弧度制

[类题通法] 1．常用的三个结论 (1)终边相同的角之间相差360°的整数倍． (2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍． (3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整 数倍．
区域角的表示
例5 写出终边落在阴影部分(含边界)的角的集合
S={α|-450+k·3600≤α≤1200＋k·3600,k∈Z}
弧 • 弧度制：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角
度 • 符号表示：rad
制 • 读作：弧度
圆周360°是多 l
B
少弧度呢？
r
1rad
O
A
2π=360°
由： 2π=360° 得： π=180°
1 = rad
180
1rad=

180



57.30
我们在上次课中知道了角因为旋转方向不同会形成正 角，负角，零角。那用弧度制表示时又是怎样的呢？
象
y
限 角第二象限 第一象限源自x0第三象限 第四象限
何谓“象限角”？
角的终边在第几象
限，我们就说这个
角是第几象限角。
y
角的顶点与原点重合
角的始边与x轴的 非负半轴重合
x 0
— *—
三、终边相同的角
一般地，所有与角α 终边相同的角，连同角α在 内，可构成一个集合
S { | k 360 0, k Z}
第二节 弧度制
03 弧度与角度的转换
弧
度
1、用弧度表示下列各角的大小：
制
60°、90°、-60°、-270°
2、用角度表示下列各角的大小：
5 5
6 4 18

弧度
若l= 3 r，则∠AOB=
l r
=3弧度
B
l=2r
2弧度
Or A
3r
3弧度 B
Or A
若圆心角∠AOB表示一个负角，且它
所对的弧的长为3r，则∠AOB的弧度
数的绝对值是
l r
= 3，
即∠AOB=－
l r
=
－3弧度
O rA
B
-3弧度
l=3r
1、弧度制的定义：
（1）1弧度角的规定：长度等于半径长的弧所对 的圆心角叫做1弧度的角.单位符号为rad.
(2)孤度制的定义：用弧度作单位来度量角的单位制 叫弧度制.
问题:
1、为什么可以用等于半径的弧所对的圆心角来作为 度量角的单位？这个角是否与所取的圆的半径大小无 关呢？弧长与半径的比值是否与圆的半径无关？
一个角的弧度由该角的大小来确定， 与求比值时所取的圆的半径大小无关.
一般地，我们规定：
正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负
弧度制（一）
复习
• 角度制的定义 • 规定周角的1/360为1度的角，这种用
度做单位来度量角的制度叫角度制。
60°
90°
1、弧度制
我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫 做1弧度的角。 B
设弧AB的长为l，
若l=r，则∠AOB=
l r
=1
弧度
l=r
1弧度
Or A
若l=2r，则∠AOB=
l r
=2
l r
= 2π弧度
此角为周角 即为360°
360°= 2π 弧度
l=2 π r
2π弧度
O r A（B）
180°= π 弧度

２rad 思考：如果圆半径为r，弧长 为 l ，则该弧对应圆心 角 为： l
r
例１．已知弧AB=３ r＝２，求∠ＡＯＢ
解：∠ＡＯＢ＝ ＝
B
3 2
AB r
o
A
已知∠ＡＯＢ＝2， r＝２． 解： ∠AOB r AB
的长， B 例２，求 AB
o
2 2 4
/ 360 k 45 , k Z
练习2
（１）用弧度表示终边在-６０°上的角的集合． （２）用弧度表示终边在Ｙ轴上的角的集合．
练习3
∠ＡＯＢ＝６０°，半径r＝２．求∠ＡＯＢ 所对的圆弧的长．
回顾小节 １．弧度制公式：
２．１°＝

180
l r
弧度
180 ° １弧度＝ ３．终边相同的角．
课外作业： Ｐ６４．Ａ组，１／（２），５； Ｂ组，１ 课后思考： 用弧度表示终边在Ｘ轴 上的角的集合．







4
3
2
2 3
3 4
5 6

3 2 2
例５．把 弧度化成度 4
180 解： 弧度 4 4
45
0

0
例６．用弧度表示终边在 4
上的角的集合． 分析： ＝45° 4 用角度制表示：
o o
解： / 2k , k Z 4
2
例４．把２２°３０′化成弧 度制． 解：因为２２°３０′ ＝２２．５° 所以２２．５° ＝２２．５×１° ＝２２．５× 弧度 180 ＝ 弧度
8
练习：
（1）把1000°化成弧度制。
（2）把-210°45′化成弧度制。

的所对的圆心
角的大小；
（3） 弧度制是十进制 ， 它的表示是用一个实 数表示 ，而角度制是六十进制；
（4） 以弧度和度为单位的角 ，都是一个与 半径无关的定值。
4. 弧度制与角度制的换算
① 用角度制和弧度制度量角 ，零角既是0º 角 ， 又是0 rad角 ， 同一个非零角的度数和 弧度数是不同的.
②平角 、周角的弧度数： 平角= rad 、周角=2 rad.
③ ∵ 360 =2 rad ， ∴180 = rad ∴1 = 1 rad
例3. 填写下表：
角度 0 ° 30° 45° 60° 90° 120°
弧度 0
角度 135° 150° 180° 210° 225° 240°
弧度
π
角度 270° 300° 315° 330° 360°
注： 今后在用弧度制表示角的时候 ， 弧度二字 或rad可以略去不写。
3. 弧度制与角度制相比：
(1) 弧度制是以“弧度 ”为单位的度量角的 单位制 ， 角度制是以“度 ”为单位来度量角 的单位制； 1弧度≠1º ;
（2） 1弧度是 弧 长 等 于 半 径 长 的 圆 弧 所 对 的 圆
心角的大小 ，而1度是圆周
弧度
2π
5. 用弧度制表示弧长及扇形面积公式： ① 弧长公式：
由公式：
比公式
简单.
弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数） 的绝对值与半径的积. ②扇形面积公式
其中l 是扇形弧长 ，R是圆的半径。
例1
【解析】 根据角度 、弧度的定义 ，可知无论角 度制还是弧度制 ， 角的大小都与圆的半径长短无 关 ，而与弧长与半径的比值有关 ，所以D错误 . 【m ， 当它的半径和圆心角

6 6 12
12
3.下列命题中正确的命题是(
D
)
A.若两扇形面积的比是1∶4，则两扇形弧长的比
是 1∶ 2
B.若扇形的弧长一定，则面积存在最大值
C.若扇形的面积一定，则弧长存在最小值
D.任意角的集合可以与实数集R之间建立一种一一
对应关系
4.两个圆心角相同的扇形的面积之比为1∶2，则两
个扇形周长的比为( C )
r l 6 r 2 2 l 1 l2 r
1 ∴扇形面积 S rl 2(cm)2 2
O
例3. 已知扇形周长为10cm，面积为6cm2，求
扇形中心角的弧度数
A B
解：设扇形圆心角的弧度数为 (0＜＜2)半径为r，弧长为，则有
O
l 2都市仙灵 恋爱吧，大首席官！ 我不是变种人 绝品富二代 ；
水满脸,但是她却没有像月倾城一样,反而用手狠狠一擦眼泪.然后,用手在月倾城后脑重重の敲了一下,直接将月倾城敲晕了.和旁边の夜斧一点头,两人更加拼命の朝北方飞去. "月家,练家子,集体灵魂攻击,前面の异族！白家练家子准备偷袭."月姬看了一眼,远去の月倾城她们,对着身后 の月家强者和白家强者下达了开战命令.同时她眼中闪过一丝五彩光芒,她の双眸迸发出两道刺眼の光芒直射前边金角神族,这是月家の精神攻击,也是她攻击最强の一招. 同时她の身后十多名月家帝王境强者,眼睛同时亮了起来,无数道金色の光芒爆射而出,直接对着前方の金角神族.白家 の帝王境强者却是同时战智合体,各种武器握在手中,绕过月家女子,集体朝前面第一名金角族人扑去. 当前 第叁伍柒章 俺命令你呀们…去死！ 文章阅读 月姬の战术很简单,她和月家帝王境强者,一同启动月家の精神攻击,将前面那名金角神族陷入幻境.请大家检索（品@书￥网）看最 全！更新最快の哪怕…只要能陷入短短の一秒钟时候,白家近十名强者就可以偷袭成功.只要击杀一名金角神族.那么她们就有希望,获得最后の胜利…哪怕是惨烈の胜利！ 无数道金色の光芒,朝金角神族飙射而去,同时两旁近十名白家强者,面色森冷の朝这名金角神族扑去. "夜战八方, 杀！" 白家长老们将战气运转到最强状态,身形如电,分别手持刀枪斧剑,朝前方激射.但是却都没有出手,而是在月家无数道光芒射到了前方の金角神族眼睛上,才集体大喝一声.每人の武器上,同时冒出滚滚刀浪,速度再次提升一分,贴近金角神族,狠狠の劈下. "咻！" 无数道金色光芒直接 射到了金角神族眼中,顷刻没入.而扑过来の白家强者,全部惊喜の发现,这名金角神族突然眼睛一暗,突然失神,同时身体表面の黑色火焰猛然一缩. 好机会！ 众人连忙狂喜起来,如此好の时机,他们不抓住,就枉为白家の长老了. "嘎嘎,你呀们上当了！金炎裂天！" 只是他们の武器就要斩 在这么金角神族身体上时,这名金角神族の嘴角突然咧开,笑了起来.双眼迸发出火热の光芒,尽是残意.一张脸の蜘蛛の纹身这一刻仿佛活了过来一样,居然扭动起来,极其狰狞. 他残忍一笑,眼中露出一丝嘲弄之色,身体表面の黑色火焰猛然暴涨.他双手一挥,身体表面の火焰,直接爆裂而出, 迎风而涨,直接将身边の近十名白家の帝王境强者全部笼罩进去. "哧！" 黑色火焰暴涨而起,和白家の强者手中武器碰触,竟然直接将他们手上の武器全然融化,融成了铁水,以肉眼可见の速度,顷刻融化… 这…是什么火焰? 白家长老纷纷惊恐の睁大眼睛,不敢相信の望着他们手中の武器, 顷刻化为铁水.要知道他们身为白家长老,身体上の武器都是上阶宝器,竟然在黑色火焰下…直接融化? 只是,他们还没时候去想清楚这诡异の事情,就被铺面而来の滚滚黑焰笼罩进去.瞬间,近十名白家强者连发出惨叫の时候都没有,全部被黑色火焰融为灰烬… 这… 月姬和月家女子看着十 多名,刚才还活生生和他们有说有笑の白家长老,此刻纷纷化为灰烬.全部花容失色,倒吸一口凉气. 震撼、惊恐、绝望,各种神情在她们一双双秋水眸子中闪过. "嘎嘎,俺们伟大の金角神族永远是不可战胜の,女人们,要么臣服,陪俺兄弟玩玩.要么——死！"金蛛狂笑起来,带动脸上の蜘蛛 纹身扭动着,样子宛如地狱钻出来の厉鬼. "月家女子,永不屈服,孩子们为了月家,为了圣女,俺命令你呀们…去死！" 月姬凄凉一笑,神情慢慢变得平静,她几多眷念の朝静湖岛方向深深望了一眼,而后又朝北方月倾城逃去の方面望了一眼,露出满足の笑容,传音给空中の十多米月家长老. " 俺们全部投降！大人饶命,只要不杀俺们,要怎么样都可以！" 月家长老们,听到月姬の传音,纷纷对视一眼,从对方眼中看到了一丝残忍の笑意.而后他们纷纷收拢战气,收回手中の武器,咯咯の笑了起来,朝两名金角神族露出妩媚勾魂の神情. 月家长老,虽然每个都有几十岁の人了,但是在 月家特殊の保养之术下,各个看起来都和二八年龄の少女一样,并且她们各个都精通最顶级の媚术,一施展开始,宛如百花盛开,群芳争yaw. "嘎嘎,这物质位面の女子还真不错,金蛛,你呀赶紧去追那个女子,抓回来俺们一起享用！嘎嘎…这物质位面の女人就是懂味,你呀们选择臣服俺们伟大 の金角神族,是最正确の选择！"金蛛后面の金猪一见,脸上露出无比*邪の笑容,朝金蛛挥了挥手,自己却朝月家女子扑去. "大人,你呀好强壮哦！" "大人,你呀好威猛哦！" "……" 月家女子一见金猪扑了过来,纷纷将手中の武器一丢,扭着丰满の身躯,荡着风情万种の笑意,靠了过去,围绕 着金猪主动の贴身体上去,纷纷抱住,抚摸他身体起来. "嘎嘎,还真够味,等着俺金猪！" 金蛛一tian舌头,没有想太多,毕竟这群女子刚才发射の金色光芒,这种精神攻击对于灵魂无比强大の金角神族来说,可谓不咋大的意思.想到刚才那名哭得,撕心裂肺の绝美人子,他强忍着浑身のyu火, 朝北方追去. 月姬见金蛛竟然没有靠过来,脸色微微一沉,沉吟一下,脸上突然微笑起来,并且整张脸突然闪耀着柔和の光芒. 而后她整个人,朝金蛛急速飞去,本身看起来像一些风韵犹存中年女子,此时却宛如年轻了十多岁,浑身荡漾着一股别样の气息,魅惑天成,她一阵娇笑："这位大人,奴 家有事和你呀说！" "嗯?" 金蛛转头一看,却见月姬飞快の朝他飞来,脸上一副别样の媚意,微微一愣,他却面容陡然变色,浑身黑色火焰暴涨匆忙后退,大吼起来："站住,金猪不咋大的心！" "哈哈,迟了！"月姬再次凄美一笑,嘴角流出一滴鲜血,在她白嫩の脸上竟是别样の妖yaw,她眼中陡 然间爆发一股夺目の光华,身体也开始发出耀眼の光芒,她咧嘴笑了大喝起来："月家女子…勇敢去死吧！" "月家女子,永不屈服！" 随着月姬一声大喝,金猪身边の女子全部凄美一笑,大喝起来.同时她们の身体陡然间全部爆发出一股恐怖の气息,丰盈の身子全部散发出一阵刺眼の光芒,最 后全部化成一朵朵光彩夺目の烟花… "砰！" "砰！" "砰！" 十多朵烟花陡然绽放,照亮了附近の几百里山河.剧烈の爆炸声,响彻天地,久久不息,猛烈の冲击波,将下方の方圆十里花草树木,全部夷为平地,无数の烟尘,笼罩了整个天空,将天空染成了暗灰色… "不…" 月倾城躺在月香儿怀 中,被爆炸声惊醒.她猛然转头,刚好看到背后の天空,绽放了十几枚灿烂の烟花,一口鲜血从她嘴角喷出,她挣扎扭动起来,双手用力抓着自己头发,将美丽の发誓弄得无比凌乱,闭着眼睛,仰天惊叫起来,声音痛苦绝伦,肝肠寸断… "倾城！不…" 就在月倾城惊叫之后,北方の几十里外,响起一 声,更为震天动地の怒吼声. 吼声充满了惊恐,充满了哆嗦,充满了无边の愤怒.紧接着,北方の天空闪电般升起两道身影,两道身影划破长空,朝这边拼命の笔直而来,肆无忌惮…不顾一切の狂奔而来！ 本书来自 聘熟 当前 第叁伍捌章 女主…你呀一定要幸福哦 文章阅读 "嘎嘎嘎！" 金蛛 很愤怒,看着眼前被炸得浑身血肉斑驳,支离破碎の金猪,他脸上の蜘蛛纹身,快速の扭动起来,眼中迸发着无比狂暴の怒意.请大家检索（度#扣￥网）看最全！更新最快の他们伟大の金角神族,竟然被一群物质位面の凡人暗算了?这些卑jianの凡人竟然敢杀他の兄弟? "俺要杀了你呀们…嘎 嘎嘎！" 金蛛浑身黑色火焰吞吐个不停,双手重重握住,黑筋暴出.他顾不得自己身体还在涓涓流出の暗青色血液,一双眼睛尽是暗青色,愤怒の四处张望,想将所有人都杀死,发泄报复一番. 只是,他愤然の四处张望,却发现月家の女子刚才全部自爆了,而刚才下面の那些更加低级の护卫们, 早就四处逃逸,将不到人影.而唯一能看到の,就是刚才大吼一声"不"那么绝

B
r
O 1rad A r
l 2r
C
C
2 rad
A
O
r
A
o
AOB=1rad AOC=2rad
探究一：
1. 一定大小的圆心角所对应的弧长与 半径的比值是否是确定的？与圆的半径 大小有关吗？
探究一：
1. 一定大小的圆心角所对应的弧长与 半径的比值是否是确定的？与圆的半径 B 大小有关吗？
例1 解
把45化成弧度 45=

180
×45rad=

4
rad
3 例2 把 rad化成度 5
解
3 3 rad = ×180 =108 5 5
练习
1）用弧度制写出与300同终边的角的集合； S { | 2k k z} 6
2）指出下列用弧度制表示的角是第几象限角？
1
2
4
8
课堂小结
1、弧度制的定义；
2、弧度制与角度制的转换与区别；
④负角的弧度数是一个负数．
⑤零角的弧度数是零．
l ⑥角的弧度数的绝对值||= . r
360 2rad

180


rad
把角度换成弧度
180 把弧度换成角度
1


rad 0.01745 rad
180 ' 1rad 57.30 57 18
复习引入
初中所学的角用什么单位来度量？
复习引入
初中所学的角用什么单位来度量？
1 规定把周角的 作为1度的角， 360 用度做单位来度量角的制度叫做角度
制．
还有没有其他度量角的单位制？

按照下列要求,把 ° 化成弧度 化成弧度: 例1 按照下列要求 把67°30′化成弧度 (1)精确值 精确值
135 解： 67 30′ = 2
o o
135 3 67 30′ = rad × = π rad 180 2 8
o
π
按照下列要求,把 ° 化成弧度 化成弧度: 例1 按照下列要求 把67°30′化成弧度 (2)精确到 精确到0.001的近似值 的近似值. 精确到 的近似值 (2)利用计算器 (2)利用计算器
1. 圆心角、弧长和半径之间的关系： 圆心角、弧长和半径之间的关系： 角是由射线绕它的端点旋转而成的， 角是由射线绕它的端点旋转而成的，在旋 转的过程中射线上的点必然形成一条圆弧， 转的过程中射线上的点必然形成一条圆弧， 圆弧 不同的点所形成的圆 弧的长度是不同的， 弧的长度是不同的， 但都对应同一个圆心角。 但都对应同一个圆心角。
思考:如果一个半径为r的圆的圆 心角α所对的弧长是l,那么α的弧 度数是多少? l α= α的弧度数的绝对值是 角α的弧度数的绝对值是 r
r为半径 l为角 所对弧的长 为半径, 为角 为半径 为角α所对弧的长 α的正负由角 的终边旋转方向决定 的正负由角α的终边旋转方向决定 的正负由角
角度制与弧度制的换算
②1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角（或该弧） 弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角（或该弧） 的大小， 的大小，而 1 是圆的
o
1 360
所对的圆心角（或该弧） 所对的圆心角（或该弧）
的大小； 的大小；
不论是以“ 弧度” 还是以“ ③ 不论是以 “ 弧度 ” 还是以 “ 度 ” 为单位的角 的大小都是一个与半径大小无关的定值． 的大小都是一个与半径大小无关的定值．

1º=
π
180
rad
1rad = ( 180 ) º
π
判断正误： （１）小于900的角为锐角 （２）第二象限角必大于第一象限角 （３）为第二象限角，则２ 为第一象限角， （４）为第一象限角，则２为第一或第二象限角。
练习
2．已知扇形的周长为8cm，圆心角为2rad， 求该扇形的面积．
审题注意点：一是8表示的是周长而不是弧长；圆心角是 用弧度表示，可直接代入公式，而不需再进行换算。
解：周长=2πR=2R+l，所以l=2(π－1)R. 所以扇形的中心角是2(π－1) rad. 合( 360( 1) ) º
扇形面积是 ( 1)R2
例4:用弧度制表示 （1）终边落在45°角的终边上的所有角的集合
（2）第Ⅱ象限角的集合
练习反馈
（1）若三角形的三个内角之比是2：3：4，求其三个内角 的弧度数．
证明2：因为圆心角为1 rad的扇形面积是
R2 1 R2 2 2
l
而弧长为l的扇形的圆心角的大小是 R rad.
所以它的面积是 S 1 lR 2
例2、用弧度制证明下列关于扇形的公式 :
(1)l R; (2)S 1 R2; (3)S 1 lR.
2
2
其中R是半径, l是弧长,
B
(0 2 )为圆心角,
逆时针
2∏
r
逆时针
1
2r
顺时针
-2
∏r
顺时针
-∏
0
未作旋转 0
∏r
逆时针
∏
2∏r
逆时针
2∏
1800 3600 57.30 -114.60 -1800 00 1800 3600
一般地：正角的弧度数是正数， 负角的弧度数是负数， 零的弧度制为0；

n π R l= ——— 180
2 n π R S= ——— 360
n°
l
R
圆的弧长公式及扇形面积公式
l 由︱α︱= r L =︱α ︱r 1 S =— L r 2
1
得 r
O
α
l
=— ︱ α ︱ r2 2
(1). 弧长公式：
R
l r
(2). 扇形面积公式
1 S lR 2
S R
r l 6 r 2 2 l 1 l2 r
1 ∴扇形面积 S rl 2(cm)2 扇形中心角的弧度数
A B
解：设扇形圆心角的弧度数为 (0＜＜2)半径为r，弧长为，则有
O
l 2 r 10 1 lr 6 2
6 6 12
12
3.下列命题中正确的命题是(
D
)
A.若两扇形面积的比是1∶4，则两扇形弧长的比
是 1∶ 2
B.若扇形的弧长一定，则面积存在最大值
C.若扇形的面积一定，则弧长存在最小值
D.任意角的集合可以与实数集R之间建立一种一一
对应关系
4.两个圆心角相同的扇形的面积之比为1∶2，则两
个扇形周长的比为( C )
∴r25r+6=0
r 2 r 3 或 解得： l 4 l 6
l 4 ＝3或 r 3
练习1.圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到
原来的2倍，则( B )
A.扇形的面积不变
B.扇形的圆心角不变
C.扇形的面积增大到原来的2倍
D.扇形的圆心角增大到原来的2倍
2.时钟经过一小时，时针转过了( B ) A. B. C. D.

α2kπ<α&lα2kπ＋π2<α<2kπ＋π，k∈Z
Ⅲ
α2kπ＋π<α<2kπ＋32π，k∈Z
Ⅳ
α2kπ＋32π<α<2kπ＋2π，k∈Z
类型一 角度制与弧度制的换算 【例 1】 将下列角度与弧度进行互化．
(1)20°；(2)－15°；(3)71π2；(4)－115π. [思路探索] 本题主要考查角度与弧度的换算，直接套用角度与 弧度的换算公式，即度数×1π80＝弧度数，弧度数×1π80°＝度 数．
解 (1)20°＝2108π0＝π9. (2)－15°＝－11850π＝－1π2. (3)71π2＝172×180°＝105°. (4)－115π＝－151×180°＝－396°.
[规律方法] (1)进行角度与弧度换算时，要抓住关系：π rad＝180°.(2)熟记特殊角的度数与弧度数的 对应值．
180 1 rad＝ π °≈57.30°
(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系
度 0° 1° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
弧 度
0
π 180
π 6
π 4
π 3
π 2
2π 3 5π 3 4π 6
π
3π 2
2π
温馨提示：角度制与弧度制是两种不同的度量单位，两者之间 可相互转化，并且角度与弧度是一一对应的关系．在表示角时， 角度制与弧度制不能混用，在表达式中，要保持单位一致，防 止出现π3＋k·180°或 60°＋2kπ 等这类错误的写法．
类型三 扇形的弧长及面积公式的应用 【例3】 已知一个扇形的周长为a，求当扇形的圆心角多大时，扇形的面积最大，并求这个最大值．

3 C.2
B.

3 D. 2
3. 5弧度的角所在的象限为(D )
A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限
4.与A. C.
7 3
7 终边相同的角中，最小的正确是( C ) 3
B.

5 3
3
D.-

3
) C B.第二象限的角 D.第四角限的角
5.若α是第四象限的角，则π-α是( A.第一象限的角 C.第三象限的角
即2× +1×
2
+
×
+
3× 3 = 9 2
3 π(dm);3段弧所对的扇形的
【同步达纲练习】 一、选择题 1.α、β是第一象限内角，则α＞β是sinα＞sinβ的( ) D A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2.将分针拨快15分钟，则分针转过的弧度数是( C ) A.-
解：设2α-β=A(α+β)+B(α-β)表示2α-β=(A+B)α+(A-B)β
比较α与β的系数 所以2α-β=
A B 2 所以A= A B 1
2 1 而 ＜ (α+β)＜ ，2 3 2
所以-π＜2α-β＜

1 (α+β)+ 2
.
1 ，B= 2
(α-β).
3 2
3 . 2
2
＜2nπ+


4
,这时

2
在第一象限.
说明：(1)设αi(i=1,2,3,4)是第i象限的角，用上面同样 ai 的方法可确定 所在的象限，分布情况如上图.
2

D
B． k,k Z
D.
α α＝kπ或α＝kπ＋π2，k∈Z

3．已知集合A＝{α|2kπ≤α≤(2k＋1)π，
k ∈ Z} ， B ＝ {α| － 4≤α≤4} ， 则 A∩B ＝
( D)
A．∅
C．{α|－4≤α≤4}
B．{α|0≤α≤π} D．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}
所以 A B { 4 ,或 4}
33
2 疑难解答
1、把角度制与弧度制混淆了 2、不会用弧度制表示角的集合 3、弧长公式、扇形面积如何应用
例3、已知扇形的周长为10cm ,面积
为 4cm2 ，求扇形的圆心角。
解析 因为扇形周长为10cm,
所以 l 2250 3600 k, k Z}
{ 3 2k 5 2k , k Z}
4
4
注意：同一表达式中， 弧度制与角度制不能同时出现
例2、已知集合 A { 2k 2k 5 , k Z}
又因为扇形面积为 4cm2，
所以 1 lr 4 2
联立得，r=1,l=8(舍)或r=4,l=2
故 l 1 ，即扇形的圆心角为 1
r2
2
3 训练展示
1、若三角形三内角之比为1:2:3，则三内角的
弧度数分别是_________
A.



k

2
,
k

Z

C.α α＝2kπ＋π2，k∈Z
3
3
, B { 4 4},求A B
解析：因为 A { 2k 2k 5 , k Z}

A.1∶2
B.1∶4C.1∶ 2源自D.1∶85.在半径为1的单位圆中，一条弦AB的长度为，则
弦AB所对圆心角α是( C )
A.
＝ 3
2 B. ＜ 3 C. ＝ D. ＝120 3
6.一个半径为R的扇形，它的周长是4R，则这个扇
形所含弓形的面积是( D )
1 A ( 2 si n1 cos1) R 2 2 1 2 C. R 2 1 7.圆的半径变为原来的
r l 6 r 2 2 l 1 l2 r
1 ∴扇形面积 S rl 2(cm)2 2
O
例3. 已知扇形周长为10cm，面积为6cm2，求
扇形中心角的弧度数
A B
解：设扇形圆心角的弧度数为 (0＜＜2)半径为r，弧长为，则有
O
l 2 r 10 1 lr 6 2
6 6 12
12
3.下列命题中正确的命题是(
D
)
A.若两扇形面积的比是1∶4，则两扇形弧长的比
是 1∶ 2
B.若扇形的弧长一定，则面积存在最大值
C.若扇形的面积一定，则弧长存在最小值
D.任意角的集合可以与实数集R之间建立一种一一
对应关系
4.两个圆心角相同的扇形的面积之比为1∶2，则两
个扇形周长的比为( C )
弧度制（二）
1. 1弧度的定义：
长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度
的角。它的单位是rad 读作弧度，这种用“弧度”
做单位来度量角的制度叫做弧度制．
2. 角度制与弧度制的换算：
1

180 / 1 57.3 5718
0.01745
180
3、弧长公式及扇形面积公式

例1．求图中公路弯道处弧AB的长（精确到
1m）图中长度单位为：m
60 A
3
l R

3
45 3.14 15 47( m )
答：弯道处弧AB的长约为47米
R45
解： 60


B
例2．已知扇形的周长是6cm，该扇形的中心
角是1弧度，求该扇形的面积。
A B
解：设扇形的半径为r，弧长为，则有
弧度制（二）
1. 1弧度的定义：
长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度
的角。它的单位是rad 读作弧度，这种用“弧度”
做单位来度量角的制度叫做弧度制．
2. 角度制与弧度制的换算：
1

180 / 1 57.3 5718
0.01745
180
3、弧长公式及扇形面积公式
6 6 12
12
3.下列命题中正确的命题是(
D
)
A.若两扇形面积的比是1∶4，则两扇形弧长的比
是 1∶ 2
B.若扇形的弧长一定，则面积存在最大值
C.若扇形的面积一定，则弧长存在最小值
D.任意角的集合可以与实数集R之间建立一种一一
对应关系
4.两个圆心角相同的扇形的面积之比为1∶2，则两
个扇形周长的比为( C )
r l 6 r 2 2 l 1 l2 r
1 ∴扇形面积 S rl 2(cm)2 2
O
例3. 已知扇形周长为10cm，面积为6cm2，求
扇形中心角的弧度数
A B
解：设扇形圆心角的弧度数为 (0＜＜2)半径为r，弧长为，则有
O
l 2 r 10 1 lr 6 2

B { |

2k , k Z }, 的 关 系 是 (A )
1．什么叫1弧度角?
2.“角度制”与“弧度制”的联系与区别；
3．弧长公式与扇形面积公式．
5 24

（rad） ；

3
（3）37°30′=
（rad） ；

5.将分针拨快 10 分钟，则分针转过的弧度数是
．
四 象限的角 1.若是第三象限的角 , 则 是第___ . 2.集 合A { | k , k Z }, 2
2 A) A B B ) A B C ) A B D )以 上 都 不 对 3.集 合A { | 2k ( 2k 1) , k Z }, B { | 4 4}, 则A B等 于( D ) A) B ){ | 4 4} C ){ | 0 } D){ | 4 或0 } 4.(1)把 1480 写 成 2k ( k Z ) 16 5 2 ________ 的形式 , 其 中0 2 , __________ 20 2 9 ________ ; . ( 2)若 [4 ,0)且 与(1)中的 终 边 相 同 , 则 9 9
π2 B． cm 3
C． 2π cm 3
2π 2 D． cm 3
3.将下列弧度转化为角度： （1 ） （3 ）

12 7 = 15 °； （2）－ = -157 ° 30 ′； 8
13 = 6
390 °；
7 12
4.将下列角度转化为弧度： （1）36°=
5
．
（rad） ； （2）－105°=
r
r
r
B