导数在生活中的应用举例

导数在生活中的应用例子
一、在经济学中
1、供求曲线中的供求应变：当价格发生变化时，需求量会出现波动，
以及需求量对价格的变化也变化，供求曲线受到价格变化的影响。

这
就是导致供求应变的原因，而这个原因可以用微积分的偏导数来证明。

2、市场竞争：随着竞争者数量的增加，市场价格也会发生变化，价格
作为变量，市场最终决定价格时，就会出现供需冲突，从而引起价格
波动，这就用微积分中的导数来分析。

二、在金融学中
1、货币政策传导机制：货币政策的实施使得利率的变化对经济的影响，用微积分的意义来看，利率是一种曲线，当利率变化时，曲线的斜率
也会变化，这就是利率传导机制。

2、投资机会成本：投资机会成本指的是投资者在一定条件下所承担的
投资风险，当利率下降时，投资机会成本也会发生变化，而这一变化
可以用微积分中的导数来进行分析。

三、在制造业中
1、公差计算：在计算机装配工艺中，产品的尺寸关系到了其加工的质量，如果所用的部件的尺寸不符合公差要求，就会出现不良的加工结
果，这时处理的办法就是计算出来最大的容许偏差，而这个最大容许
偏差就是通过微积分的偏微分来计算出来的。

2、工艺优化：为了确保加工出来的产品的质量，就必须对付诸如温度、压力、用料等参数进行优化调整，这可以使用微积分来分析各参数对
最终结果的影响，以达到最优化调整的效果。

导数在实际问题中的应用山东 马连东 许美文近几年来导数的实际应用题在高考试卷中已经出现，并且新教材中导数的实际应用体的比重也有所增加，因此应更加重是这方面的学习。

现在，我们研究几个导数在经济生活中的实际问题。

1 有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A 处，乙厂与甲厂在河的的两侧，乙厂位于离河岸40km 的B 处，乙厂到河岸的垂足D 与A 相距50 km ，两厂要在此岸边合建一个供水站C ，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为3a 元和5a 元，问供水站C 建在何处才能使水管费用最省？分析：根据题设建立数学模型，借助图像寻找个条件间的联系，适当设定变元，构造相应的函数关系，通过求导和其他方法求出最值，可确定C 点的位置。

解法一：据题意知，只有点C 在线段AD 上某一适当位置，才能能使总运费最省，设C 点距D 点xkm ，如图所示，则BD=40，AC=50-x,BC ∴== 又设总的水管费用为y元，由题意得())3505050,y a x x =-+<<3y a '=-令0,30.y x '==解得在（0，50）上，y 只有一个极值点，根据实际意义，函数在x=30(km)处取得最小值，此时AC=50-x=20(km)，所以供水站建立在A 、D 之间距甲厂20间距甲厂20km 处，可是水管费用最省。

解法二：设,BCD θ∠=则40,40cot 0sin 2BC CD πθθθ⎛⎫==⋅<< ⎪⎝⎭， 5040cot AC θ∴=-。

设总的水管费用为()f θ，依题意，有()()35040cot fa θθ=-+405sin a θ=53cos 15040sin a a θθ-+⋅()()()253cos sin 53cos cos ()40sin f a θθθθθθ''-⋅--⋅'∴=⋅=235cos 40sin a θθ-⋅ 令()30,cos 5f θθ'==得。

导数在生活中应用实例分析导数知识是学习高等数学的基础，它在自然科学、工程技术及日常生活等方面都有着广泛的应用．导数是从生产技术和自然科学的需要中产生的，同时，又促进了生产技术和自然科学的发展，它不在天文、物理、工程领域有着广泛的应用，而且在日常生活及经济领域也是逐渐显示出重要的作用．类型一环境问题例１烟囱向其周围地区散落烟尘造成环境污染，已知落在地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱的距离的平方成反比，而与该烟囱喷出的烟尘量成正比．现有Ａ、Ｂ两座烟囱相距２０ｋｍ，其中Ｂ座烟囱喷出的烟尘量是Ａ的８倍，试求出两座烟囱连线上的点Ｃ，使该点的烟尘浓度最低．分析由题意知要确定某点的烟尘浓度最低，显然其烟尘浓度源自这两座烟囱，与其距离密切相关，因此可考虑先设出与某个烟囱的距离，从而表示出相应的烟尘浓度，再确定其最小值即可．解不妨设Ａ烟囱喷出的烟尘量是１，而Ｂ烟囱喷出的烟尘量为８，设ＡＣ＝ｘ（其中０＜ｘ＜２０），所以ＢＣ＝２０－ｘ，依题意得点Ｃ处的烟尘浓度ｙ＝ｋ/×2＋ｋ・８/（２０－ｘ）２（其中ｋ是比例系数，且ｋ＞０），ｙ′＝２ｋ（３ｘ－２０）（３ｘ２＋４００）ｘ２（２０－ｘ）２．令ｙ′＝０得（３ｘ－２０）（３ｘ２＋４００）＝０又０＜ｘ＜２０，所以ｘ＝２０/３因为当ｘ∈(０，２０/３)时，ｙ′＜０；当ｘ∈(２０/３，２０)时，ｙ′＞０，故当ｘ＝２０/３时，ｙ取得最小值，即当Ｃ位于距点Ａ为２０/３ｋｍ时，使该点的烟尘浓度最低．类型二工程造价问题例２某地为了开发旅游资源，欲建一条连接风景点Ｐ和居民区Ｏ的公路，点Ｐ所在的山坡面与山脚所在水平面α所成的二面角为θ（０°＜θ＜９０°），且ｓｉｎθ＝２５，点Ｐ到平面α的距离ＰＨ＝０．４（ｋｍ）．沿山脚原有一段笔直的公路ＡＢ可供利用．从点Ｏ到山脚修路的造价为ａ万元／ｋｍ，原有公路改建费用为ａ２万元／ｋｍ．当山坡上公路长度为ｌｋｍ（１≤ｌ≤２）时，其造价为（ｌ２＋１）ａ万元．已知ＯＡ⊥ＡＢ，ＰＢ⊥ＡＢ，ＡＢ＝１．５（ｋｍ），ＯＡ＝３’ｋｍ．（１）在ＡＢ上求一点Ｄ，使沿折线ＰＤＡＯ修建公路的总造价最小；（２）对于（１）中得到的点Ｄ，在ＤＡ上求一点Ｅ，使沿折线ＰＤＥＯ修建公路的总造价最小；（３）在ＡＢ上是否存在两个不同的点Ｄ′、Ｅ′，使沿折线ＰＤ′Ｅ′Ｏ修建公路的总造价小于（２）中得到的最小总造价，证明你的结论．分析由题意知要求修建公路的总造价最小值，可以先建立相应的总造价函数关系式，再确定其最小值即可．解（１）如图，ＰＨ⊥α，ＨＢ"α，ＰＢ⊥ＡＢ，由三垂线定理逆定理知，ＡＢ⊥ＨＢ，所以∠ＰＢＨ是山坡与α所成二面角的平面角，则∠ＰＢＨ＝θ，ＰＢ＝ＰＨｓｉｎθ＝１．设ＢＤ＝ｘ，０≤ｘ≤１．５．则ＰＤ＝ｘ２＋ＰＢ２&＝ｘ２＋１&∈［１，２］．记总造价为ｆ１（ｘ）万元，据题设有ｆ１（ｘ）＝（ＰＤ２＋１＋１２ＡＤ＋ＡＯ）ａ＝（ｘ２－１２ｘ＋１１４＋３& )ａ＝ｘ－１４(２ａ＋４３１６＋３&) ａ．当ｘ＝１４，即ＢＤ＝１４（ｋｍ）时，总造价ｆ１（ｘ）最小；（２）设ＡＥ＝ｙ，０≤ｙ≤５４，总造价为ｆ２（ｙ）万元，根据题设有ｆ２（ｙ）＝ＰＤ２＋１＋ｙ２＋３&＋１２3２－１４则ｆ′２（ｙ）＝ｙｙ２＋３&－１２ａ，由ｆ′２（ｙ）＝０，得ｙ＝１；当ｙ∈（０，１）时，ｆ′２（ｙ）＜０，ｆ２（ｙ）在（０，１）内是减函数；当ｙ∈(１，５４)时，ｆ′２（ｙ）＞０，ｆ２（ｙ）在(１，５４)内是增函数．故当ｙ＝１，即ＡＥ＝１时总造价ｆ2 (ｙ）最小，且最小总造价为６７１６ａ万元；（３）不存在这样的点Ｄ′、Ｅ′．事实上，在ＡＢ上任取不同的两点Ｄ′、Ｅ′．为使总造价最小，Ｅ显然不能位于Ｄ′与Ｂ之间．故可设Ｅ′位于Ｄ′与Ａ之间，且ＢＤ′＝ｘ１，ＡＥ′＝ｙ１，０≤ｘ１＋ｙ２≤３２，总造价为Ｓ万元，则Ｓ＝ｘ２１－ｘ１２＋ｙ２１＋３&－ｙ１２＋１１４+ ａ．类似于（１）、（２）讨论知，ｘ２１－ｘ１２≥－１１６，ｙ２１＋３&－ｙ１２≥３２，当且仅当ｘ１＝１４，ｙ１＝１同时成立时，上述两个不等式等号同时成立，此时ＢＤ′＝１４，ＡＥ＝１，Ｓ取得最小值６７１６ａ，点Ｄ′、Ｅ′分别与点Ｄ、Ｅ重合，所以不存在这样的点Ｄ′、Ｅ′，使沿折线ＰＤ′Ｅ′Ｏ修建公路的总造价小于（２）中得到的最小总造价．类型三最省钱车速问题例３统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量ｙ（升）关于行驶速度ｘ（千米／小时）的函数解析式可以表示为：ｙ＝１１２８０００ｘ３－３８０ｘ＋８（０＜ｘ≤１２０）．已知甲、乙两地相距１００千米．（１）当汽车以４０千米／小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（２）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？分析要求确定从甲地到乙地要耗油量，这就涉及行驶时间与车速，因此根据题意先写出耗油量与车速间的关系，再利用导数知识确定其最小值．解（１）当ｘ＝４０时，汽车从甲地到乙地行驶了１００４０＝２．５小时，要耗油１１２８０００×４０３－３８０×４０＋+) ８×２．５＝１７．５（升）．所以当汽车以４０千米／小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油１７．５升；（２）当速度为ｘ千米／小时时，汽车从甲地到乙地行驶了１００ｘ小时，设耗油量为ｈ（ｘ）升，依题意得ｈ（ｘ）＝（１１２８０００ｘ３－３８０ｘ＋８）・１００ｘ＝１１２８０ｘ２－８００ｘ－１５４（０＜ｘ≤１２０），ｈ′（ｘ）＝ｘ６４０－８００ｘ２＝ｘ３－８０３６４０ｘ２（０＜ｘ≤１２０)令ｈ′（ｘ）＝０得ｘ＝８０．当ｘ∈（０，８０）时，ｈ′（ｘ）＜０，ｈ（ｘ）是减函数；当ｘ∈（８０，１２０）时，ｈ′（ｘ）＞０，ｈ（ｘ）是增函数．当ｘ＝８０时，ｈ（ｘ）取到极小值ｈ（８０）＝１１．２5．因为ｈ（ｘ）在（０，１２０］上只有一个极值，所以它是最小值．所以当汽车以８０千米／小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为１１．２５升．．四、借助物理知识排列组合中有分类计数原理和分步记数原理．如果把这两个原理分别理解成电学中的并联和串联，并用此思想解答某些问题，显得特别方便快捷．例４甲、乙、丙３人独立地破译１个密码，他们能译出此密码的概率分别为１５、１３、１４，则３人合作能译出此密码的概率为．解析３人破译密码，是相互独立而不互斥的事件，可以看成是并联问题，只要其中有１个或多人译出密码，问题即解决，故３人合作能译出密码的概率为：Ｐ（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）＝１－Ｐ（Ａ・Ｂ・Ｃ）＝１－Ｐ（Ａ）・Ｐ（Ｂ）・Ｐ（Ｃ）＝１－（１－１/５）（１－１/３）（１－１/４）＝３/５．五、借助表格知识运用表格解概率问题，可以使复杂问题条理化、抽象问题直观化，从而达到化难为易的目的．例５一个均匀的正方体玩具的各个面分别标有数字１，２，３，４，５，６，将这个玩具先后抛掷两次，试问：（１）向上的数之和为５的概率是多少？（２）向上的数之和至少是９的概率是多少？（３）向上的数之和为多少时概率最大？解析将正方体玩具先后抛掷两次可能出现的３６种结果用图表来表示（如图），所有的答案都可在图形中寻找．（１）向上的数之和为５的概率是４３６＝１９；（２）向上的数之和至少是９的概率是１０/３６＝５/１８；（３）由图知向上的数之和为７时有６种情形，概率最大，最大概率为１/６．总结除了上诉例子，对经济学家来说，对其经济环节进行定量分析是非常必要的，而将数学作为分析工具，不仅可以给企业经营者提供客观、精确的数据，而且在分析的演绎和归纳过程中，可以给企业经营者提供新的思路和视角，也是数学应用性的具体体现。

导数在实际生活中的应用举例
1. 工程设计中：当设计一个桥梁时，需要考虑桥梁的结构，桥梁的载重量，以及桥梁的弯曲变形，而对于桥梁的弯曲变形，需要使用导数求解，以此来确定桥梁的设计参数。

2. 地质勘探中：当地质勘探时，需要知道地质结构的变化，以及地质变化的趋势，而这些变化的趋势，都可以使用导数来求解。

3. 气象预报中：当气象预报时，需要知道气象要素的变化趋势，以及气象要素的变化速度，这些变化的速度，都可以使用导数来求解。

导数在实际生活中的运用【摘要】导数在实际生活中的运用十分重要。

物体运动的描述与预测中，导数可以帮助我们计算速度、加速度等参数，从而更好地预测物体的运动轨迹。

在成本与收益优化中，导数可以帮助企业优化生产成本，最大化利润。

在信号处理与数据分析中，导数可以帮助我们提取信号中的有用信息，进行数据分析和预测。

医学和工程领域中，导数也有着广泛的应用，比如在医学影像分析和工程设计中起着至关重要的作用。

导数在实际生活中有着丰富的应用场景，帮助我们更好地理解和应用数学知识。

【关键词】导数、实际生活、物体运动、成本、收益、优化、信号处理、数据分析、医学、工程技术、应用、广泛应用1. 引言1.1 导数在实际生活中的运用的重要性导数在实际生活中的运用是非常重要的。

导数是微积分中的一个重要概念，表示函数在某一点上的变化率。

在实际生活中，导数可以帮助我们描述和预测物体的运动。

通过对物体位置或速度的导数进行计算，我们可以更准确地预测物体未来的位置或速度，这在航天飞行、交通运输等领域具有重要意义。

除了物体运动的描述与预测，导数还在成本与收益优化中扮演着重要角色。

在商业领域，通过对成本函数或收益函数的导数进行分析，我们可以找到使利润最大化或成本最小化的最优决策方案，从而提高企业的竞争力。

导数在信号处理与数据分析、医学、工程技术等领域也有着广泛的应用。

在信号处理中，导数可以帮助我们分析信号的频率、幅度等特性；在医学中，导数可以帮助医生分析患者的生理数据；在工程技术领域，导数可以帮助工程师设计更高效的系统和设备。

导数在实际生活中有着广泛的应用，对于提高生产效率、提升科技发展水平具有重要意义。

通过深入理解和应用导数，我们可以更好地解决现实生活中的问题，推动社会的发展和进步。

2. 正文2.1 物体运动的描述与预测物体运动的描述与预测是导数在实际生活中的一个重要应用领域。

在物理学和工程学中，导数被广泛用于描述和预测物体的运动状态。

通过对物体位置关于时间的导数，我们可以得到物体的速度和加速度，进而了解物体运动的特性。

导数在生活中应用例子
导数是微积分中的一个重要概念，它在生活中有着广泛的应用。

导数可以帮助我们理解和解决许多实际问题，比如物体的运动、变化率的计算等。

下面我们就来看一些导数在生活中的应用例子。

首先，导数可以帮助我们理解物体的运动。

比如一辆汽车在高速公路上行驶，我们可以通过对汽车的位置随时间的变化进行求导，来得到汽车的速度。

这样我们就可以通过导数来计算汽车的加速度、减速度等运动状态，从而更好地理解汽车的行驶情况。

其次，导数还可以用来计算变化率。

比如在经济学中，我们可以通过对某一商品的需求量随价格的变化进行求导，来得到需求量对价格的弹性。

这样我们就可以通过导数来计算商品的价格弹性，从而更好地了解市场需求的变化情况。

另外，导数还可以帮助我们优化问题。

比如在工程中，我们可以通过对某一工艺的成本函数进行求导，来得到成本函数的最小值点。

这样我们就可以通过导数来优化工艺成本，从而更好地提高工程效率。

总之，导数在生活中有着广泛的应用。

它可以帮助我们理解物体的运动、计算变化率、优化问题等，对于我们的生活和工作都有着重要的意义。

因此，学好导数对于我们更好地理解和解决实际问题是非常重要的。

希望大家能够在学习导数的过程中，能够更加深入地理解它在生活中的应用。

导数的实际应用例析海南 李伟强导数的实际应用主要是解决一些生活中的优化问题，即用料最省，效率最高等问题．运用导数来解决，不但可以简化计算，而且还可以拓展我们的解题思路．例1 某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品,若该商品的零售价定为p 元，则销售量Q （单位：件）与零售价p （单位：元）有如下关系28300170Q p p =--．问该商品零售价定为多少元时，毛利润L 最大，并求出最大毛利润．（毛利润=销售收入-进货支出） 解：设毛利润为()L p ，由题意知()20(20)L p p Q Q Q p =-=-·2(8300170)(20)p p p =---3215011700166000p p p =--+-，所以2()330011700L p p p '=--+．令()0L p '=，解得30p =或130p =-（舍去）．此时，(30)23000L =．因为在30p =附近的左侧()0L p '>右侧()0L p '<．所以(30)L 是极大值，根据实际问题的意义知，(30)L 是最大值，即零售定为每件30元时，最大毛利润为23000元．例2 一艘渔艇停泊在距岸9km 处，今需派人送信给距渔艇334km 处的海岸站，如果送信人步行每小时5km ，船速每小时4km ，问应在何处登岸再步行可使抵达渔站的时间最短？解：如图所示，设BC 为海岸线，A 为渔艇停泊处，C 为要抵达的渔站，D 为海岸线上一点且在D 处登陆，CD x =．只需将时间T 表示为x 的形式，即可确定登岸的位置． 22933415AB AC BC AC AB ===-=，，∵，由A 到C 所需时间T 为：211(15)81(015)54T x x x =+-+≤≤， 2154(15)81x T x -'=--+15， 03T x '=⇒=，在3x =附近，T '由负到正，因此在3x =处取得极小值，所以在距渔站3km 处登岸可使抵达渔站的时间最短．注：在解决与实际问题有关的最值问题时，应先将实际问题转化为求函数的最值问题，并且要特别注意自变量的取值范围．通过以上两例我们可总结得出，解最优化问题，建立数学模型是关键，求导法则是基础，只要掌握了以上两点，这类问题也就迎刃而解了．附：例2中对211(15)8154T x x =+-+的求导为复合函数(())y f g x =求导．其求导法则为x u x y y u '''=·，其中()u g x =，你能运用这个法则，求函数T 的导数吗？。