曲线y=1/x在区间[1, 2]下的面积为例。将区间划分为无穷多个微小区间，每个区间的宽度为dx。然后计 算每个微小区间的面积，并将其相加得到总面积。
三角函数积分
三角函数积分是一类涉及三角函数的积分计算。常见的三角函数积分包括正弦、余弦、正切等函数的积分，通 过应用特定的积分公式可以简化计算。