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2.2.2 反证法学习目标：1.了解反证法是间接证明的一种基本方法．(重点、易混点)2. 理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．(重点、难点)[自主预习·探新知]反证法的定义及证题的关键思考1：反证法的实质是什么？[提示]反证法的实质就是否定结论，推出矛盾，从而证明原结论是正确的．思考2：有人说反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理，这种说法对吗？为什么？[提示]反证法是间接证明中的一种方法，其证明过程是逻辑非常严密的演绎推理．[基础自测]1．思考辨析(1)反证法属于间接证明问题的方法．( )(2) 反证法就是通过证明逆否命题来证明原命题．( )(3)反证法的实质是否定结论推出矛盾．( )[答案](1)√(2)×(3)√2．“a<b”的反面应是( )A．a≠b B．a>bC．a＝b D．a＝b或a>b[答案] D3．用反证法证明“如果a＞b，那么3a＞3b”，假设的内容应是________.【导学号：31062152】[答案]3a≤3b4．应用反证法推出矛盾的推导过程中，下列选项中可以作为条件使用的有________．(填序号)①结论的反设；②已知条件；③定义、公理、定理等；④原结论．[解析]反证法的“归谬”是反证法的核心，其含义是：从命题结论的假设(即把“反设”作为一个新的已知条件)及原命题的条件出发，引用一系列论据进行正确推理，推出与已知条件、定义、定理、公理等相矛盾的结果．[答案]①②③[合作探究·攻重难][证明]假设a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b，即a＋c＋2ac＝4b.∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac，即b＝ac，∴a＋c＋2ac＝4ac，∴(a－c)2＝0，即a＝c.从而a＝b＝c，与a，b，c不成等差数列矛盾，故a，b，c不成等差数列．[规律方法] 1.用反证法证明否定性命题的适用类型结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．2．用反证法证明数学命题的步骤[跟踪训练]1．设SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点，求证：AC与平面SOB不垂直．[证明]假设AC⊥平面SOB，如图，∵直线SO在平面SOB内，∴SO⊥AC.∵SO⊥底面圆O，∴SO⊥AB.∴SO⊥平面SAB.∴平面SAB∥底面圆O.这显然出现矛盾，所以假设不成立，即AC与平面SOB不垂直．【导学号：31062153】[证明]∵2x＝3，∴x＝log23，这说明方程2x＝3有根．下面用反证法证明方程2x＝3的根是唯一的：假设方程2x＝3至少有两个根b1，b2(b1≠b2)，则2b1＝3,2b2＝3，两式相除得2b1－b2＝1.若b1－b2>0，则2 b1－b2>1，这与2 b1－b2＝1相矛盾．若b1－b2<0，则2 b1－b2<1，这也与2 b1－b2＝1相矛盾．∴b1－b2＝0，则b1＝b2.∴假设不成立，从而原命题得证．[规律方法]巧用反证法证明唯一性命题当证明结论有以“有且只有”“当且仅当”“唯一存在”“只有一个”等形式出现的命题时，由于反设结论易于推出矛盾，故常用反证法证明用反证法证题时，如果欲证明命题的反面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以；若结论的反面情况有多种，则必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断结论成立证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性.[跟踪训练]2．求证：两条相交直线有且只有一个交点．[证明]假设结论不成立，则有两种可能：无交点或不止一个交点．若直线a，b无交点，则a∥b或a，b是异面直线，与已知矛盾．若直线a，b不只有一个交点，则至少有两个交点A和B，这样同时经过点A，B就有两条直线，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾．综上所述，两条相交直线有且只有一个交点．[1．你能阐述一下“至少有一个、至多有一个、至少有n个”等量词的含义吗？提示：2.个”等量词的反设词吗？提示：2a＝0中至少有一个方程有实数解. 【导学号：31062154】[证明]假设三个方程都没有实根，则三个方程中：它们的判别式都小于0，即：⎩⎪⎨⎪⎧a 2－－4a ＋＜0，a －2－4a 2＜0，a 2＋4×2a ＜0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧－32＜a ＜12，a ＞13或a ＜－1，－2＜a ＜0.⇒－32＜a ＜－1，这与已知a ≥－1矛盾，所以假设不成立，故三个方程中至少有一个方程有实数解．母题探究：1.(变条件)将本题改为：已知下列三个方程x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0至少有一个方程有实数根，如何求实数a 的取值范围？[解] 若方程没有一个有实根，则 ⎩⎪⎨⎪⎧16a 2－－4a ＜0，a －2－4a 2＜0，4a 2＋8a ＜0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－32＜a ＜12，a ＞13或a ＜－1，－2＜a ＜0.即－32＜a ＜－1，故三个方程至少有一个方程有实根，实数a 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a ≥－1或a ≤－32. 2．(变条件)将本题条件改为三个方程中至多有2个方程有实数根，求实数a 的取值范围． [解] 假设三个方程都有实数根，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－－4a ＋，a －2－4a 2≥0，a 2＋4×2a ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋4a －3≥0，3a 2＋2a －1≤0，a 2＋2a ≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－32或a ≥12，－1≤a ≤13，a ≤－2或a ≥0.即a ∈∅.所以实数a 的取值范围为实数R .[规律方法] 当命题中出现“至少……”、“至多……”、“不都……”、“都不……”、“没有……”、“唯一”等指示性词语时，宜用反证法.提醒：对于此类问题，需仔细体会“至少有一个”、“至多有一个”等字眼的含义，弄清结论的否定是什么，避免出现证明遗漏的错误.[当堂达标·固双基]1．用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”，下列假设中正确的是( )【导学号：31062155】A．有两个内角是钝角B．有三个内角是钝角C．至少有两个内角是钝角D．没有一个内角是钝角C[“最多只有一个”的否定是“至少有两个”，故选C.]2．如果两个实数之和为正数，则这两个数( )A．一个是正数，一个是负数B．两个都是正数C．至少有一个正数D．两个都是负数C[假设两个数分别为x1、x2，且x1≤0，x2≤0，则x1＋x2≤0，这与两个数之和为正数矛盾，所以两个实数至少有一个正数，故应选C.]3．已知平面α∩平面β＝直线a，直线b⊂α，直线c⊂β，b∩a＝A，c∥a，求证：b与c是异面直线，若利用反证法证明，则应假设________．[解析]∵空间中两直线的位置关系有3种：异面、平行、相交，∴应假设b与c平行或相交．[答案]b与c平行或相交4．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.正确顺序的序号排列为________. 【导学号：31062156】[解析]根据反证法证题的三步骤：否定结论、导出矛盾、得出结论．[答案]③①②5. 设数列{a n}是公比为q的等比数列，S n是它的前n项和．求证：数列{S n}不是等比数列．[证明]假设数列{S n}是等比数列，则S22＝S1S3，即a21(1＋q)2＝a1·a1(1＋q＋q2)，因为a1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2，即q＝0，这与公比q≠0矛盾．所以数列{S n}不是等比数列．。
《反证法》的教学设计【学习目标】知识与能力：通过实例，体会反证法的含义；培养用反证法简单推理的技能，进一步培养观察能力、分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力。
过程与方法：了解反证法证题的基本步骤，会用反证法证明简单的命题. 【学习重难点】重点：1、理解反证法的概念，2、体会反证法证明命题的思路方法及反证法证题的步骤，3、用反证法证明简单的命题。
难点：导出矛盾的过程的模式【课时安排】2课时第1课时【学习过程】一、学前准备1、复习回顾证明方法中的综合法和分析法2、展示本节知识目标a.了解反证法是间接证明的一种基本方法；b.识别反证法所适用的数学问题；c.理解反证法的思考过程（反设，归谬）；4.会用反证法解决数学问题.3、提出疑问：将9个球分别染成红色或白色，那么无论怎样染，至少有5个球是同色的。
你能证明这个结论吗？4、自学课本第42，43页填写：（1）反证法的定义：假设原命题(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明________ ，从而证明了，这样的证明方法叫做反证法.（2）反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾.这个矛盾可以是与矛盾，或与假设矛盾，或与矛盾等.引申：（3）反证法解题的实质：否定结论，导出矛盾，从而证明原结论正确.（4）反证法的思维方法：正难则反（5）反证法证题的基本步骤：a．假设命题的结论的反面是正确的；（反设）b．从这个假设出发，经过逻辑推理，推出与矛盾；（归缪）c．由判定假设不正确，从而命题的结论是正确的.（结论）二、自学、合作探究通过查找课本，导学案等资料，各小组提出反证法涉及到的题，并对题型进行归类：宜用反证法证明的题型（1）以否定性判断作为结论的命题.（2）某些定理的逆命题.（3）以“至多”、“至少”或“不多于”等形式陈述的命题.（4）关于“唯一性”结论的命题.（5）解决整除性问题.（6）一些不等量命题的证明.（7）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段.（8）涉及各种“无限”结论的命题等.准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的。
反证法一、教学目标：1.知识与技能：(1)了解间接证明的一种基本方法──反证法；(2)了解反证法的思考过程与特点,会用反证法证明数学问题.2.过程与方法:通过学生动手及简单实例,让学生充分体会反证法的数学思想,并学会简单应用.3.情感态度与价值观通过反证法的学习,让学生形成逆向思维的模式,体验数学方法的多样性。
提高学生推导、推理能力及思考问题和解决问题的能力，并在合作探究中找到一种解决生活生产实际问题的新方法。
二.教学重点：了解反证法的思考过程与特点..三.教学难点：正确理解、运用反证法.四.教学方法：多媒体辅助教学；小组合作探究，多元活动.教学过程：一、新课导引A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎.则C必定是在撒谎，为什么？分析:假设C没有撒谎, 则C话为真那么A话为假且B话为假;由A话为假, 知B话为真. 这与B话为假矛盾.那么假设C没有撒谎不成立;则C必定是在撒谎.二、探究新知【学生自主合作探究】学生阅读完教材后，小组合作探究以下问题：1、什么是反证法？2、反证法的证题步骤有哪几步？3、什么样的命题适合用反证法来证明？4、反证法的应用关键在于什么？【学生展示、交流】（1）反证法概念反证法：假设命题结论不成立（即命题结论的反面成立），经过正确的推理,引出矛盾，因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这样的的证明方法叫反证法。
（2）反证法的一般步骤：a、反设：假设命题结论不成立（即假设结论的反面成立）；b、归缪：从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；c、下结论：由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题成立。
（3）应用反证法的情形：①直接证明困难;②需分成很多类进行讨论．③结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个” ---类命题；④结论为“唯一”类命题；（4）关键在于归缪矛盾：a、与已知条件矛盾；b、与公理、定理、定义矛盾；c、自相矛盾。
【教师归纳评价并强调】：同学们对反证法的学习已经有了一些认识，而反证法引出矛盾没有固定的模式，需要认真观察、分析，洞察矛盾。
2.2.2反证法【教学目标】1.使学生初步掌握反证法的概念及反证法证题的基本方法.2.培养学生用反证法简单推理的技能，从而发展学生的思维能力.【教学重点】：反证法证题的步骤.【教学难点】理解反证法的推理依据及方法.【教学方法】讲练结合教学.【教学过程】提问：师：通过预习我们知道反证法，什么叫做反证法？生：从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.师：本节将进一步研究反证法证题的方法，反证法证题的步骤是什么？生：共分三步：（1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；（2）从假设出发，经过推理，得出矛盾；（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.师：反证法是一种间接证明命题的基本方法。
在证明一个数学命题时，如果运用直接证明法比较困难或难以证明时，可运用反证法进行证明。
例如：在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,如果∠C=90°，a、b、c三边有何关系？为什么？解析：由∠C=90°可知是直角三角形，根据勾股定理可知a2 +b2 ＝c2二、探究问题：若将上面的条件改为“在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,∠C≠90°”，请问结论a2 +b2 ≠ c2 成立吗？请说明理由。
探究：假设a2 +b2 ＝c2，由勾股定理可知三角形ABC是直角三角形，且∠C=90°，这与已知条件∠C≠90°矛盾。
假设不成立，从而说明原结论a2 +b2 ≠ c2 成立。
这种证明方法与前面的证明方法不同，它是首先假设结论的反面成立，然后经过正确的；逻辑推理得出与已知、定理、公理矛盾的结论，从而得到原结论的正确。
象这样的证明方法叫做反证法。
三、应用新知例１：在△ABC中，AB≠AC,求证：∠B ≠∠ C证明：假设，∠B ＝∠C，则AB＝AC这与已知AB≠AC矛盾．假设不成立．∴∠B ≠∠ C小结：反证法的步骤：假设结论的反面不成立→逻辑推理得出矛盾→肯定原结论正确例2 已知：如图有a、b、c三条直线，且a//c,b//c. 求证：a//b证明：假设a与b不平行，则可设它们相交于点A。
人教A版选修1-2《反证法》教学设计【教学目标】知识与能力：通过实例，培养学生用反证法证明简单问题的推技能，进一步培养观察能力、分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力。
过程与方法：了解反证法证题的基本步骤，会用反证法证明简单的命题。
情感、态度、价值观：在观察、操作、推理等探索过程中，体验数学活动充满探索性和创造性；渗透事物之间都是相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想。
【学习重难点】学习重点：1、理解反证法的概念，2、体会反证法证明命题的思路方法及反证法证题的步骤，3、用反证法证明简单的命题。
学习难点：理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”即矛盾依据。
【学法指导】通过自学和老师的范例讲解，体会反证法的含义及反证法证明命题的思路方法，自己总结反证法证题的基本步骤。
法国数学家阿达玛曾说过：“反证法的证法在于表明，若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾.”这是对反证法精辟的概括.反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”.在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A 或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”.反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假.再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真，所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的.反证过程中的批判思想更有助于学生正确的认识客观世界.在教学过程中，我们要重视培养学生利用反证法对客观世界的认识提出自己的问题，这正是反证法教学所要教给学生的，应该具有的数学能力，也是培养学生数学素质与数学素养的很好教学机会.【学习过程】一、创设情境，引出课题看故事1并回答问题：中国古代有一个叫《路边苦李》的故事:王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动.有人问王戎为什么?王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.问题1：王戎是怎样知道李子是苦的吗?问题2：他运用了怎样的推理方法?王戎推理方法是:假设“李子甜”树在道边则李子少与已知条件“树在道边而多子”产生矛盾假设“李子甜”不成立所以“树在道边而多子,此必为苦李”是正确的看故事2并回答问题：古代有一贤臣被奸臣陷害，判了死罪，皇上念他过去有功，用抽纸片的形式决定他的命运，一张写“活”字，一张写“死”字，抽到“活”字可赦免，而奸臣歹毒,命人在两张纸片上都写上“死”字。
—————————— 新学期 新成绩 新目标 新方向 ——————————第2节直接证明与间接证明一、学习目标：1. 了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。
2. 了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点。
二、重点、难点重点：了解分析法和综合法的思考过程、特点。
难点：运用分析法、综合法提高分析问题和解决问题的能力。
三、考点分析：对两种直接证明方法的考查在选择题、填空题和解答题中都有出现，单纯的考查并不常见，作为解决问题的工具，与其他知识综合运用的特点比较突出。
它可以和很多知识，如函数、数列、三角函数、导数等相联系，证明时不仅要用到不等式的相关知识，还要用到其他数学知识、技能和技巧，而且还考查了运算能力，分析问题和解决问题的能力。
对于反证法很少单独命题，但是运用反证法分析问题、进行证题思路的判断则经常用到，有独到之处。
三种证明方法的定义与步骤：1. 综合法是由原因推导到结果的证明方法，它是利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法。
2. 分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、公理、定理等）为止的证明方法。
3. 假设原命题的结论不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，由此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的方法叫反证法；它是一种间接的证明方法。
用这种方法证明一个命题的一般步骤：（1）假设命题的结论不成立；（2）根据假设进行推理，直到推理中导出矛盾为止；（3）断言假设不成立；（4）肯定原命题的结论成立。
知识点一：综合法例1 对于定义域为[]0,1的函数()f x ，如果同时满足以下三个条件：①对任意的[]0,1x ∈，总有()0f x ≥；②(1)1f =；③若12120,0,1x x x x ≥≥+≤，都有1212()()()f x x f x f x +≥+成立，则称函数()f x 为理想函数。
反证法教学设计[学习目标]1、知识与技能：理解反证的概念，掌握反证法证题的步骤。
2、过程与方法：通过反证的学习，体会直接证明和间接证明之间的辩证关系。
3、情感、态度与价值观：通过反证法的学习，培养审慎思维的习惯，学会逆向思维，认识数学的科学价值。
[重点] 反证法的概念，一般步骤[难点] 正确否定原结论及矛盾焦点的选择[教法] 启发引导式教学法[学法] 小组讨论合作探究法[学习过程]一、复习引入除了极少数的原始命题，不需要证明而公认其为真命题（我们称之为公理）之外，绝大多数命题必须经过合乎逻辑的证明才能判断是否成立。
那么，如何去证明一个命题就值得研究了。
例如两点确定一条直线(公理)；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行(定理)；过一点有且只有一条直线与已知直线垂直(定理)。
二、案例分析：（1）A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎。
则C 必定是在撒谎，为什么？（2）桌面上有3枚正面朝上的硬币，每次用双手同时翻转2枚硬币，那么无论怎样翻转，都不能使硬币全部反面朝上，你能解释这种现象吗？例1：若都是正数，且,求证：和中至少有一个成立.，且两式相加，得，即，这与已知矛盾，故三、概念形成及深化：1、反证法的定义：反证法不是直接去证明结论，而是先否定结论，在否定结论的基础上进行推理，引出矛盾，于是认可否定的结论不成立，则原结论当然正确。
这种方法称为反证法。
2、反证法证明步骤：（1）反设：假定命题的结论不成立，即假设结论的反面成立，这个假设叫做“反面假设”；（2）归谬：由反证假设出发，运用已知条件，进行正确推理，导致矛盾；（3）肯定：由所得矛盾，断定反证假设不成立，从而肯定结论成立。
其中第（2）步是关键，主要寻找以下矛盾：①与反证假设相矛盾②与已知条件相矛盾③与已知事实、定义、公理、定理相矛盾④自相矛盾典型例题例1. 如图，AB，CD为圆的两条相交弦，且不全为直径，求证：AB、CD不能互相平分A BC D例2.是无理数例3．求证素数有无穷多个证明：（反证法）假设素数仅是有限个，由小到大排列如下：2,3,5,……,P。
2.2.2 间接证明
互动课堂
疏导引导
1.反证法证明数学问题的理解
(1)反证法的理论依据是逻辑规律中的排除律：一个事物或者是A或是A，二者必居其一，反证法即证明结论的反面错误.从而结论正确.
(2)反证法可以证明的命题的范围相当广泛.一般常见的如：惟一性问题，无限性问题，肯定性问题，否定性问题，存在性问题，不等式问题，等式问题，函数问题，整除问题，几何问题等.
(3)反证法中的“反设”，这是应用反证法的第一步.也是关键一步.“反设”的结论将是下一步“归谬”的一个已知条件.“反设”是否正确、全面，直接影响下一步的证明.做好“反设”应明确①正确分清题设和结论；②对结论实施正确否定；③对结论否定后，找出其所有情况.
例如 A：大于，A：不大于；不大于即小于或等于，对这两种情况在下一步的“归谬”中应一一证明不成立.
(4)反证法的“归谬”.它是反证法的核心.其含义是：从命题结论的假设(即把“反设”作为一个新的已知条件)及原命题的条件出发，引用一系列论据进行正确推理，推出与已知条件、定义、定理、公理等相矛盾的结果.
2.反证法证明问题的基本思路
用反证法证明结论是B的命题,其思路是：假定B不成立,则B的反面成立,然后从B的反面成立的假定出发,利用一些公理、定理、定义等作出一系列正确的推理,最后推出矛盾的结果,若同时承认这个结果与题设条件,则与学过的公理、定理或定义矛盾,这矛盾只能来自“B的反面成立”这个假设,因此B必定成立.可见反证法的步骤是：否定结论→推出矛盾→否定假设→肯定结论,其中推出矛盾是证明的关键.
3.反证法所能证明的问题类型
数学中的一些基础命题都是数学中我们经常运用的明显事实,它们的判定方法极少,宜用反证法证明.正难则反这是应用反证法的原则,即一个命题的结论如果难于直接证明时,可考虑用反证法.
另外,宜用反证法证明的题型还有：(1)一些基本命题、基本定理;(2)易导出与已知矛盾的命题;(3)“否定性”命题;(4)“唯一性”命题;(5)“必然性”命题;(6)“至多”“至少”类的命题;(7)涉及“无限”结论的命题等等.
4.应用反证法证明问题时应注意的问题
(1)要想得到原命题相反的判断,必先弄清原命题的含义,即原命题包含哪几个结论(不能缩小也不能扩大),然后避开问题给的条件考虑可能得到的各种结论,从这些结论中把原命题所含的结论剔除,就得到原命题的相反判断,如“是”的反面是“不是”,“有”的反面是“没有”,“等”的反面是“不等”,“成立”的反面是“不成立”,“有限”的反面是“无限”,以上这些都是相互否定的字眼,较为易找,应注意以下的否定：“都是”的反面为“不都是”,即“至少有一个不是”(不是“都不是”);“都有”的反面为“不都有”,即“至少一个没有”(不是“都没有”);“都不是”的反面为“部分是或全部是”,即“至少有一个是”(不是“都是”);“都没有”的反面为“部分有或全部有”,即“至少一个有”(不是“都有”).
(2)间接论证的应用有一定困难,因为在间接证明过程中,不得不暂时离开所讨论的论题,引进许多补充的材料(如结论的反面等),致使全部考查过程复杂化.但这种方法我们务必学会.因为在实际生活以及数学和其他科学中,时常会遇到这样的命题,当时并无直接证明它的论据,必须用间接法来证明它的真实性.
(3)用反证法证明命题“若p 则q”,它的全部过程和逻辑根据可以表示如下：
肯定条件p
−−→−−−→−矛盾律推理辑矛盾导致逻
否定结论肯定条件q p
“既p 又⌝q”为假−−→−排中律
“若p 则q”为真. (4)应用反证法证明数学问题,一般有下面几个步骤：
第一步：分清命题“p→q”的条件和结论;
第二步：作出与命题结论q 相矛盾的假定⌝q;
第三步：由p 和⌝q 出发,应用正确的推理方法,推出矛盾结果;
第四步：断定产生矛盾结果的原因,在于开始所作的假定⌝q 不真,于是原结论q 成立,从而间接地证明了命题p→q 为真.
(5)第三步所说的矛盾结果,通常是指推出的结果与已知公理、已知定义、已知定理或已知条件矛盾,与临时假定矛盾以及自相矛盾等各种情况.
活学巧用
例1 求证：质数有无穷多.
证明：如果质数的个数有限,那么我们可以将全体质数列举如下：
p 1,p 2, …,p k ,
命q=p 1p 2…p k +1.
q 总是有质因数的,但我们可证明任何一个p i (1≤i≤k)都除不尽q.假若不然,由p i 除尽q,及p i 除尽p 1p 2…p k 可得到p i 除尽(q-p 1p 2…p k ),即p i 除尽1,这是不可能的.故任何一个p i 都除不尽q.这说明q 有不同于p 1、p 2, …,p k 的质因数.这与只有p 1,p 2, …,p k 是全体质数的假定相矛盾.
所以质数有无穷多.
点评：本题是利用反证法证明数学中的一个基础命题,本命题若用直接方法来证明非常困难,因此宜用反证法.
例2 如图，设SA 、SB 是圆锥SO 的两条母线,O 是底面圆心,C 是SB 上一点,求证：AC 与平面SOB 不垂直.
证明：假设AC⊥平 鍿OB,
∵直线SO 在平面SOB 内,
∴SO⊥AC.
∵SO⊥底面圆O,∴SO⊥AB.
∴SO⊥平面SAB.
∴平面SAB∥底面圆O.
这显然出现矛盾,∴假设不成立,
即AC 与平面SOB 不垂直.
点评：否定性地问题常用反证法.例如证明异面直线,可以假设共面,再把假设作为已知条件推导出矛盾.
例3 证明方程2x =3有且只有一个根.
证明：∵2x =3,∴x=log 23.这说明方程有一个根.
下面用反证法证明方程2x =3的根是唯一的.
假设方程2x =3有两个根b 1、b 2(b 1≠b 2),
则12b =3,22b =3.两式相除,得212
b b -=1. 如果b 1-b 2＞0,则212
b b -＞1,这与212b b -=1相矛盾; 如果b 1-b 2＜0,则212b b -＜1,这也与2
12b b -=1相矛盾. 因此b 1-b 2=0,则b 1=b 2.这就同b 1≠b 2相矛盾.
如果方程的根多于两个,同样可推出矛盾.
故2x =3有且只有一个根.
点评：“有且只有”表示“存在且唯一”.因此,在证明此类问题时要分别从存在性和唯一性两方面来考虑,而证明唯一性时,通常使用反证法.
例4 设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和.
(Ⅰ)求证：数列{S n }不是等比数列；
(Ⅱ)数列{S n }是等差数列吗？为什么？
证明：(Ⅰ)法1 (反证法) 若{S n }是等比数列，则22S =S 1S 2，即21a (1+q)2=a 1·a 1(1+q+q 2
) ∵a 1≠0，∴(1+q)2=1+q+q 2
，即q=0与q≠0矛盾，故{S n }不是等比数列.
法2 只需证明S n S n+2≠21+n S ∵S n+1=a 1+qS n ，S n+2=a 1+qS n+1
∴S n S n+2-21+n S =S n (a 1+qS n+1)-(a 1+qS n )S n+1=a 1(S n -S n+1)=-a 1a n+1)≠0.
(Ⅱ)当q=1时，{S n }是等差数列.当q≠1时，{S n }不是等差数列，否则S 1，S 2，S 3成等差数列.即2S 2=S 1+S 3
∴2a 1(1+q)=a 1+a 1(1+q+q 2).由于a 1≠0，
∴2(1+q)=2+q+q 2，q=q 2，∵q≠1，∴q=0与q≠0矛盾.
点评:本题的解答依赖于等差和等比数列的概念和性质，体现了特殊化思想，分类讨论思想和正难则反的思维策略.对代数的推理能力要求较高.
例5 若下列方程：
x 2+4ax-4a+3=0,
x 2+(a-1)x+a 2=0,
x 2+2ax-2a=0
至少有一个方程有实根,试求实数a 的取值范围.
解：设三个方程均无实根,则有
⎪⎩⎪⎨⎧<--=∆<--=∆<+--=∆,0)2(44,04)1(,0)34(41623
22221a a a a a a 解得⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧<<->-<<-,02,311,2123a a a a 或 即123-<<-a ,所以当a≥-1或2
3≤a 时,三个方程至少有一个方程有实根.。
