2017年辽宁省葫芦岛市高考数学一模试卷(理科) 有答案

1 2017年辽宁省葫芦岛市高考数学一模试卷（理科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1．设全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，A={x|x≤1}，B={﹣2，0，2}，则∁U（A∩B）=（ ）

A．{﹣2，0} B．{﹣2，0，2} C．{﹣1，1，2} D．{﹣1，0，2}

2．已知复数z=i（1+i）（i为虚数单位），则复数z在复平面上所对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．一已知等差数列{an}中，其前n项和为Sn，若a3+a4+a5=42，则S7=（ ）

A．98 B．49 C．14 D．147

4．下列命题正确的是（ ）

A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行

B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行

C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行

D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行

5．《九章算术》是我国古代数学经典名著，它在集合学中的研究比西方早1千年，在《九章算术》中，将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑，已知某“鳖臑”的三视图如图所示，则该鳖臑的外接球的表面积为（ ）

A．200π B．50π C．100π D．π

6．函数的图象大致是（ ）

A． B． C． D．

7．中国古代算书《孙子算经》中有一著名的问题“物不知数”如图1，原题为：今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？后来，南宋数学家秦九韶在其著作《数学九章》中对此类问题的解法做了系统的论述，并称之为“大衍求一术”，如图2程序框图的算法思路源于“大衍求一术”执行该程序框图，若输入的a，b分别为20，17，则输出的c=（ ）

2

A．1 B．6 C．7 D．11

8．广告投入对商品的销售额有较大影响．某电商对连续5个年度的广告费和销售额进行统计，得到统计数据如表（单位：万元）：

广告费x 2 3 4 5 6

销售额y 29 41 50

59

71

由表可得到回归方程为=10.2x+，据此模型，预测广告费为10万元时的销售额约为（ ）

A．101.2 B．108.8 C．111.2 D．118.2

9．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A≠0，ω＞0，0＜φ＜），若f（）=﹣f（0），则ω的最小值为（ ）

A． B．1 C．2 D．

10．设f（x）=，直线x=0，x=e，y=0，y=1所围成的区域为M，曲线y=f（x）与直线y=1围成的区域为N，在区域M内任取一个点P，则点P在区域N内概率为（

）

A． B．

C． D．

11．已知F是双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，过点F作E的一条渐近线的垂线，垂足为P，线段PF与E相交于点Q，记点Q到E的两条渐近线的距离之积为d2，若|FP|=2d，则该双曲线的离心率是（ ）

A． B．2 C．3 D．4

12．给出如下四个命题：①e＞2②ln2＞③π2＜3π④＜，正确的命题的个数为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

3 13．已知平面向量与的夹角为120°，且||=2，||=4，若（m）⊥，则m= ．

14．n的展开式中，所有二项式系数之和为512，则展开式中x3的系数为

（用数字作答）．

15．已知数列{an}满足：2a1+22a2+23a3+…+2nan=n（n∈N*），数列{}的前n项和为Sn，则S1•S2•S3…S10= ．

16．设实数x，y满足约束条件，则的取值范围是 ．

三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17．（12分）已知a，b，c分别为△ABC中角A，B，C的对边，函数且f（A）=5．

（1）求角A的大小；

（2）若a=2，求△ABC面积的最大值．

18．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，BC⊥CD，平面SCD⊥平面ABCD，SC=SD=CD=AD=2AB，M，N分别为SA，SB的中点，E为CD中点，过M，N作平面MNPQ分别与BC，AD交于点P，Q，若=t．

（1）当t=时，求证：平面SAE⊥平面MNPQ；

（2）是否存在实数t，使得二面角M﹣PQ﹣A的平面角的余弦值为？若存在，求出实数t的值；若不存在，说明理由．

19．（12分）北京时间3月10日，CBA半决赛开打，采用7局4胜制（若某对取胜四场，则终止本次比赛，并获得进入决赛资格），采用2﹣3﹣2的赛程，辽宁男篮将与新疆男篮争夺一个决赛名额，由于新疆队常规赛占优，决赛时拥有主场优势（新疆先两个主场，然后三个客场，再两个主场），以下是总决赛赛程：

日期 比赛队 主场 客场 比赛时间 比赛地点

17年3月10日 新疆﹣辽宁 新疆 辽宁 20：00 乌鲁木齐

4 17年3月12日 新疆﹣辽宁 新疆 辽宁 20：00 乌鲁木齐

17年3月15日 辽宁﹣新疆 辽宁 新疆 20：00 本溪

17年3月17日 辽宁﹣新疆 辽宁 新疆 20：00 本溪

17年3月19日 辽宁﹣新疆 辽宁 新疆 20：00 本溪

17年3月22日 新疆﹣辽宁 新疆 辽宁 20：00 乌鲁木齐

17年3月24日 新疆﹣辽宁 新疆 辽宁 20：00 乌鲁木齐

（1）若考虑主场优势，每个队主场获胜的概率均为，客场取胜的概率均为，求辽宁队以比分4：1获胜的概率；

（2）根据以往资料统计，每场比赛组织者可获得门票收入50万元（与主客场无关），若不考虑主客场因素，每个队每场比赛获胜的概率均为，设本次半决赛中（只考虑这两支队）组织者所获得的门票收入为X，求X的分布列及数学期望．

20．（12分）已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）左、右焦点分别为F1，F2，A（2，0）是椭圆的右顶点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆于P，Q两点，且|PQ|=3；

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线l与椭圆交于两点M，N（M，N不同于点A），若•=0， =；

①求证：直线l过定点；并求出定点坐标；

②求直线AT的斜率的取值范围．

21．（12分）已知函数f（x）=ax2+（x﹣1）ex．

（1）当a=﹣时，求f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程；

（2）讨论f（x）的单调性；

（3）当﹣＜a＜﹣时，f（x）是否存在极值？若存在，求所有极值的和的取值范围．

四、请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的参数方程为（θ为参数），曲线 C2的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ﹣4=0．

（1）求曲线C1的普通方程和曲线 C2的直角坐标方程；

（2）设P为曲线C1上一点，Q为曲线 C2上一点，求|PQ|的最小值．

5

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数f（x）=|x﹣1|﹣|2x+1|的最大值为m

（1）作函数f（x）的图象

（2）若a2+b2+2c2=m，求ab+2bc的最大值．

6

2017年辽宁省葫芦岛市高考数学一模试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1．设全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，A={x|x≤1}，B={﹣2，0，2}，则∁U（A∩B）=（ ）

A．{﹣2，0} B．{﹣2，0，2} C．{﹣1，1，2} D．{﹣1，0，2}

【考点】交、并、补集的混合运算．

【分析】根据交集和补集的定义写出运算结果即可．

【解答】解：全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，

A={x|x≤1}，B={﹣2，0，2}，

则A∩B={﹣2，0}，

∴∁U（A∩B）={﹣1，1，2}．

故选：C．

【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．

2．已知复数z=i（1+i）（i为虚数单位），则复数z在复平面上所对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【考点】复数的代数表示法及其几何意义．

【分析】首先进行复数的乘法运算，写成复数的代数形式，写出复数对应的点的坐标，根据点的横标和纵标和零的关系，确定点的位置．

【解答】解：∵z=i（1+i）=﹣1+i，

∴z=i（1+i）=﹣1+i对应的点的坐标是（﹣1，1）

∴复数在复平面对应的点在第二象限．

故选B．

【点评】本题考查复数的代数形式的乘法运算，考查复数在复平面上对应的点的坐标，本题是一个基础题，这种题目若出现一定是一个必得分题目．

3．一已知等差数列{an}中，其前n项和为Sn，若a3+a4+a5=42，则S7=（ ）

A．98 B．49 C．14 D．147

【考点】等差数列的前n项和．

【分析】根据题意和等差数列的性质求出a4的值，由等差数列的前n项和公式求出S7的值．

7 【解答】解：等差数列{an}中，因为a3+a4+a5=42，

所以3a4=42，解得a4=14，

所以S7==7a4=7×14=98，

故选A．

【点评】本题考查等差数列的性质、前n项和公式的灵活应用，属于基础题．

4．下列命题正确的是（ ）

A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行

B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行

C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行

D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行

【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；命题的真假判断与应用．

【分析】利用直线与平面所成的角的定义，可排除A；利用面面平行的位置关系与点到平面的距离关系可排除B；利用线面平行的判定定理和性质定理可判断C正确；利用面面垂直的性质可排除D．

【解答】解：A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行、相交或异面，故A错误；

B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行或相交，故B错误；

C、设平面α∩β=a，l∥α，l∥β，由线面平行的性质定理，在平面α内存在直线b∥l，在平面β内存在直线c∥l，所以由平行公理知b∥c，从而由线面平行的判定定理可证明b∥β，进而由线面平行的性质定理证明得b∥a，从而l∥a，故C正确；

D，若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行或相交，排除D．

故选C．

【点评】本题主要考查了空间线面平行和垂直的位置关系，线面平行的判定和性质，面面垂直的性质和判定，空间想象能力，属基础题．

5．《九章算术》是我国古代数学经典名著，它在集合学中的研究比西方早1千年，在《九章算术》中，将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑，已知某“鳖臑”的三视图如图所示，则该鳖臑的外接球的表面积为（ ）