复变函数与积分变换课程9-1

9
根据留数定理得 :
R R( x )dx C
R( z ) 1 z
mn
R
R
R( z )dz 2π i Res[R( z ), zk ],
1 a1 z 1 an z n 1 b1 z 1 bm z m 1 a1 z 1 an z n 1 b1 z 1 bm z m


20
四、小结与思考
本课我们应用“围道积分法”计算了三类实 积分, 熟练掌握应用留数计算定积分是本章的难 点.
21
本章内容总结
孤立奇点
可去奇点 极点
函数的零点与 极点的关系
本性奇点
留数
计算方法 留数定理
1.
计算
f ( z )dz
C
留数在定积分 计算中的应用

2
0
R(sin ,cos )d f ( x )dx
z2 1 , dz ie i d , 令 z e i , 则 sin 2 zi
I
2π
0
1 d 5 3 sin
1 dz 1 3( z 2 1) iz z 5 2iz
z 1
2 2 2 dz 3z 10iz 3 3 z 1

2 i ( z )(z 3i) 3
封闭路线的积分 . 两个重要工作: 1) 积分区域的转化
2) 被积函数的转化
2
形如
0
2π
R(cos , sin )d
i
令ze
dz ie d
i
dz d , iz
z2 1 1 i sin (e e i ) , 2i 2iz

i i 1 2 1 2
推广至有限个复数的乘法
i i i n 1 2 z z z r e r e r e 12 n 1 2 n i ( ) 1 2 n r r r e 12 n
浙江大学
除法运算
z1 0
z2 z2 z1 z1
z2 z2 , z1 z1
n 1 1 n
浙江大学
x iy z1 x1 iy1 1 iy 1 x 2 2 x2 iy iy z2 x2 iy2 2 x 2 2

x x y y i x y x y 1 2 1 2 2 1 1 2
x y
2 2 2 2
b) 按上述定义容易验证 加法交换律、结合律
当k＝0，1，2，…，n－1时，得到n个相异的根：
w r (cos isin ) 0 n n 1 2 2 n w r (cos i sin ) 1 n n 1 4 4 n w r (cos i sin ) 2 n n
1 n


2 ( n 1 ) 2 ( n 1 ) w r (cos i sin )
z z ( z z ) e 3 1 2 1 1 3 ( 1i)( i) 2 2 1 3 1 3 i 2 2
3 3 1 3 z i 3 2 2
i 3
z3
z2
x
O
z1
3 3 1 3 z i 3 2 2
浙江大学
复数的乘幂
n个相同复数z的乘积成为z的n次幂
z1
O 加法运算 x
z z z z 1 2 1 2
浙江大学
y
z1
z2

解: ( 2)

z 1
sin z 4 dz z2 1 1
2

z 1
sin z 4 z 1 dz 1 z 1
2
sin z 4 2i z 1
2 i; 2
z 1
11
sin z 解: ( 3) 2 4 dz 由闭路复合定理, 得 z 1 z 2 sin z 4 dz 2 z 2 1 z
如果函数 f ( z ) 在区域 D 内处处解析, C 为 D 内的任何一条正向简单闭曲线, 它的内部完全含 于 D, z0 为 C 内任一点, 那末 1 f (z) f ( z0 ) C z z dz . 2 πi 0
证明: 因为 f ( z ) 在 z0 连续,
z0
C
D
则 0, ( ) 0,
2i (3(6 z 7), 而 1 i 在 C 内, 所以 f (1 i ) 2 ( 6 13i ).
9
sin z 4 dz , 其中 C : (1) z 1 1 ; 练习:计算积分 2 2 C z 1
3
关于柯西积分公式的说明: (1) 公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积 分的一种方法, 而且给出了解析函数的一个积 分表达式. (这是研究解析函数的有力工具) (2) 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周 上的平均值. 如果 C 是圆周 z z0 R e i ,
1 2π f ( z0 ) f ( z0 R e i )d . 2π 0
2! f ( z) 可得 f ( z0 ) C ( z z )3 dz. 2i 0
18
至此我们证明了一个解析函数的导数仍然是解 析函数. 依次类推, 利用数学归纳法可证

将它们代入所给的直线方程ax+bx=c，有
化简得
记α=a+ib，β=2c，便得结论.
（3）方程|z-i|=|z+2i|表示到点i和-2i的距离相等的点z的轨迹，
即连接复数i和-2i的线段的垂直平分线.
(4) 方程
表示一个圆周.
第31页/共75页
1.1.5无穷远点与扩充复平面 取一个与 相切于坐标原点O的球面S. 过O作与复平面相垂直的直线，该直线 与球面S交于另一点N，O和N分别称为 球面的南极和北极（图1.7）.
第1页/共75页
1.1.1复数域 形如
1.1复数
的数称为复数，其中x和y是任意的实数，分别称为复数z的实部与虚
部，记作x=Re z，y=lm z；而i(也可记为 )称为纯虚数单位.
当Im z=0时，z=Re z可视为实数；而当Re z=0,Im z≠0时，z称
为纯虚数；特别地，当Re z=Im z=0时，记z=0+i0=0.
第4页/共75页
1.1.2复平面、复数的模与辐角 由于一个复数z=x+iy可以由有序实数对(x,y)唯一确定，而有序实 数对(x,y)与平面直角坐标系xOy中的点一一对应，因此可以用坐标 为(x,y)的点P来表示复数z=x+iy (图1.1)，此时x轴上的点与实数 对应，称x轴为实轴，y轴上的点（除原点外）与纯虚数对应，称y轴 为虚轴.像这样表示复数的平面称为复平面，或按照表示复数的字母 是z,w,…,而称为z平面、w平面，等等.
图1.5
第21页/共75页
例1.5设n为自然数，证明等式
证明令
，/共75页
1.1.4共轭复数 设复数z=x+iy，称复数x-iy为z的共轭复数，记为 于实轴对称的（图1.6）. 由定义，容易验证下列关系成立：

复变函数的积分与积分变换
1
积分公式
复变函数的积分公式可以用于计算曲线下面积。
2
积分变换
积分变换是一种将函数映射到复平面的转换方法。
3
常见的积分变换
包括拉普拉斯变换和傅里叶变换等。
复变函数的解析性和调和函数
解析性
复变函数具有解析性，意味着它在某个区域内 无穷次可微且无奇点。
调和函数
调和函数是一种具有平均值性质的函数，它满 足拉普拉斯方程。
拉普拉斯变换与应用
定义 应用
拉普拉斯变换是一种线性积分变换，常用于解 决常微分方程和偏微分方程。
拉普拉斯变换在信号处理、控制系统和电路分 析等领域中具有重要的应用价值。
傅里叶变换与应用
傅里叶变换
傅里叶变换是一种将时域函数 转换为频域函数的方法。
应用
傅里叶变换广泛应用于信号处 理、音频处理和图像处理等领 域。
数学表示
傅里叶变换可以用数学公式描 述函数的频域特性。
积分变换的性质和逆变换
1 性质
积分变换具有线性性质、频率平移性质和尺度变换性质等。
2 逆变换
逆变换是将积分变换的结果转换回原始函数的过程。
复变函数与积分变换的综合应用
信号处理
复变函数与积分变换在信 号滤波和频域分析中发挥 重要作用。
控制系统
复变函数与积分变换可用 于分析和设计具有复杂传 递函数的控制系统。
电路分析
复变函数与积分变换可以 帮助求解电路中的电压和 电流等问题。
复变函数与积分变换课件
欢迎来到复变函数与积分变换的世界！在这个课件中，我们将深入探索复变 函数的基本概念和性质，以及复变函数的积分公式和积分变换。
复变函数概念与性质

复变函数与积分变换详细
复变函数与积分变换讲义详细
第一讲 第二讲 第三讲 第四讲 第五讲 第六讲 第七讲 第八讲
第九讲
目录
复数的代数运算及几何表示 复数的乘幂与方根 区域 复变函数 复变函数及极限与连续 解析函数的概念及充要条件 初等函数 复积分的概念 柯西古萨基本定理 复合闭路定理原函数与不定积分 柯西积分公式 解析函数的高阶导数 解析函数和调和函数的关系 复数项级数 幂级数
在十六世纪中叶，G. Cardano (1501-1576)在研究
一元二次方程 x10x40时引进了复数。他发现
这个方程没有根，并把这个方程的两个根形式地表
为 5 15与 5 15。在当时，包括他自己在内，
谁也弄不清这样表示有什么好处。事实上，复数被
Cardano 引入后，在很长一段时间内不被人们所理
与W.R.Hamilton (爱尔兰1805-1865)定义复数 a ib
为一对有序实数后，才消除人们对复数真实性的长久 疑虑，“复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到 建立和发展。 复变函数的理论和方法在数学、自然科学和工程技术
中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学，电磁学， 热学弹性理论中平面问题的有力工具。 复变函数中的许多概念，理论和方法是实变函数在复 数领域的推广和发展。
记作Arg z= . 任何一个复数z0有无穷多个辐角,将满足
p <0p 的0 称为Arg z的主值, 记作0=arg z .则 Arg z=0+2kp =arg z +2kp (k为任意整数)
当 z = 0 时, | z | = 0, 而辐角不确定. arg z可由下列关系确定
说 a明r gt：a zn 当(z pa在prp)c第 taa 二rnactxya r象tn ca,(tn限p zaxy在n 时,xy第z，),在 p 2 z一在 t第a 、 n 第二 四三 a 象rg 象y 象限 z其 限 限中 p pp2 p 2 aar rcc ttaan np xyy p0 2 例 谁利一直A第第因可热z可在第与程x第解z利这复第例 第为利(为C第 解四-11,ary++如也用元到六三此以学以当五实来四析用个变十1五用十析则gr分dzza<将a22n大弄 欧 二 十 讲 讲 ,将 弹 将 时 讲 数 表 讲 函 欧 方 函 六 讲 欧 二函 运t别n==d<它下o家 不拉次七z性z，不示数拉程数讲拉讲 数算zz+(称表表22的法(列++1所 清公方与理包同.和公没的公和为复复初解初示示5复设zz国)复110熟 这式程十论括,调式有理F。式。孤 调Z积变等析等一成成1数o.;;数的-知 样八中他和根论和立u分函函函函e般ee1三三形r化zz5实iiii的 表世平自函，和函奇e11qqq的数数数数说7角角式rzz为6部变===示纪面己数并方数E点22概及的来)表表的u在==三ccc和换有，问在的把法的时lzzooo念极概,e示示参任研22sss角虚r的什随题内关这在关引qqqzz限念式式数柯意11究表部性么着的，系个数系进+++与及::方西两示,;;质iii好微有方学了记连充zzsss程古个式11iii处积力程、复作nnn续要++应为萨复qqq与((。分工的自数zz条用基数得得得22指的具两然。++件本不指指指zz数卷产。个科33定能数数数))表积生根学==理比((表表表示zz与形和11较示示示式++发式工zz大式式式.22展地程))小:::++，表技zz.33术

完全类似在此基础上，也可以得出类似于微积分学中的 基本定理和牛顿-莱布尼兹公式。先引入原函数的概念。
第45页/共104页
定义 即
如果函数 , 则称
在区域D内的导数等于 f (z), 为 f (z)在区域B内的原函数。
定理二表明
是 f (z)的一个原函数。
• 容易证明，f (z)的任何两个原函数相差一个常数。
，因此有
或
第48页/共104页
有了原函数、不定积分和积分计算公式，复变函数
E'
E
C
B'
B
C1
即 或
第30页/共104页
上式说明如果将 C 及 沿C逆时针, 沿
看成一条复合闭路G, 其正向为: 顺时针, 则
上式说明在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分, 不 因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值, 只要在变 形过程中不经过函数
D
f (z)不解析的点。这 一重要事实，称为 闭路变形原理。
今后讨论积分，如无特别说明，总假定被积函数是连续 的，曲线C是按段光滑的。
第10页/共104页
例1 计算
, 其中C为原点到点3+4i的直线段。
[解]直线的方程可写作
或 在C上,
。于是
又因
第11页/共104页
容易验证，右边两个线积分都与路线C无关，所以 的值，不论C是怎样的连接原点到3+4i的曲线，
第27页/共104页
在上一节中，讨论了柯西-古萨定理是在单连通域
里，现将柯西-古萨基本定理推广到多连通域的情况。
设函数 f (z)在多连通域D内解析，C为D内的任意一条
简单闭曲线，当C的内部不完全含于D时，沿C的积分 就不一定为零。

11 2i (2 i )( 5i) 11 2i 5 10i 25 5i (5i) 25 25
16 8 i 25 25
所以
16 8 Re z , Im z 25 25
16 8 16 8 64 zz ( i)( i) 25 25 25 25 125
1. 复数的乘幂 设 n 为正整数， n 个非零相同复数 z 的乘 z 的 n 次幂，记为 z n ，即 积，称为
z n z z z
n个
若 z r（cos i sin ) ，则有
z n r n (cos n i sin n )
当 r 1 时，得到著名的棣莫弗公式 (cos i sin ) n cos n i sin n
所以 r z ( 1) 2 ( 3) 2 2 设 arg z, 则
3 tan t 3 1
又因为 z 1 i 3 位于第II象限 2 所以 arg z 3 于是
2 2 z 1 i 3 2(cos i sin ) 3 3
y arctan x , z在第一、四象限 y y arg z arctan , z在第二象限 其中 arctan 2 x 2 x y arctan x , z在第三象限
说明：当 z 在第二象限时， arg z 0 2 2 y y arctan tan( ) tan( ) tan
z0
25



开集 如果点集 D 的每一个点都是D 的内 点，则称 D 为开集. 闭集 如果点集 D 的余集为开集，则称D 为闭集. 连通集 设是 D 开集，如果对于 D 内任意两 点，都可用折线连接起来，且该折线上的 点都属于 D ，则称开集 D 是连通集.

解
由上例可知

(z
1 a)n1
dz

2i, 0,
n0 n 0,
此处不妨设 a z0,
则有
1
1
1,
2 i (z z0 )n dz 0,
n1 n 1.
四、小结与思考
本课所讲述的复合闭路定理与闭路变形原
理是复积分中的重要定理, 掌握并能灵活应用它 是本章的难点.
1
2
3
CF
A
A
F
B4
D1 E C1 B
D
E
问题的提出 C
C1
复合闭路定理D
C2 C3
典型例题
小结与思考
一、.
z 2 z 1
因为 z 2 是包含 z 1 在内的闭曲线,
根据本章第一节例4可知,
1 dz 2i.
z 2 z 1 由此希望将基本定理推广到多连域中.
y C1
解 C1 和 C2 围成一个圆环域, 函数 ez 在此圆环域和其边界
z
C2 o1
2x
上处处解析, 圆环域的边界构成一条复合闭路,
根据闭路复合定理, ez dz 0. z
例3 求

(z
1 a)n1
dz
,

为含
a
的任一简单闭
路，n 为整数.

解 因为a 在曲线内部,
a
1
BB
BB
即 f (z)dz f (z)dz 0,
C
C1
或 f (z)dz f (z)dz.
C
C1
CF
A A F B
D1 E C1 B