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高等概率论第一章：测度与积分第一节：集族与测度(Ω,Φ,μ)---------测度空间①Ω---------------非空集合-------------研究对象全体②Φ----------------σ代数（域）-------由Ω的一些子集组成σ代数对集合的一切有限次或可数次运算封闭Φ{,}φ=Ω-------------平凡的σ代数③μ：Φ+→R （[0,1]）集函数（是Ω的元素的一种测度或度量）例：Ω=[0,1].（a,b]?Ω,((,])a b b a μ- ,I 是Ω的子集，I 为区间，()I μ=I 的长度，Φ=B （[0,1]）=()σε--------包含ε的最小σ代数，[0,1]ε=中的一切开集测度的唯一扩张定理,{:()}n x x ωξω?∈≤∈R Φ 称ξ是可测函数({})a b μξξ<≤---的分布①..()lim ()n x a e μξωμ→∞几乎处处收敛依测度收敛依分布收敛（弱收敛）②ξ是一维可测函数，积分ξωμωΩ（）d ()-------数学期望积分的收敛性---------Lebesgue 控制收敛定理lim ()?lim ()n n x x d d ξωμξωμ→∞→∞ΩΩ=??Fatou 引理，Levy 引理记号、述语：大写英文字母表示Ω的子集（事件）花写英文字母表示Ω的子集组成的集合类（集类，集族）AαBβXχ?δEεΦφΓγHηIι??KκΛλMμNνOο∏πΘθPρ∑σTτYυ??ΩωΞξψψZζ 某集类对某种运算封闭：如A 对可数并封闭指：对?A1，A2，…A n ∈A ，则1i ∞=A i ∈A第二节：集族与测度1. 集合序列的极限设1,2,...,,...,A A An ?Ω111limsup {:}{,,...,}x K k k K k n kAn n An X A A Anωω→∞∞+=∞∞==∈Ω?∈== 可数个不同的，使至少一个发生111lim inf {:}{,,...,}x k k k k n kAn n An A A Anωω→∞∞+=∞∞==∈Ω∈== 除有限个以外，都发生关系：lim inf lim sup n n An An →∞→∞如果lim inf lim sup n n An An →∞→∞=，称{}An 的极限存在，记为lim x An →∞特例：单调上升集合列：121,lim n n A A An An ∞→∞=?=单调下降集合列：121,lim n n A A An An ∞→∞=?=例：A,B 是Ω的两个子集，221,,1,2,n n A A A B n -=== ，则lim sup ,lim inf n n An A B An A B →∞→∞==11((1),1(1))nn An n n=-+-，则lim sup [0,1],lim inf (0,1)n n An An →∞→∞==11(,1)(0,1)2211(,1)(0,1)22n n n n An Bn =-↑=-+↓2几种常用集类的定义：①A 称为一个π类：如果A 对有限交封闭②?称为一个λ类：如果：(a).ω∈ ?;(b). ?对真差封闭：若,A B ∈?,且A B ?,则B A -∈? （c ）?对单调上升（下降）集合列的极限封闭③环A ：如果A 对有限并、差运算封闭（交：()A B A A B =-- ）④代数Φ：如果Φ是环，且Ω∈Φ0（代数对一切有限次运算封闭）⑤σ环A ：如果A 对可数并、差运算封闭（?可数交封闭，极限运算封闭）⑥σ代数（域）Φ：如果Φ是σ环，且Ω∈Φ（σ代数对一切可数次集合运算封闭）⑦单调族M ：如果M 对单调上升（下降）列的极限封闭，即：如果An ∈M ，且An ↑，则1n An ∞=∈ M如果An ∈M ，且An ↓，则1n An ∞=∈ M代数、且又是单调族σ?代数π类、且又是λ类σ?代数A 是任意集类，分别称λ（）A ，σ（）A ，M （A ）是由A 生成的最小λ类，最小σ代数，最小单调类。
《概率论与数理统计》第一章 概率论的基本概念§2．样本空间、随机事件1．事件间的关系 B A ⊂则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生B }x x x { ∈∈=⋃或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ⋃发生B }x x x { ∈∈=⋂且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ⋂发生B }x x x { ∉∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生φ=⋂B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的且S =⋃B A φ=⋂B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件2．运算规则 交换律A B B A A B B A ⋂=⋂⋃=⋃结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ⋂=⋂⋃⋃=⋃⋃ 分配律 )()B (C A A C B A ⋃⋂⋃=⋂⋃）（ ))(()( C A B A C B A ⋂⋂=⋃⋂ 徳摩根律B A B A A B A ⋃=⋂⋂=⋃ B —§3．频率与概率定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率1．概率)(A P 满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P（3）可列可加性：设n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，有∑===nk kn k kA P A P 11)()( （n 可以取∞）2．概率的一些重要性质： （i ） 0)(=φP（ii ）若n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，则有∑===nk kn k kA P A P 11)()(（n 可以取∞）（iii ）设A ，B 是两个事件若B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-，)A ()B (P P ≥ （iv ）对于任意事件A ，1)(≤A P（v ）)(1)(A P A P -= （逆事件的概率）（vi ）对于任意事件A ，B 有)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃§4等可能概型（古典概型）等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同 若事件A包含k个基本事件，即}{}{}{2]1k i i i e e e A =，里个不同的数，则有中某，是，，k k n 2,1i i i ,21 ()中基本事件的总数包含的基本事件数S }{)(1j A n k e P A P kj i ===∑= §5．条件概率（1） 定义：设A,B 是两个事件，且0)(>A P ，称)()()|(A P AB P A B P =为事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率（2） 条件概率符合概率定义中的三个条件1。
高等概率论作业一，高等概率论的发展历程现代概率论的研究方向和研究方法已经获得了极大发展，特别是近几十年，概率论和其他学科逐渐交叉结合，形成了一些新的学科分支和增长点，并且在科学研究和实际应用中都取得了突出成果。
这些成果的取得，都源于概率论公理化体系的建立。
概率论的发展历史一般分为四个时期：（1）萌芽时期（1653年之前），以统计数据为主要手段，分析贸易、保险、赌博、占卜等人类实际生活领域中的一些问题。
（2）古典概率论时期（1654-1811年），用代数及组合方法为研究手段，以研究离散型随机变量为主。
（3）分析概率论时期（1812-1932），用微分方程、特征函数等分析方法为研究手段，以研究连续型随机变量为主。
（4）现代概率论时期（1933年至今），以集合论、测度论的思想方法为主要理论基础，研究方向呈现多元化。
20世纪30年代以来，因为概率论公理化体系的建立以及科学研究中的一些实际问题的推动，概率论得到了快速的发展，不断取得理论上的新突破。
目前主要研究方向有极限理论、独立增量过程、马尔科夫过程、平稳过程和时间序列、鞅和随机微分方程、点过程等。
（1）极限理论极限理论主要研究与随机变量序列或随机过程序列的收敛性相关的问题。
20世纪30年代以后，随机变量序列的极限理论（主要是中心极限定理）的研究，是将独立序列情形的结果推广到鞅差序列等情形，以及研究收敛速度问题。
近年来，由于统计物理学的需要，人们开始研究强相依随机变量序列的非中心极限定理。
自1951年唐斯克提出不变原理（随机过程的极限定理）后，有关随机过程序列的弱收敛的研究成了极限理论的中心课题，普罗霍洛夫及斯科罗霍德在这方面做出了最主要的贡献。
1964年斯特拉森的工作出现后，引起了有关随机过程序列的强收敛的研究，这就是强不变原理。
近年来，鞅论方法已渗透到这一领域，使许多经典结果的证明得到简化和统一处理，并且还导致了一些新的结果。
（2）独立增量过程人们最早知道的独立增量过程是在物理现象中观察到的布朗运动和泊松运动，一般的独立增量过程的研究，归功于莱维，它在20世纪40年代已臻成熟。
高等概率论与数理统计
高等概率论与数理统计是一门数学分支学科，它研究的是随机事件的规律性、概率分布和随机现象的统计规律等。
该学科主要包括概率论和数理统计两个部分。
概率论是研究随机事件及其概率分布规律的数学理论，研究的对象是无法确定结果的随机现象。
概率论主要研究随机变量、随机事件、概率分布、随机过程等概念，以及概率的运算、概率分布的性质和随机过程的统计规律等。
数理统计是研究从已知数据中推断总体特征的一门学科，主要研究样本的统计量及其分布规律以及利用样本信息对总体参数进行估计和假设检验等问题。
数理统计主要包括描述统计和推断统计两个部分，描述统计研究如何对已知数据进行整理、总结和图形化展示，推断统计研究如何从样本中推断总体特征、进行参数估计和假设检验。
高等概率论与数理统计不仅是数学本身的一个重要分支，也是应用数学、统计学、经济学、物理学、生物学等其他学科中的重要工具和方法。
在实际中，它常用于风险评估、决策分析、统计模型的建立和检验等方面，对于随机现象的分析和预测具有重要意义。
高等概率论简介课程名称：高等概率论周学时 3先修课程：概率论，测度论 (实变函数)基本目的：1.在测度论的基础之上，准确掌握概率、事件、随机变量、独立性、特征函数等基本概念。
2.较准确理解大数定律与中心极限定理的内容，清楚各种收敛之间的关系。
内容提要：第一章测度论：(10学时)1) 概率空间(2学时)2) 随机变量及其分布(2学时)3) 积分及性质(2学时)4) 数学期望：各种不等式，积分收敛定理，随机变量函数的数学期望(2学时)5) 乘积测度，Fubini定理(2学时)第二章大数定律(12学时)1)随机变量的独立性：独立性的概念独立性成立的充分条件独立随机变量的性质(4学时)2) 弱大数定理：均方收敛与依概率收敛的概念与关系，三角列的弱收敛定理举例(2学时)3) Borel-Cantelli 引理, Kolmogorov’s 0-1律(2学时)4）随机列的收敛：强大数定律证明（一阶矩存在情况）( 2学时)5) 强大数定律及应用; 收敛速度介绍与大偏差介绍(2学时)第三章中心极限定理(18学时)1) 弱收敛：De Moivre-Laplace收敛定理介绍，弱收敛的定义，各种相关定理(4学时)2) 特征函数：特征函数定义，反演公式，特征函数收敛与弱收敛关系( 4学时)3)中心极限定理：i.i.d列的中心极限定理Linderberg－Feller定理各种应用( 3学时)4) Poisson 极限：收敛到Poisson分布的随机变量列（基本定理及一般定理），Poisson过程与等待时间，复合Poisson过程（3.6节）( 4学时)5)*平稳分布与无穷可分分布介绍（3.7-3.8节）( 1学时)6) 随机向量列的极限定理：弱收敛的等价形式，胎紧性，弱收敛与特征函数收敛关系（3.9节）( 2学时)教材与参考书：1．Durrett R., Probability Theory and Examples (4.1版)， 2013 下载地址： (pdf.file)2．Chung K. L., A course in probability theory (第二版)， 1974 程士宏《高等概率论》，19963．Kallenberg O., Foundations of Modern Probability, 19974．汪嘉冈现代概率论基础，19885．Patrick Billingsley, Probability and Measure, Second Edition, 19866．Patrick Billingsley, Convergence of Probability Measure, 19681 / 1。
高等概率论《高等概率论》是2009年科学出版社出版的图书，作者是胡晓予。
主要介绍测度的扩张定理和分解定理，Lebesgue—Stieltjes测度、可测函数及其积分的基本性质，还有乘积可测空间和Fubini定理等。
第二部分是第4～6章。
主要介绍独立随机变量序列的极限定理，包括中心极限定理、级数收敛定理、大数定律和重对数律。
在介绍中心极限定理之前，介绍了测度的弱收敛、特征函数以及相关结论。
这部分内容突出了经典的概率论证明技巧。
第三部分为第7、8章，介绍一些特殊的随机过程。
第7章介绍离散鞅论，第8章简单介绍了马氏链、布朗运动和高斯自由场。
《高等概率论》适合数学专业的研究生作为教材，亦可作为教师参考用书。
前言第1章测度与积分1.1 符号与假定1.2 集族与测度1.3 测度的扩张1.4 Lebesgue—Stieltjes测度1.5 Hausdorff测度和填充测度1.6 可测函数及其收敛性1.7 可积函数及积分性质习题1第2章测度的分解2.1 测度的Jordan—Hahn分解2.2 Radon—Nikodym定理2.3 Radon—Nikodym定理在实分析中的应用习题2第3章乘积空间上的测度与积分3.1 乘积测度3.2 Fubini定理3.3 无穷维乘积空间上的测度习题3第4章概率论基础4.1 符号与概念4.2 条件概率与条件期望4.3 Borel—Cantelli引理4.4 Kolmogorov零一律第5章中心极限定理5.1 测度的弱收敛5.2 特征函数5.3 Lindeber9中心极限定理5.4 无穷可分分布族5.5 二重随机变量序列的极限定理习题5第6章大数定律6.1 级数收敛定理6.2 大数定律6.3 kolmogorov重对数律习题6第7章离散鞅论7.1 鞅的基本概念7.2 鞅不等式和鞅的几乎处处收敛性7.3 一致可积性与鞅的Lp收敛性7.4 鞅的选样定理第8章随机过程选讲8.1 随机游动与马氏链8.2 布朗运动8.3 高斯自由场。
高等数学(概率论)习题及解答高等数学（概率论）题及解答
1. 题一
1.1. 题目
已知事件A和B的概率分别为P(A) = 0.2，P(B) = 0.3，且P(A∪B) = 0.4，求P(A∩B)。
1.2. 解答
根据概率的加法定理，有：
P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
代入已知数据得：
0.4 = 0.2 + 0.3 - P(A∩B)
P(A∩B) = 0.1
所以，P(A∩B)的概率为0.1。
2. 题二
2.1. 题目
已知某城市一天中的天气分为晴天、阴天和雨天三种情况，其中晴天的概率为0.4，阴天的概率为0.3。
现已知，当下为晴天时，随后一天也是晴天的概率为0.7；当下为阴天时，随后一天为晴天的概率为0.5。
求当下为晴天时，随后一天为阴天的概率。
2.2. 解答
设事件A为当下为晴天，事件B为随后一天为阴天。
根据条件概率的定义，有：
P(B|A) = P(A∩B) / P(A)
已知 P(A) = 0.4，P(B|A) = 0.5，代入并整理得：
0.5 = P(A∩B) / 0.4
P(A∩B) = 0.5 * 0.4
P(A∩B) = 0.2
所以，当下为晴天时，随后一天为阴天的概率为0.2。
以上是高等数学（概率论）习题及解答的部分内容，如有更多问题或需要补充，请随时告知。
高等概率论中的兰姆达系
《高等概率论中的兰姆达系》
在高等概率论中，兰姆达系是一个重要的概念。
在统计学中，兰姆达系（λ系）是一个数列，
其每一个元素都代表着某种事件的发生率或者某种个体的数量。
兰姆达系在加强我们对于概率分布的定量认识方面扮演着重要角色。
兰姆达系最常见的应用就是在泊松分布中。
泊松分布描述了在一个固定时间间隔内某一事件发生的概率，例如在某一时间段内出现的交通事故的数量，或者电话线接收到的呼叫数量。
在泊松分布中，兰姆达系就代表着事件的发生率。
例如，某地区每小时平均发生3次交通事故，那
么兰姆达系就是3。
这个数值可以帮助我们对事件的频率有更加准确的认识。
除了在泊松分布中的应用，兰姆达系还可以在指数分布和几何分布中发挥作用。
在这些分布中，兰姆达系代表着类似事件发生的速率。
例如，在指数分布中，兰姆达系代表了事件发生的平均时间间隔。
无论是在理论上还是实际应用中，兰姆达系都是一个非常有用的概念。
通过对兰姆达系的了解，我们可以更好地理解各种概率分布以及它们在实际情况中的应用。
因此，对于学习高等概率论的学生来说，兰姆达系是一个需要深入研究的重要概念。
高等数学教材概率论概率论是高等数学中的重要分支，研究随机现象的规律和概率计算的理论和方法。
它在各个领域都有广泛的应用，如统计学、金融、工程、生物学等。
本文将从概率的基本概念，到概率模型的建立和常见的概率分布，综合介绍高等数学教材中的概率论内容。
1. 概率的基本概念在概率论中，我们首先需要了解概率的基本概念。
概率是用来描述随机事件发生的可能性大小的数值。
在数学上，概率用一个介于0和1之间的实数表示，0表示不可能事件，1表示必然事件。
而对于一个随机试验而言，它的所有可能结果组成的集合被称为样本空间，样本空间中的每一个元素称为样本点。
2. 概率的计算方法为了计算概率，我们需要引入事件的概念。
事件是样本空间的子集，表示我们关心的某些结果，而不关心其他结果。
对于事件A，它包含样本空间中一部分样本点。
概率的计算方法有经典概型、几何概型、古典概型等。
其中，经典概型适用于样本点等可能出现的情况，几何概型适用于样本点在某个空间内均匀分布的情况，古典概型适用于样本点按一定几率出现的情况。
3. 随机变量与概率分布随机变量是描述随机试验结果的数学模型，通常用大写字母表示，如X、Y等。
随机变量可以分为离散型和连续型。
离散型随机变量只能取有限个或可数个值，例如扔一枚硬币的结果可以是正面或反面。
连续型随机变量可以取无限个值，例如测量某一物理量的结果。
4. 基本概率分布在概率论中，常见的概率分布有伯努利分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、正态分布等。
伯努利分布是最简单的离散型随机变量分布，二项分布适用于重复试验且每次试验结果仅有两种可能的情况，泊松分布适用于计数型问题，均匀分布适用于样本在某个区间内均匀分布的情况，正态分布适用于很多实际问题的模型。
5. 概率论的应用概率论在各个领域都有广泛的应用。
在统计学中，我们可以通过概率论来推断总体的特征；在金融学中，我们可以通过概率论来计算股票的风险；在工程学中，我们可以通过概率论来分析系统的可靠性；在生物学中，我们可以通过概率论来研究基因变异的概率等等。
§1.5 条件概率条件概率乘法公式全概率公式贝叶斯（Bayes) 公式CH1事件B 已发生的条件下事件A 发生的概率，记为)(B A P [引例] 设10件产品中有5件不合格品，而5件不合格品中有3件次品2件废品，现从10件产品中任取一件，求（1）取得废品的概率；（2）已知取到的是不合格品,它是废品的概率。
解：设事件A 表示“取得废品”；事件B 表示“取得不合格品”，则（1）取得废品的概率5/1)(=A P （2）已知取到的是不合格品，它是废品的概率为52)|(=B A P )()(B n AB n =)()()()(ΩΩ=n B n n AB n )()(B P AB P =条件概率Conditional Probabilitydef 1-3 可以验证)|(B A P 满足公理化定义，即（1）1)|(0≤≤B A P ；（2）1)|(=ΩB P ； （3）若 ，，n A A A ,,21是两两互不相容的事件，则 )|()|((11∑∞=∞==n n n n B A P B A P （1-4）B 为样本空间Ω中的两个事件，))B AB （1-3） 发生的条件下事件A 发生的条件概率。
设BA 、为样本空间Ω中的两个事件，0)(>B P ，则称)()(ˆ)|(B P AB P B A P = （1-3） 为事件B 发生的条件下事件A 发生的条件概率。
思考题：条件概率与无条件概率有何区别与联系？由引例及定义1-3不难总结出求条件概率的一般方法：1B 在缩小的样本空间中计算A 发生的概率)|(B A P ；0)(AB P 、)(B ，再按 既然不用定义1-3也可求条件概率)|(B A P ，因此上述定义式可反过来应用，即先求概率)|(B A P 、)(B P ，由此计算)(AB P 。
即得计算积事件概率的乘法公式：事件发生后，在缩小的样本空间中计算事件 02在样本空间中先计算)(AB P P 定义计算)|(B A P 。
高等数学概率论与数理统计课件(一)高等数学概率论与数理统计课件1. 课程简介•高等数学概率论与数理统计是大学数学专业的一门重要课程。
•它是数学学科的基础，也是应用数学的重要工具。
•本课程旨在帮助学生掌握概率论与数理统计的基本概念、理论和方法。
2. 概率论部分2.1 概率的基本概念•概率的定义和性质•随机事件的概率计算方法•条件概率与独立事件2.2 随机变量和概率分布•随机变量的定义和性质•离散型随机变量和连续型随机变量•常见概率分布：离散型和连续型2.3 随机变量的数字特征•期望、方差、标准差的定义和计算•切比雪夫不等式•大数定律和中心极限定理3. 数理统计部分3.1 统计基础•总体和样本的统计特征•参数估计和区间估计•假设检验的基本思想3.2 参数估计•点估计和区间估计的概念•常见的参数估计方法：极大似然估计、矩估计等•置信区间的计算和解释3.3 假设检验•假设检验的基本原理•假设检验的步骤和流程•常见的假设检验方法：单样本、两样本和多样本检验4. 课程学习方法•注重理论和实践相结合，理论指导实践、实践检验理论。
•多做习题，通过刷题巩固知识点。
•参考相关教材和参考书，拓宽知识广度和深度。
•加强课后讨论和交流，与同学共同解决问题。
•关注概率论与数理统计的应用领域，扩展应用实践。
5. 课程考核方式•平时成绩：课堂参与、作业完成情况等。
•期中考试：对课程前半部分的知识进行考核。
•期末考试：对整个课程的知识进行考核。
•课程项目：根据实际情况进行论文、实验等形式进行综合评估。
6. 学习资源推荐•《高等数学》教材，北京大学出版社。
•《概率论与数理统计教程》教材，清华大学出版社。
•《概率论与数理统计习题集》辅导书，高等教育出版社。
•在线学习资源：Coursera、edX、网易云课堂等平台提供的相关课程。
7. 小结•高等数学概率论与数理统计课程是数学专业学生不可或缺的重要课程。
•本课程旨在帮助学生掌握概率论与数理统计的基本概念、理论和方法。
概率论高数知识点总结归纳概率论高数知识点总结归纳概率论是数学中的一个重要分支，研究随机事件的发生概率以及相关统计问题。
在高等数学中，概率论占据着重要的位置，涉及到许多重要的知识点。
本文将对概率论高数中的主要知识点进行总结归纳，帮助读者更好地理解和掌握这一领域的知识。
一、概率的基本概念1. 随机试验：具有不确定的结果的试验称为随机试验，例如掷硬币、抛骰子等。
2. 样本空间：随机试验的所有可能结果构成的集合称为样本空间，记作Ω。
3. 事件：样本空间的子集称为事件，通常用大写字母A、B、C等表示。
4. 概率：概率是一个函数，它将事件映射到实数，表示事件发生的可能性，通常用P(A)表示事件A的概率。
二、事件的关系与运算1. 包含关系：事件A包含事件B，表示为B⊆A。
2. 互斥事件：事件A和事件B不可能同时发生，即A∩B=∅。
3. 和事件：事件A和事件B都发生的集合，表示为A∪B。
4. 差事件：事件A发生而事件B不发生的集合，表示为A-B。
三、概率的性质1. 非负性：对于任意事件A，P(A)≥0。
2. 可加性：对于互斥事件A和B，P(A∪B)=P(A)+P(B)。
3. 完备性：对于样本空间Ω，P(Ω)=1。
4. 减法公式：对于事件A和事件B，P(A-B)=P(A)-P(A∩B)。
四、条件概率与独立性1. 条件概率：在事件B发生的条件下事件A发生的概率，表示为P(A|B)，计算公式为：P(A|B)=P(A∩B)/P(B)。
2. 独立事件：事件A和事件B相互独立，表示为P(A∩B)=P(A)·P(B)。
五、全概率公式与贝叶斯公式1. 全概率公式：设B₁、B₂、…、Bn为一组互不相容事件，且它们的并集构成了样本空间Ω，事件A与B₁、B₂、…、Bn有关，求事件A的概率，计算公式为：P(A)=P(A|B₁)·P(B₁)+P(A|B₂)·P(B₂)+…+P(A|Bn)·P(Bn)。
高等概率论作业一，高等概率论的发展历程现代概率论的研究方向和研究方法已经获得了极大发展，特别是近几十年，概率论和其他学科逐渐交叉结合，形成了一些新的学科分支和增长点，并且在科学研究和实际应用中都取得了突出成果。
这些成果的取得，都源于概率论公理化体系的建立。
概率论的发展历史一般分为四个时期：（1）萌芽时期（1653年之前），以统计数据为主要手段，分析贸易、保险、赌博、占卜等人类实际生活领域中的一些问题。
（2）古典概率论时期（1654-1811年），用代数及组合方法为研究手段，以研究离散型随机变量为主。
（3）分析概率论时期（1812-1932），用微分方程、特征函数等分析方法为研究手段，以研究连续型随机变量为主。
（4）现代概率论时期（1933年至今），以集合论、测度论的思想方法为主要理论基础，研究方向呈现多元化。
20世纪30年代以来，因为概率论公理化体系的建立以及科学研究中的一些实际问题的推动，概率论得到了快速的发展，不断取得理论上的新突破。
目前主要研究方向有极限理论、独立增量过程、马尔科夫过程、平稳过程和时间序列、鞅和随机微分方程、点过程等。
（1）极限理论极限理论主要研究与随机变量序列或随机过程序列的收敛性相关的问题。
20世纪30年代以后，随机变量序列的极限理论（主要是中心极限定理）的研究，是将独立序列情形的结果推广到鞅差序列等情形，以及研究收敛速度问题。
近年来，由于统计物理学的需要，人们开始研究强相依随机变量序列的非中心极限定理。
自1951年唐斯克提出不变原理（随机过程的极限定理）后，有关随机过程序列的弱收敛的研究成了极限理论的中心课题，普罗霍洛夫及斯科罗霍德在这方面做出了最主要的贡献。
1964年斯特拉森的工作出现后，引起了有关随机过程序列的强收敛的研究，这就是强不变原理。
近年来，鞅论方法已渗透到这一领域，使许多经典结果的证明得到简化和统一处理，并且还导致了一些新的结果。
（2）独立增量过程人们最早知道的独立增量过程是在物理现象中观察到的布朗运动和泊松运动，一般的独立增量过程的研究，归功于莱维，它在20世纪40年代已臻成熟。
在这些研究中，包含了许多重要的方法和概念，概率论的许多近代研究课题都直接或间接地受其启发与影响。
（3）马尔科夫过程在实际中遇到的很多随机现象有如下的共同特性：它的未来的演变，在已知它目前状态的条件下与以往的状况无关。
描述这种随时间推进的随机现象的演变模型就是马尔科夫过程。
20世纪50年代以前，研究马尔科夫过程的主要工具是微分方程和半群理论（即分析方法）。
1936年前后就凯斯探讨马尔科夫过程的轨道性质，直到把微分方程和半群理论的分析方法同研究轨道性质的概率方法结合运用，才使这方面的研究工作进一步深化，并形成了对轨道分析必不可少的强马尔科夫性概念。
1942年，伊藤用他创立的随机积分和随机微分方程理论来研究一类特殊而重要的马尔科夫过程——扩散过程，开辟了研究马尔科夫过程的又一重要途径。
近年来，鞅论方法也已渗透到马尔科夫过程的研究中，它与随机微分方法结合在一起，已成为目前除了多维扩散过程的工具。
此外，马尔科夫过程与分析学中的位势论有密切的联系。
对马尔科夫过程的研究，推动了位势理论的发展，并为研究偏微分方程提供了概率论的方法。
近十多年发展起来的吉布斯机场和无穷粒子随机系统，是由于统计物理学的需要而提出的。
（4）平稳过程和时间序列许多自然的和生产过程中的随机现象表现出某种平稳性。
一种平稳性是过程在任意一些时刻上的联合概率分布随时间推移不变，这种平稳性称为严平稳。
严平稳过程的研究与遍历理论有密切的联系。
如果上述对概率分布的要求放宽为仅对二阶相关矩的要求，即过程在任意两时刻上的协方差随时间推移不变，则称这种平稳性为宽平稳。
关于宽平稳过程的研究，辛钦、柯尔莫哥洛夫和维纳等人运用傅里叶分析和泛函分析的工具，在40年代已经找出了过程的相关函数及过程本身的谱分解式，并且较完美地解决了有应用意义的预测问题。
许多应用问题还要去根据观测数据去建立这些数据所来自的随机过程的模型。
为此产生了时间序列分析这一课题，提出了宽平稳序列的自回归滑动平均模型以及一些非线性模型。
（5）鞅和随机微分方程鞅是另一类重要的随机过程。
从20世纪30年代起，莱维等人就开始研究鞅序列，把它作为独立随机变量序列的部分和的推广。
40年代到50年代初，杜布对鞅进行了系统的研究，得到有名的鞅不等式、停止定理和收敛定理等重要结果。
1962年。
P.A.迈耶解决了杜布提出的连续时间的上鞅分解为鞅及增长之差的问题。
在解决这个问题的过程中，出现了很多新鲜而深刻的概念，式鞅和随机过程一般理论的内容大大丰富起来。
鞅的研究丰富了概率论的内容，并引起人们用它所提供的新方法新概念对概率论中许多经典的内容重新审议，把以往认为是复杂的东西纳入鞅论的框架而更加简化。
此外，利用上鞅的分解定理，可以把伊藤清的对布朗运动的随机积分方程的研究也随之发展。
随机微分方程理论不仅可以用来研究马尔科夫过程，它还是解决滤波问题的必要工具。
最近出现的流形上的随机微分方程又和微分几何及分析力学的研究发生了密切的联系。
鞅论还对本学科以外的位势理论、调和分析及复变函数论等提供了有用单位工具。
（6）点过程点过程是从所谓计数过程发展出来的，它们的特点是，可用落在不相重叠的集合的随机点数的联合概率分布来刻画整个过程的概率规律。
最基本的计数过程是泊松过程，1943年，C.帕尔姆将它作为最简单的输入流应用于研究电话业务问题；1955年，辛钦又以严密的数学观点作了整理和发展。
在60年代以前，点过程的研究主要限于泊松过程及其推广的过程。
以后，由于大量实际问题的需要以及随机测度论和现代鞅论的推动，进一步把实轴上的点过程（即计数过程）推广到一般的可分完备度量空间上，在内容和方法上都有根本性的进展。
许多服务系统，如电话通信，船舶装卸，病人候诊，红绿灯交换，存货控制，水库调度，购货排队等，都可用点过程来描述。
下面介绍一下高级概率论的一些相关知识点：二，高等概率论的相关知识点一、集族与测度：(Ω,Φ,μ)---------测度空间①Ω---------------非空集合-------------研究对象全体②Φ----------------σ代数（域）-------由Ω的一些子集组成σ代数对集合的一切有限次或可数次运算封闭Φ{,}φ=Ω-------------平凡的σ代数③μ：Φ+→R （[0,1]）集函数（是Ω的元素的一种测度或度量） 例：Ω=[0,1].（a,b]⊂Ω,((,])a b b a μ- ,I 是Ω的子集，I 为区间，()I μ=I 的长度，Φ=B （[0,1]）=()σε--------包含ε的最小σ代数，[0,1]ε=中的一切开集测度的唯一扩张定理,{:()}n x x ωξω∀∈≤∈R Φ 称ξ是可测函数({})a b μξξ<≤---的分布①..()lim ()n x a e μξωμ→∞⎧⎪⎨⎪⎩几乎处处收敛依测度收敛依分布收敛（弱收敛） ②ξ是一维可测函数，积分ξωμωΩ⎰（）d ()-------数学期望积分的收敛性---------Lebesgue 控制收敛定理lim ()?lim ()n n x x d d ξωμξωμ→∞→∞ΩΩ=⎰⎰ Fatou 引理，Levy 引理记号、述语：大写英文字母表示Ω的子集（事件）花写英文字母表示Ω的子集组成的集合类（集类，集族）AαBβXχ∆δEεΦφΓγHηIιϑϕKκΛλMμNνOο∏πΘθPρ∑σTτYυςϖΩωΞξψψZζ某集类对某种运算封闭：如A 对可数并封闭指：对∀A1，A2，…A n ∈A ，则1i ∞= A i ∈A二、集族与测度1. 集合序列的极限设1,2,...,,...,A A An ⊂Ω111lim sup {:}{,,...,}x K k k K k n k An n An X A A Anωω→∞∞+=∞∞==∈Ω∃∈== 可数个不同的，使至少一个发生111lim inf {:}{,,...,}x k k k k n k An n An A A Anωω→∞∞+=∞∞==∈Ω∈== 除有限个以外，都发生关系：lim inf lim sup n n An An →∞→∞⊂ 如果lim inf lim sup n n An An →∞→∞=，称{}An 的极限存在，记为lim x An →∞特例：单调上升集合列：121,lim n n A A An An ∞→∞=⊂=单调下降集合列：121,lim n n A A An An →∞=⊃= 例：A,B 是Ω的两个子集，221,,1,2,n n A A A B n -=== ，则lim sup ,lim inf n n An A B An A B →∞→∞== 11((1),1(1))nn An n n =-+-，则lim sup [0,1],lim inf (0,1)n n An An →∞→∞== 11(,1)(0,1)2211(,1)(0,1)22n n n n An Bn =-↑=-+↓ 2几种常用集类的定义：①A 称为一个π类：如果A 对有限交封闭②∆称为一个λ类：如果：(a).ω∈ ∆;(b). ∆对真差封闭：若,A B ∈∆,且A B ⊂,则B A -∈∆（c ）∆对单调上升（下降）集合列的极限封闭③环A ：如果A 对有限并、差运算封闭（交：()A B A A B =-- ） ④代数Φ：如果Φ是环，且Ω∈Φ0（代数对一切有限次运算封闭） ⑤σ环A ：如果A 对可数并、差运算封闭（⇒可数交封闭，极限运算封闭）⑥σ代数（域）Φ：如果Φ是σ环，且Ω∈Φ（σ代数对一切可数次集合运算封闭）⑦单调族M ：如果M 对单调上升（下降）列的极限封闭，即：如果An ∈M ，且An ↑，则1n An ∞=∈ M如果An ∈M ，且An ↓，则1n An =∈ M代数、且又是单调族σ⇒代数π类、且又是λ类σ⇒代数A 是任意集类，分别称λ（）A ，σ（）A ，M （A ）是由A 生成的最小λ类，最小σ代数，最小单调类。
如：σ（）A 是A 生成的最小σ代数指： ①σ（）A 是σ代数，且σ⊃（）A A②如果Φ是σ∀代数，且Φ⊃A ，且σ⊂（）A F ⇒σσ⊃= 是代数（）F A F A F单调类定理的两种形式和证明方法：λπ-类方法：设C 是一个π类，D 是λ类，且⊂C D ，则：σ⊃（）D C 单调族方法：设0F 是一个代数，M 是一个单调族，且0⊃M F ，则σ⊃0（）M F推论：πλλσ==是类，（），则（）（）C D C C C0000σ==是代数，（），则（）（）F M M F M F F证明：λσ⊂（）（）C C ，显然（σλ （）是包含的类C C ） 只要证λσ⊃（）（）C C ，令λ=（）D C 如果D 对有限交封闭，则D 是一个σ代数C 11111.2.A \A A 3.A ,,B ,B B ,B ,lim B n n C C n k n k k k n n n k n k A A A ==∞→∞=Ω∈⎛⎫ ⎪∈Ω=∈ ⎪⎪∈==∈ ⎪ ⎪⎪ ⎪∴∈↑=∈ ⎪⎝⎭，D D D D D D D()σ∴⊃D C①A {B A B }A ∀∈=⊂Ω∈ 固定，令；C H D验证：A A A B,C B C C-B A C A-B A λ⊃∈⊂∈ 是类，且，，则（）=H H CH DA ∴⊃H D ,即对AB ,A B ∀∈∈∈ ，CD D②B B ={E :E B }∀∈⊂Ω∈ 固定，令D H D验证：B B B λλ⊃∴⊃=，且是类（）H C H H D C ，即B ,E B E ∀∈∀∈∈ ，D D D# 方法：实际中，要证明σ代数()σC 中集合（元素）具有某种性质（*），先证C 中元素具有性质（*），然后将定义类{:*}A A =∈Ω具有性质（）D 。
