北师大1-1-3§4导数的四则运算法则导学案
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第四章 数系的扩充与复数的引入§2复数的四则运算 基础自主预习1.复数的加法与减法（1）设bi a +和di c +是任意两个复数，则=+±+)()(di c bi a i d b c a )()(±+±. (2)复数加法的运算律复数加法满足交换律、结合律，即对任何,,,321C z z z ∈有=+21z z 12z z +，=++321z z z)(321z z z ++.2.复数的乘法与除法（1）设bi a +与di c +是任意两个复数，则=++))((di c bi a i bc ad bd ac )()(++-. 复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律，即对任何,,,321C z z z ∈有=⋅21z z 12z z ⋅，=⋅⋅321)(z z z )(321z z z ⋅⋅，=+⋅)(321z z z 3121z z z z +在复数范围内，正整数指数幂的运算律成立，即=⋅nmz z nm z+，=n m z )(mnz，=n z z )(21nn z z 21)(+∈N n（2）共轭复数：),(R b a bi a z ∈+=的共轭复数为bi a z -=；在复平面内，复数),(R b a bi a z ∈+=与其共轭复数为bi a z -=对应的点关于x 轴对称；||||z z =且=⋅z z 22b a +=22||||z z =.（3）复数的除法i dc adbc d c bd ac di c di c di c bi a di c bi a di c bi a 2222))(())(()()(+-+++=-+-+=++=+÷+ 22(1)2,(1)2i i i i +=-=-，1i i=-，11,11i ii i i i +-==--+ 练习：计算（1）(14)(72)i i +-+（2）(52)(14)(23)i i i --+--+（3）(32)(43)(5)]i i i --+-+-[ 【答案】（1）i 28+；（2）i 52+；（3）i 412-练习：计算（1）)1)(1)(6(11)5(;11)4(;1)3(;)1)(2(,)1)(1(22i i ii i i i i i -++--+-+【答案】2)6()5(;)4(;)3(;2)2(;2)1(i i i i i ---练习：说出下列复数的共轭复数32,43,5,52,7,2i i i i i --++--. 【答案】.2;7;25;5;34,23i i i i i -+----++∈z由①、②，得1.若复数z满足1)43(=-+iz，则z的虚部是（）A.2-B.4C.3D.4-【答案】B【解析】有复数的加减法运算知iz42+-=，故虚部为4.2．(1－i)2·i＝（）A．2－2i B．2+2i C．2 D．－2【答案】C【解析】(1－i)2·i22)121(2=-=⋅--iii3.2=的值为（）A.1- B.122+ C.122-+ D.1【答案】C212===-+，故选C4．【2010·辽宁抚顺市一模】若(2i)i ia b-=+，其中,a b∈R，i为虚数单位，则a b+=．【答案】3【解析】2i ia b+=+1,2a b⇒==．5.2006)11(ii-+=___________【答案】1-【解析】1)()11(,1122501420062006-==⋅==-+∴=-+iiiiiiiii智能提升作业1.设1z i=+（i是虚数单位），则22zz+= ( )A．1i-- B．1i-+ C．1i- D．1i+【答案】 D 【解析】2222(1)1211z i i i i z i+=++=-+=++, 故选D. 2.复数()a bi a b +∈R ，等于它共轭复数的倒数的充要条件是（ ） Ａ．2()1a b += Ｂ．221a b += Ｃ．221a b -= Ｄ．2()1a b -= 【答案】Ｂ【解析】由bia bi a -=+1得1))((=-+bi a bi a ，即221a b +=.反之也成立，故只能选B. 3．(浙江省桐乡一中2011届高三文)如果复数ibi212+-(b ∈R ，i 为虚数单位)的实部和虚部互为相反数，那么b 等于 ( )A ．2B ．32C ．32- D ．2 【答案】C 【解析】.,32,422.5)4(22)21)(21()21)(2(212C b b b i b b i i i bi i bi 选即-=+=-∴--+-=-+--=+-4.设a 、b 、c 、d R ∈，若a bic di++为实数，则，（ ） A ．0bc ad +≠ B.0bc ad -≠ C.0bc ad -= D.0bc ad +=【答案】C 【解析】由2222a bi ac bd bc ad i c di c d c d ++-=++++,且因为 a bi c di++为实数，所以其虚部220bc adc d -=+，即0bc ad -=故答案选C ．5.设复数z 的共轭复数是z ，若复数i t z i z +=+=21,43，且21z z ⋅是实数，则实数t 为( ) A ．43B 34 C.34- D.43- 【答案】A【解析】i t t i t i z z )34(43))(43(21-++=-+=⋅,若21z z ⋅为实数，则034=-t ，从而43=t . 6.在复平面内，复数iii -++-11331对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】D 【解析】化简得()()()()()()i i i i i i i i 212111133331-=+-++-+--，对应的点在第四象限．7.若11i z =+，2i z a =-，其中i 为虚数单位，且12z z ⋅∈R ，则实数a = ． 【答案】1-【解析】,)1()1())(1(21R i a a i a i z z ∈+++-=++=⋅故.1,01-==+a a 8.若1z i=-,那么100501z z ++的值是【答案】1005010050111z z z i ==++=++- 50255025222()()11122i ii i i i i =++=++=++=【答案】3b =，0c =9.设复数z 满足1z =,且z i ⋅+)43(是纯虚数,求z -【解析】设,(,)z a bi a b R =+∈，由1z =1=；z ⋅)43(=(34)()34(43)i z i a bi a b a b i +=++=-++是纯虚数，则340a b -=44155,3334055a a a b b b ⎧⎧==-⎪⎪⎪⎪=⇒⎨⎨-=⎪⎪⎪⎩==-⎪⎪⎩⎩或， 所以 4343,5555z i i -=--+或10.设复数z 满足5||=z ，且z i ⋅+)43(在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上，)(,25|2|R m m z ∈=-，求z 和m 的值.【解析】设出z 的代数形式),(R y x yi x z ∈+=∵5||=z ，∴2522=+y x .i y x y x yi x i z i )34()43()()43()43(++-=+⋅+=⋅+又z i ⋅+)43(在复平面内对应的点在第二、四象限的角平分线上，则它的实部与虚部互为相反数，∴.03443=++-y x y x化简得x y 7=，将其代入2522=+y x ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==22722y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=22722y x .∴i z 22722+=或i z 22722--= 当i z 22722+=时，,25|71||2|=-+=-m i m z 即,507)1(22=+-m 解得0=m 或2=m . 当i z 22722--=时，同理可得0=m 或2-=m . 教学参考本节主要学习和应用导数的四则运算法则，从而为导数的广泛应用“架桥铺路”，所以要使学生准确地掌握法则，并熟练应用。
一、教学内容分析使学生经历导数概念推导四则运算法则的过程，体会极限思想的应用，据此掌握运算法则的特征，并熟练应用解决相关的基本问题。
二、教学重点难点教学重点：掌握导数的四则运算法则，能初步应用解决复杂函数的求导问题以及几何意义的应用问题；教学难点：导数的四则运算法则的准确、灵活应用。
三、教学建议本节是一节典型的公式应用课，关键要抓住两点：公式的认识与应用。
1、认识公式：首先从来源认识，即了解公式的推导过程，联系与公式相关联的旧知，明确推导过程中蕴含的数学思想、方法，能够同化到原有知识结构。
导数的四则运算法则来源于导函数的定义，其推导过程体现了导数概念的极限思想；其次从特征认识，即审视公式的结构特点，把握共性与个性，能在问题解决中准确提取应用。
要使学生认识到导数的四则运算法则与实数、向量、三角等的运算法则是不同的，但是在一些运算技巧上又是相通的，如结合律等；再次从意义认识，即公式蕴含的数与形的意义等。
2、应用公式：公式的应用可以从“正用、逆用、反用、活用”等方面入手，从而熟悉公式特征、熟练相关题型。
对本课时的四个运算法则公式而言，“正用”就是直接利用公式求导、求曲线的切线方程；“逆用”就是利用导数求原函数（或解析式中的参数）、利用切线求曲线方程等；而“反用”则是对运算法则公式的特征进行辨析，从而引导学生防范错误记忆、错误计算等；“活用”则是将导数与其它数学分支的知识进行融合，在不同背景下综合、灵活应用，有效解决各种问题。
针对以上两点的教学，要分层依次实施，使学生的认识逐步深化，能力螺旋上升。
