广东省珠海市高二数学下学期期末学业质量监测试题 理(含解析)

2017-2018学年广东省珠海市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）余弦函数是偶函数，因为f（x）＝cos（x﹣1）是余弦函数，所以f（x）＝cos（x ﹣1）是偶函数．以上推理（）A．结论正确B．大前提错误C．小前提错误D．以上都不对2．（5分）已知f（x）＝x•2x，则f′（1）＝（）A．2B．4C．2ln 2D．2+2ln 23．（5分）为大力提倡“厉行节俭，反对浪费”，我市某学校通过随机询问100名性别不同的学生是否做到“光盘”行动，得到如下列联表：根据以上数据计算可得K2≈5.556，参照附表，以下结论中正确的是（）附表：A．有99%的把握认为“该校学生能否做到光盘行动与性别有关”B．有99%的把握认为“该校学生能否做到光盘行动与性别无关”C．有97.5% 的把握认为“该校学生能否做到光盘行动与性别有关”D．有97.5% 的把握认为“该校学生能否做到光盘行动与性别无关”4．（5分）（x﹣cos x）dx＝（）A．﹣1B．+1C．+1D．﹣15．（5分）甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即先赢2局者为胜．根据以往二人的比赛数据分析，甲在每局比赛中获胜的概率为，则本次比赛中甲获胜的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）若（1+mx）6＝a0+a1x+a2x2+…+a6x6且a1+a2+…+a6＝63，则实数m＝（）A．1B．1或3C．﹣3D．1或﹣37．（5分）为了研究某班学生的脚长x（单位：厘米）和身高y（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为＝x+．已知x i＝225，y i＝1600，＝4，该班某学生的身高为168，据此估计其脚长约为（）A．23B．24C．24.5D．25.58．（5分）若随机变量X～N（5，1），则P（4＜X＜7）＝（）A．0.8185B．0.8400C．0.4772D．0.97599．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣12x，若f（x）在区间（2m，m+1）上单调递减，则实数m 的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．（﹣1，1]C．（﹣1，1）D．[﹣1，1）10．（5分）某学校组织5个年级的学生外出参观包括甲科技馆在内的5个科技馆，每个年级任选一个科技馆参观，则有且只有两个年级选择甲科技馆的方案有（）A．A×A种B．A×43种C．C×A种D．C×43种11．（5分）已知函数f（x）＝（1﹣）e x，若同时满足条件：①∃x0∈（0，+∞），x0为f （x）的一个极大值点；②∀x∈（6，+∞），f（x）＞0．则实数a的取值范围是（）A．（4，6]B．[6，+∞）C．（﹣∞，0）∪[6，+∞）D．（﹣∞，0）∪（4，6]12．（5分）若直线l与曲线C满足下列两个条件：（1）直线l在点P（x0，y0）处与曲线C 相切；（2）曲线C在点P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C．给出下列四个命题：①直线l：y＝0在点P（0，0）处“切过”曲线C：y＝x3；②直线l：y＝x﹣1在点P（1，0）处“切过”曲线C：y＝lnx；③直线l：y＝﹣x+π在点P（π，0）处“切过”曲线C：y＝sin x；④直线l：y＝﹣x+1在点P（0，1）处“切过”曲线C：y＝e x．其中正确的命题个数是（）A．1B．2C．3D．4二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分.13．（5分）已知i是虚数单位，复数z满足（1+i）z＝|4+3i|，则z的虚部为．14．（5分）（3x﹣）6展开式中的常数项是．（用数字作答）15．（5分）已知ξ～B（n，p），Eξ＝3，D（2ξ+1）＝9，则P的值是．16．（5分）设可导函数f（x），g（x）满足：f（x）﹣g（x）＝x2，曲线y＝g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y＝x+1，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为．（用斜截式方程作答）17．（5分）已知＝，则x＝．18．（5分）观察下列等式：，，，…由以上等式推测到一个一般的结论：对于n∈N*，＝．19．（5分）若点P是曲线y＝x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y＝x﹣4的最小距离为．20．（5分）观察数字2447，2052，2131，它们都是首位数字是2的四位数且这些数中恰有两个数字相同，则具有这样特点的四位数的个数为．（用数字作答）三、解答题：共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.21．（8分）已知m∈R，复数z＝（m2﹣4）+（m2﹣3m+2）i，i是虚数单位．（1）若复数z为纯虚数，求m的值；（2）若复数z在复平面内对应点A位于第二象限，求m的取值范围．22．（10分）已知一个袋中装有6个乒乓球，其中4个黄色，2个白色，每次从袋中随机摸出1个乒乓球，若摸到白球则停止，一共有3次摸球机会．记X表示停止摸球时的摸球次数．（1）若每次摸出乒乓球后不放回，求E（X）；（2）若每次摸出乒乓球后放回，求D（X）．23．（10分）已知函数f（x）＝e3x﹣1﹣3x．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设m∈R，求函数f（x）在区间[m，m+1]上的最小值．24．（10分）请先阅读：设平面向量＝（a1，a2），＝（b1，b2），且与的夹角为θ，因为•＝||||cosθ，所以•≤||||，即a1b1+a2b2≤×，当且仅当θ＝0时，等号成立．（1）利用上述想法（或其他方法），结合空间向量，证明：对于任意a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，都有（a1b1+a2b2+a3b3）2≤（a12+a22+a32）（b12+b22+b32）成立；（2）试求函数y＝++的最大值．25．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣x．（1）若对于任意x∈（0，+∞），都有f（x）≤a成立，求实数a的取值范围；（2）设x1，x2＞0，a1，a2∈[0，1]，且a1+a2＝1，求证：x1x2≤a1x1+a2x2．2017-2018学年广东省珠海市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：大前提余弦函数是偶函数，正确，小前提：f（x）＝cos（x+1）是余弦函数，错误，f（x）是与余弦函数有关的复合函数，不是余弦函数，故小前提不正确．故选：C．2．【解答】解：f′（x）＝2x+x•2x ln2；∴f′（1）＝2+2ln2．故选：D．3．【解答】解：根据统计数据计算可得K2≈5.556＞5.024，参照附表知，有97.5% 的把握认为“该校学生能否做到光盘行动与性别有关”．故选：C．4．【解答】解：由牛顿莱布尼兹公式可得，故选：A．5．【解答】解：甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即先赢2局者为胜．根据以往二人的比赛数据分析，甲在每局比赛中获胜的概率为，本次比赛中甲获胜的概率为：p＝（）2+（）＝．故选：D．6．【解答】解：根据题意，令x＝0，代入（1+mx）6中，可得：（1）6＝a0，即a0＝1；将x＝1代入（1+mx）6中，可得：（1+m）6＝a0+a1+a2+…+a6，又由a1+a2+…+a6＝63，则（1+m）6＝a0+a1+a2+…+a6＝64，解可得，m＝1或﹣3；故选：D．7．【解答】解：由题意知，＝x i＝22.5，＝y i＝160，且＝4，代入回归直线方程＝x+中，得160＝4×22.5+，解得＝70，∴y与x的线性回归直线方程为＝4x+70；令＝4x+70＝168，解得x＝24.5；即学生的身高为168时估计其脚长约为24.5．故选：C．8．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（5，1），∴P（4＜X＜6）＝0.6826，P（5＜X＜7）＝0.9544，∴P（6＜X＜7）＝（0.9544+0.6826）＝0.8185，故选：A．9．【解答】解：∵函数f（x）＝x3﹣12x在（2m，m+1）上单调递减，∴f'（x）＝3x2﹣12≤0在（2m，m+1）上恒成立．故，即成立．解得：﹣1≤m＜1，故选：D．10．【解答】解：因为有且只有两个年级选择甲科技馆，所以参观甲科技馆的年级有C52种情况，其余年级均有4种选择，所以共有43种情况，根据乘法原理可得C52×43种情况，故选：D．11．【解答】解：由于f（x）＝（1﹣）e x，则f′（x）＝（﹣+1）e x＝•e x，令f′（x）＝0，则x1＝，x2＝，故函数f（x）在（﹣∞，x1），（x2，+∞）上递增，在（x1，x2）上递减由于∀x∈（6，+∞），f（x）＞0，故只需f（x）在（6，+∞）上的最小值大于0即可，当x2＞6，即a＞时，函数f（x）在（6，+∞）上的最小值为f（x2）＝（1﹣）e x2＞0，此时无解；当x2≤6，即a≤时，函数f（x）在（6，+∞）上的最小值为f（6）＝（1﹣）e6≥0，解得a≤6．又由∃x0∈（0，+∞），x0为f（x）的一个极大值点，故，解得a＞4；故实数a的取值范围为4＜a≤6，故选：A．12．【解答】解：y＝x3的导数为y′＝3x2，可得切线方程为y＝0，即x轴，直线l：y＝0在点P（0，0）处“切过”曲线C：y＝x3，且由图象可得①正确；由lnx的导数为，可得切线方程为y﹣0＝x﹣1，且y＝lnx﹣（x﹣1）的导数为y′＝﹣1，当x＞1时，函数y递减；0＜x＜1时，函数y递增，可得x＝1处y＝lnx﹣x+1的最大值为0，则lnx≤x﹣1，②直线l：y＝x﹣1在点P（1，0）处“切过”曲线C：y＝lnx不正确；y＝sin x的导数为y′＝cos x，可得在点P（π，0）处切线方程为y﹣x+π，由y＝sin x和直线y＝π﹣x可得切线穿过曲线，直线l：y＝﹣x+π在点P（π，0）处“切过”曲线C：y＝sin x，故③正确；y＝e x的导数为y′＝e x，可得在点P（0，1）处切线为y＝x+1，直线l：y＝﹣x+1在点P（0，1）处“切过”曲线C：y＝e x不正确．故选：B．二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分.13．【解答】解：由（1+i）z＝|4+3i|＝5，得z＝．∴z的虚部为﹣．故答案为：．14．【解答】解：设（3x﹣）6的二项展开式的通项公式为T r+1，则T r+1＝•（3x）6﹣r•（﹣1）r•x﹣r＝（﹣1）r•36﹣r••x6﹣2r．令6﹣2r＝0，得r＝3，∴（3x﹣）6的二项展开式中，常数项为T4＝（﹣1）3•33•＝﹣540，故答案为：540．15．【解答】解：∵ξ～B（n，p），Eξ＝3，D（2ξ+1）＝9，∴Dξ＝，∴np＝3，①np（1﹣p）＝②∴得1﹣p＝∴p＝故答案为：16．【解答】解：f′（x）＝g′（x）+2x，∵y＝g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y＝x+1，∴g′（1）＝1，∴f′（1）＝g′（1）+2×1＝1+2＝3，∴y＝f（x）在点（1，f（1））处切线斜率为3，f（1）＝g（1）+1＝2+1＝3，可得曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝3x．故答案为：y＝3x．17．【解答】解：因为C10x＝C103x﹣2，可得x＝3x﹣2或x+3x﹣2＝10解得x＝1或x＝3．故答案为1或318．【解答】解：由已知中的等式，，，，…我们可以推断：对于n∈N*，＝1﹣故答案为：1﹣19．【解答】解：点P是曲线y＝x2﹣lnx上任意一点，当过点P的切线和直线y＝x﹣4平行时，点P到直线y＝x﹣4的距离最小．直线y＝x﹣4的斜率等于1，y＝x2﹣lnx的导数y′＝2x﹣令y′＝1，解得x＝1，或x＝﹣（舍去），故曲线y＝x2﹣lnx上和直线y＝x﹣4平行的切线经过的切点坐标（1，1），点（1，1）到直线y＝x﹣4的距离d＝，故点P到直线y＝x﹣4的最小距离为d＝＝2，故答案为：2．20．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①，如果四位数中重复的数字是2，则这样的数字共有：9×8×3＝216个；②，如果四位数中重复的数字不是2，则这样的数一共有：9×8×3＝216个；所以这样的四位数一共有216+216＝432个．故答案为：432．三、解答题：共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.21．【解答】解：（1）由题意得：，解得：m＝﹣2．∴复数z为纯虚数，则m＝﹣2．（2）由题意得点（m2﹣4，m2﹣3m+2），由点A位于第二象限得：，解得：﹣2＜m＜1，m的取值范围为（﹣2，1）．22．【解答】（本小题满分10分）解：（1）X的所有可能取值为1，2，3，…………………………（1分）P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，…………………………（2分）P（X＝3）＝＝，…………………………（3分）则E（X）＝＝．…………………………（4分）（2）X的所有可能取值为1，2，3，…………………………（5分）P（X＝1）＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝1﹣＝，………………………（7分）则E（X）＝＝，…………………………（8分）D （X ）＝（1﹣）2×+（2﹣）2×+（3﹣）2×＝．…………………………（10分）23．【解答】解：（1）由f （x ）＝e 3x ﹣1﹣3x ，得：f ′（x ）＝3e3x ﹣1﹣3，………………………………（1分）由f ′（x ）＞0解得x ＞；由f ′（x ）＜0时，解得x ＜，………………………………（3分）∴函数f （x ）的单调增区间是（，+∞），单调减区间是（﹣∞，）；………………………………（4分） （2）当m +1≤，即m ≤﹣时，函数f （x ）＝e 3x ﹣1﹣3x 在区间[m ，m +1]上递减， 则当x ＝m +1时，函数f （x ）＝e 3x ﹣1﹣3x 取最小值e3m +2﹣3m ﹣3； ……………………（6分）当m ＜＜m +1即﹣＜m ＜时，函数f （x ）＝e 3x ﹣1﹣3x 在区间[m ，）上递减，在区间[，m +1]上递增， 则当x ＝时，函数f （x ）＝e 3x ﹣1﹣3x 取最小值0； ……………………（8分）当m ≥时，函数f （x ）＝e3x ﹣1﹣3x 在区间[m ，m +1]上递增， 则当x ＝m 时，函数f （x ）＝e3x ﹣1﹣3x 取最小值e3m ﹣1﹣3m ； ……………………（9分）∴当m ≤﹣时，函数f （x ）在[m ，m +1]上的最小值为e 3m +2﹣3m ﹣3；当﹣＜m ＜时，函数f （x ）在[m ，m +1]上的最小值为0； 当m ≥时，函数f （x ）在[m ，m +1]上的最小值为e 3m ﹣1﹣3m ． …………………（10分）24．【解答】（本小题满分10分）（1）证明：设空间向量＝（a 1，a 2，a 3），＝（b 1，b 2，b 3），且与的夹角为θ，因为•＝||||cos θ，所以|•|≤||||，………………………（2分）即|a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3|，所以≤（）（），………………………（3分）当且仅当θ＝0时，等号成立．………………………（4分）（2）解：设，＝（，，），且与的夹角为θ，………（5分）因为y＝，且y＞0，所以y＝，………………（7分）即y＝3，当且仅当θ＝0（即与共线且方向相同）时，等号成立．…………………（8分）即当＝时等号成立．此时x＝1．……………（9分）∴当x＝1时，函数y＝有最大值y max＝3．……………（10分）25．【解答】（1）解：由f（x）＝lnx﹣x．x∈（0，+∞），f′（x）＝﹣1＝，令f′（x）＝0，解得x＝1；∵当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0．∴当x＝1时，f（x）取得极大值，也是最大值．即f（x）max＝f（1）＝﹣1，又对于任意x∈（0，+∞），都有f（x）≤a成立，∴a≥﹣1，∴实数a的取值范围为[﹣1，+∞）．（2）证明：由（1）得：f（x）＝lnx﹣x≤﹣1，即lnx≤x﹣1，令x＝，得ln≤﹣1，令x＝，得ln≤﹣1，∴a1ln+a2ln≤a1（﹣1）+a2（﹣1），∵a1+a2＝1，∴a1ln+a2ln≤1﹣a1﹣a2＝0，∴a1lnx1﹣a1ln（a1x1+a2x2）+a2lnx2﹣a2ln（a1x1+a2x2）≤0，即a1lnx1+a2lnx2≤（a1+a2）ln（a1x1+a2x2）＝ln（a1x1+a2x2），∴ln（x1x2）≤ln（a1x1+a2x2），∴x1x2≤a1x1+a2x2．。

广东省珠海市2020年高二第二学期数学期末质量跟踪监视试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列说法正确的是（ ）A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”B ．已知()y f x =是R 上的可导函数，则“()00f x '=”是“x 0是函数()y f x =的极值点”的必要不充分条件C ．命题“存在x ∈R ，使得210x x ++<”的否定是：“对任意x ∈R ，均有210x x ++<”D ．命题“角α的终边在第一象限角，则α是锐角”的逆否命题为真命题 【答案】B 【解析】试题分析：对于A ，命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”，不满足否命题的定义，所以A 不正确；对于B ，已知()y f x =是R 上的可导函数，则“()00f x '=”函数不一定有极值，“0x 是函数()y f x =的极值点”一定有导函数为0，所以已知()y f x =是R 上的可导函数，则“()00f x '=”是“0x 是函数()y f x =的极值点”的必要不充分条件，正确；对于C ，命题“存在x R ∈，使得210x x ++<”的否定是：“对任意x R ∈，均有210x x ++<”，不满足命题的否定形式，所以不正确；对于D ，命题“角α的终边在第一象限角，则α是锐角”是错误命题，则逆否命题为假命题，所以D 不正确；故选B ． 考点：命题的真假判断与应用．2．若对于任意实数0x ≥，函数()xf x e ax =+恒大于零，则实数a 的取值范围是( )A ．(),e -∞B ．(],e -∞-C ．[),e +∞D ．()e,-+∞【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的导数，根据导数的符号求出函数的单调区间，求出最值，即可得到实数a 的取值范围 【详解】当0x ≥时，()0xf x e ax =+>恒成立∴若0x =，a 为任意实数，()0x f x e ax =+>恒成立若0x >时，()0xf x e ax =+>恒成立即当0x >时，xe a x>-恒成立，设()x e g x x =-，则()()221xx x x ee x e g x x x--=-=' 当()01x ∈，时，()0g x '>，则()g x 在()01，上单调递增 当()1x ∈+∞，时，()0g x '<，则()g x 在()1+∞，上单调递减 ∴当1x =时，()g x 取得最大值为e -则要使0x ≥时，()0xf x e ax =+>恒成立，a 的取值范围是()e -+∞，故选D 【点睛】本题以函数为载体，考查恒成立问题，解题的关键是分离含参量，运用导数求得新函数的最值，继而求出结果，当然本题也可以不分离参量来求解，依然运用导数来分类讨论最值情况。

2020年珠海市名校数学高二第二学期期末学业水平测试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．甲､乙､丙､丁四位同学一起去老师处问他们的成绩.老师说:“你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给丙看甲､乙的成绩,给甲看乙的成绩,给丁看丙的成绩.”看后丙对大家说:“我还是不知道我的成绩.”根据以上信息,则下列结论正确的是( ) A ．甲可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道自己的成绩 C ．甲､丙可以知道对方的成绩 D ．乙､丁可以知道自己的成绩【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可逐句进行分析，已知四人中有2位优秀，2位良好，而丙知道甲和乙但不知道自己的成绩可知：甲和乙、丙和丁都只能一个是优秀，一个是良好，接下来，由上一步的结论，当甲知道乙的成绩后，就可以知道自己的成绩，同理，当丁知道丙的成绩后，就可以知道自己的成绩，从而选出答案. 【详解】由丙知道甲和乙但不知道自己的成绩可知：甲和乙、丙和丁都只能一个是优秀，一个是良好； 当甲知道乙的成绩后，就可以知道自己的成绩，但是甲不知道丙和丁的成绩； 当丁知道丙的成绩后，就可以知道自己的成绩，但是丁不知道甲和乙的成绩； 综上，只有B 选项符合. 故选：B. 【点睛】本题是一道逻辑推理题，此类题目的推理方法是综合法和分析法，逐条分析题目条件语句即可，属于中等题.2．在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为ρθ=，若曲线1C 与2C 的关系为（ ）A ．外离B ．相交C ．相切D ．内含【答案】B 【解析】 【分析】将两曲线方程化为普通方程，可得知两曲线均为圆，计算出两圆圆心距d ，并将圆心距d 与两圆半径差的绝对值和两半径之和进行大小比较，可得出两曲线的位置关系. 【详解】在曲线1C 的极坐标方程两边同时乘以ρ，得24sin ρρθ=，化为普通方程得224x y y +=，即()2224x y +-=，则曲线1C 是以点()10,2C 为圆心，以12r =为半径的圆，同理可知，曲线2C 的普通方程为()222312x y -+=，则曲线2C 是以点()223,0C 为圆心，以223r =为半径的圆， 两圆圆心距为()()22023204d =-+-=，12223232r r -=-=-，12223r r +=+，1212r r d r r ∴-<<+，因此，曲线1C 与2C 相交，故选：B.【点睛】本题考查两圆位置关系的判断，考查曲线极坐标方程与普通方程的互化，对于这类问题，通常将圆的方程化为标准方程，利用两圆圆心距与半径和差的大小关系来得出两圆的位置关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 3．函数()1ln f x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象是( ) A ． B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】首先根据对数函数的性质，求出函数的定义域，再很据复合函数的单调性求出f （x ）的单调性，问题得以解决． 【详解】因为x ﹣1x＞0，解得x ＞1或﹣1＜x ＜0， 所以函数f （x ）=ln （x ﹣1x）的定义域为：（﹣1，0）∪（1，+∞）．所以选项A 、D 不正确．当x ∈（﹣1，0）时，g （x ）=x ﹣1x是增函数， 因为y=lnx 是增函数，所以函数f （x ）=ln （x-1x）是增函数．故选B ． 【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.4．设函数f （x ）＝xlnx 的图象与直线y ＝2x+m 相切，则实数m 的值为（ ） A ．e B ．﹣e C ．﹣2e D ．2e【答案】B 【解析】 【分析】设切点为（s ，t ），求得f （x ）的导数，可得切线的斜率，由切线方程可得s ，t ，进而求得m ． 【详解】设切点为（s ，t ），f （x ）＝xlnx 的导数为f ′（x ）＝1+lnx ， 可得切线的斜率为1+lns ＝2，解得s ＝e ， 则t ＝elne ＝e ＝2e+m ，即m ＝﹣e ． 故选：B ． 【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的运用，属于基础题．5．已知随机变量X 满足()15E X -=，()15D X -=，则下列说法正确的是（ ） A ．()5E X =-，()5D X = B ．()4E X =-，()4D X =- C ．()5E X =-，()5D X =- D ．()4E X =-，()5D X =【答案】D 【解析】分析：利用期望与方差的性质与公式求解即可. 详解：随机变量X 满足()()15,15E X D X -=-=，所以()1E X -=215,15EX DX -=⨯=， 解得4,5EX DX =-=，故选D.点睛：已知随机变量X 的均值、方差，求X 的线性函数Y aX b =+的均值、方差和标准差，可直接用X的均值、方差的性质求解.若随机变量X 的均值EX 、方差DX Y aX b =+的均值aEX b +、方差2a DX 、标准差6．已知空间向量(1,1,0)a =-， (3,2,1)b =-，则a b +=（ ）A BC ．5D 【答案】D先求a b +，再求模． 【详解】∵(1,1,0)a =-， (3,2,1)b =-， ∴a b +(4,3,1)=-，∴24a b +=+=故选：D ． 【点睛】本题考查空间向量模的坐标运算，掌握空间向量模的坐标运算公式是解题基础． 7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，32=+n n S a ，则“3a =-”是“数列{}n a 是等比数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】先令1n =，求出1a ，再由1n >时，根据1n n n a S S -=-，求出n a ，结合充分条件与必要条件的概念，即可得出结果. 【详解】解：当1n =时，1132a S a ==+， 当1n >时，11333222n n n n n n a S S --=-=-=-3a =-时，13322a a =+=-，11321232n n n n a a ++⎛⎫=-⨯-= ⎪⎝⎭，数列{}n a 是等比数列； 当数列{}n a 是等比数列时，32n n a =-，13322a a =-=+，3a =-， 所以，是充分必要条件。

广东省珠海市2014-2015学年 高二下学期期末考试理科数学试卷参考公式： （1） ))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-= （2）a y bx=-附表：一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项） 1．【题文】复数ii-+11等于（ ） A ．i B ．i - C ．1- D ．1 【答案】A 【解析】 试题分析：1(1)(1)2==1(1)(1)2i i i ii i i i +++=--+； 考点：1.复数的运算； 【结束】2．【题文】四名同学报名参加三项课外活动，每人限报其中一项，不同报名方法共有( ) A ．12 B ．64 C ．81 D ．7 【答案】C 【解析】试题分析：每个同学都有三种选择，故总方法数为43=81； 考点：1.分步计数原理； 【结束】3．【题文】8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为（ ） A ．8289A AB.8289A CC.8287A AD.8287A C【答案】A 【解析】试题分析：先让8名学生站好，共88A ，再让2位老师不相邻插空，有29A 种方法，根据分步计数原理，共8289A A ；考点：1.分布计数原理； 【结束】4．【题文】在比赛中，如果运动员甲胜运动员乙的概率是23，那么在五次比赛中，运动员甲恰有三次获胜的概率是( ) A ．40243 B ． 80243 C ．110243 D ．20243【答案】B 【解析】试题分析：运动员甲获胜的次数记为X ，则2(5,)3X B ，332521(3)()()8334302P X C ===；考点：1.二项分布； 【结束】5．【题文】设6件产品中有4件合格品2件不合格品，从中任意取2件，则其中至少一件是不合格品的概率为 ( )A ．0.4B ．0.5C ．0.6D ．0.7 【答案】C 【解析】试题分析：运动员甲获胜的次数记为X ，则2426(1)1(0)10.6C P X P X C ≥=-==-=；或11242226(1)(=1)(=2)=0.6C C C P X P X P X C +≥=+=； 考点：1. 对立事件的概率；2. 和事件的概率； 【结束】6．【题文】设随机变量),(~2σμξN ,若()()p c p c ξξ≤=>则c 等于( )A ．σB ．2σ C ．μ- D ．μ 【答案】D 【解析】试题分析：()()p c p c ξξ≤=>，则=c μ； 考点：1.正态分布； 【结束】7．【题文】利用数学归纳法证明“22111,(1,)1n n a a a aa n N a++-++++=≠∈-”时，在验证1n =成立时，左边应该是（ ）A ．1B ．1a +C ．21a a ++ D ．231a a a +++ 【答案】C 【解析】试题分析：1n =时，左边=21a a ++； 考点：1.数学归纳法； 【结束】8．【题文】曲线324y x x =-+在点(1,3)处的切线的倾斜角为（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．120°【答案】B 【解析】试题分析：232y x '=-，1|321x y ='=-=，所以倾斜角为45°； 考点：1.导数的几何意义； 【结束】9．【题文】函数xxy ln =的最大值为（ ） A ．1-e B ．e C ．2e D ．310 【答案】A 【解析】试题分析：221ln 1ln x xx x y x x--'==，令=0y x e '⇒=，易知x e =为y 的极大值点，同时也是y 的最大值点，max ln 1e y e e==. 考点：1.导数与最值； 【结束】10．【题文】通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：算得27.8K ≈，参照附表得到的正确结论是 （ ）A ．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” 【答案】C 【解析】试题分析：27.8 6.635K ≈>，在犯错误的概率不超过1%的前提下，即有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”； 考点：1.变量的相关系； 【结束】11．【题文】已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在R 上是单调函数,则实数a 的取值范围是（ ）A ．),3[]3,(+∞--∞B ．]3,3[-C ．),3()3,(+∞--∞D ．)3,3(- 【答案】B 【解析】试题分析：2()321f x x ax '=-+-，由题意，2()3210f x x ax '=-+-<在R 上恒成立，2(2)4(3)(1)0a a ∆=-⨯-⨯-≤⇒≤考点：1.导数与单调性；2.恒成立问题； 【结束】12．【题文】若1001002210100)32(x a x a x a a x ++++=+ ，则2202410013599()()a a a a a a a a ++++-++++的值为（ ）A ．1B ．1-C ．0D ．2【解析】试题分析：令1x =，100012100(2a a a a =++++；令1x =-，100012100(2a a a a =-+-+；则22021001399012100012100()()()()a a a a a a a a a a a a a a +++-+++=++++-+-+100100100=(2(2=[(21=.考点：1.二项式定理；2.赋值法； 【结束】二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分, 请将答案填在答题卡相应位置. 13．【题文】i 为虚数单位，当复数mi m m +-)1(为纯虚数时，实数m 的值为 . 【答案】1 【解析】试题分析：由题意(1)00m m m -=⎧⎨≠⎩，则1m =；考点：1.复数的概念；2.纯虚数的定义； 【结束】14．【题文】在251(2)x x-的二项展开式中，x 的系数为 . 【答案】40- 【解析】试题分析：通项为2551031551(2)()(1)2rrr r r r r r T C x C x x---+=-=-，令10313r r -=⇒=，3353315(1)240T C x x -+=-=-，所以x 的系数为40-；考点：1.复数的概念；2.虚数的定义；3.纯虚数的定义； 【结束】15．【题文】已知随机变量1(6,)3B ξ，则(2)E ξ= .【答案】4试题分析：1(2)2()26=43E E ξξ==⨯⨯； 考点：1.二项分布的期望；2.期望的运算公式； 【结束】16．【题文】若下表数据对应的y 关于x 的线性回归方程为ˆ0.7yx a =+ ，则a ＝ .【答案】0.35 【解析】试题分析： 4.5x =， 3.5y =，回归直线过样本中心点(,)x y ，则3.5=0.74.50.35a a ⨯+⇒=；考点：1.回归直线方程过样本中心点； 【结束】17．【题文】计算定积分11(sin )x x dx -+=⎰.【答案】0 【解析】试题分析：sin y x x =+是奇函数，奇函数在对称区间[1,1]-上的积分为0；或12211111(sin )(cos )|(cos )|022x x x x dx x x x x -==-+=---=⎰；考点：1.定积分的计算； 【结束】18．【题文】已知函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象如右，则()y f x =有 个极大值点. 【答案】1 【解析】试题分析：()y f x =在2x x =左侧递增，在其右侧递减，是唯一的极大值点； 考点：1.导数与极值；19．【题文】观察分析下表中的数据：猜想一般凸多面体中，面数、顶点数、棱数：F 、V 、E 所满足的等式是 . 【答案】2F V E +=+ 【解析】试题分析：通过运算发现2F V E +=+； 考点：1.推理与证明； 【结束】20．【题文】如图,用5种不同颜色给图中的A 、B 、C 、D 四个区域涂色,规定一个区域只涂一种颜色, 相邻区域必 须涂不同的颜色,不同的涂色方案有 种. 【答案】180 【解析】试题分析：第一步涂B 、C ，共25A 种方法；第二步涂A 、D ，共23=9种方法，由分步计数原理，共259=180A ⨯种方法；考点：1.涂色问题；2.排列；3.分步计数原理； 【结束】三、解答题:本大题共5小题，满分50分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤。

广东省珠海市2018～2019学年高二下学期期末学业质量监测数学理试题试卷满分为150分，考试用时120分钟．考试内容：选修2-2、选修2-3．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上.）1.已知z C ∈，()2zi bi b R =−∈，z 的实部与虚部相等，则b =（） A. 2 B.12C. 2D. 12−【答案】C 【解析】利用待定系数法设复数z ，再运用复数的相等求得b .【详解】设z a ai =+ （R a ∈），则()2,a ai i bi +=− 即2a ai bi −+=−22,2a a a b b −==−⎧⎧∴∴⎨⎨=−=⎩⎩.故选C.【点睛】本题考查用待定系数法，借助复数相等建立等量关系，是基础题. 2.函数121x y x −=+在()1,0处的切线与直线l :y ax =垂直，则a =（） A. 3 B. 3C.13D. 13−【答案】A 【解析】先利用求导运算得切线的斜率，再由互相垂直的两直线的关系，求得a 的值。

【详解】''213()21(21)x y x x −==++ 11,3x y =∴='∴ 函数在（1，0）处的切线的斜率是13，所以，与此切线垂直的直线的斜率是3,−3.a ∴=− 故选A.【点睛】本题考查了求导的运算法则和互相垂直的直线的关系，属于基础题．3.若随机变量X 满足(),X B n p ~，且3EX =，94DX =，则p=（） A.14B.34C.12D.23【答案】A 【解析】根据二项分布的数学期望和方差求解.【详解】由题意得：39(1)4np np p =⎧⎪⎨−=⎪⎩ 解得：1214n p =⎧⎪⎨=⎪⎩，故选A.【点睛】本题考查二项分布的数学期望和方差求解，属于基础题.4.若函数()y f x =的图像如下图所示，则函数()'y f x =的图像有可能是（）A. B. C. D.【答案】A 【解析】根据函数图象的增减性与其导函数的正负之间的关系求解。

珠海市重点名校2019-2020学年高二下学期期末质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知直线l 1：310ax y +-=与直线l 2：6430x y +-=垂直，则a 的值为（ ）A ．﹣2B ．92-C ．2D ．92【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线垂直的条件，得到6340a ⨯+⨯=，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，直线l 1：310ax y +-=与直线l 2：6430x y +-=垂直， 则满足6340a ⨯+⨯=，解得2a =-，故选A. 【点睛】本题主要考查了两条直线的位置关系的应用，其中解答中熟记两直线垂直的条件是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2．已知定义在R 上的函数()f x 满足：对任意x ∈R ，都有(1)(1)f x f x +=-成立，且当(,1)x ∈-∞时，(1)()0x f x '-<(其中()f x '为()f x 的导数).设1(0),(),(3)2a fb fc f ===，则a ，b ，c 三者的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．c a b << C ．c b a << D ．b c a <<【答案】B 【解析】试题分析：由题意得：对任意x ∈R ，都有(1)(1)f x f x +=-，即f （x ）=f （2-x ）成立， 所以函数的对称轴为x=1，所以f （3）=f （-1）． 因为当x ∈（-∞，1）时，（x-1）f ′（x ）＜0，所以f ′（x ）＞0，所以函数f （x ）在（-∞，1）上单调递增．故选B ．考点：本题主要考查熟练函数的奇偶性、单调性、对称性等，利用导数研究函数的单调性。

点评：中档题，熟练掌握函数的性质如奇偶性、单调性、周期性、对称性等，在给定区间，导数值非负，函数是增函数，导数值为非正，函数为减函数。

珠海市2012-2013学年度第二学期期末学业质量检测高二理科数学试题（B 卷）一、选择题（共12题，每题5分）1．已知，现将两个数交换,使,下面语句正确的一组是( ) A ． B ．C ．D ．解：先把b 的值赋给中间变量c ，这样c=17，再把a 的值赋给变量b ，这样b=8， 把c 的值赋给变量a ，这样a=17． 故选C ．2． 某工厂生产产品，用传送带将产品送到下一道工序，质检人员每隔十分钟在传送带的某一个位置取一件检验，则这种抽样方法是( )A ．简单随机抽样B ．系统抽样C ．分层抽样D ．非上述答案解：本题符合系统抽样的特征：总体中各单位按一定顺序排列，根据样本容量要求确定抽选间隔，然后随机确定起点，每隔一定的间隔抽取一个单位的一种抽样方式．故选B ． 3．一个工厂有若干个车间，今采用分层抽样法从全厂某天的2000件产品中抽取一个容量为200的样本进行质量检查，若一车间这一天生产了80件产品，则从该车间抽取的产品件数为（ ）A ． 2B ．4C ．6D ．84A ．0.18B ．0.40C ．0.50D ．0.38 解：由表中数据知分数在[90，120）中累积频数是20，样本总数是50， 那么分数在[90，120）中的频率是200.450，故选B ． 5．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3的概率是（ ）A ．101 B ．15 C ．103 D ．112解：所有的取法共有25C =10种，而取出的2个小球的数字之和等于3的取法只有一种：即取出的小球的编号为1、2．故取出的小球标注的数字之和为3的概率是110，故选A ． 6．执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是( )A ．120B ． 720C ． 1440D ．50407．欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3cm 的圆，中间有边长为1cm 的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率（ ） A ．π94 B. π49 C.94π D.49π故选答案A8．（随机变量及其分布）已知随机变量X 服从正态分布N(3,1)，且(24)P X ≤≤=0.6826，则=>)4(X P （ ）A ．0.1585B ．0.1588C ．0.1587D ．0.1586故选答案C9．右图是2013赛季詹姆斯(甲）、安东尼（乙）两名篮球运动员连续参 加的7场比赛得分的情况，如茎叶图表示，则甲乙两名运动员的中位数分别为（ ）A ．23、22B ．19、20C ．26、22D ．23、20解：由题意知，∵甲运动员的得分按照从小到大排列是 15，17，19，23，24，26，32． 共有7个数字，最中间一个是23；乙运动员得分按照从小到大的顺序排列是 11，11，13，20，22，30，31． 共有7个数据，最中间一个是20，∴甲、乙两名运动员比赛得分的中位数分别是23，20． 故选D ． 10．（计数原理）从4名同学中选出3人，参加一项活动，则不同的方法有（ ）种 A ．3 B ．4 C ．6 D ．2411．6名同学从左到右站成一排，其中甲不能站在两头，不同的站法有（ ）种A ． 480B ． 240C ． 120D ．9612．为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如下图，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a，视力在4.6到5.0之间的学生数为b，则a，b的值分别为 ( )A．0.27,78 B．0.27,83 C．2.7,78 D．2.7,83故选答案A二、填空题（共8题，每题5分）13．（算法初步）将二进制数101(2)化为十进制结果为．14．（算法初步）用秦九韶算法求多项式f(x)＝0.5x5＋4x4－3x2＋x－1当x＝3的值时，a1 =_____________．解：∵f（x）=0.5x5+4x4-3x2+x-1=（（（（0.5x+4）x+0）x-3）x+1）x-1，故用秦九韶算法求多项式f（x）=0.5x5+4x4-3x2+x-1当x=3的值时，a1=1．故答案为：1．15．（记数原理）在大小相同的2个红球和2个白球中，若从中任意选取2 个，则所选取的2个球中恰好有1个红球的概率为__________．16．（记数原理）1名男同学和2名女同学站成一排，其中2名女同学相邻的排法有___________种.17．（概率）姚明比赛时罚球命中率为90%，则他在3次罚球中罚失1次的概率是 ．18．（随机变量分步列）离散型随机变量X 的分布列为:X2P41 2141则X 的期望___________.19．（统计）一组数据的平均数是2，方差是3，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是_______和_________． 解：一组数据的平均数是2，方差是3，将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据， 由数据的平均数和方差的计算公式得： 所得新数据的平均数为62，方差为3． 故答案为：62； 3． 20．（统计案例）（统计案例）某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查，数据如下表：为了检验“喜欢玩电脑游戏与认为作业多”是否有关系，根据表中数据，得到2=4.84值，对照临界值表，有 的把握认为“喜欢玩电脑游戏与认为作业多”之间有相关关系．解：由表中数据可知Χ2=4.84， ∵4.84＞3.841，∴有1-0.05=95%的把握说喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系． 故答案为：95%．三、解答题（共4题，每题10分）21．(本题满分10分)某中学团委组织了“弘扬奥运精神，爱我中华”的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后画出如下部分频率分布直方图．观察图形给出的信息，回答下列问题：(1)求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；(2)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分(保留小数点后2位）． 解：(1)设分数在［70,80)内的频率为错误！未找到引用源。

2019-2020学年广东省珠海市数学高二第二学期期末调研试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，则不等式()()213f x f ->的解集为（） A ．()2,1-B ．()1,2-C ．()(),21,-∞-⋃+∞D ．()(),12,-∞-+∞U2．某科研单位准备把7名大学生分配到编号为1，2，3的三个实验室实习，若要求每个实验室分配到的大学生人数不小于该实验室的编号，则不同的分配方案的种数为（ ） A ．280B ．455C ．355D ．3503．已知α，β表示两个不同的平面，l 为α内的一条直线，则“α∥β是“l ∥β”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．随机变量()~1,4X N ，若()20.2p x ≥=，则()01p x ≤≤为（ ） A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.65．函数f(x)＝21xx e-的图象大致为() A ． B ．C ．D ．6．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2,过其右焦点F 作斜率为2的直线，交双曲线的两条渐近线于,B C 两点（B 点在x 轴上方），则BF CF=（ ）A ．2B ．3C ．22D ．237．如图是函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象，则下面说法正确的是( )A ．在(2,1)-上()f x 是增函数B ．在(1,3)上()f x 是减函数C ．当1x =时，()f x 取极大值D ．当2x =时，()f x 取极大值8．已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且10100S =，则7a 的值为 A ．11B ．12C ．13D ．149．l m n ，，为直线，,,αβγ为平面，则下列命题中为真命题的是（ ） A ．若//m α，//n β，则//αβ B ．则m α⊥，n α⊥，则//m n C ．若αγ⊥，βγ⊥，则αβ⊥ D ．则αβ⊥，l α⊆，则l β⊥10．ABC ∆中，若cos cos a bB A=，则该三角形一定是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形11．已知随机变量X 服从二项分布(,)B n p ，若()50E X =，()30D X =，则n ，p 分别等于（ ） A ．100n =，35p =B ．100n =，25p =C ．125n =，25p = D ．125n =，35p = 12．由曲线1xy =，直线,3y x y ==所围成的平面图形的面积为（ ） A ．2ln3-B ．4ln3+C ．4ln3-D ．329二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．若某学校要从5名男同学和2名女同学中选出3人参加社会考察活动，则选出的同学中男女生均不少于1名的概率是_____.14．已知()|2|f x x m =-（m 为常数），对任意x ∈R ，均有(3)()f x f x +=-恒成立，下列说法： ①()f x 的周期为6；②若()()|2|g x f x x b =+-（b 为常数）的图像关于直线1x =对称，则1b =； ③若022αβ<<+，且()(3)f f αβ=+，则必有2209αβ-<+<； ④已知定义在R 上的函数()F x 对任意x 均有()()F x F x =-成立，且当[0,3]x ∈时，()()F x f x =；又函数2()h x x c =-+（c 为常数），若存在12,[1,3]x x ∈-使得112|()()|1F x h x -<成立，则实数c 的取值范围是(1,13)-，其中说法正确的是_______（填写所有正确结论的编号）15．已知函数()2242,0,0x x x x f x x e x ⎧-++≥=⎨-<⎩，若函数()()2g x f x a =+恰有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是__________．16．如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是1CC ，AD 的中点，那么异面直线1D E 和1A F 所成角的余弦值等于________________．三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．某校在本校任选了一个班级，对全班50名学生进行了作业量的调查，根据调查结果统计后，得到如下的22⨯列联表，已知在这50人中随机抽取2人，这2人都“认为作业量大”的概率为1249. 认为作业量大 认为作业量不大 合计 男生 18 女生 17 合计50（1）请完成上面的列联表；（2）根据列联表的数据，能否有99%的把握认为“认为作业量大”与“性别”有关？ 附表：()20P K k ≥ 0.100 0.050 0.025 0.010 0.0010k2.7063.841 5.024 6.635 10.828附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++）18．已知函数()233ln f x x x x =+--．（1）求函数()33ln g x x x =--的最小值； （2）当30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，记函数()f x 的所有单调递增区间的长度为1L ，所有单调递减区间的长度为2L ，证明：12L L >．（注：区间长度指该区间在x 轴上所占位置的长度，与区间的开闭无关．）19．（6分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为12,12,x y θθ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（θ为参数），过原点的两条直线12,l l 分别与曲线C 交于异于原点的P 、Q 两点，且90POQ ∠=o ,其中1l 的倾斜角为[0,)4παα∈，.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求C 和1l 的极坐标方程； （2）求OP OQ +的最大值.20．（6分）如图，已知点P 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的任意一点，直线MN 与椭圆交于M ，N 两点，直线PM ，PN 的斜率都存在．（1）若直线MN 过原点，求证：PM PN k k ⋅为定值；（2）若直线MN 不过原点，且0MN OP k k +=，试探究PM PN k k ⋅是否为定值．21．（6分）在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，E 为线段AD 的中点，如图1，沿BE 将ABE ∆折起至PBE ∆，使BP CE ⊥，如图2所示．（1）求证：平面PBE ⊥平面BCDE ； （2）求二面角C PD E --的余弦值．22．（8分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，点32,4P π⎛⎫⎪⎝⎭在直线l ：cos sin 0m ρθρθ-+=上． （1）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 的相交于点A 、B ，求||||PA PB ⋅的值．参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．B 【解析】 【分析】因为函数是偶函数，所以()()f x f x =，那么不等式转化为()()213f x f ->，利用单调性，解不等式.【详解】Q 函数是偶函数，()()()()213213f x f f x f ∴->⇔->()f x Q 在[)0,+∞单调递减，2133213x x ∴-<⇒-<-<12x ∴-<< ，即()1,2x ∈- .故选B. 【点睛】本题考查了偶函数利用单调性解抽象不等式，关键是利用公式()()f x f x =转化不等式，利用()0,∞+的单调性解抽象不等式，考查了转化与化归的思想. 2．B 【解析】 【分析】每个实验室人数分配有三种情况，即①1，2，4；②1，3，3；③2，2，3；针对三种情况进行计算组合即可 【详解】每个实验室人数分配有三种情况，即1，2，4；1，3，3；2，2，3.当实验室的人数为1，2，4时，分配方案有124764105C C C =种； 当实验室的人数为1，3，3时，分配方案有133763140C C C =种； 当实验室的人数为2，2，3时，分配方案有223753210C C C =种. 故不同的分配方案有455种.选B. 【点睛】本题考查排列组合的问题，解题注意先分类即可，属于基础题3．A 【解析】试题分析：利用面面平行和线面平行的定义和性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断． 解：根据题意，由于α，β表示两个不同的平面，l 为α内的一条直线，由于“α∥β，则根据面面平行的性质定理可知，则必然α中任何一条直线平行于另一个平面，条件可以推出结论，反之不成立，∴“α∥β是“l ∥β”的充分不必要条件． 故选A ．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面与平面平行的判定． 4．B 【解析】分析：根据正态分布的整体对称性计算即可得结果. 详解：(0)(2)0.2,P X P X ≤=≥=10.22(01)0.3,2P X -⨯∴≤≤== 故选B.点睛：该题考查的是有关正态分布的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有正态分布曲线的对称性，从而求得结果. 5．D 【解析】 【分析】根据函数为非偶函数可排除两个选项，再根据特殊值(2)f 可区分剩余两个选项. 【详解】因为f(－x)＝21x x e--≠f(x)知f(x)的图象不关于y 轴对称，排除选项B ，C.又f(2)＝214e -＝－23e <0.排除A ，故选D. 【点睛】本题主要考查了函数图象的对称性及特值法区分函数图象，属于中档题. 6．B 【解析】 【分析】由双曲线的离心率可得a ＝b ，求得双曲线的渐近线方程，设右焦点为（c ，0），过其右焦点F 作斜率为2的直线方程为y ＝2（x ﹣c ），联立渐近线方程，求得B ，C 的坐标，再由向量共线定理，可得所求比值． 【详解】由双曲线的离心率为2，可得c 2=a ，即有a ＝b ，双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，设右焦点为（c ，0），过其右焦点F 作斜率为2的直线方程为y ＝2（x ﹣c ）， 由y ＝x 和y ＝2（x ﹣c ），可得B （2c ，2c ），由y ＝﹣x 和y ＝2（x ﹣c ）可得C （23c，23c -），设BF =u u u r λFC uuu r ，即有0﹣2c ＝λ（23c--0）， 解得λ＝1，即则BF CF=1．故选：B ．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率和渐近线方程，考查方程思想和运算能力，属于中档题． 7．D 【解析】分析：先由图象得出函数的单调性，再利用函数的单调性与导数的关系即可得出. 详解：由图象可知()1,2x ∈-上恒有()'0fx >，在()2,4x ∈上恒有()'0f x <，()f x ∴在()1,2-上单调递增，在()2,4上单调递减则当2x =时，()f x 取极大值 故选：D.点睛：熟练掌握函数的单调性、极值与导数的关系是解题的关键，是一道基础题. 8．C 【解析】 【分析】利用等差数列通项公式及前n 项和公式，即可得到结果.【详解】∵等差数列{}n a 的公差为2，且10100S =， ∴1011091021002S a ⨯=+⨯= ∴11a =∴()7171213a =+-⨯=. 故选：C 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及前n 项和公式，考查计算能力，属于基础题. 9．B 【解析】 【分析】根据空间中平面和直线平行和垂直的位置关系可依次通过反例排除,,A C D ，从而得到结果. 【详解】A 选项：若//m n ，则α与β未必平行，A 错误B 选项：垂直于同一平面的两条直线互相平行，B 正确C 选项：垂直于同一平面的两个平面可能相交也可能平行，C 错误D 选项：l 可能与β平行或相交，D 错误本题正确选项：B 【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的相关命题的判定，通常通过反例，采用排除法的方式来得到结果，属于基础题. 10．D 【解析】 【分析】利用余弦定理角化边后，经过因式分解变形化简可得结论. 【详解】 因为cos cos a bB A=， 所以22222222a ba cb bc a ac bc=+-+-，所以22222222()()a b c a b a c b +-=+-，所以224224a c a b c b -=-， 所以22244()c a b a b -=-， 所以22222()()0a b c a b ---=， 所以220a b -=或222c a b =+， 所以a b =或222+=a b c ，所以三角形是等腰三角形或直角三角形. 故选：D 【点睛】本题考查了利用余弦定理角化边，考查了利用余弦定理判断三角形的形状，属于基础题. 11．C 【解析】分析：直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可．详解：随机变量X 服从二项分布(),B n p ，若()50E X =，()30D X =，可得50,30np npq =⎧⎨=⎩32,1,125.55q p q n =∴=-== 故选：C ．点睛：本题考查离散型随机变量的分布列的期望以及方差的求法，考查计算能力． 12．C 【解析】 【分析】 【详解】由1xy y x =⎧⎨=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，13xy y =⎧⎨=⎩解得133x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，3y y x =⎧⎨=⎩解得33x x =⎧⎨=⎩，所围成的平面图形的面积为S ，则()()1111331131(31)323ln |2S dx x x x ⎛⎫=⨯--+-=+- ⎪⎝⎭⎰，4ln3S =-，故选C.二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．57【解析】 【分析】选出的男女同学均不少于1名有两种情况： 1名男生2名女生和2名男生1名女生，根据组合数公式求出数量，再用古典概型计算公式求解.【详解】从5名男同学和2名女同学中选出3人，有3735C = 种选法；选出的男女同学均不少于1名，有12215252··25C C C C += 种选法； 故选出的同学中男女生均不少于1名的概率：255357P == . 【点睛】本题考查排列组合和古典概型. 排列组合方法：1、直接考虑，适用包含情况较少时；2、间接考虑，当直接考虑情况较多时，可以用此法. 14．②④ 【解析】 【分析】根据()()3f x f x +=-成立即可求得对称轴,由对称轴结合解析式即可求得m 的值,可判断①;根据()()2g x f x x b =+-及对称轴即可求得b 的值,可判断②;根据条件可得α与β的关系,结合二次函数的值域即可判断③;根据条件可知函数()F x 为偶函数,根据存在性成立及恒成立,转化为函数的值域即可判断④. 【详解】对于①,因为对任意x ∈R ,均有()()3f x f x +=-成立,则()f x 的图像关于直线32x =对称,所以解得3m =.即()f x 是轴对称函数,不是周期函数,所以①错误;对于②,()()2g x f x x b =+-的图像关于直线1x =对称,可得3222b+=,解得1b =,所以②正确; 对于③,()()3f f αβ=+,而由(3)()f x f x +=-可知()()3f f ββ+=-则3αβ=+或αβ=-. 当3αβ=+时,代入022αβ<<+可得0262ββ<+<+,即026262βββ<+⎧⎨+<+⎩,解不等式组可得34ββ-<⎧⎨<-⎩,不等式无解,所以不成立 当αβ=-时,代入022αβ<<+可得022αα<<-+,即0222ααα<⎧⎨<-+⎩,解不等式组可得023αα<⎧⎪⎨<⎪⎩,即203α<<所以2221124αβααα⎛⎫+=-=-- ⎪⎝⎭,203α<<所以2111,0244α⎛⎫⎡⎫--∈- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭,所以③错误;对于④,由()()F x F x =-可知函数()F x 为偶函数,当[0,3]x ∈时, ()23F x x =-;当[3,0]x ∈-时,()23F x x =+.所以()F x 在[1,3]-上的值域为[0,3]()2h x x c =-+在[1,3]-上的值域为[]9,c c -因为存在12,[1,3]x x ∈-使得()()1121F x h x -<成立所以只需()()min max 01F x h x c -=-<且()()max min 931F x h x c -=--< 即113cc -<⎧⎨<⎩,即实数c 的取值范围是()1,13-,所以④正确 综上可知,说法正确的是②④ 故答案为: ②④ 【点睛】本题考查了函数的奇偶性、对称性及恒成立问题的综合应用,对于分类讨论思想的理解,属于难题。

珠海市2022-2023学年第二学期期末普通高中学生学业质量监测高二数学本试卷共6页，22小题，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名､班级､考场和座位号填写在答题卡上，将条形码横贴在每张答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 3254A C −=（ ）A. 66B. 54C. 26D. 14【答案】B 【解析】【分析】根据排列数、组合数公式计算可得. 【详解】325443A C 5436065421×−=××−=−=×. 故选：B2. 已知离散型随机变量ξ的分布列如下表，则其数学期望()E ξ=（ ）ξ 12 4P 0.2m 0.6A. 1B. 0.2C. 2.8D. 3【答案】D 【解析】【分析】根据表中数据可求解10.20.60.2m =−−=，进而又期望的公式即可求解. 【详解】由表可知：10.20.60.2m =−−=， 所以()10.220.240.63E ξ=×+×+×=， 故选:D3. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且26412,18a a S +==，则3a =（ ） A. 5 B. 4C. 3D. 2【答案】A 【解析】【分析】直接利用等差数列公式计算得到答案.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意2641218a a S +== ，则1126124618a d a d +=+= ， 解得131a d == ，所以3125a a d =+=. 故选：A4. 在杨辉三角中，每一个数值是它肩上面两个数值之和.这个三角形开头几行如下图，若第n 行从左到右第12个数与第13个数的比值为2，则n =（ ）A. 15B. 16C. 17D. 18【答案】C 【解析】【分析】由杨辉三角的性质知，第n 行的数对应的是()na b +展开式的二项式系数，进而根据二项式系数的性质求解即可.【详解】由杨辉三角的性质知，第n 行的数对应的是()na b +展开式的二项式系数， 因为第n 行从左到右第12个数与第13个数的比值为2，所以1112C 2C nn=，即()()!11!11!122!1112!12!n n n n n −==−−，解得17n =. 故选：C .5. 下列导数运算正确的是（ ） A. (cos )sin x x ′= B. ()21log ln2x x ′=⋅ C ()22xx′=D.211x x′ = 【答案】B 【解析】【分析】根据基本初等函数的求导公式即可结合选项求解. 【详解】对于A, (cos )sin x x ′=−,故A 错误， 对于B ，()21log ln2x x ′=⋅，故B 正确， 对于C ，()22ln 2x x ′=，故C 错误，对于D, 211x x ′ =−,故D 错误， 故选：B6. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22nn S λ=⋅−，则λ=（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】C 【解析】【分析】利用n a 与n S 的关系求出数列{}n a 的通项公式，利用等比数列的定义可得出关于λ的等式，解之即可.【详解】当1n =时，1122a S λ==−， 当2n ≥时，()()11122222nn n n n n a S S λλλ−−−=−=⋅−−⋅−=⋅，故当2n ≥时，112222nn n n a a λλ−+=⋅=⋅⋅=，因为数列{}n a 为等比数列，易知该数列的公比为2，则212a a =，即()2222λλ=−， .故选：C.7. 已知定义在(]0,3上的函数()f x 的图象如图，则不等式()()10x f x ′−⋅<的解集为（ ）A. ()0,2B. ()1,2C. ()2,3D. ()()0,11,2【答案】D 【解析】【分析】利用函数单调性与导数正负的关系，分类讨论01x <<，12x <<，23x <≤，1x =与2x =五种情况即可得解.【详解】当01x <<时，()f x 单调递增，则()0f x '>， 此时10x −<，所以()()10x f x ′−⋅<，满足题意； 当12x <<时，()f x 单调递减，则()0f x ′<， 此时10x −>，所以()()10x f x ′−⋅<，满足题意； 当23x <≤时，()f x 单调递增，则()0f x '>， 此时10x −>，所以()()10x f x ′−⋅>，不满足题意；当1x =时，易得()()10x f x ′−⋅=，不满足题意； 当2x =时，易得()0f x ′=，则()()10x f x ′−⋅=，不满足题意； 综上：01x <<或12x <<，即不等式()()10x f x ′−⋅<的解集为()()0,11,2 . 故选：D.8. 设函数()111e e sin 2x x f x x π−−=−+，实数,a b 满足不等式()()310f a b f a ++−>，则下列不等式成立的是（ ） A. 21a b +> B. 21a b +< C. 43a b +> D. 43a b +<【答案】A【分析】根据条件判断函数()f x 关于()1,0对称，求导，可得函数的单调性，利用函数的对称性和单调性将不等式进行转化求解即可. 【详解】∵()111ee sin π2x xf x x −−=−+，∴()()()1111112e e sin 2ππe e sin π22x x x x f x x x f x −−−−−=−+−=−−=−，∴函数()f x 关于()1,0对称，又()11111e e cos cos 2cos 222x x f x x x x ππππππ−−′=++≥+=+，∵111ππcos ππ222x −≤≤，∴11122cos 2222x ππππ−≤+≤+，∴()0f x ′>恒成立，则()f x 是增函数， ∵()()310f a b f a ++−>，∴()()[]()312(1)1f a b f a f a f a +>−−=−−=+，∴31a b a +>+，得21a b +>， 故选：A二､多选题：本题共45分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 设数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，则下列命题正确的是（ ） A. 若()12n n a a n N∗+−∈，则数列{}na 为等差数列B. 若()12n n b b n N ∗+=∈，则数列{}n b 等比数列 C. 若数列{}n a 是等差数列，则n S ，2n n S S −，()32n n S S n N ∗−∈ 成等差数列 D. 若数列{}n b 是等比数列，则n T ，2n n T T −，()32n n T T n N ∗−∈ 成等比数列【答案】AC 【解析】【分析】对于A ，C ，利用等差数列的定义判断即可，对于B ，D ，通过举反例判断 【详解】解：对于A ，由等差数列的定义可知当()12n n a a n N∗+−∈时，数列{}na 为等差数列，所以A为对于B ，当0n b =时，满足()12n n b b n N ∗+=∈，但数列{}n b 不是等比数列，所以B 错误； 对于C ，数列{}n a 是等差数列，数列{}n a 的前n 项和为n S ， 则12212(21)(1)22[]22n n n n n n n S na d na d n S S d −−−−=+−+=， 32232()2n n n n n n n S S S S S S S −−−=−+21113(31)2(21)(1)32[2]222n n n n n n na d na d na d n d −−−+−+++， 所以3222()()n n n n n n n S S S S S S S −−−=−−，所以n S ，2n n S S −，()32n n S S n N ∗−∈ 成等差数列，所以C 正确；对于D ，当等比数列{}n b 的公比1q =−，n 为偶数时，n T ，2n n T T −，()32n n T T n N ∗−∈ 均为零，所以n T ，2n n T T −，()32n n T T n N ∗−∈ 不成等比数列，所以D 错误，故选：AC10. 某商场设有电子盲盒机，每个盲盒外观完全相同，规定每个玩家只能用一个账号登陆，且每次只能随机选择一个开启．已知玩家第一次抽盲盒，抽中奖品的概率为27，从第二次抽盲盒开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为12，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为13．记玩家第n 次抽盲盒，抽中奖品的概率为n P ，则（ ） A. 21942P =B. 数列37n P−为等比数列 C. 1942n P ≤ D. 当2n ≥时，n 越大，n P 越小【答案】ABC 【解析】【分析】记玩家第()Ni i ∗∈次抽盲盒并抽中奖品为事件iA ，依题意，127P =，()113nn P A A −=，()112n n P A A −=，利用全概率公式可判断A 选项；利用全概率公式推出11162n n P P −=−+，结合等比数列的定义可判断B 选项；求出数列{}n P 的通项公式，可判断C 选项；利用数列的单调性可判断D 选项.【详解】记玩家第()Ni i ∗∈次抽盲盒并抽中奖品为事件iA ，依题意，127P =，()113n n P A A −=，()112n n P A A −=，()n n P P A =，对于A 选项，()()()()()221211212121191737242P P A P A P A A P A P A A ==+=×+−×= ，A 对； 对于B 选项，()()()()()1111n n n n n n n P A P A P A A P A P A A −−−−=+， 所以，()111111113262n n n n P P P P −−−=+−=−+，所以，1313767n n P P − −=−− ， 又因为127P =，则131077P −=−≠， 所以，数列37n P −是首项为17−，公比为16−的等比数列，B 对； 对于C 选项，由B 选项可知，1311776n n P −−=−⋅−，则1311776n n P −=−−，当n 为奇数时，131319776742n n P −=−<<⋅， 当n 为偶数时，131776n n P −=+⋅，则n P 随着n 的增大而减小，所以，21942n P P ≤=. 综上所述，对任意的n ∗∈N ，1942n P ≤，C 对； 对于D 选项，因为1311776n n P −=−−，则数列{}n P 为摆动数列，D 错.故选：ABC.【点睛】方法点睛：已知数列的递推关系求通项公式的典型方法： （1）当出现1n n a a m −=+时，构造等差数列； （2）当出现1n n a xa y −=+时，构造等比数列； （3）当出现()1n n a a f n −=+时，用累加法求解； （4）当出现()1nn a f n a −=时，用累乘法求解.11. 下列结论正确的有（ ）A. 若随机变量,ξη满足21ηξ=+，则()()21D D ηξ=+ B. 若随机变量()23,N ξσ∼，且(6)0.84<=P ξ，则(06)0.68P ξ<<= C. 已知随机变量X 服从二项分布1,3B n，若()316E X +=，则6n = D. 对于事件,A B ，若A B ⊆，且()()0.3,0.6P A P B ==，则()1P B A =∣ 【答案】BD 【解析】【分析】根据方差的性质判断A ，根据正态分布的对称性求解概率判断B ，根据二项分布的期望公式及期望的性质判断C ，根据条件概率公式求解判断D.【详解】对于选项A ，根据方差的性质得()()()214D D D ηξξ=+=，错误； 对于选项B ，由正态分布的对称性可知，(36)(6)(3)0.840.50.34P P P ξξξ<<=<−≤=−=， 所以(06)2(36)0.68P P ξξ<<=<<=，正确； 对于选项C ，因为量X 服从二项分布1,3B n，所以()133n E X n =×=， 则根据数学期望的性质得(()313116E X E X n +=+=+=，解得5n =，错误；对于选项D ，因为A B ⊆，所以()()0.3P AB P A ==，根据条件概率公式得()()()1P AB P B A P A ==∣，正确. 故选：BD12. 设函数()()()()2e0xf x x b a b =+−>在点11,22f−−处的切线方程为()1e e 1e 2x y −−+=.若函数()f x 图象与x 轴负半轴的交点为P ，且点P 处的切线方程为()y h x =，函数()()()()F x f x h x x =−∈R ，则（ ）A. 1a =，12b = B. 1,02P−C. ()F x 存在最大值，且最大值102F−=D. ()F x 存在最小值，且最小值为102F−=【答案】ABD 【解析】【分析】根据切线的斜率以及切点11,22f −−为切线与曲线的公共点求出a 、b 的值，可判断A 选项；写出函数()f x 的解析式，求出点P 的坐标，可判断B 选项；写出函数()F x 的解析式，利用导数求出函数()F x 的最值，可判断CD 选项.【详解】对于A 选项，因为()()()()2e 0xf x x b a b =+−>，则()()()22e 2e x xf x a x b ′=−++，所以，112122ee 2e bf a b a ′−=−+−=− ， 且11122e f b a −=−−  ， 因为函数()()()()2e 0x f x x b a b =+−>在点11,22f−−处的切线方程为()1e e 1e 2x y −−+=， 则1e 1112e e f −′−=−=−， 因为点11,22f −−在直线()1e e 1e 2x y −−+=上，则e 111e e 222f −− −+−=，可得102f −= ，所以，211e e 1102e 0ba b a b −=− −−=   >，解得112a b = =，A 对； 对于B 选项，由A 选项可知，()()21e 12xf x x=+−， 令()0f x =可得12x =−或0x =，故点1,02P−，B 对； 为对于CD 选项，由()1e e 1e 2x y −−+=可得1e 1e e 2e yx −−+，即()1e 1ee 2eh x x −−=+， 所以，()()()()()21e 1e 1e 12e 2ex F x f x h x x x x −−=−=+−++∈ R ， 所以，()()()222221e 111e 121e 21e 22e e e e xxx xx F x x x x +− ′=−+++=+−=+−， 令()21122e x p x x ++−，则()21220e x p x +′=+>，故函数()21122e x p x x ++−在R 上单调递增，且102p−=， 当12x <−时，()102p x p<−=，即()0F x ′<，此时函数()F x 单调递减， 当12x >−时，()102p x p>−=，即()0F x ′>，此时函数()F x 单调递增， 所以，函数()F x 存在最小值，且最小值为102F−=，C 错D 对. 故选：ABD.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 在52)−的展开式中，2x 的系数为______. 【答案】10− 【解析】【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定2x 的系数即可.【详解】)52展开式的通项公式为：()()552155C22C r rrrrrr T x−−+=−=−，令522r −=可得：1r =，则2x 的系数为：()()1152C 2510−=−×=−. 故答案为：10−14. 已知函数()ln f x x x =，若直线l 过点()0,1−，并且与曲线()y f x =相切，则直线l 的方程为______________．【答案】10x y −−=【解析】【分析】设出切点坐标00(,)x y ，求出函数的导数，利用导数的几何意义可得切线方程为()()0000ln ln 1y x x x x x −+−，再根据切线l 过点()0,1−，可求出0x ，进而求出结果．【详解】∵点()0,1−不在曲线()ln f x x x =上，设切点坐标为00(,)x y ． 又∵()1ln f x x ′=+，所以()001ln f x x ′=+ ∴()ln f x x x =在00(,)x y 处的切线方程为()()0000ln ln 1y x x x x x −+−，∵切线l 过点()0,1−，∴()()00001lnln 1x x x x −−=+−，解得01x=，∴直线l 的方程为：1y x =−，即直线方程为10x y −−=. 故答案为：10x y −−=． 【点睛】方法点睛：用导数求切线方程的关键在于求出切点00)(P x y ，及斜率，其求法为：设00)(P x y ，是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：000()()y y f x x x ′−=−．若曲线()y f x =在点00(())P x f x ，的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．15. A ，B ，C ，D ，E 共5位教师志愿者被安排到甲､乙､丙､丁4所学校参加支教活动，要求每所学校至少安排一位教师志愿者，且每位教师志愿者只能到一所学校支教，在A 教师志愿者被安排到甲学校支教的前提下，甲学校有两名教师志愿者的概率为__________. 【答案】25##0.4 【解析】【分析】求出A 教师志愿者被安排到甲学校的排法，然后再求出在A 教师志愿者被安排到甲学校支教的前提下，甲学校有两名志愿者的排法，根据条件概率进行计算，从而可求解． 【详解】A 教师志愿者被安排到甲学校，若甲学校只有一个人，则有2343C ?A =36种安排方法，若甲学校有2个人，则有44A 24=种安排方法，A 教师志愿者被安排到甲学校共有3624+=60种安排方法， 在A 教师志愿者被安排到甲学校支教的前提下，甲学校有两名志愿者的安排方法有24种， 所以在A 教师志愿者被安排到甲学校支教的前提下，甲学校有两名志愿者的概率是242605=，故答案为：2516. 已知非零数列{}123,n n n a b a a a a =⋅⋅ ，点(),n n a b 在函数22xy x =−的图象上，则数列()12n n n a b−⋅的前2024项和为__________. 【答案】20231220252−×【解析】【分析】根据等差数列定义求得数列{}n b 的通项公式，进而可得数列{}n a 的通项公式，利用裂项相消法求和.【详解】由已知条件123n n b a a a a =⋅⋅ ，可得11231,2n n b a a n a a −−=⋅⋅≥ ，所以1nn n b a b −=①，2n ≥， 因为点(),n n a b 在函数22xy x =−的图象上，所以22n n n a b a =−，将①代入可得，1122nn n nn b b b b b −−=−, 化简得，112n n b b −−=，2n ≥， 当1n =时，由11a b =，则11122b b b =−，得132b =，所以数列{}n b 是以32为首项，12为公差的等差数列， 所以31(1)1222n n b n =+−=+，11221112n n n n b n a n b n −++===−++， 因为()()12121112(1)2212n n n n n n a n b n n n n −−−+==−−⋅+⋅⋅+⋅， 所以10012022202320231111111212222232202422025220252−−+−++−=−××××××× ，故答案: 20231220252−×. 的为四､解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17. 已知数列{}n a ，满足()()*1110N n n n a na a n +−−+=∈.（1）证明：数列{}n a 是等差数列；（2）若等差数列{}n a 的公差为1252,,,a a a 成等比数列，求数列11n n a a +的前n 项和n T .【答案】（1）证明见解析 （2）21nn + 【解析】【分析】（1）先对递推式变形得211(1)n n na n a a ++=+−，作差即可得()*122N n n n a a a n ++=+∈，再利用等差中项证明数列是等差数列；（2）利用等比中项及等差数列基本量的运算求得21na n =−，然后利用裂项相消法求和即可. 【小问1详解】由()()*1110N n n n a na a n +−−+=∈，得()111n n n a na a +−=−， 所以211(1)n n na n a a ++=+−，两式相减得()122n n n na n a a ++=+， 即()*122N n n n a a a n ++=+∈，所以数列{}n a 是等差数列. 【小问2详解】由等差数列{}n a 的公差为2，得2115112,48a a d a a a d a =+=+=+=+，因为125,,a a a 成等比数列，所以2215a a a =⋅，即()()211128a a a +=+，解得11a =， 所以()1121n a a n d n =+−=−，所以()()()111111221212121n n a a n n n n +==−−+−+，所以11111112335212121n n T n n n =−+−++−= −++ . 18.二项式2nx展开式前三项的二项式系数和为22.（1）求n 的值；（2）求展开式中的常数项及二项式系数最大的项.【答案】（1）6 （2）常数项为960，二项式系数最大的项为321280x 【解析】【分析】（1）根据二项式系数即可列式子求解， （2）根据二项式展开式的通项特征，即可求解. 【小问1详解】展开式前三项的二项式系数和为22，012C C C 22,n n n ∴++=2420,n n ∴+−=6n ∴=或7n =−（舍）， 故n 的值为6. 【小问2详解】由题可得，展开式中最大的二项式系数为36C 20=，∴展开式中二项式系数最大的项为第4项，即3333246C (2)1280T x x =；设展开式中常数项为第1r +项，即()36662166C 2C 2,06,N rr rr r r T x x r r −−+⋅≤≤∈， 令3602r−=，得4r =， 644162C 960T +∴==，故展开式中的常数项为第5项，即960. 19. 已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R ). （1）当a ＝12时，求f (x )的极值；（2）讨论函数f (x )在定义域内极值点的个数.【答案】（1）f (x )极大值＝ln 2－1，无极小值；（2）答案见解析. 【解析】【分析】（1）当a ＝12时，f (x )＝ln x －12x ，求导得到f ′(x )＝1x －12＝22xx −，然后利用极值的定义求解.（2）由（1）知，函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－a ＝1ax x − (x >0)，然后分a ≤0和a >0两种情况讨论求解.【详解】（1）当a ＝12时，f (x )＝ln x －12x ，函数的定义域为(0，＋∞)且f ′(x )＝1x －12＝22xx −，令f ′(x )＝0，得x ＝2，于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表. x (0，2) 2 (2，＋∞) f ′(x ) ＋0 －f (x )ln 2－1故f (x )在定义域上的极大值为f (x )极大值＝f (2)＝ln 2－1，无极小值. （2）由（1）知，函数的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1x －a ＝1axx− (x >0). 当a ≤0时，f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立，即函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点； 当a >0时，当x ∈10,a时，f ′(x )>0， 当x ∈1,a+∞时，f ′(x )<0， 故函数在x ＝1a处有极大值. 综上可知，当a ≤0时，函数f (x )无极值点， 当a >0时，函数y ＝f (x )有一个极大值点，且为x ＝1a. 【点睛】本题主要考查导数与函数的极值以及极值点的个数问题，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.20. 4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”.为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成[]0,2、(]2,4、(]4,6、(]6,8、(]8,10、(]10,12、(]12,14、(]14,16、(]16,18九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.（1）求这500名学生日平均阅读时间的中位数（保留到小数点后两位）； （2）为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在(]6,8、(]14,16、(]16,18三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在(]14,16内的学生人数为X ，求X 的分布列和数学期望；（3）以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，用()P k 表示这10名学生中恰有k 名学生日平均阅读时间在(]8,12内的概率，其中0k =、1、2、 、10.当()P k 最大时，写出k 的值，并说明理由. 【答案】（1）9.33 （2）分布列见解析，()65E X = （3）5k =，理由见解析 【解析】【分析】（1）设中位数为x ，分析可知，()8,10x ∈，利用中位数的定义可得出关于x 的等式，解之即可； （2）计算出按分层抽样所抽取的10人中，从日平均阅读时间在(]14,16内的学生抽取的学生人数，分析可知，X 的可能取值为0、1、2、3，计算出随机变量X 在不同取值下的概率，可得出随机变量X 的分布列，进而可求得()E X 的值；（3）分析可知110,2Y B ∼ ，计算得出()10101C 2kP k =，利用二项式系数的性质可求得当()P k 取最大值时，k 的值. 【小问1详解】设中位数为x ，前四个矩形的面积之和为()0.020.030.050.0520.30.5+++×=<，前五个矩形的面积之和为0.30.1520.60.5+×=>，所以可设中位数为()8,10x ∈，由中位数的定义可得()0.380.150.5x +−×=，解得289.333x =≈. 【小问2详解】由频率分布直方图，得这500名学生中日平均阅读时间在(]6,8、(]14,16、(]16,18三组内的学生人数分别为：5000.05250××=，5000.04240××=，00.0500112××=， 若采用分层抽样的方法抽取了10人，则从日平均阅读时间在(]14,16内的学生中抽取40104504010×=++人， 从这10人中随机抽取3人，则X 的可能取值为0、1、2、3，()36310C 10C 6P X ===，()2614310C C 11C 2P X ===， ()2146310C C 32C 10P X ===，()34310C 13C 30P X ===，数学期望()1131601236210305E X =×+×+×+×=. 【小问3详解】 可知5k =，原因如下：由频率分布直方图，得()20.020.030.050.050.150.050.040.011a ×++++++++=， 解得0.10a =，所以，学生日平均阅读时间在(]8,12内的概率为0.1520.1020.5×+×=，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，日平均阅读时间在(]8,12内的学生人数Y ，则110,2Y B ∼， 所以()10101010111C 1C 222kk k k P k − =−=，其中{}0,1,2,,10k ∈ ， 由组合数的性质，得当5k =时，10C k最大，则()P k 最大.21. 设有甲､乙､丙三个不透明的箱子，每个箱中装有除颜色外其他都相同的四个球，其中甲箱有两个黄球和两个黑球，乙箱有三个红球和一个白球，丙箱有两个红球和两个白球.完成以下步骤称为一次“操作”：先一次从甲箱中随机摸出两个球，若从甲箱中摸出的两个球同色，则从乙箱中随机摸出一个球放入丙箱，再一次从丙箱中随机摸出两个球；若从甲箱中摸出的两个球不同色，则从丙箱中随机摸出一个球放入乙箱，再一次从乙箱中随机摸出两个球.（1）求一次“操作”完成后，最后摸出的两个球均为白球的概率；（2）若一次“操作”最后摸出的两个球均为白球，求这两个球是从丙箱中摸出的概率；（3）若摸出每个红球记1分，摸出每个白球记-2分.用X 表示一次“操作”完成后，最后摸到的两个球的分数之和，求X 的分布列及数学期望. 【答案】（1）112（2）35（3）分布列见解析，110− 【解析】【分析】（1）结合组合数知识，根据概率的乘法和加法公式求解即可； （2）利用条件概率计算即可；（3）确定X 的所有可能取值，求出每个值对应的概率，即可得分布列，代入数学期望公式计算即可. 【小问1详解】设“从甲箱摸出两个球为同色”为事件A ，“从乙箱摸出一个球为红色”为事件B ，“从丙箱摸出一个球为红色”为事件C ，“一次操作完成后，最后摸出的两个球均为白色”为事件D ，则222224C C 1()C 3P A +==，所以2()1()3P A P A =−=， 1314C 3()C 4P B ==，所以1()1()4P B P B =−=，1214C 1()C 2P C ==所以1()1()2P C P C =−=，所以()222322222555C C C 13121134C 4C 32C 12P D =××+×+××=. 【小问2详解】设“这两个球是从丙箱中摸出”为事件E ，则()()()22322255C C 13134C 4C 3.1512P DE P ED P D ××+×===∣【小问3详解】由题意知，X 的所有可能值为2,1,4−−，()2222332422225555C C C C 131********C 4C 32C 2C 60P X ==××+×+××+×= ， ()1412P X =−=，()()()231811241601215P X P X P X =−=−=−=−=−−=，所以X 的分布列为所以()2381121460151210E X =×−×−×=−. 22. 已知函数()()22ln 1(1)f x x a x =++−，其中a 为常数. （1）若1a =−，求函数()f x 在其定义域内的单调区间； （2）证明：对任意*N n ∈，都有：22112ln n nn n−+<； （3）证明：对任意*N n ∈，都有：2223521123n n −++++< 【答案】（1）单调递增区间为(−；单调递减区间为)+∞（2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】【分析】（1）对()f x 求导，利用导数与函数单调性的关系求解即可； （2）令1a =，利用导数证得()22ln 12x x x +>−+，从而令1x n=即可得证； （3）法一：利用（2）中结论，结合累加法推得()222352112ln 123n n n −++++<+ ，再构造函数()12ln h t t t t=−+，利用导数证得12ln t t t <−，从而得证. 法二：利用（2）中结论，结合累加法推得()222352112ln 123n n n−++++<+ ，再构造函数()22ln 1g t t t t =−+，利用导数证得12ln t t t<−，从而得证.【小问1详解】若1a =−，则()()22ln 1(1)f x x x =+−−， 此时()f x 的定义域为()()()2222{1},2111x x x f x x x x −−>−=−−=′++，令()0f x ′=得x =或x =，故当(x ∈−时，()0f x '>，此时()f x 单调递增；当)x ∈+∞时，()0f x ′<，此时()f x 单调递减；故()f x 的单调递增区间为(−；单调递减区间为)+∞.【小问2详解】当1a =时，()()22ln 1(1)f x x x =++−， 此时()f x 的定义域为{1}x x >−，()()22221011x f x x x x =+−=>++′， 所以当1x >−时，()f x 始终单调递增，故当0x >时，()()0f x f >，即()22ln 1(1)1x x ++−>，即()22ln 12x x x +>−+，令()*1N x n n =∈，得21112ln 12n n n +>−+×，即21212ln n n n n +−>， 所以对于任意的*n ∈N ，都有22112ln n n n n−+<成立. 【小问3详解】 法一：由（2）可知，对于任意的*2211N ,2ln n n n n n−+∈<均成立， 所以222335421112ln2,2ln ,2ln ,,2ln 2233n n n n−+<<<< ， 则()222352134112ln22ln 2ln 2ln 2ln 12323n n n n n −+++++<++++=+ ，接下来只需要证())*ln 1N n n +<∈，令()12ln h t t t t =−+，其中1t =>，则()222222121(1)1t t t h t t t t t′−−−−=−−==恒小于0， 所以当1t >时，()h t 单调递减，则()()12ln1110h t h <=−+=，于是，当1t >时，12ln t t t <−恒成立，即())*ln 1N n n +<∈恒成立.所以)*22235211N 23n n n −++++<∈ . 法二： 由（2）可知，对于任意的*2211N ,2ln n n n n n−+∈<均成立，所以22233521112ln2,2ln ,,2ln 223n n n n−+<<<< ， 则()222352134112ln22ln 2ln 2ln 2ln 12323n n n n n −+++++<++++=+ ，接下来只需要证())*ln 1N n n +<∈，令()22ln 1g t t t t =−+，其中1t =>，则()2ln 22g t t t ′=−+，令()()2ln 22t g t t t ϕ′==−+，则()()2122t t t t ϕ−′=−=， 当1t >时，()0t ϕ′<，则()t ϕ在()1,+∞上单调递减，即()g t ′在()1,+∞上单调递减，故()()12ln1220g t g ′′<=−+=，则()g t 在()1,+∞上单调递减， 所以当1t >时，()()12ln1110g t g <=−+=，于是当1t >时，22ln 1t t t <−恒成立，即())*ln 1N n n +<∈恒成立，所以)*22235211N 23n n n −++++<∈ . 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用； 二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理．。

2020年广东省珠海市数学高二(下)期末学业水平测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1． “0m <”是“函数2()log (1)f x m x x =+≥存在零点”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】显然由于21,log 0x x ≥≥，所以当m<0时，函数f( x)= m+log 2x （x≥1）存在零点;反之不成立，因为当m=0时，函数f(x)也存在零点，其零点为1，故应选A ．2．从装有4粒大小、形状相同，颜色不同的玻璃球的瓶中，随意一次倒出若干粒玻璃球（至少一粒），则倒出奇数粒玻璃球的概率比倒出偶数粒玻璃球的概率（ ） A ．小 B ．大 C ．相等 D ．大小不能确定【答案】B 【解析】试题分析：四种不同的玻璃球，可设为,,,A B C D ，随意一次倒出一粒的情况有4种，倒出二粒的情况有6种，倒出3粒的情况有4种，倒出4粒的情况有1种，那么倒出奇数粒的有8种，倒出偶数粒的情况有7种，故倒出奇数粒玻璃球的概率比倒出偶数粒玻璃球的概率大. 考点：古典概型. 3．数列0，75-，135，6317-，…的一个通项公式是( ) A ．()312111n n n +--+ B ．()32111nn n --+C ．()312111n n n ---- D ．()32111nn n ---【答案】A 【解析】在四个选项中代n=2,选项B,D 是正数，不符，A 选项值为75-，符合,C 选项值为73-，不符．所以选A.【点睛】对于选择题的选项是关于n 的关系式，可以考虑通过赋特殊值检验法，来减少运算，或排除选项． 4．有3位男生，3位女生和1位老师站在一起照相，要求老师必须站中间，与老师相邻的不能同时为男生或女生，则这样的排法种数是（ ） A ．144 B ．216C ．288D ．432【答案】D【解析】先排与老师相邻的:11233218C C A = ,再排剩下的：44A ,所以共有4418432A = 种排法种数，选D.点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法. 5．已知复数34,z i i =+为虚数单位，z 是z 的共轭复数，则iz=（ ） A ．4355i -+ B ．4355i -- C ．432525i -+ D ．432525i -- 【答案】C 【解析】i i 3i 434i 25z -==- ，选C. 6．甲、乙两支女子曲棍球队在去年的国际联赛中，甲队平均每场进球数为3.2，全年比赛进球个数的标准差为3；乙队平均每场进球数为1.8，全年比赛进球数的标准差为0.3，下列说法中，正确的个数为（ ） ①甲队的进球技术比乙队好；②乙队发挥比甲队稳定； ③乙队几乎每场都进球；④甲队的表现时好时坏. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】D 【解析】分析：根据甲队比乙队平均每场进球个数多，得到甲对的技术比乙队好判断①；根据两个队的标准差比较，可判断甲队不如乙队稳定；由平均数与标准差进一步可知乙队几乎每场都进球，甲队的表现时好时坏.详解：因为甲队每场进球数为3.2，乙队平均每场进球数为1.8，甲队平均数大于乙队较多，所以甲队技术比乙队好，所以①正确；因为甲队全年比赛进球个数的标准差为3，乙队全年进球数的标准差为0.3，乙队的标准差小于甲队，所以乙队比甲队稳定，所以②正确；因为乙队的标准差为0.3，说明每次进球数接近平均值，乙队几乎每场都进球，甲队标准差为3，说明甲队表现时好时坏，所以③④正确， 故选D.点睛：本题考查了数据的平均数、方差与标准差，其中数据的平均数反映了数据的平均水平，方差与标准差反映了数据的稳定程度，一般从这两个方面对数据作出相应的估计，属于基础题.7．已知各项不为0的等差数列{}n a ，满足273110a a a --=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则68b b = （ ）A ．2B ．4C ．8D ．16【答案】B 【解析】根据等差数列的性质得：2311773112,0a a a a a a +=--= ，变为：2772a a = ，解得772,0a a == （舍去），所以772b a == ，因为数列{}n b 是等比数列，所以2268774b b b a === ，故选B.8．如果函数()y f x =在[,]a b 上的图象是连续不断的一条曲线，那么“()()0f a f b ⋅<”是“函数()y f x =在(,)a b 内有零点”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】由零点存在性定理得出“若()()0f a f b ⋅<，则函数()y f x =在(,)a b 内有零点”举反例即可得出正确答案. 【详解】由零点存在性定理可知，若()()0f a f b ⋅<，则函数()y f x =在(,)a b 内有零点而若函数()y f x =在(,)a b 内有零点，则()()0f a f b ⋅<不一定成立，比如2()f x x =在区间(2,2)-内有零点，但(2)(2)0f f -⋅>所以“()()0f a f b ⋅<”是“函数()y f x =在(,)a b 内有零点”的充分而不必要条件 故选：A 【点睛】本题主要考查了充分不必要条件的判断，属于中档题.9．函数12(0,1)x y a a a -=+>≠的图像恒过定点A ，若定点A 在直线1x ym n+=()0,0m n >>上，则3m n +的最小值为（ ）A ．13B ．14C ．16D ．12【答案】D 【解析】 【详解】分析：利用指数型函数的性质可求得定点()1,3A ，将点A 的坐标代入1x ym n+=，结合题意，利用基本不等式可得结果.详解：1x =Q 时，函数12(0,1)x y aa a -=+>≠值恒为3，∴函数12(0,1)x y a a a -=+>≠的图象恒过定点()1,3A ，又点A 在直线1x y m n +=上，131m n∴+=， 又(),0,331m n m n m n >∴+=+⋅()133m n m n ⎛⎫=+⋅+ ⎪⎝⎭933n m m n =+++96212n mm n≥+⋅=，（当且仅当3m n =时取“=”）， 所以，3m n +的最小值为12，故选D.点睛：本题主要考查指数函数的性质，基本不等式求最值，属于中档题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）. 10．已知双曲线，则的渐近线方程为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的性质，即可求出。