1.3.1柱体,锥题,台体的体积

柱体的体积公式Ｖ柱体＝Ｓｈ
柱体的代表 Ｖ长方体＝Ｓｈ
+
等底面积等高 的任意两个柱 体的体积相等
探究点二 锥体的体积计算公式
问题5：两个底面积相等、高也相等的棱锥
（圆锥）的体积之间有怎样的关系呢？为什么？
探究点二 锥体的体积计算公式
锥体体积公式及其探索思路？
锥体的体积公式Ｖ锥体＝?
锥体的代表 ?
等底面积等高的
+ 任意两个锥体的 体积相等
问题6：三棱柱分割
成三个三棱锥,他们三个 的体积相等吗？为什么？
A’
A’
A C’
B’
C’ B’
C B
A
C
B
总结 锥体体积公式
锥体的体积公式Ｖ锥体＝?
பைடு நூலகம்锥体的代表 三棱锥
等底面积等高的
+ 任意两个锥体的 体积相等
总结提升：
(1)棱锥：V椎体
1 3
Sh(S为底面积，h为棱锥的高）；
祖暅(gèng)原理：幂势既同，则积不容异。
问题1长方体的长、宽、高分别是a、b、c，那么它的 体积是什么？
能否用另外一种形式来表示长方体的体积呢？
V 长方体 abc
V 长方体 sh
问题2改变一下形状，底面积和高有没有改变？
如果用一个平行于水平面的平面去截这堆书，这些 水平截面的面积有什么关系？ 体积有没有改变？ 从这个事实中你得到什么启发？
知道它们前后的体积相等的条件为:
1 .高度相同 2.同一层上每页纸大小(面积)一样 3.每层与放作业本的桌面平行
祖暅(gèng)原理：幂势既同，则积不容异。
祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体, 被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截面 (阴影部分)的面积都相等,那么这两个几何体的 体积一定相等。

B′
h
A
S
D
V = VP − ABCD − VP − A′B′C ′D′
1 = ( S ′ + S ′S + S )h 3
C
B
台体体积
棱台（圆台） 棱台（圆台）的体积公式
1 V = (S′ + S′S + S)h 3 分别为上、下底面面积， 为圆台 其中 S ， S ′ 分别为上、下底面面积，h为圆台
随堂练习
(1)若球的表面积变为原来的2 (1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的 2 倍. 若球的表面积变为原来的 (2)若球半径变为原来的2 (2)若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的 若球半径变为原来的
4 倍.
4.
(3)若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是 1: 2 2 . (3)若两球表面积之比为1:2， 若两球表面积之比为1:2 (4)若两球体积之比是1:2， (4)若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是 1: 若两球体积之比是1:2
例4：圆柱的底面直径与高都等于球的直径. 圆柱的底面直径与高都等于球的直径. 求证： 求证：
2 （1）球的体积等于圆柱体积的 . 3
（2）球的表面积等于圆柱的侧面积. 球的表面积等于圆柱的侧面积.
球的体积
某街心花园有许多钢球（ 例5 某街心花园有许多钢球（钢的密度是 ），每个钢球重145kg， 每个钢球重145kg 7.9g/cm3），每个钢球重145kg，并且外径等于 50cm，试根据以上数据， 50cm，试根据以上数据，判断钢球是实心的还 是空心的．如果是实心的， 是空心的．如果是实心的，请你计算出它的内 3.14，结果精确到1cm 1cm）． 径（π取3.14，结果精确到1cm）． 由于外径为50cm 解：由于外径为50cm 的钢球的质量为： 的钢球的质量为：

S侧= rl
S表= r 2 rl
S表 (r12 r12 r1 r2 )l
an'y S侧 (r1 r提升
an'y
学习新知
巩固新知
总结提升
解：一个花盆需要涂漆的面积为： S= （ 10+5） 10+ 52 - 12 =150 +25 - =174 cm2
an'y
3 2 2 6 1 6 3 cm3 4

4
cm3
学习新知
巩固新知
总结提升
2 cm
96 cm
2
an'y
a 6
3
学习新知
巩固新知
总结提升
知识总结：
an'y
思想方法总结：“分割思想”、“补体思想 ”及“等价转化思想”．
100个花盆需要油漆： 1 100 174 100=174 ml 10000
an'y
学习新知
巩固新知
总结提升
an'y
学习新知
巩固新知
总结提升
解：正六棱柱的体积 V1 =S底 h 圆柱的体积 1 2 V2 =S底 h = （ ）1= cm3 2 4 所以螺帽的体积为 V V1 V2 6 3
圆台
S侧 (r1 r2 )l
r'0
圆锥
S侧 rl
预习落实
学习新知
巩固新知
总结提升
柱体 简单几何 体的体积 锥体
V柱 =Sh
1 V锥 = Sh 3 1 V台 = （S+ S S' +S’ )h 3
一底面为零
台体

(3)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系
(4)求台体的体积转化为求锥体的体积.根据台体的定义进行“补形”, 还原为锥体,采用“大锥体”减去“小锥体”的方法求台体的体积.
【题型探究】 类型一 柱体、锥体、台体的表面积 【典例】1.(2015·陕西高考)一个几何体的三视图如图所示,则该几 何体的表面积为 ( )
2
四个侧面的面积和为(2+8+5×2)×10=200.
所以四棱柱的表面积为S=40+200=240.
【方法技巧】空间几何体的表面积的求法技巧 (1)多面体的表面积是各个面的面积之和. (2)组合体的表面积应注意重合部分的处理. (3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面积时需要将这个曲面展 为平面图形计算,而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.
2.旋转体的侧面积与表面积的求解 (1)求圆柱、圆锥、圆台的侧面积或表面积时,可直接使用公式.但像 圆台的表面积公式比较复杂,不要求记忆,因此,表面积的求解方法是 最重要的. (2)在计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积时,应根据条件计算旋转体的母 线长和底面圆的半径长. (3)这些公式的推导方法向我们提示了立体几何问题的解题思路,主要 通过空间观念等有关知识,将立体几何问题转化为平面几何问题.
Байду номын сангаас
积S1=πr2=π,侧面积S2=2×2+12 ·2πr·2=2π+4,所以此几何体的
表面积S=S1+S2=π+2π+4=3π+4.
2.选D.由已知得l=2r,
S侧 S底
＝
rl r 2
＝
l r
＝2.
3.选D.几何体为直四棱柱,其高为10,底面是上底为2,下底为8,高为4的