正交分解法

正交分解的推导
正交分解是一种在二维或三维空间中分解向量的方法，其中向量被分解为两个或三个相互垂直的分量。

这种方法在物理学、工程学和数学中都有广泛的应用。

假设我们有一个向量V，我们想要将它分解为两个相互垂直的分量V1和V2。

根据向量分解的原理，原向量V等于其分量V1和V2的矢量和，即：
V=V1+V2
由于V1和V2是正交的（即它们之间的点积为零），我们可以使用勾股定理来计算每个分量的长度。

设V的长度为V，V1的长度为V1，V2的长度为V2，则有：
V2=V12+V22
接下来，我们需要找到V1和V2的方向。

这通常通过选择坐标系来实现，其中一个分量与坐标轴对齐，另一个分量则与另一个坐标轴对齐。

例如，在二维空间中，我们可以选择x轴和y轴作为坐标轴，其中V1与x轴对齐，V2与y轴对齐。

一旦我们确定了分量的方向，我们就可以使用点积和叉积来找到它们的长度。

对于二维空间，点积足以找到长度，而对于三维空间，我们还需要使用叉积来找到第三个分量（如果需要的话）。

对于二维空间中的正交分解，我们有：
V1=V cosθ
V2=V sinθ
其中θ是V与x轴之间的夹角。

对于三维空间中的正交分解，我们可以使用类似的方法，但需要考虑第三个分量。

通常，我们选择一个与V所在平面垂直的轴作为第三个分量的方向。

总之，正交分解是一种通过将向量分解为相互垂直的分量来简化问题的方法。

这种方法在多个领域都有广泛的应用，包括物理学、工程学和数学。

正交分解法——把力沿着两个经选定的互相垂直的方向分解，其目的是便于运用普通代数运算公式来解决矢量运算。

利用力的正交分解法求合力：这是一种比较简便的求合力的方法，它实际上是利用了力的分解的原理把力都分解到两个互相垂直的方向上，然后就变成了在同一直线上的力的合成问题了.这样计算起来就简单多了。

力的正交分解法步骤如下：1、正确选定直角坐标系：通常选共点力的作用点为坐标原点，坐标轴的方向的选择则应根据实际问题来确定。

原则是使坐标轴与尽可能多的力重合，即是使需要向两坐标轴投影分解的力尽可能少，在处理静力学问题时，通常选用水平方向和竖直方向上的直角坐标，当然在其它方向较简便时，也可选用。

一般选水平和竖直方向上的直角坐标；也可以选沿运动方向和垂直运动方向上的直角坐标.在力学计算上，这两种选择可以使力的计算最简单，只要计算到互相垂直的两个方向就可以了，不必求总合力.2、分别将各个力投影到坐标轴上：分别求x轴和y轴上各力的投影的合力和其中：（式中的轴上的两个分量，其余类推。

）这样，共点力的合力大小可由公式：求出。

设力的方向与轴正方向之间夹角是。

∴通过数学用表可知数值。

注意：如果这是处理多个力作用下物体平衡问题的好办法。

计算方法举例：例：如图所示，物体A在倾角为θ的斜面上匀速下滑，求物体受到的摩擦力及动摩擦因数。

分析：选A为研究对象分析A受力作受力图如图，选坐标如图：将不在坐标轴上的重力在x,y坐标上分解：Gx=GžsinθGy=Gžcosθf在x轴(反向),N在y轴上(正向)∵物体匀速下滑则有则一、合力与分力：在实际问题中，一个物体往往同时受到几个力的作用。

如果一个力产生的效果与原来几个力产生的效果相同，这个力就叫那几个力的合力，而那几个力就叫这个力的分力。

二、力的合成与分解：求几个力的合力的过程叫力的合成，求一个力的分力的过程叫力的分解。

合力与分力有等效性与可替代性。

求力的合成的过程实际上就是寻找一个与几个力等效的力的过程；求力的分解的过程，实际上是寻找几个与这个力等效的力的过程。

正交分解法知识点总结一、正交分解法的基本概念1. 正交化在线性代数中，对于一个向量空间内的一组基向量，我们可以通过一定的方法将它们转化为一组正交基，这个过程就称为正交化。

正交化的目的是为了使得基向量之间互相正交，也就是说它们的内积为零。

这样一组正交基向量就可以更容易地用来表示其他向量，比如说对于一个向量，我们可以将它在这组正交基上的投影相加得到原向量，而不需要进行繁琐的计算。

2. 单位化在将一组向量正交化之后，我们通常还需要将它们单位化，也就是说将它们的模长归一化为1。

这样一来，我们得到的一组正交单位向量就可以作为线性空间的一组标准正交基。

这样的基向量在表示其他向量的时候更加方便，也符合我们对于标准正交基的要求。

所以在正交化的过程中，单位化是一个必要的步骤。

3. 正交分解正交分解是指将一个向量表示为一组正交基上的线性组合的过程。

对于一个线性空间中的一个向量，我们可以将它在一组正交基上的投影相加得到原向量。

这样的表示方法在很多情况下是非常方便的，比如说在计算内积、求解线性方程组、进行特征值分解等问题时，我们可以借助正交分解的方法来简化运算。

二、Gram-Schmidt正交化方法Gram-Schmidt正交化方法是一种常用的将线性无关向量集合正交化的算法。

它的基本思想是通过一系列的正交化和单位化操作，将原始的线性无关向量集合转化为一组正交基。

Gram-Schmidt正交化方法的具体步骤如下：1. 对于给定的一组线性无关的向量{v1,v2,…,vn}，首先取v1作为第一个正交基。

2. 对于第i个向量vi，将它在前i-1个正交基上的投影相减，得到vi的正交化向量ui。

3. 将ui进行单位化，得到第i个正交单位向量ei。

4. 重复上述过程，直到得到一组正交单位向量{e1,e2,…,en}。

Gram-Schmidt正交化方法的优点是它的思想简单，易于实现，而且对于实际应用中的大多数情况来说，它都能够得到不错的结果。

G一、正交分解法的目的和原则把力沿着两个经选定的互相垂直的方向分解叫力的正交分解法，在多个共点力作用下，运用正交分解法的目的是用代数运算公式来解决矢量的运算。

在力的正交分解法中，分解的目的是为了求合力，尤其适用于物体受多个力的情况，物体受到F1、F2、F3…，求合力F 时，可把各力沿相互垂直的x 轴、y 轴分解，则在x 轴方向各力的分力分别为 F1x 、F2x 、F3x…，在y 轴方向各力的分力分别为F1y 、F2y 、F3y…。

那么在x 轴方向的合力Fx = F1x+ F2x+ F3x+ … ，在y 轴方向的合力Fy= F2y+ F3y+ F3y+…。

合力22y x F +=，设合力与x 轴的夹角为θ，则x yF F =θtan 。

在运用正交分解法解题时，关键是如何确定直角坐标系，在静力学中，以少分解力和容易分解力为原则；二、运用正交分解法解题步骤如图所示：求F1、F2在X 轴、Y 轴方向的合力2、求F1、F2、F3、F4的合力3、如图所示，求F1、F2、F3的合力步骤：①建坐标，原则少分解力②分解不在坐标轴上的力 ③表示分力 ④求X 轴上的合力 Y 轴上的合力 ⑤求合力1. 物体放在粗糙的水平地面上，物体重50N ，受到斜向上方向与水平面成300角的力F 作用，F = 50N ，物体仍然静止在地面上，如图1所示，求：物体受到的摩擦力和地面的支持力分别是多少？2如图所示，用绳AO 和BO 吊起一个重100N 的物体，两绳AO 、BO 与竖直方向的夹角分别为30o 和40o ，求绳AO 和BO 对物体的拉力的大小。

3. 如图所示，重力为500N 的人通过跨过定滑轮的轻绳牵引重200N 的物体，当绳与水平面成60o 角时，物体静止，不计滑轮与绳的摩擦，求地面对人的支持力和摩擦力。

3. (8分)如图6所示，θ＝370，sin370＝0.6，cos370＝0.8。

箱子重G ＝200N ，箱子与地面的动摩擦因数μ＝0.30。