天津市南开中学高二数学必修5作业：2.1数列的概念与简单表示法(1) Word版缺答案

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第1课时数列的概念与简单表示[课时作业］[A组基础巩固]1．数列1,0，1,0，1，0,1，0…的一个通项公式是（)A．a n＝1－－1n＋12B．a n＝错误!C．a n＝错误!D．a n＝错误!解析：n＝1时验证知B正确．答案：B2．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( ）A．1，错误!,错误!，错误!，…B．－1，－2,－3，－4，…C．－1,－错误!,－错误!，－错误!,…D。

错误!,错误!,错误!，…，错误!解析:对于A，它是无穷递减数列；对于B，它也是无穷递减数列；D是有穷数列；对于C，既是递增数列又是无穷数列，故C符合题意．答案：C3．数列错误!,错误!,错误!,错误!，…的一个通项公式是( )A．a n＝错误!B．a n＝错误!C．a n＝错误!D．a n＝错误!解析:观察前4项的特点易知a n＝错误!。

答案:C4．已知a n＝n（n＋1）,以下四个数中，是数列｛a n}中的一项的是（）A．18 B．21C．25 D．30解析：依次令n(n＋1)＝18,21，25和30检验，有正整数解的为数列{a n｝中的一项，知选D。

第二章数列§2.1 数列的概念与简单表示法（一）课时目标1．理解数列及其有关概念；2．理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；3．对于比较简单的数列，会根据其前n 项写出它的通项公式．1 •按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项•数列 ___ 中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第 1项（通常也叫做首项）,排在第二位的数称为这个数列的第2项，…，排在第n 位的数称为这个数列的第 n 项.2•数列的一般形式可以写成 a i , a 2,…，a n ,…，简记为｛a n ｝. 3•项数有限的数列称有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列.4•如果数列｛a n ｝的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子 叫做这个数列的通项公式.一、选择题1.数列2,3,4,5，…的一个通项公式为（）A. a n = nB C. a n = n + 2 D答案 B2•已知数列｛a n ｝的通项公式为a n =- 2，则该数列的前 4项依次为（ ------------------------------- ）A. 1,0,1,0 B • 0,1,0,1 1 1C.2，0, 2，0 D• 2,0,2,0答案 A.a n = n + 1 .a n = 2n1+ — 13•若数列的前4项为1,0,1,0，则这个数列的通项公式不可能是 ( )A a n =尹 + ( - 1) 1]1B. a n =尹—cos( n • 180° )] 2C. a n = sin ( n • 90°)1 n — 1D a n = (n — 1)( n -2) + 空[1 + ( — 1)] 答案 D解析 令n = 1,2,3,4 代入验证即可.4.已知数列｛勿｝的通项公式为a n = n 2— n -50,则一8是该数列的()A.第5项 B .第6项 C.第7项 D .非任何一项答案 C解析 n 2— n — 50 = — 8, 得n = 7或n = — 6（舍去）5. 数列 1,3,6,10 , ■ …的一个通项公式是(A. 2 “a n = n — n + 1 n n — 1B . a n =2C. n n +1 a n —22D. a n = n + 1答案 C解析 令门=1,2,3,4，代入A 、B C D 检验即可.排除 A 、B 、D,从而选C.1 1 1 1 *6•设 a n =卄 1 + 卄 2 + n + 3 + …+ 2^( n N)，那么 an +1— an等于( )1A.2 n + 11 1 1 1an= n +7+n +2+卫+…+ 2n1 1 1 1 1 + +■■■+ --- + +n +2 n + 3 2n 2n + 12 n + 2'11 1 1 1…a n + 1 — a n = + — = — . 2n + 1 2n + 2 n + 1 2n + 1 2n + 2 二、填空题3n +1 n 为正奇数7.已知数列｛a n ｝的通项公式为 a n =.则它的前 4项依次为4n — 1 n 为正偶数答案 4,7,10,15&已知数列｛a n ｝的通项公式为a n= ——(n € N)，那么-2-是这个数列的第 n n + 2 120项.答案 101 1解析• n n + 2 = 120，1 1C ----- + -----2n + 1 +2n + 2D.1_ _l_ 2n + 1 —2n + 2B.1_ 2n + 2答案 解析 a n +1=••• n(n+ 2) = 10X 12,「. n= 10. 9. 用火柴棒按下图的方法搭三角形:17,按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数a n与所搭三角形的个数n之间的关系式可以是答案a n= 2n+ 1解析a i = 3, a2 = 3+ 2= 5, a3= 3+ 2+ 2 = 7, a4= 3 + 2+ 2 + 2 = 9,…，二a n= 2n+ 1.10. 传说古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras，约公元前570年一公元前500年)学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数. 比如，他们将石子摆成如图所示的三角形状，就将其所对应石子个数称为三角形数，则第10个三角形数是答案55解析三角形数依次为：1,3,6,10,15 ，…，第10个三角形数为：1 + 2+ 3+ 4+-+ 10 =55.三、解答题11. 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)—1,7 , - 13,19，…(2)0.8,0.88,0.888 ，…11 5 13 29 61(3)2，4，—8，16，—32，64，…17,(5)0,1,0,1 ，…解(1)符号问题可通过(-1)n 或(-1)n +1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面 的数的绝对值总比前面数的绝对值大 6,故通项公式为 8 8 (2) 数列变形为 9(1 - 0.1) , 9(1 - 0.01), 8 89(1 - 0.001)，…，二 a n= 9 n * a n = (— 1) (6 n -5)( n € N). (3) 各项的分母分别为 21,22,23,24, 2- 3 1项变为一~2—，因此原数列可化为一 1 * 1-帀(n € N). …易看出第2,3,4 21 - 3 22- 3项的分子分别比分母少 3.因此把第 23- 3 丁，丁，-〒 24 - 3 丁，.… n 2n- 3 *•• a n = ( — 1) • -2^~(n € N). 、 3 5 7 9(4)将数列统一为 亍，二，=,—子的通项公式为 b n = 2n +1,对于分母2,5,10,17，…联想到数列1,4,9,16…即数列{ n 2}, 可得分母的通项公式为 6= n 2+ 1, 2 5 10 17' …对于分子3,5,7,9，… 是序号的2倍加1，可得分 •••可得它的一个通项公式为 2n +1 *an=T +r(n € N). n1 + — 1 *或 a n = 2 ( n €N) 0 n 为奇数 (5) a n =1 n 为偶数亠 1 + cos n n * 或 a n = 2 ( n € N). 2 9n — 9n + 2 12.已知数列 9n 2— 1 ； 求这个数列的第10项；98而是不是该数列中的项，为什么？ 求证：数列中的各项都在区间 (0,1)内；、1 2⑷在区间3，§内有、无数列中的项？若有，有几项？若没有，说明理由..9n — 9n + 2(1)解设 f (n )= -9n — 1 3n — 1 3n — 2 3n — 2=3n -13n +1 = 3n + 1.28令 n = 10,得第 10 项 a 10= f (10) = 3^.&入 3n — 2 98 /口⑵解令，得9n = 300.3n +1 10198此方程无正整数解，所以 而不是该数列中的项.3n - 2 3n +1 - 3⑶证明V an =时=*3又 n € N ,• 0< ---- <1,3n +1 .•.数列中的各项都在区间3n+ 1 = 1 —dh ，…0<a n <1.(0,1)内. 1 3n - 2 2 3n + 1<9n — 6 (4)解令7<a n = Q 丄彳<2，贝V,33n +1 39n - 6<6 n + 2n>68又••• n € N ,「.当且仅当n = 2时，上式成立，故区间 4项为a 2=7.能 力 提 升1, 2上有数列中的项，且只有13.数列 a , b , a , b , a + ba n = ~~2~ +（ —1）a +b a — b a = ~T+ ~T , 步+（—才-2a ， 答案解析故a n = …的一个通项公式是+i a _ b 2 a + b a — b b =— -,2 2a —b 2 .14•根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有多少个点.解图(1)只有1个点，无分支；图(2)除中间1个点外，有两个分支，每个分支有 1 个点；图(3)除中间1个点外，有三个分支，每个分支有2个点；图(4)除中间1个点外，有四个分支，每个分支有3个点；…；猜测第n个图中除中间一个点外，有n个分支，每个分. . 2支有(n—1)个点，故第n个图中点的个数为 1 + n(n—1) = n—n+ 1.1 •与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质：(1) 确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的.(2) 可重复性：数列中的数可以重复.(3) 有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序也有关.2 •并非所有的数列都能写出它的通项公式•例如，n 的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3,3.1,3.14,3.141 ，…，它没有通项公式.3•如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式•例如：数列—1,1 ,—1,1 , —1,1，…的通项公式可写成a n= ( —1)n，也可以写成a n= ( —1)n"，还可以写成—1 n = 2k — 1 , *13n= 其中k € N .n= 2k , 1。

一、选择题1．下列解析式中不．是数列1，-1，1，-1，1，-1…，的通项公式的是 （ ） A. (1)n n a =- B. 1(1)n n a +=-C. 1(1)n n a -=-D. {11n n a n =-，为奇数，为偶数3．已知数列{}n a ，1()(2)n a n N n n +=∈+，那么1120是这个数列的第 （ ）项.A. 9B. 10C. 11D. 124. 下列说法正确的是 （ ）A. 数列中不能重复出现同一个数B. 1，2，3，4与4， 3，2，1是同一数列C. 1，1，1，1…不是数列D. 两个数列的每一项相同，则数列相同5．已知数列{}n a ，22103n a n n =-+，它的最小项是（ ）A. 第一项B. 第二项C. 第三项D. 第二项或第三项6、数列11，13，15，…，21n +的项数是（ ）A ．n B.3n - C ．4n - D ．5n -二.填空题：7、观察下面数列的特点，用适当的数填空（1） ，14 ，19 ，116 ， ；（2）32 ，54 ， ，1716 ，3332 ， 。

8.已知数列{}n a ，85,11n a kn a =-=且，则17a = .9. 根据下列数列的前几项的值，写出它的一个通项公式。

（1）数列0.7,0.77,0.777,0.7777,…的一个通项公式为 .（2）数列4,0,4,0,4,0,…的一个通项公式为 .（3）数列1524354863,,,,,,25101726的一个通项公式为 .三、解答题11. 根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1) 3, 5, 9, 17, 33,……； (2) 32, 154, 356, 638, 9910, ……； (3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,……；(4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ……；(5) 2, －6, 12, －20, 30, －42,…….12. 在数列{}n a 中，12a =，1766a =，通项公式是项数n 的一次函数. ⑴ 求数列{}n a 的通项公式；⑵ 88是否是数列{}n a 中的项.。

明目标、知重点 1.理解数列及其有关概念.2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项.3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式．1．数列的概念按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项，……，排在第n位的数称为这个数列的第n项．2．数列的表示方法数列的一般形式可以写成a1，a2，…，a n，…，简记为{a n}．3．数列的分类项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．4．数列的通项如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．[情境导学]“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，如果把木棒每天的长度记录下来，就会得到无穷多个数，这无穷多个数就组成了本节要研究的一个数列．探究点一数列的概念思考1阅读课本28页的例子，三角形数：1,3,6,10，…，正方形数：1,4,9,16,25，….你能否再列举一些这样的例子？答(1)全体自然数：0,1,2,3,4，…；(2)2精确到1,0.1,0.01,0.001，…，的不足近似值为1，1.4，1.41,1.414，…；过剩近似值为2,1.5,1.42,1.415，….思考2 在思考1中的各个例子中，它们有何共同特点？答 都是按一定的顺序排列的．小结 (1)数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列．(2)数列的项：数列中的每一个数叫做这个数列的项．各项依次叫做这个数列的第1项(或首项)，第2项，…，第n 项….(3)数列的一般形式：a 1，a 2，a 3，…，a n ，…简记为{a n }，其中a n 是数列的第n 项．思考3 若根据数列项数的多少，你认为数列如何进行分类？如果根据数列项的大小又如何进行分类？答 (1)按项数的多少分：有穷数列，无穷数列．(2)按数列项的大小分：递增数列，递减数列，常数列，摆动数列．探究点二 数列的通项公式思考1 函数y ＝7x ＋9与y ＝3x ，当依次取1,2,3，…时，其函数值构成的数列各有什么特点？ 答 对于第一个数列，从第2项起，每一项与前一项的差都等于7；对于第二个数列，从第2项起，每一项都是前一项的3倍．思考2 观察数列1，12，13，14，15，…，数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系能否用一个公式来表示？答 该数列的对应关系为数列的每一项为这一项序号的倒数，通项公式a n ＝1n可表示这个数列．小结 (1)数列的通项公式：如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，这个公式叫做这个数列的通项公式．(2)并不是所有的数列都有通项公式，有些数列的通项公式不唯一．(3)通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是不是该数列中的项． 思考3 数列{a n }的通项公式可以看成数列的函数解析式，利用一个数列的通项公式，你能确定这个数列哪些方面的性质？答 能确定数列是递增数列还是递减数列，是否具有周期性，有没有最大或最小项等． 例1 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：(1)1，－12，13，－14； (2)2,0,2,0.解 (1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以，它的一个通项公式为a n ＝(－1)n ＋1n.(2)这个数列的前4项构成一个摆动数列，奇数项是2，偶数项是0，所以，它的一个通项公式为a n ＝(－1)n ＋1＋1.反思与感悟 要由数列的若干项写出数列的一个通项公式，只需观察分析数列中的项的构成规律，将项表示为项数的函数．跟踪训练1 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：(1)－11×2，12×3，－13×4，14×5； (2)22－12，32－13，42－14，52－15. 解 (1)这个数列的前4项的分母都是序号数乘以比序号大1的数，并且奇数项为负，偶数项为正，所以，它的一个通项公式为a n ＝(－1)nn ×(n ＋1). (2)这个数列的前4项的分母都是比序号大1的数，分子都是比序号大1的数的平方减1，所以，它的一个通项公式为a n ＝(n ＋1)2－1n ＋1. 例2 已知数列{a n }的通项公式a n ＝(－1)n (n ＋1)(2n －1)(2n ＋1). (1)写出它的第10项；(2)判断233是不是该数列中的项． 解 (1)a 10＝(－1)10×1119×21＝11399. (2)令n ＋1(2n －1)(2n ＋1)＝233， 化简得：8n 2－33n －35＝0，解得n ＝5(n ＝－78，舍去)． 当n ＝5时，a 5＝－233≠233. ∴233不是该数列中的项． 反思与感悟 判断某数是否为数列中的项，只需将它代入通项公式中求n 的值，若存在正整数n ，则说明该数是数列中的项，否则就不是该数列中的项．跟踪训练2 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n (n ＋2)(n ∈N *)，那么1120是这个数列的第______项．答案 10解析 ∵1n (n ＋2)＝1120，∴n (n ＋2)＝10×12，∴n ＝10.1．下列叙述正确的是( )A ．数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列B ．数列0,1,2,3，…可以表示为{n }C ．数列0,1,0,1，…是常数列D ．数列{n n ＋1}是递增数列 答案 D解析 由数列的通项a n ＝n n ＋1知，a n ＋1－a n ＝n ＋1n ＋2－n n ＋1＝1(n ＋2)(n ＋1)>0，即数列{n n ＋1}是递增数列，故选D.2．数列2,3,4,5，…的一个通项公式为( )A ．a n ＝nB ．a n ＝n ＋1C ．a n ＝n ＋2D ．a n ＝2n答案 B 解析 这个数列的前4项都比序号大1，所以，它的一个通项公式为a n ＝n ＋1.3．已知下列数列：(1)2,4,8,12；(2)0，12，23，…，n －1n，…； (3)1，12，14，…，12n －1，…； (4)1，－23，35，…，(－1)n －1·n 2n －1，…； (5)1,0，－1，…，sinn π2，…； (6)6,6,6,6,6,6.其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________．(将合理的序号填在横线上) 答案 (1)(6) (2)(3)(4)(5) (1)(2) (3) (6)(4)(5)解析 (1)是有穷递增数列；(2)是无穷递增数列(因为n －1n ＝1－1n)； (3)是无穷递减数列；(4)是摆动数列，也是无穷数列；(5)是摆动数列，是无穷数列；(6)是常数列，是有穷数列．4．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)1，－3,5，－7,9，…；(2)12，2，92，8，252，…； (3)9,99,999,9 999，…；(4)0,1,0,1，….解 (1)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，…，是连续的正奇数，考虑(－1)n ＋1具有转换符号的作用，所以数列的一个通项公式为a n ＝(－1)n ＋1(2n －1)，n ∈N *.(2)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：12，42，92，162，252，…，所以，它的一个通项公式为a n ＝n 22，n ∈N *. (3)各项加1后，变为10,100,1 000,10 000，…，此数列的通项公式为10n ，可得原数列的一个通项公式为a n ＝10n －1，n ∈N *.(4)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0 (n 为奇数)，1 (n 为偶数)或a n ＝1＋(－1)n 2 (n ∈N *)或a n ＝1＋cos n π2 (n ∈N *)． [呈重点、现规律]1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质：(1)确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的．(2)可重复性：数列中的数可以重复．(3)有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序也有关．2．并非所有的数列都能写出它的通项公式．例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3,3.1,3.14，3.141，…，它没有通项公式．据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征．并对此进行联想、转化、归纳．3．如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式．一、基础过关1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋(－1)n ＋12，则该数列的前4项依次为( ) A ．1,0,1,0B ．0,1,0,1 C.12，0，12，0 D ．2,0,2,0 答案 A解析 当n 分别等于1,2,3,4时，a 1＝1，a 2＝0，a 3＝1，a 4＝0.2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－n －50，则－8是该数列的( )A ．第5项B ．第6项C ．第7项D ．非任何一项 答案 C解析 n 2－n －50＝－8，得n ＝7或n ＝－6(舍去)．3．数列1,3,6,10，…的一个通项公式是( )A ．a n ＝n 2－n ＋1B ．a n ＝n (n －1)2C ．a n ＝n (n ＋1)2D ．a n ＝n 2＋1 答案 C 解析 令n ＝1,2,3,4，代入A 、B 、C 、D 检验即可．排除A 、B 、D ，从而选C.4．数列23，45，67，89，…的第10项是( ) A.1617B.1819C.2021D.2223答案 C解析 由数列的前4项可知，数列的一个通项公式为a n ＝2n 2n ＋1，当n ＝10时，a 10＝2×102×10＋1＝2021. 5．已知数列12，23，34，45，…，那么0.94,0.96,0.98,0.99中属于该数列中某一项值的应当有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案 C解析 数列12，23，34，45，…的通项公式为 a n ＝n n ＋1，0.94＝94100＝4750，0.96＝96100＝2425， 0．98＝98100＝4950，0.99＝99100， 2425，4950，99100都在数列{n n ＋1}中，故有3个． 6．观察下列数列的特点，用适当的一个数填空：1，3，5，7，________，11，…. 答案 3解析 由于数列的前几项的根号下的数都是由小到大的奇数，所以需要填空的数为9＝3.7．写出下列数列的一个通项公式：(可以不写过程)(1)3,5,9,17,33，…；(2)23，415，635，863，…； (3)1,0，－13，0，15，0，－17，0，…. 解 (1)a n ＝2n ＋1.(2)a n ＝2n (2n －1)(2n ＋1). (3)把数列改写成11，02，－13，04，15，06，－17，08，…分母依次为1,2,3，…，而分子1,0，－1,0，…周期性出现，因此，我们可以用sin n π2表示，故a n ＝sin n π2n .8．已知数列{n (n ＋2)}：(1)写出这个数列的第8项和第20项；(2)323是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？ 解 (1)a n ＝n (n ＋2)＝n 2＋2n ，∴a 8＝80，a 20＝440.(2)由a n ＝n 2＋2n ＝323，解得n ＝17(负值舍去)．∴323是数列{n (n ＋2)}中的项，是第17项．二、能力提升9．数列0.3,0.33,0.333,0.333 3，…的一个通项公式a n 等于( )A.19(10n －1)B.13(10n －1)C.13(1－110n ) D.310(10n －1)答案 C解析 代入n ＝1检验，排除A 、B 、D ，故选C.10．设a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n (n ∈N *)，那么a n ＋1－a n 等于()A.12n ＋1B.12n ＋2C.12n ＋1＋12n ＋2D.12n ＋1－12n ＋2答案 D解析 ∵a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋ (12)∴a n ＋1＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋12n ＋1＋12n ＋2，∴a n ＋1－a n ＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2.11．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式．(1)－1,7，－13,19，…；(2)0.8,0.88,0.888，…；(3)12，14，－58，1316，－2932，6164，…； (4)32，1，710，917，…. 解 (1)符号问题可通过(－1)n 或(－1)n ＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为a n ＝(－1)n (6n －5)．(2)将数列变形为89(1－0.1)，89(1－0.01)，89(1－0.001)，…， ∴a n ＝89⎝⎛⎭⎫1－110n . (3)各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的分子均比分母小3.因此把第1项变为－2－32，至此原数列已化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…， ∴a n ＝(－1)n·2n －32n . (4)将数列统一为32，55，710，917，…，对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为b n ＝2n ＋1，对于分母2,5,10,17，…，联想到数列1,4,9,16，…，即数列{n 2}，可得分母的通项公式为c n ＝n 2＋1，∴可得原数列的一个通项公式为a n ＝2n ＋1n 2＋1. 12．在数列{a n }中，a 1＝2，a 17＝66，通项公式a n 相应的函数是一次函数．(1)求{a n }的通项公式；(2)88是否是数列{a n }中的项？解 (1)设a n ＝kn ＋b ，k ≠0.则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝k ＋b ＝2，a 17＝17k ＋b ＝66，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝4，b ＝－2. ∴a n ＝4n －2.(2)令a n ＝88，即4n －2＝88，解得n ＝22.5∉N *.∴88不是数列{a n }中的项．三、探究与拓展13．已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9n 2－9n ＋29n 2－1： (1)求这个数列的第10项；(2)98101是不是该数列中的项，为什么？ (3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；(4)在区间⎝⎛⎭⎫13，23内有无数列中的项？若有，有几项？若没有，说明理由．(1)解 设f (n )＝9n 2－9n ＋29n 2－1＝(3n －1)(3n －2)(3n －1)(3n ＋1)＝3n －23n ＋1. 令n ＝10，得第10项a 10＝f (10)＝2831. (2)解 令3n －23n ＋1＝98101，得9n ＝300. 此方程无正整数解，所以98101不是该数列中的项． (3)证明 ∵a n ＝3n －23n ＋1＝3n ＋1－33n ＋1＝1－33n ＋1， 又n ∈N *，∴0<33n ＋1<1，∴0<a n <1. ∴数列中的各项都在区间(0,1)内．(4)解 令13<a n ＝3n －23n ＋1<23， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3n ＋1<9n －6，9n －6<6n ＋2，∴⎩⎨⎧ n >76，n <83.∴76<n <83. ∴n ∈N *，∴n ＝2.故区间⎝⎛⎭⎫13，23上有数列中的项，且只有一项为a 2＝47.。