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专题 15 导数在函数中的应用一、本专题要特别小心： 1.图形考虑不周陷阱；2.思维定式陷阱（与等式有关的构造函数）； 3. 已知条件中含有导函数值而无从下手； 4.恒成立中的最值陷阱 5. 含有导函数的式子中的和差构造陷阱 6.与三角函数有关的构造函数 7.忽视分母造成解集不完备 8.与指数函数对数函数有关的构造 二．【知识点】 1.函数的极值 (1)若可导函数 f(x)在 x＝x0 处导数值为 0，且在 x＝x0 处的左边 f′(x0)＞0，在 x＝x0 处的右边 f′(x0)＜0， 则 f(x)在 x＝x0 处有极大值. (2)若可导函数 f(x)在 x＝x0 处导数值为 0，且在 x＝x0 处的左边 f′(x0)＜0，在 x＝x0 处的右边 f′(x0)＞0， 则 f(x)在 x＝x0 处有极小值. (3)可导函数的极值点导数为零，但导数为零的点不一定是极值点，如 y＝x3 在 x＝0 处导数值为零，但 x＝0 不是极值点. 2.函数的最值 (1)连续函数 f(x)在闭区间[a，b]上必有最大值与最小值. (2)最值的求法：先求 f(x)在(a，b)上的极值，再将各极值与 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值， 最小的一个为最小值. 3.极值与最值的区别和联系 (1)函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间 上的整体情况，是函数在整个区间上的函数值的比较. (2)函数的极值不一定是最值，须与端点函数值作比较方可确定是否为最值. (3)如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值(单峰函数)，则极大值即是[a，b]上的最大值，极小值即是 [a，b]上的最小值.三．【题型方法总结】 （一）存在问题求参数例 1. 已知函数，，，使得成立，则实数 的取值范围为（ ）1A．B．C．【答案】A【解析】∵，函数 故选：A．≤a,故 a≥e练习 1．设函数，记值范围是（ ）A．B．C．【答案】D【解析】由题意得函数 的定义域为．又，∵函数 至少存在一个零点，∴方程有解，D．故的最小值为;，若函数 至少存在一个零点，则实数 的取 D．即有解．令，则∴当时，∴又当 时，要使方程，单调递增；当时，．；当时，．有解，则需满足，单调递减．∴实数 的取值范围是故选 D． 练习 2．函数 的取值范围为（ ）A．B．．（ ， 是自然对数的底数， ）存在唯一的零点，则实数C．D．2【答案】A【解析】函数（ ， 是自然对数的底数， ）存在唯一的零点等价于函数与函数只有唯一一个交点，，，函数与函数唯一交点为 ，又，且，，在 上恒小于零，即在 为单调递减函数，又是最小正周期为 2，最大值为 的正弦函数，可得函数与函数的大致图像如图：要使函数与函数 ，即，解得又所以实数 的范围为 。
导数——生活中的优化问题应用举例导言：生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为优化问题.通过前面的学习,我们知道,导数是求函数最大(小)值的有力工具.本文主要阐述如何利用导数,解决一些生活中的优化问题.导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题,主要有以下几个方面: 1.与几何学有关的最值问题 2.与物理学有关的最值问题3.与利润及其成本有关的最值问题4.效率最值问题注意点：在求实际问题中的最大值和最小值时，一般是先找出自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域.如果定义域是一个开区间，函数在定义域内可导（其实只要是初等函数，它在自己的定义域内必然可导），并且按常理分析，此函数在这一开区间内应该有最大（小）值（如果定义域是闭区间，那么只要函数在此闭区间上连续，它就一定有最大（小）.记住这个定理很有好处），然后通过对函数求导，发现定义域内只有一个驻点，那么立即可以断定在这个驻点处的函数值就是最大（小）值.知道这一点是非常重要的，因为它在应用上较为简便，省去了讨论驻点是否为极值点，求函数在端点处的值，以及同函数在极值点处的值进行比较等步骤.典例剖析1.与几何学有关的最值问题例：（11江西文18）如图，在=2,2ABC B AB BC P AB π∆∠==中，，为边上一动点，PD//BC 交AC 于点D,现将'',PDA .PDA PD PDA PBCD ∆∆⊥沿翻折至使平面平面 （1）当棱锥'A PBCD -的体积最大时，求PA 的长；（2）若点P 为AB 的中点，E 为''.AC B DE ⊥的中点，求证：A 解：（1）设x PA =，则)2(31312xx x S PA V PDCB PBCDA -=⋅='底面- 令)0(,632)22(31)(32>-=-=x x x x x x f ，则232)(2x x f -='由上表易知：当332==x PA 时，有PBCD A V -'取最大值。
一、考纲要求三、考点梳理1、已知函数在处的导数为1,当时,, 则A= .2、已知函数在点处的切线为y=2x-1,则函数在点处的切线方程为__________.3、某汽车启动阶段的路程函数为s(t)＝2t3－5t2(s的单位为m，t的单位为s)，则t ＝2s时，汽车瞬时速度为________．瞬时加速度为________.4、若，则f′(0)=_______.5、过坐标原点作函数图像的切线,则切线斜率为____________.6、已知抛物线通过点(1,1),且在点处与直线相切,则的值为7、已知函数是两两不等的实数）则等于四、典例精讲例1、利用导数的定义求函数f(x)＝1x在x＝1的导数：例2、求下列函数的导数：（1）（2）（3）y=tanx （4）y=例3、已知曲线，（1）求曲线在点P（2,4）处的切线方程；（2）求曲线过点P（2,4）的切线方程；（3）求曲线的斜率为4的切线方程。
实用文档变式3：已知A、B是曲线上不同的两点,在A、B两点的切线都与直线AB垂直.证明: (1) A、B两点关于原点对称; (2)五、反馈练习1、曲线y＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为_______________．2、如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝______.3、曲线在处的切线方程为______________.4、曲线在点(1,f(1))处的切线方程为________.5、已知函数，则 .6、已知函数，若直线对任意的都不是曲线的切线，则的取值范围是 .六、小结反思 34909 885D 衝m`37142 9116 鄖32592 7F50 罐.22576 5830 堰28211 6E33 渳*]d40182 9CF6 鳶22407 5787 垇29636 73C4 珄实用文档。
