2007年莆田四中高三数学(导数)单元考试题及答案

福建省莆田四中2007年高三数学周考试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．不等式)c x ()b x )(a x (--+≥0的解集为[－2，3)∪[7，+∞)，则a －b+c 的值是（ ）A ．2B ．－2C ．8D ．6 1．解答：∵－a 、b 的值为－2，7中的一个，x≠c c = 3∴a－b = －（b －a ）=－（－2 + 7）=－5 a －b + c =－5 + 3 =－2 选B2．已知f(x)在R 上可导,且f(x)=x 2+2xf ′(1) 则f(-1)与f(1)的大小关系是( C ) A.f (-1 ) = f ( 1 ) B.f (-1 ) < f ( 1 ) C.f (-1) > f ( 1 ) D.不能定3. 已知函数()f x 在[0,)+∞上是增函数，()(||)g x f x =-，若(lg )(1)g x g >，则x 的取值范围是(A )A 、1(,10)10 B 、(0,10) C 、(10,)+∞ D 、1(0,)(10,)10+∞ 4. 已知ABC ∆的三个顶点在同一球面上, .2AC AB ,90BAC ===∠ 若球心O 到平面ABC 的距离为1, 则该球的半径为 (C ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 25．在△ABC 中,A,B,C 所对的边分别是a,b,c 若Ccos cB cos b A cos a ==,则△ABC 是（ C ） A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形6. 若数列{}n a 的通项公式为)(524525122+--∈⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⎪⎭⎫⎝⎛⨯=N n a n n n ，{}n a 的最大值为第x 项，最小项为第y 项，则x+y 等于 （A ）A.3B.4C.5D.67．已知直线m 、n ，且n ⊂平面α，则“m ⊥n ”是“m ⊥α”的（B ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件8．O 为△ABC 的内切圆圆心，AB ＝5，BC ＝4，CA ＝3，下列结论中正确的是（A ）A ．OA OB OB OC OC OA ⋅<⋅<⋅ B ．OA OB OB OC OC OA ⋅>⋅>⋅ C ．OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅D ．OA OB OB OC OC OA ⋅<⋅=⋅9. 定义在R 上的函数f (x)满足f (x + 2) = 3f (x), 当x ∈[0, 2]时，f (x) = x 2－2x, 则当x ∈[－4, －2]时，f (x)的最小值是（ D ）A. 0B. －1C.91 D. －91 10. 如图, 2n 台机器放在同一条直线形生产线上, 它们所生产的零件都必须送到一个检验台上进行检验. 已知移动零件所需的费用与所移动的距离成正比, 要使移动零件到检验台的总费用最少, 检验台的位置可以放置于以下情况中的哪几种?:① 点M 1处; ② 点M n 处; ③; 线段M 1M 2n 上任一点; ④ 点M n + 1处; ⑤ 线段M n M n+ 1的中点处.（C ）· · · · · · · ·A. ①②④B. ②③④C. ②④⑤D. ②③⑤二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中的横线上11．两个非零向量a ，b 互相垂直，给出下列结论：①0=⋅b a ；②＋＝－；③|a ＋b |＝|a －b |； ④|a |2＋|b |2＝(a ＋b 2)．其中正确的结论有（ C ） （A ）1个（B ）2个 （C ）3个 （D ）4个12、设命题:P 不等式224)31(x x m x ->>+对一切实数x 恒成立；命题:q 函数x m x f )27()(--=是R 上的减函数. 若命题p 或q 为真命题，命题p 且q 为假命题，则实数m 的取值范围是.12、理 ]1,(]4,3[-∞ 【思路分析】：由题意知P ，q 中有且仅有一个真命题.若p 真，∵44)31(,11)1(222<+≤+--=-x x x x ，∴41≤<m .若q 真，则127>-m ，即3<m . ∴⎩⎨⎧≥≤<341m m 或,314⎩⎨⎧<≤>m m m 或即43≤≤m 或1≤m .13．（理）定义：若存在常数k ，使得对定义域D 内的任意两个()2121,x x x x ≠，均有()()2121x x k x f x f -≤- 成立，则称函数()x f 在定义域D 上满足利普希茨条件。

某某四中2014-2015学年度高三第三次月考试卷数学（文）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．已知集合{}{}240,5M x x x N x m x =-<=<<，若{}3M N x x n ⋂=<<，则m n +等于( )A.9B.8C.7D.62．复数11i -的共轭复数为（） A ．1122i + B ．1122i - C ．1122i -- D ．1122i -+3．以下结论：①若()b a R λλ=∈，则//a b ； ②若//a b ，则存在实数λ，使b a λ=；③若a b 、是非零向量，R λμ∈、，那么00a b λμλμ+=⇔==；④平面内任意两个非零向量都可以作为表示平面内任意一个向量的一组基底。

其中正确结论个数是( )A 、0B 、1C 、2D 、34．在一次实验中，采集到如下一组数据： x -2.0 -1.0 0 1.00 2.00 3.00y 0.24 0.51 12.023.98 8.02则,x y 的函数关系与下列（）类函数最接近（其中,a b 为待定系数）A ．y a bx =+B .xy a b =+ C.2y ax b =+ D.b y a x=+5．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是( )A.2B.92C.32D.36sin(2)3y x π=-的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位后，所得到的图象对应的函数为奇函数，则ϕ的最小值为（）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π7．若下框图所给的程序运行结果为35S =，那判断框中应填入的关于k 的条件是( )(A)7k =(B)6k ≤(C)6k <(D)6k > 8．设02x π<<，则“2sin 1x x <”是“sin 1x x <”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件 9．函数sin 222x xxy -=+的图像大致为（）(A) (B) (C) (D)10．已知0a b ＞＞，椭圆1C 的方程为2222=1x y a b +，双曲线2C 的方程为22221y x a b-=，1C 与2C 32，则2C 的渐近线方程为( ) . 2A x =.20B x y ±=.20C x y ±=.20D x y ±=11．已知函数1()|log |()(02x a f x x a =->且1)a ≠有两个零点1x 、2x ，则有（） （A ）1201x x <<（B ）121x x =（C ）121x x >（D ）12x x 的X 围不确定 12．定义在R 上的函数()()()()(),21)5(,11,00x f x f x f x f f x f ==-+=满足且当1021≤<≤x x 时，()()21x f x f ≤.则)20071(f 等于（） A ．21B ．161C ．321D ．641二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答案卷的相应位置.13．曲线53xy e =-+在点()0,2-处的切线方程为________.14．设函数24 6 (0)() 6 (0)x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，则不等式)1()(f x f >的解集是_______________.15．在ABC △中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，sin 1sin sin b Ca c A B=-++已知，且5,5b CA CB =⋅=-，则ABC △的面积是________．16．集合{1,2,3,,}(3)n n ≥中，每两个相异数作乘积，将所有这些乘积的和记为n T ，如：输出S35++⨯+（写出计算结果）小题，共74. 17．{}n a 的前n 项和为n S ，且(1)()n S n n n N *=+∈ （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足3122331313131nn n b b b ba =++++++++，求数列{}n b 的通项公式； 18．已知函数a x x x x f ++=cos sin 32cos 2)(2，且当]6,0[π∈x 时，)(x f 的最小值为2.（1）求a 的值，并求)(x f 的单调增区间；（2）将函数)(x f y =的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的21倍，再把所得图象向右平移12π个单位，得到函数)(x g y =，求方程2)(=x g 在区间]2,0[π上的所有根之和.19．为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关,现对30名六年级学生进行了问卷调查得到如下列联表:平均每天喝500ml 以上为常喝，体重超过50kg 为肥胖。

2007年高考“导数”题1．(全国Ⅰ) 设函数()e e x x f x -=-． （Ⅰ）证明：()f x 的导数()2f x '≥；（Ⅱ）若对所有0x ≥都有()f x ax ≥，求a 的取值范围． 解：（Ⅰ）()f x 的导数()e e x x f x -'=+．由于e e 2x-x+=≥，故()2f x '≥．（当且仅当0x =时，等号成立）．（Ⅱ）令()()g x f x ax =-，则()()e e x x g x f x a a -''=-=+-， （ⅰ）若2a ≤，当0x >时，()e e 20x x g x a a -'=+->-≥，故()g x 在(0)+，∞上为增函数，所以，0x ≥时，()(0)g x g ≥，即()f x ax ≥．（ⅱ）若2a >，方程()0g x '=的正根为1ln2x =此时，若1(0)x x ∈，，则()0g x '<，故()g x 在该区间为减函数．所以，1(0)x x ∈，时，()(0)0g x g <=，即()f x ax <，与题设()f x ax ≥相矛盾． 综上，满足条件的a 的取值范围是(]2-∞，．2．(全国II) 已知曲线23ln 4xy x =-的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．12解：已知曲线23ln 4xy x =-的一条切线的斜率为12，13'2y x x =-=21，解得x=3或x=－2，由选择项知，只能选A 。

已知函数3()f x x x =-．（1）求曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程；（2）设0a >，如果过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f a -<<． 解：（1）求函数()f x 的导数；2()31x x f '=-． 曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程为：()()()y f t f t x t '-=-，即23(31)2y t x t =--．（2）如果有一条切线过点()a b ，，则存在t ，使23(31)2b t a t =--． 于是，若过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，则方程32230t at a b -++= 有三个相异的实数根．记 32()23g t t at a b =-++，则2()66g t t at '=- 6()t t a =-．当t 变化时，()()g t g t '，变化情况如下表：由()g t 的单调性，当极大值0a b +<或极小值()0b f a ->时， 方程()0g t =最多有一个实数根；当0a b +=时，解方程()0g t =得302a t t ==，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根；当()0b f a -=时，解方程()0g t =得2a t t a =-=，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根．综上，如果过()a b ，可作曲线()y f x =三条切线，即()0g t =有三个相异的实数根，则0()0.a b b f a +>⎧⎨-<⎩，即 ()a b f a -<<．3．（北京卷）4．（天津卷）已知函数2221()(1ax a f x x x -+=∈+R )，其中a ∈R .(I)当1a =时，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程；(II)当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值.解：(I)当1a =时，224(),(2).51x f x f x ==+又2222222(1)2.2226'(),'(2).25(1)(1)x x xxf x f x x +--===-++所以，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为 46(2),525y x -=--即 625320.x y +-= (II)22222(1)2(21)'()(1)a x x ax a f x x +--+=+222()(1).(1)x a ax x --+=+由于0,a ≠以下分两种情况讨论. (1) 当0a >时，令'()0,f x =得到121,.x x a a=-=当x 变化时，'(),()f x f x 的变化情况如下表：所以()f x 在区间1,a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭(),,a +∞内为减函数，在区间1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭内为增函数.函数()f x 在11x a=-处取得极小值1,f a ⎛⎫-⎪⎝⎭且21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.函数()f x 在2x a =处取得极大值(),f a 且()1f a =.(2) 当0a <时，令'()0,f x =得到121,x a x a==-.当x 变化时，'(),()f x f x 的变化情况如下表：所以()f x 在区间(),a -∞1,,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭内为减函数，在区间1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭内为增函数.函数()f x 在1x a =处取得极大值(),f a 且()1f a =.函数()f x 在21x a=-处取得极小值1,f a ⎛⎫-⎪⎝⎭且21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.5．(上海卷)6．（重庆卷）已知函数c bx x ax x f -+=44ln )((x>0)在x = 1处 取得极值–3–c ，其中a,b,c 为常数。

2007届莆田四中高三第四次月考数学试卷（理科）2006.12.8命题人：朱曙东 审核人：陈世洪一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1，设集合A ＝{a ，b }，且A ∪B ＝{a ，b ，c }，那么满足条件的集合B 共有( D ) （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 2．",1252""232cos "Z k k ∈+=-=ππαα是的 （A ）A ．必要非充分条件B ．充分非必要条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件3．函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图，则 （ C ） A ．4,2πϕπω==B ．6,3πϕπω==C ．4,4πϕπω==D ．45,4πϕπω==4．已知x x f 2log 1)(+=，设}{n a 满足n a =+-∈N n n f ),(1，则{n a }的前n 项和为n S =（ ） 121--n A141--n B 12-n C 14-n D5． 对于任意的直线l 与平面α，在平面α内必有直线m ，使m 与l （C ）（A ）平行 （B ）相交 （C ）垂直 （D ）互为异面直线6．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=11)41()(x a x x a x f x 在R 上为减函数，则a 的取值范围为（B ）A ．（0，1）B ．（0，41）C ．（∞-，41） D ．（41，1） 7、已知向量,a b ，且2,56AB a b BC a b =+=-+，72CD a b =-，则一定共线的三点是（A ）（ A ）A 、B 、D （B ）A 、B 、C （C ）B 、C 、D （D ）A 、C 、D 8．若()f x 的值域为(0,2)，则()(2006)1g x f x =--的值域为（C ）A ．(1,3)-B ．(2007,4011)--C ．(1,1)-D ．以上都不对9．若}{n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，083>+a a ，09<S ，则1S ，2S ，3S ，…，n S 中最小的是 （ B ）A ．4S .B ．5S .C ．6S .D ．9S .10、等边三角形ABC 的边长为4，M 、N 分别为AB 、AC 的中点，沿MN 将△AMN 折起，使得面AMN 与面MNCB 所处的二面角为300，则四棱锥A －MNCB 的体积（ ） A.23B.23C.3D.311．把函数x x y sin 3cos -=的图象沿向量)0()0,(>-=m m a 的方向平移后，所得的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是 （ D ）A ．6π B ．3π C ．32π D ．65π 12、设定义域为R 的函数111()11x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩，， ，若关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有3个不同的整数解123,,x x x ，则22123x x x ++等于（ A ）A 、5B 、2222b b +C 、13D 、2222c c+ 二、填空题：（本题共4小题，每小题4分，共16分）13．函数)34(log 21-=x y 定义域为 ]1,43( .14、已知正方体1111ABCD A B C D -，则该正方体的体积与该正方体的外接球的体积之比为2 .15．定义运算a ※()()a ab b b a b ≤⎧=⎨>⎩，则函数()(s i n )f x x =※(cos )x 的最大值为22； . 16、在杨辉三角中，斜线上方一斜行的前n 个数的和S=1+3+6+……,则=∞→)(lim3n S n n 6三、解答题（共74分）17、（本小题满分12分）已知51cos sin ,02=+<<-x x x π.（1）sin x －cos x 的值； （2）xx x x x x cot tan 2cos 2cos 2sin 22sin 322++-的值. 17.解：（Ⅰ）由,251cos cos sin 2sin ,51cos sin 22=++=+x x x x x x 平方得2分即 .2549cos sin 21)cos (sin .2524cos sin 22=-=--=x x x x x x 4分又,0cos sin ,0cos ,0sin ,02<-><∴<<-x x x x x π 故 .57cos sin -=-x x 6分（Ⅱ）x x x x x x xx x x x x sin cos cos sin 1sin 2sin 2cot tan 2cos 2cos 2sin 2sin 3222++-=++- 8分)sin cos 2(cos sin x x x x --=125108)512()2512(-=-⨯-= 12分 18. （本小题满分12分）直角梯形ABCD 中，BC ∥AD ，AD ⊥AB ，BC BA AD m ===12，VA ⊥平面ABCD 。

2007届福建省莆田四中高三第二次月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．集合{10},{0,1},{1,2})A B C A B C ===I U －，，则(=（ ）A ．∅B ．{1}C ．{0,1,2}D ． {－1,0,1,2} 2、的是，则：条件：条件q p x q x p ⌝⌝-<>2,1（ ）A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件 3．函数)(x f y =的反函数)(1x fy -=的图象与y 轴交于点)2,0(P (如图2所示)，则方程0)(=x f 的根是=x （ ）A ．4B ．3C ．2D ．14.若函数)(x f y =的导函数)(,56)(2x f x x f 则+='可以是 （ ）A. x x 532+ B. 6523++x x C. 523+x D. 6562++x x５.在空间中，下列命题中正确的是： （ ） ①若两直线a 、b 分别与直线l 平行，则a //b ②若直线a 与平面β内的一条直线b 平行，则a //β ③若直线a 与平面β内的两条直线都垂直，则a ⊥β ④若平面β内的一条直线a 垂直平面γ，则β⊥γA ．①②④B ．①④C ．①③④D ．①②③④６.已知 函数⎩⎨⎧>≤=)0(log )0(3)(2x x x x f x ，那么)]41([f f 的值为 ( )A ． 9B ．91 C ．9- D ．91-7.在正方体AC 1中，M 是侧棱DD 1的中点，O 是底面ABCD 的中心，P 是棱A 1B 1上的一点，则OP 与AM 所成的角的大小为（ ）.2A π .3B π .6C π.D 不能确定8、若函数432--=x x y 的定义域为[0,m ]，值域为]4,425[--，则m 的取值范围是（） A. （0，4] B. ]4,23[ C. ]3,23[ D. ),23[+∞9．将函数()y f x =图象沿x 轴向左平移一个单位，再沿y 轴翻折180︒，得到lg y x =的图象，则（）A 、()lg(1)f x x =+B 、()lg[(1)]f x x =-+C 、()lg(1)f x x =-D 、()lg(1)f x x =-- 10．定义两种运算:①a ⊕b =22b a -;②a ⊗b =2)(b a -,则函数f (x )=222-⊗⊕x x是 （ ）A.奇函数B.偶函数C.奇函数且偶函数D.非奇非偶函数11.设f(x)是（－∞，+∞）上的奇函数，f(x+2)=－f(x)，当0≤x ≤1时，f(x)=x ，则f(7.5)等于：（ ）A 。

2007年高考“导数”题1.(全国Ⅰ)设函数()e e x x f x -=-. (Ⅰ)证明：()f x 的导数()2f x '≥；(Ⅱ)若对所有0x ≥都有()f x ax ≥,求a 的取值范围. 解：(Ⅰ)()f x 的导数()e e x x f x -'=+.由于e e 2x -x +=≥,故()2f x '≥. (当且仅当0x =时,等号成立).(Ⅱ)令()()g x f x ax =-,则()()e e x x g x f x a a -''=-=+-, (ⅰ)若2a ≤,当0x >时,()e e 20x x g x a a -'=+->-≥,故()g x 在(0)+，∞上为增函数, 所以,0x ≥时,()(0)g x g ≥,即()f x ax ≥.(ⅱ)若2a >,方程()0g x '=的正根为1x =,此时,若1(0)x x ∈，,则()0g x '<,故()g x 在该区间为减函数.所以,1(0)x x ∈，时,()(0)0g x g <=,即()f x ax <,与题设()f x ax ≥相矛盾. 综上,满足条件的a 的取值范围是(]2-∞，.2.(全国II)已知曲线23ln 4x y x =-的一条切线的斜率为12,则切点的横坐标为( ) A.3B.2C.1D.12解：已知曲线23ln 4x y x =-的一条切线的斜率为12,13'2y x x =-=21, 解得x=3或x=－2,由选择项知,只能选A 。

已知函数3()f x x x =-.(1)求曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程；(2)设0a >,如果过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线,证明：()a b f a -<<. 解：(1)求函数()f x 的导数；2()31x x f '=-. 曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程为：()()()y f t f t x t '-=-,即 23(31)2y t x t =--.(2)如果有一条切线过点()a b ，,则存在t ,使23(31)2b t a t =--. 于是,若过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线,则方程32230t at a b -++= 有三个相异的实数根.记 32()23g t t at a b =-++,则 2()66g t t at '=- 6()t t a =-.当t 变化时,()()g t g t '，变化情况如下表：由()g t 的单调性,当极大值0a b +<或极小值()0b f a ->时, 方程()0g t =最多有一个实数根； 当0a b +=时,解方程()0g t =得302at t ==，,即方程 ()0g t =只有两个相异的实数根；当()0b f a -=时,解方程()0g t =得2a t t a =-=，, 即方程()0g t =只有两个相异的实数根.综上,如果过()a b ，可作曲线()y f x =三条切线,即()0g t =有三个相异的实数根,则0()0.a b b f a +>⎧⎨-<⎩，即 ()a b f a -<<.3.(北京卷)4.(天津卷)已知函数2221()(1ax a f x x x -+=∈+R ),其中a ∈R . (I)当1a =时,求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程；(II)当0a ≠时,求函数()f x 的单调区间与极值.解：(I)当1a =时,224(),(2).51x f x f x ==+又2222222(1)2.2226'(),'(2).25(1)(1)x x x x f x f x x +--===-++所以,曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为 46(2),525y x -=--即 625320.x y +-=(II)22222(1)2(21)'()(1)a x x ax a f x x +--+=+222()(1).(1)x a ax x --+=+由于0,a ≠以下分两种情况讨论.(1) 当0a >时,令'()0,f x =得到121,.x x a a=-=当x 变化时,'(),()f x f x 的变化情况如下表：所以()f x 在区间1,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭(),,a +∞内为减函数,在区间1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭内为增函数.函数()f x 在11x a =-处取得极小值1,f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭且21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.函数()f x 在2x a =处取得极大值(),f a 且()1f a =.(2) 当0a <时,令'()0,f x =得到121,x a x a==-.当x 变化时, '(),()f x f x 的变化情况如下表：所以()f x 在区间(),a -∞1,,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭内为减函数,在区间1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭内为增函数.函数()f x 在1x a =处取得极大值(),f a 且()1f a =.函数()f x 在21x a =-处取得极小值1,f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭且21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.5.(上海卷)6.(重庆卷)已知函数c bx x ax x f -+=44ln )((x>0)在x = 1处 取得极值–3–c,其中a,b,c 为常数。

2007年莆田市初中毕业、升学考试数学试卷参考答案及评分标准说明：（一）考生的解法与“参考答案”不同时，可参照“答案的评分标准”的精神进行评分．（二）如解答的某一步计算出现错误，这一错误没有改变后续部分的考查目的，可酌情给分，但原则上不超过后面应得的分数的二分之一；如属严重的概念性错误，就不给分．（三）以下解答各行右端所注分数表示正确做完该步骤应得的累计分数．（四）评分的最小单位是1分，得分或扣分都不能出现小数．一、细心填一填（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．6- 2．甲 3．1x ≠ 4．6 5．84.3510⨯ 6．15π 7．308．(22)--， 9．122x << 10．90 11．91012．1 二、精心选一选（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．D 14．C 15．C 16．D三、耐心做一做（本大题共10题，共98分）17．解：原式122112=⨯+-+ ······································································ 6分 1211=+-+ ······························································································ 7分 12=+ ······································································································ 9分18．解：原式242x x -=- ···················································································· 2分 (2)(2)(2)x x x +-=- ····························································································· 4分 2x =+． ····································································································· 6分 当22x =-时，原式222=-+ ··································································· 8分 2=． ········································································································ 9分19．解：根据题意可得，311a =+ ····································································· 2分 两边同乘以(1)a +得：31a =+2a ∴= ········································································································ 4分 (3)6a y -<-即(23)6y -<- ······································································· 6分 6y -<- ······································································································· 7分∴不等式的解集为6y >． ··············································································· 9分20．解：如图，在BDA △中，45BAD ∠=，90ADB ∠=，45ABD ∴∠=，BD AD ∴= ·········································································· 2分 在Rt ADC △中，906030ADC DAC ACD ∠=∠=∴∠=，，，150CD =，tan30AD CD ∴= ··································································· 5分 31503=⨯ ··································································································· 7分 50 1.73287⨯≈≈ ························································································· 8分 即87BD ≈．答：热气球此时至少应再上升87米． ································································· 9分 21．（1） （2）22．如图：（1）APC DPB △∽△，APE DPF △∽△，AEC DFB △∽△（写出二对即可） ··················································································································· 4分（2）求证：APC DPB △∽△．证明：如图，在APC △和DPB △中，C ∠是AD 所对的圆周角，B ∠也是AD 所对的圆周角∴C B ∠=∠ ································································································· 6分APC DPB ∠=∠． ······················································································ 8分 APC DPB ∴△∽△． ···················································································· 9分 23．解：（1）列表法：（列表正确得5分）甲乙A B C AAA BA CA BAB BB CB C AC BC CC或树形图．（正确得5分）甲乙 A B C D (画正确得5分) (画正确得4分，若画的是特殊平行四边形也可以) A B CD A B C A B C （AA ）（AB ）（AC ） A B C （BA ）（BB ）（BC ）A B C （CA ）（CB ）（CC ）二辆车选择道路行驶的所有可能的结果共有9种且每种结果出现的可能性相等．（2）选择道路相同的结果有3种，即AA BB CC ，，，所以P （道路相同）39=13= ················································································· 7分 选择道路不同的结果有6种，即BA CA AB CB AC BC ，，，，，，所以P （道路相同）69=23= ················································································· 9分 24．解：（1）由题意设日均销售量y 与销售单价x 的函数关系式为y kx b =+ ············· 1分 则得：4240880.k b k b +=⎧⎨+=⎩， ····················································································· 2分 解得40400.k b =-⎧⎨=⎩， ······························································································ 4分 40400y x ∴=-+（48x ≤≤）（x 取值范围没有写不扣分） ······························· 5分 （2）设日均获利为A 元，则(40400)(4)160A x x =-+-- ········································································· 7分 240(7)200x =--+∴当7x =时，A 最大值为200． ······································································· 8分 答：当销售单价为7元时，日均获利最多为200元． ············································· 9分25．（1）如图①结论：AE MP NQ =+． ··························································· 2分 证明：过Q 作QQ AB '⊥于Q '，则90MQ Q '∠=，MN AB ⊥，90AMN ∴∠=． 四边形ABCD 为正方形，90BAD ADC ∴∠=∠=，∴四边形AMND 为正方形， MN AD AB ∴==， 90Q MN QNM '∴∠=∠=． ∴四边形MNQQ '为矩形．QQ MN AB '∴==，NQ Q M '=． ····························· 3分 在BAE △和QQ P '△中，PQ BE ⊥，90Q QP Q PQ ''∴∠+∠=．90ABE Q PQ '∠+∠=，Q QP ABE '∴∠=∠ ························································································ 4分 90PQ Q BAE '∠=∠=，QQ AB '=，BAE QQ P '∴△≌△． ···························· 5分 Q P AE '∴=，Q P MP Q M MP NQ ''=+=+，AE MP NQ ∴=+． ······················································································ 6分 （2）如图②，若点E 在DA 的延长线上时，结论AE QN MP =-． ························ 8分（3）如图，若点1E 在线段DH 上时，结论：111AE MP NQ =+ ···························· 10分 若点2E 在射线HG 上时，结论：222AE MP NQ =-． ········································· 12分26．如图（1）解：令0x =，得到y n =，(0)A n ∴，，且0m n >> ······················ 1分2221211()3333y x mx n x m m n =-++=--++， 213P m m n ⎛⎫∴+ ⎪⎝⎭，． ······················································································· 2分 根据题意得，90ABC AOC OCB ∠=∠=∠=，∴四边形ABCO 是矩形．BC AO B C n '∴===，AB A B OC m ''===．A '∴点坐标为()m n m +，． ············································································ 3分 （2）证明：连结EA AB ''，．90BC B C BCB ''=∠=，，45EB O '∴∠=． ·························································································· 4分 90EOB '∠=，45OEB '∴∠=，OB OE m n '∴==+．AO n =，EA m ∴=，A B m ''=，A B EA ''∴= ·············································································· 5分 90A B C ''∠=，EA A B ''∴∥．A BC D N H M G Q 1 O 2 O 1 E 1 E 2 Q 2 P 2 P 1∴四边形AEA B ''是平行四边形． ······································································ 6分 ∴对角线B E '与AA '互相平分． ········································································ 7分（3）解：点()A m n m '+，在抛物线上，212()()33m m n m n m n ∴=-++++．整理得：1()()3m n m n m n -=+- m n >，即0m n -≠．∴3m n +=，即3n m =-． ············································································ 8分 112AB BC =，即112mn =． 把3n m =-代入112m n =得，1(3)12m m -=． 解得21m n =⎧⎨=⎩，或12m n =⎧⎨=⎩，（不合题意舍去） ∴抛物线解析式为214133y x x =-++． ····························································· 9分 (32)A '∴，，(01)A ，．结论：在抛物线的对称轴上存在点D ，使AA D '△为等腰三角形．点D 的坐标为：1(216)D +，，2(216)D -，，3(25)D ，，4(21)D -，，5(20)D ， （每点1分） ······························································································· 14分。

福建莆田四中高三数学单元检测（一）（集合 函数 导数）一、选择题：1．已知I 是全集，∅是空集，M 、N 是非空集合，且Ｍ⊂Ｎ⊂I ，则下列结论中错误．．的是（D ） (A)I N M =Y (B)∅≠N M I (C)∅=N M I (D)Ｍ∪Ｎ＝Ｉ2．设集合Ａ＝｛ｘ｜－１≤ｘ≤１｝，Ｂ＝｛ｙ｜１≤ｙ≤２｝，下列图中，能表示从集合A 到集合B 的映射的是（D ） 3．若函数y =f (x )的反函数的图象过点(２，－１)，则此函数可能是 （B ） (Ａ)ｙ＝２ｘ(Ｂ)ｙ＝（21）ｘ (Ｃ)ｙ＝３ｘ (Ｄ)ｙ＝１０ｘ4．命题“存在x ∈Z 使x 2+2x +m ≤0”的否定是（ D ）A ．存在x ∈Z 使x 2+2x +m>0B ．不存在x ∈Z 使x 2+2x +m>0C ．对任意x ∈Z 使x 2+2x +m ≤0D ．对任意x ∈Z 使x 2+2x +m>05．若{}8222<≤∈=-x Z x A {}1log R <∈=x x B x ，则)(C R B A ⋂的元素个数为A.0B.1C.2D.36．设函数f(x)是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线y ＝f(x)在x ＝5处的切线的斜率为（B ） A ．－51 B ．0 C ．51D ．5 7．在R 上定义的函数()x f 是偶函数，且()()x f x f -=2，若()x f 在区间[]2,1是减函数，则函数()x f （ B ）A.在区间[]1,2--上是增函数，区间[]4,3上是增函数B.在区间[]1,2--上是增函数，区间[]4,3上是减函数C.在区间[]1,2--上是减函数，区间[]4,3上是增函数D.在区间[]1,2--上是减函数，区间[]4,3上是减函数8．函数()⎩⎨⎧>+-≤-=1,341,442x x x x x x f 的图象和函数()x x g 2log =的图象的交点个数是（B ）A.4B.3C.2D.19．已知函数()x f 为R 上的减函数，则满足()11f x f <⎪⎪⎭⎫⎝⎛的实数x 的取值范围是（ C ）A.()1,1-B.()1,0C.()()1,00,1Y -D.()()+∞-∞-,11,Y10．定义在R 上的函数y =f (x )在(－∞,2)上是增函数，且函数y =f (x +2)的图象的对称轴是直线x =0，则（A ）A. f (－1)<f (3)B. f (0)>f (3)C. f (－1)=f (3)D. f (2)<f (3). 11．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为h 1，h 2，h 3，h 4，则它们的大小关系正确的是（A ）A ．h 2＞h 1＞h 4B ．h 1＞h 2＞h 3C ．h 3＞h 2＞h 4D ．h 2＞h 4＞h 112．设定义域为R 的函数()f x 对于任意的x 都有(2)()2f x f x +≥+和(1)()1f x f x +≤+且1)1(=f ，则(2006)f 的值为： ( B )A. 2020 B ．2020 C ．2020 D ．2020二．填空题13．函数()y f x =的图象与函数3log (0)y x x =>的图象关于直线y x =对称，则()f x =__________。

莆田四中2008－2009学年高三数学（理）第三次月考试卷命题人：林永忠 审核人：林伟 11、23一、选择题（10×5＝50）1、设1234,23z i z i =-=-+，则12z z -在复平面内对应的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2、设函数200,0(),()1,lg(1),0x x f x f x x x x ≤=>+>⎧⎨⎩若则的取值范围为 （ ）A ．（－1，1）B ．（－1，+∞）C ．(,9)-∞D ．(,1)(9,)-∞-+∞3、函数)32sin(2π+=x y 的图象（ ）A ．关于原点对称B ．关于点（－6π，0）对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线x=6π对称4、一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的 等腰直角三角形（如右图），如果直角三角形的直角边 长为1，那么这个几何体的体积为 （ ）A ．1B ．21C ．31D ．615、已知命题P ：[)+∞∈∀,0b ，c bx x x f ++=2)(在[)+∞,0上为增函数,命题Q ：{},|0Z x x x ∈∈∃使得0log 02>x ，则下列结论成立的是 （ ） A ．﹁P ∨﹁Q B ．﹁P ∧﹁Q C ．Ｐ∨﹁Q D ．Ｐ∧﹁Q 6、若函数]1,1[213)(--+=在a ax x f 上存在0x ，使a x x f 则),1(0)(00±≠=的取值范围是 （ ）A ．511<<-aB ．51>aC ．151-<>a a 或 D ．1-<a7、在等差数列}{n a 中，，，83125S S a =-=则前n 项和n s 的最小值为（ ） A ．-80 B ．-76 C ．-75 D ． -748、汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中 汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是 （ ）俯视图侧视图正视图9、设定点F 1（0，－3）、F 2（0，3），动点P 满足条件)0(921>+=+a aa PF PF ，则点P 的轨迹是 （ ） A ．椭圆 B ．线段 C ．不存在 D ．椭圆或线段10、已知函数f(x)=1－(x －1)2,若0<x 1<x 2<1, 则 （ ）A. f(x 1)x 1 > f(x 2)x 2B. f(x 1)x 1 = f(x 2)x 2C. f(x 1)x 1 < f(x 2)x 2D. 前三个判断都不正确二、填空题（6×4＝24）11、设ABC ∆是边长为1的正三角形,+= 。

2007年高考数学试题分类汇编导数（福建理11文）已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x gx -=--=，，且0x >时，()0()0f x g x ''>>，，则0x <时（ B ）A ．()0()0f x g x ''>>，B ．()0()0f x g x ''><，C ．()0()0f x g x ''<>，D ．()0()0f x g x ''<<，（海南理10） 曲线12e x y =在点2(4e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ D ） Ａ．29e 2Ｂ．24e Ｃ．22e Ｄ．2e（海南文10）曲线x y e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ D ）Ａ．294eＢ．22eＣ．2eＤ．22e（江苏9）已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥，则(1)'(0)f f 的最小值为（ C ） A ．3 B ．52 C ．2 D ．32（江西理9） 12．设2:()e l n 21x p f x x x m x =++++在(0)+∞，内单调递增，:5q m -≥，则p 是q 的（ B ）Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件（江西理5）5．若π02x <<，则下列命题中正确的是（ D ） Ａ．3sin πx x < Ｂ．3sin πx x >Ｃ．224sin πx x < Ｄ．224sin πx x >（江西文8）若π02x <<，则下列命题正确的是（ B ） Ａ．2sin πx x < Ｂ．2sin πx x > Ｃ．3sin πx x <Ｄ．3sin πx x >（辽宁理12）已知()f x 与()g x 是定义在R 上的连续函数，如果()f x 与()g x 仅当0x =时的函数值为0，且()()f x g x ≥，那么下列情形不可能．．．出现的是（ ） A ．0是()f x 的极大值，也是()g x 的极大值 B ．0是()f x 的极小值，也是()g x 的极小值 C ．0是()f x 的极大值，但不是()g x 的极值 D ．0是()f x 的极小值，但不是()g x 的极值（全国一文11）曲线313y x x =+在点413⎛⎫⎪⎝⎭，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ A ） Ａ．19 Ｂ．29 Ｃ．13 Ｄ．23（全国二文8）已知曲线24x y =的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（ A ）A ．1B ．2C ．3D ．4（浙江理8）设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ D ）(北京文9)()f x '是31()213f x x x =++的导函数，则(1)f '-的值是＿＿＿＿．3（广东文12）函数()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间是＿＿＿＿．1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（江苏13）已知函数3()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m ，则M m -=＿＿．32（湖北文13） 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是122y x =+，则(1)(1)f f '+=＿＿＿＿．3（湖南理13）函数3()12f x x x =-在区间[33]-，上的最小值是＿＿＿＿．16-（浙江文15）曲线32242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是＿＿＿＿．520x y +-=（安徽理 18）设a ≥0，f (x )=x －1－ln 2 x ＋2a ln x （x >0）. （Ⅰ）令F （x ）＝xf ＇（x ），讨论F （x ）在（0.＋∞）内的单调性并求极值； （Ⅱ）求证：当x >1时，恒有x >ln 2x －2a ln x ＋1.本小题主要考查函数导数的概念与计算，利用导数研究函数的单调性、极值和证明不等式的方法，考查综合运用有关知识解决问题的能力．本小题满分14分．（Ⅰ）解：根据求导法则有2ln 2()10x af x x x x'=-+>，， 故()()2ln 20F x xf x x x a x '==-+>，，于是22()10x F x x x x-'=-=>，， 列表如下：故知()F x 在(02)，2x =处取得极小值(2)22ln 22F a =-+．（Ⅱ）证明：由0a ≥知，()F x 的极小值(2)22ln 220F a =-+>．于是由上表知，对一切(0)x ∈+，∞，恒有()()0F x xf x '=>． 从而当0x >时，恒有()0f x '>，故()f x 在(0)+，∞内单调增加． 所以当1x >时，()(1)0f x f >=，即21ln 2ln 0x x a x --+>． 故当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+．(安徽文 20)设函数f （x ）=-cos 2x -4t sin2x cos 2x+4t 2+t 2-3t +4,x ∈R,其中t ≤1，将f (x )的最小值记为g (t ).(Ⅰ)求g (t )的表达式；(Ⅱ)诗论g (t )在区间（-1,1）内的单调性并求极值.本小题主要考查同角三角函数的基本关系，倍角的正弦公式，正弦函数的值域，多项式函数的导数，函数的单调性，考查应用导数分析解决多项式函数的单调区间，极值与最值等问题的综合能力． 解：（I ）我们有232()cos 4sin cos 43422x xf x x t t t t =--++-+222sin 12sin 434x t t t t =--++-+ 223sin 2sin 433x t x t t t =-++-+ 23(sin )433x t t t =-+-+．由于2(sin )0x t -≥，1t ≤，故当sin x t =时，()f x 达到其最小值()g t ，即3()433g t t t =-+．（II ）我们有2()1233(21)(21)1g t t t t t '=-=+--1<<，．列表如下：t121⎛⎫-- ⎪⎝⎭，12-1221⎛⎫- ⎪⎝⎭， 12 112⎛⎫ ⎪⎝⎭， ()g t ' +-+()g t极大值12g ⎛⎫- ⎪⎝⎭极小值12g ⎛⎫⎪⎝⎭由此可见，()g t 在区间112⎛⎫-- ⎪⎝⎭，和112⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调增加，在区间1122⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调减小，极小值为122g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，极大值为42g 1⎛⎫-= ⎪⎝⎭．（北京理 19）如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为2r ，短半轴长为r ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD上，记2CD x =，梯形面积为S ．（I ）求面积S 以x 为自变量的函数式，并写出其定义域；（II ）求面积S 的最大值． 解：（I ）依题意，以AB 的中点O 为原点建立直角坐标系O （如图），则点C 的横坐标为x ．点C 的纵坐标y 满足方程22221(0)4x y y r r+=≥，解得)y x r =<<1(22)2S x r =+2()x r =+ 其定义域为{}0x x r <<．（II ）记222()4()()0f x x r r x x r =+-<<，， 则2()8()(2)f x x r r x '=+-． 令()0f x '=，得12x r =． 因为当02r x <<时，()0f x '>；当2rx r <<时，()0f x '<，所以12f r ⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最大值．因此，当12x r =时，S 2=．即梯形面积S 2．（福建理 22）已知函数()e x f x kx x =-∈R ，（Ⅰ）若e k =，试确定函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若0k >，且对于任意x ∈R ，()0f x >恒成立，试确定实数k 的取值范围； （Ⅲ）设函数()()()F x f x f x =+-，求证：12(1)(2)()(e 2)()n n F F F n n +*>+∈N ． 本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力．满分14分． 解：（Ⅰ）由e k =得()e e x f x x =-，所以()e e x f x '=-．由()0f x '>得1x >，故()f x 的单调递增区间是(1)+∞，， 由()0f x '<得1x <，故()f x 的单调递减区间是(1)-∞，． （Ⅱ）由()()f x f x -=可知()f x 是偶函数．于是()0f x >对任意x ∈R 成立等价于()0f x >对任意0x ≥成立． 由()e 0x f x k '=-=得ln x k =．①当(01]k ∈，时，()e 10(0)x f x k k x '=->->≥． 此时()f x 在[0)+∞，上单调递增． 故()(0)10f x f =>≥，符合题意．②当(1)k ∈+∞，时，ln 0k >．当变化时'的变化情况如下表：依题意，ln 0k k k ->，又11e k k >∴<<，． 综合①，②得，实数k 的取值范围是0e k <<． （Ⅲ）()()()e e x x F x f x f x -=+-=+ ，12()()F x F x ∴=12121212121212()()e e e e e e 2e 2x x x x x x x x x x x x x x +-+--++-+++++>++>+， 1(1)()e 2n F F n +∴>+， 11(2)(1)e 2()(1)e 2.n n F F n F n F ++->+>+由此得，21[(1)(2)()][(1)()][(2)(1)][()(1)](e 2)n n F F F n F F n F F n F n F +=->+ 故12(1)(2)()(e2)nn F F F n n +*>+∈N ，．（福建文 20）设函数22()21(0)f x tx t x t x t =++-∈>R ，． （Ⅰ）求()f x 的最小值()h t ；（Ⅱ）若()2h t t m <-+对(02)t ∈，恒成立，求实数m 的取值范围． 本题主要考查函数的单调性、极值以及函数导数的应用，考查运用数学知识分析问题解决问题的能力．满分12分． 解：（Ⅰ）23()()1(0)f x t x t t t x t =+-+-∈>R ，，∴当x t =-时，()f x 取最小值3()1f t t t -=-+-， 即3()1h t t t =-+-．（Ⅱ）令3()()(2)31g t h t t m t t m =--+=-+--，由2()330g t t '=-+=得1t =，1t =-（不合题意，舍去）． 当t 变化时()g t '，()g t 的变化情况如下表：()g t ∴在(02)，()2h t t m <-+在(02)，内恒成立等价于()0g t <在(02)，内恒成立， 即等价于10m -<，所以m 的取值范围为1m >．(广东理、文 20)已知a 是实数，函数2()223f x ax x a =+--．如果函数()y f x =在区间[1,1]-上有 零点，求a 的取值范围．解: 若0a = , ()23f x x =- ,显然在上没有零点, 所以 0a ≠ 令 ()248382440a a a a ∆=++=++= 得a = 当a =, ()y f x =恰有一个零点在[]1,1-上; 当 ()()()()11150f f a a -=--< 即 15a << 时, ()y f x =也恰有一个零点在[]1,1-上;当 ()y f x =在[]1,1-上有两个零点时, 则()()208244011121010a a a a f f >⎧⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨⎪≥⎪⎪-≥⎩ 或()()208244011121010a a a a f f <⎧⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨⎪≤⎪⎪-≤⎩解得5a ≥或a <因此a 的取值范围是 1a > 或a ≤;（海南理 21）设函数2()ln()f x x a x =++（I ）若当1x =-时，()f x 取得极值，求a 的值，并讨论()f x 的单调性； （II ）若()f x 存在极值，求a 的取值范围，并证明所有极值之和大于e ln2． 解：（Ⅰ）1()2f x x x a'=++， 依题意有(1)0f '-=，故32a =．从而2231(21)(1)()3322x x x x f x x x ++++'==++． ()f x 的定义域为32⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∞，当312x -<<-时，()0f x '>；当112x -<<-时，()0f x '<；当12x >-时，()0f x '>．22⎝⎭⎝⎭2⎝⎭（Ⅱ）()f x 的定义域为()a -+，∞，2221()x ax f x x a++'=+． 方程22210x ax ++=的判别式248a ∆=-．（ⅰ）若0∆<，即a <<()f x 的定义域内()0f x '>，故()f x 的极值．（ⅱ）若0∆=，则a a =若a =()x ∈+，()f x '=．当2x =-时，()0f x '=，当x ⎛⎛⎫∈-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∞时，()0f x '>，所以()f x 无极值．若a =)x ∈+，2()0f x '=>，()f x 也无极值．（ⅲ）若0∆>，即a >或a <，则22210x a x ++=有两个不同的实根1x =2x =．当a <12x a x a <-<-，，从而()f x '有()f x 的定义域内没有零点，故()f x 无极值．当a >1x a >-，2x a >-，()f x '在()f x 的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方法知()f x 在12x x x x ==，取得极值．综上，()f x 存在极值时，a 的取值范围为)+． ()f x 的极值之和为2221211221()()ln()ln()ln 11ln 2ln 22ef x f x x a x x a x a +=+++++=+->-=．（海南文 19）设函数2()ln(23)f x x x =++（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）求()f x 在区间3144⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的最大值和最小值．解：()f x 的定义域为32⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∞．（Ⅰ）224622(21)(1)()2232323x x x x f x x x x x ++++'=+==+++． 当312x -<<-时，()0f x '>；当112x -<<-时，()0f x '<；当12x >-时，()0f x '>．2⎝⎭2⎝⎭2⎝⎭（Ⅱ）由（Ⅰ）知()f x 在区间3144⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的最小值为11ln 224f ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭．又31397131149ln ln ln 1ln 442162167226f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+--=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭0<．所以()f x 在区间3144⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的最大值为117ln 4162f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（湖北理 20）已知定义在正实数集上的函数21()22f x x ax =+，2()3ln g x a x b =+，其中0a >．设两曲线()y f x =，()y g x =有公共点，且在该点处的切线相同． （I ）用a 表示b ，并求b 的最大值； （II ）求证：()()f x g x ≥（0x >）．本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力． 解：（Ⅰ）设()y f x =与()(0)y g x x =>在公共点00()x y ，处的切线相同．()2f x x a '=+∵，23()a g x x'=，由题意00()()f x g x =，00()()f x g x ''=．即22000200123ln 232x ax a x b a x a x ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，由20032a x a x +=得：0x a =，或03x a =-（舍去）． 即有222221523ln 3ln 22b a a a a a a a =+-=-．令225()3ln (0)2h t t t t t =->，则()2(13ln )h t t t '=-．于是当(13ln )0t t ->，即130t e <<时，()0h t '>； 当(13ln )0t t -<，即13t e >时，()0h t '<．故()h t 在130e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，为增函数，在13e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∞为减函数， 于是()h t 在(0)+，∞的最大值为123332h e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭． （Ⅱ）设221()()()23ln (0)2F x f x g x x ax a x b x =-=+-->，则()F x '23()(3)2(0)a x a x a x a x x x-+=+-=>． 故()F x 在(0)a ，为减函数，在()a +，∞为增函数， 于是函数()F x 在(0)+，∞上的最小值是000()()()()0F a F x f x g x ==-=．故当0x >时，有()()0f x g x -≥，即当0x >时，()()f x g x ≥．（湖北文 19）设二次函数2()f x x ax a =++，方程()0f x x -=的两根1x 和2x 满足1201x x <<<． （I ）求实数a 的取值范围； （II ）试比较(0)(1)(0)f f f -与116的大小．并说明理由． 本小题主要考查二次函数、二次方程的基本性质及二次不等式的解法，考查推理和运算能力． 解法1：（Ⅰ）令2()()(1)g x f x x x a x a =-=+-+，则由题意可得01012(1)0(0)0a g g ∆>⎧⎪-⎪<<⎪⎨⎪>⎪>⎪⎩，，，，01133a a a a ⎧>⎪⇔-<<⎨⎪<->+⎩，，03a ⇔<<-． 故所求实数a的取值范围是(03-，．（II ）2(0)(1)(0)(0)(1)2f f f g g a -== ，令2()2h a a =．当0a >时，()h a 单调增加，∴当03a <<-时，20()2)2(22)2(17122)h a h <<=--1216=<，即1(0)(1)(0)16f f f -< ．解法2：（I ）同解法1．（II ） 2(0)(1)(0)(0)(1)2f f f g g a -==，由（I）知03a <<-1170-<<∴．又10+>，于是221112(321)1)0161616a a -=-=-+<，即212016a -<，故1(0)(1)(0)16f f f -<． 解法3：（I ）方程()0f x x -=⇔2(1)0x a x a +-+=，由韦达定理得121x x a +=-，12x x a =，于是121212121200010(1)(1)0(1)(1)0x x x x x x x x x x ∆>⎧⎪+>⎪⎪<<<⇔>⎨⎪-+->⎪⎪-->⎩，，，，0133a a a a ⎧>⎪⇔<⎨⎪<->+⎩，，03a ⇔<<- 故所求实数a的取值范围是(03-，．（II ）依题意可设12()()()g x x x x x =--，则由1201x x <<<，得12121122(0)(1)(0)(0)(1)(1)(1)[(1)][(1)]f f f g g x x x x x x x x -==--=--2211221112216x x x x +-+-⎛⎫⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故1(0)(1)(0)16f f f -<．（湖南理 19）如图4，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点P 和居民区O 的公路，点P 所在的山坡面与山脚所在水平面α所成的二面角为θ（090θ<< ），且2sin 5θ=，点P 到平面α的距离0.4PH =（km ）．沿山脚原有一段笔直的公路AB 可供利用．从点O 到山脚修路的造价为a 万元/km ，原有公路改建费用为2a万元/km ．当山坡上公路长度为l km（12l ≤≤）时，其造价为2(1)l a +万元．已知OA AB ⊥，PB AB ⊥， 1.5(km)AB =，OA =．（I ）在AB 上求一点D ，使沿折线PDAO 修建公路的总造价最小；（II ） 对于（I ）中得到的点D ，在DA 上求一点E ，使沿折线PDEO 修建公路的总造价最小．（III ）在AB 上是否存在两个不同的点D '，E '，使沿折线PD E O ''修建公路的总造价小于（II ）中得到的最小总造价，证明你的结论．解：（I ）如图，PH α⊥，HB α⊂，PB AB ⊥， 由三垂线定理逆定理知，AB HB ⊥，所以PBH ∠是 山坡与α所成二面角的平面角，则PBH θ∠=，1sin PH PB θ==．设(km)BD x =，0 1.5x ≤≤．则ＯAEDBHPαAOE DHPPD =[12]，． 记总造价为1()f x 万元，据题设有2211111()(1)(224f x PD AD AO a x x a =+++=-++2143416x a a ⎛⎫⎛=-+ ⎪ ⎝⎭⎝当14x =，即1(km)4BD =时，总造价1()f x 最小．（II ）设(km)AE y =，504y ≤≤，总造价为2()f y 万元，根据题设有22131()1224f y PD y a ⎡⎤⎛⎫=+-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦43216y a a ⎫=+⎪⎭．则()212f y a ⎛⎫'⎪=-⎪⎭，由2()0f y '=，得1y =．当(01)y ∈，时，2()0f y '<，2()f y 在(01)，内是减函数；当514y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，2()0f y '>，2()f y 在514⎛⎫ ⎪⎝⎭，内是增函数． 故当1y =，即1AE =（km ）时总造价2()f y 最小，且最小总造价为6716a 万元． （III ）解法一：不存在这样的点D '，E '．事实上，在AB 上任取不同的两点D '，E '．为使总造价最小，E 显然不能位于D ' 与B 之间．故可设E '位于D '与A 之间，且BD '=1(km)x ，1(km)AE y '=，12302x y +≤≤，总造价为S万元，则211111224x y S x a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭．类似于（I ）、（II ）讨论知，2111216x x --≥1322y ≥，当且仅当114x =，11y =同时成立时，上述两个不等式等号同时成立，此时1(km)4BD '=，1(km)AE =，S 取得最小值6716a ，点D E ''，分别与点D E ，重合，所以不存在这样的点 D E ''，，使沿折线PD E O ''修建公路的总造价小于（II ）中得到的最小总造价． 解法二：同解法一得211111224x y S x a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭))2111114334416x a y y a a ⎛⎫⎡⎤=-+++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭143416a a ⨯+≥6716a =．当且仅当114x =且11)y y ，即11114x y ==，同时成立时，S 取得最小值6716a ，以上同解法一．（湖南文 21）已知函数3211()32f x x ax bx =++在区间[11)-，，(13]，内各有一个极值点． （I ）求24a b -的最大值；（II ）当248a b -=时，设函数()y f x =在点(1(1))A f ，处的切线为l ，若l 在点A 处穿过函数()y f x =的图象（即动点在点A 附近沿曲线()y f x =运动，经过点A 时，从l 的一侧进入另一侧），求函数()f x 的表达式．解：（I ）因为函数3211()32f x x ax bx =++在区间[11)-，，(13]，内分别有一个极值点，所以2()f x x ax b '=++0=在[11)-，，(13]，内分别有一个实根，设两实根为12x x ，（12x x <），则21x x -=2104x x <-≤．于是04<，20416a b <-≤，且当11x =-，23x =，即2a =-，3b =-时等号成立．故24a b -的最大值是16．（II ）解法一：由(1)1f a b '=++知()f x 在点(1(1))f ，处的切线l 的方程是(1)(1)(1)y f f x '-=-，即21(1)32y a b x a =++--，因为切线l 在点(1())A f x ，处空过()y f x =的图象， 所以21()()[(1)]32g x f x a b x a =-++--在1x =两边附近的函数值异号，则1x =不是()g x 的极值点．而()g x 321121(1)3232x ax bx a b x a =++-++++，且22()(1)1(1)(1)g x x ax b a b x ax a x x a '=++-++=+--=-++． 若11a ≠--，则1x =和1x a =--都是()g x 的极值点．所以11a =--，即2a =-，又由248a b -=，得1b =-，故321()3f x x x x =--．解法二：同解法一得21()()[(1)]32g x f x a b x a =-++--2133(1)[(1)(2)]322a x x x a =-++-+． 因为切线l 在点(1(1))A f ，处穿过()y f x =的图象，所以()g x 在1x =两边附近的函数值异号，于是存在12m m ，（121m m <<）．当11m x <<时，()0g x <，当21x m <<时，()0g x >； 或当11m x <<时，()0g x >，当21x m <<时，()0g x <．设233()1222a a h x x x ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则 当11m x <<时，()0h x >，当21x m <<时，()0h x >； 或当11m x <<时，()0h x <，当21x m <<时，()0h x <．由(1)0h =知1x =是()h x 的一个极值点，则3(1)21102ah =⨯++=， 所以2a =-，又由248a b -=，得1b =-，故321()3f x x x x =--． （辽宁理 22）已知函数2222()2()21t f x x t x x x t =-++++，1()()2g x f x =．（I ）证明：当t <时，()g x 在R 上是增函数；（II ）对于给定的闭区间[]a b ，，试说明存在实数 k ，当t k >时，()g x 在闭区间[]a b ，上是减函数； （III ）证明：3()2f x ≥．（辽宁文 22）已知函数322()9cos 48cos 18sin f x x x x αβα=-++，()()g x f x '=，且对任意的实数t 均有(1cos )0g t +≥，(3sin )0g t +≤． （I ）求函数()f x 的解析式；（II ）若对任意的[266]m ∈-，，恒有2()11f x x mx --≥，求x 的取值范围． （全国一 理20）设函数()e e x x f x -=-．（Ⅰ）证明：()f x 的导数()2f x '≥；（Ⅱ）若对所有0x ≥都有()f x ax ≥，求a 的取值范围．解：（Ⅰ）()f x 的导数()e e x x f x -'=+．由于e e 2x -x +=≥，故()2f x '≥． （当且仅当0x =时，等号成立）． （Ⅱ）令()()g x f x ax =-，则()()e e x x g x f x a a -''=-=+-，（ⅰ）若2a ≤，当0x >时，()e e 20x x g x a a -'=+->-≥，故()g x 在(0)+，∞上为增函数， 所以，0x ≥时，()(0)g x g ≥，即()f x ax ≥．（ⅱ）若2a >，方程()0g x '=的正根为1ln 2a x =，此时，若1(0)x x ∈，，则()0g x '<，故()g x 在该区间为减函数．所以，1(0)x x ∈，时，()(0)0g x g <=，即()f x ax <，与题设()f x ax ≥相矛盾． 综上，满足条件的a 的取值范围是(]2-∞，．（全国一文 20）设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值．（Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）若对于任意的[03]x ∈，，都有2()f x c <成立，求c 的取值范围． 解：（Ⅰ）2()663f x x ax b '=++，因为函数()f x 在1x =及2x =取得极值，则有(1)0f '=，(2)0f '=．即6630241230a b a b ++=⎧⎨++=⎩，．解得3a =-，4b =．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，32()29128f x x x x c =-++，2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--．当(01)x ∈，时，()0f x '>； 当(12)x ∈，时，()0f x '<； 当(23)x ∈，时，()0f x '>． 所以，当1x =时，()f x 取得极大值(1)58f c =+，又(0)8f c =，(3)98f c =+．则当[]03x ∈，时，()f x 的最大值为(3)98f c =+． 因为对于任意的[]03x ∈，，有2()f x c <恒成立，所以 298c c +<， 解得 1c <-或9c >，因此c 的取值范围为(1)(9)-∞-+∞ ，，．（全国二理 22）已知函数3()f x x x =-．（1）求曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程；（2）设0a >，如果过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f a -<<． 解：（1）求函数()f x 的导数；2()31x x f '=-． 曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程为：()()()y f t f t x t '-=-，即 23(31)2y t x t =--．（2）如果有一条切线过点()a b ，，则存在t ，使23(31)2b t a t =--．于是，若过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，则方程32230t at a b -++= 有三个相异的实数根．记 32()23g t t at a b =-++，则 2()66g t t at '=- 6()t t a =-．当t 变化时，()()g t g t '，变化情况如下表：一个实数根；当0a b +=时，解方程()0g t =得302at t ==，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根；当()0b f a -=时，解方程()0g t =得2a t t a =-=，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根．综上，如果过()a b ，可作曲线()y f x =三条切线，即()0g t =有三个相异的实数根，则0()0.a b b f a +>⎧⎨-<⎩，即 ()a b f a -<<．（全国二文 22）已知函数321()(2)13f x ax bx b x =-+-+ 在1x x =处取得极大值，在2x x =处取得极小值，且12012x x <<<<． （1）证明0a >；（2）若z =a +2b ,求z 的取值范围。