高考高考数学二轮复习小题专练作业(二)平面向量、复数理

高考数学二轮复习 小题专项练习（二）平面向量、复数与框图理一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2021·成都第三次诊断性检测]若复数z ＝a ＋i 1－i(i 是虚数单位)为纯虚数，则实数a 的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．22．[2021·银川一中第二次模拟考试]若两个单位向量a ，b 的夹角为120°，则|2a ＋b|＝( )A ．2B ．3C. 2D.33．[2021·合肥市高三第三次教学质量检测]运行如图所示的程序框图，则输出的s 等于( )A ．－10B ．－3C ．3D ．14．[2021·山东沂水期中]若复数z ＝i20201－i 2(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z －＝( ) A ．1＋i B ．iC ．－12i D.12i 5．[2021·百校联盟四月联考]设复数z 满足z －i z ＝3＋i ，则z －＝( ) A.15＋25i B ．－15＋25iC.15－25i D ．－15－25i6．[2021·河南新乡第三次模拟测试]已知复数z1，z2在复平面内对应的点分别为(2，－1)，(0，－1)，则z1z2＋|z2|＝( )A ．2＋2iB ．2－2iC ．－2＋iD ．－2－i7．[2021·宁夏六盘山高三年级第三次模拟]执行下面的程序框图，则输出K 的值为( )C ．100D ．1018．[2021·安徽池州一中5月月考]设点O 在△ABC 的内部，且有AD →＝32(OB →＋OC →)，则△ABC 的面积与△BOC 的面积之比为( )A ．3 B.13 C ．2 D.129．[2021·银川一中第二次模拟]20世纪70年代，流行一种游戏——角谷猜想，规则如下：任意写出一个自然数n ，按照以下的规律进行变换：假如n 是个奇数，则下一步变成3n ＋1；假如n 是个偶数，则下一步变成n 2，这种游戏的魅力在于不管你写出一个多么庞大的数字，最后必定会落在谷底，更准确地说是落入底部的循环，而永久也跳不出那个圈子．下列程序框图确实是依照那个游戏而设计的，假如输出的i 值为6，则输入的n 值为( )A ．5B ．16C ．5或32D ．4或5或3210．[2021·河南洛阳第三次统考]在△ABC 中，点P 满足BP→＝2PC →，过点P 的直线与AB ，AC 所在直线分别交于点M ，N ，若AM→＝mAB →，AN →＝nAC→(m>0，n>0)，则m ＋2n 的最小值为( ) A ．3 B ．4宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。

小题专项练习(二) 平面向量、复数与框图已知复数z ＝a 2＋i ＋2＋i5的实部与虚部的和为设复数z 满足z －i z＝3．[2018·广西陆川第二次质量检测试卷]下列程序框图中，输出的A现将该问题以程序框图给出，执行该程序框图，．[2018·江苏东台中学质量监测]已知向量a ，b ，c 满足的夹角的正切值为－13，|b |＝1，则＝a＋＋2＝a＋a＋2是纯虚数．1，故选C.＝4a2＋4a·b＋b2＋4cos120°＋1＝3＝a－＋－＋2a－a i5＋2＋i52a＋21－a第五次循环，A ＝116，i ＝6；第六次循环，A ＝119，i ＝7；第七次循环，A ＝122，i ＝8；第八次循环，A ＝125，i ＝9；第九次循环，A ＝128，i ＝10；第十次循环，A ＝131，i ＝11；输出131，故选C.10．A 由BP →＝2PC → 得 AP →－AB →＝2(AC →－AP →)，∴AP →＝13(AB →＋2AC →)＝13m AM →＋23n AN →，∵P ，M ，N 三点共线， ∴13m ＋23n＝1， ∴m ＋2n ＝(m ＋2n )⎝ ⎛⎭⎪⎫13m ＋23n ＝13＋2m 3n ＋2n 3m ＋43≥53＋249＝3，当且仅当m ＝n 时，等号成立，∴m ＋2n 的最小值为3，故选A. 11．A 取BC 的中点D ， ∵AB →＋PB →＋PC →＝0， ∴AB →＝－(PB →＋PC →)＝－2PD →，∴AB ∥PD ，且|PD →|＝12|AB →|＝1，又∵|PC →|＝|PB →|＝2，D 为BC 的中点， ∴PD ⊥BC ， ∴BC ＝23，∴S △PBC ＝12×23×1＝3，故选A.12．D点D 是线段BC 上一点， 设BD →＝mBC →，∵M 为AD 的中点， ∴BM →＝12BA →＋12BD →＝－12AB →＋m 2BC →＝－12AB →＋m 2(AC →－AB →)。

第二讲 复数、平面向量微专题1 复数常考常用结论1．已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(1)当b ＝0时，z ∈R ；当b ≠0时，z 为虚数；当a ＝0，b ≠0时，z 为纯虚数． (2)z 的共轭复数z ̅＝a －b i. (3)z 的模|z |＝√a 2+b 2. 2．已知i 是虚数单位，则 (1)(1±i)2＝±2i ，1+i 1−i ＝i ，1−i1+i ＝－i.(2)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i.保 分 题1.[2022·新高考Ⅱ卷](2＋2i)(1－2i)＝( ) A ．－2＋4i B ．－2－4i C ．6＋2i D ．6－2i 2．[2022·全国甲卷]若z ＝1＋i ，则|i z ＋3z ̅|＝( ) A ．4√5 B ．4√2 C ．2√5D ．2√23．[2022·全国乙卷]已知z ＝1－2i ，且z ＋a z ̅＋b ＝0，其中a ，b 为实数，则( ) A ．a ＝1，b ＝－2 B ．a ＝－1，b ＝2 C ．a ＝1，b ＝2 D ．a ＝－1，b ＝－2提 分 题例1 (1)[2022·福建漳州一模]已知z ＝|√3i －1|＋11+i，则在复平面内z 对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(2)[2022·山东潍坊二模](多选)若复数z 1＝2＋3i ，z 2＝－1＋i ，其中i 是虚数单位，则下列说法正确的是( )A ．z1z 2∈RB.z 1·z 2̅̅̅̅̅̅̅̅＝z 1̅·z 2̅C ．若z 1＋m (m ∈R )是纯虚数，那么m ＝－2D ．若z 1，z 2在复平面内对应的向量分别为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ (O 为坐标原点)，则|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |＝5 听课笔记：【技法领悟】复数的代数运算的基本方法是运用运算法则，可以通过对代数式结构特征的分析，灵活运用i 的幂的性质、运算法则来优化运算过程．巩固训练11.[2022·山东泰安二模]已知复数z ＝3−i 1−2i，i 是虚数单位，则复数z ̅－4在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．[2022·河北保定二模](多选)已知复数z 满足方程(z 2－4)(z 2－4z ＋5)＝0，则( )A ．z 可能为纯虚数B ．方程各根之和为4C ．z 可能为2－iD ．方程各根之积为－20微专题2 平面向量常考常用结论1．平面向量的两个定理 (1)向量共线定理：向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b ＝λa . (2)平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底．2．平面向量的坐标运算设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，θ为a 与b 的夹角． (1)a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.(2)a ·b ＝|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2. (3)a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(4)|a |＝√a ·a ＝√x 12+y 12.(5)cos θ＝a·b|a ||b |＝1212√x 1+y 1 √x 2+y 2.保 分 题1.△ABC 中，E 是边BC 上靠近B 的三等分点，则向量AE⃗⃗⃗⃗⃗ ＝( ) A ．13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B ．13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C ．23AB⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D ．23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2．[2022·全国乙卷]已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝√3，|a －2b |＝3，则a ·b ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 3．[2022·全国甲卷]已知向量a ＝(m ，3)，b ＝(1，m ＋1)，若a ⊥b ，则m ＝________．提 分 题例2 (1)[2022·河北石家庄二模]在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别是AD ，CD 的中点，若BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝a ，BN ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝b ，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝( ) A ．34a ＋23b B ．23a ＋23bC ．34a ＋34bD ．23a ＋34b(2)[2022·山东济宁一模]等边三角形ABC 的外接圆的半径为2，点P 是该圆上的动点，则PA ⃗⃗⃗⃗ ·PB⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ 的最大值为( ) A ．4 B ．7 C ．8 D ．11 听课笔记：【技法领悟】求解向量数量积最值问题的两种思路1．直接利用数量积公式得出代数式，依据代数式求最值．2．建立平面直角坐标系，通过坐标运算得出函数式，转化为求函数的最值．巩固训练21.[2022·山东济南二模]在等腰梯形ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝－2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，M 为BC 的中点，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝( )A ．12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ B ．34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ C ．34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AD⃗⃗⃗⃗⃗ D ．12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AD⃗⃗⃗⃗⃗ 2．[2022·福建漳州二模]已知△ABC 是边长为2的正三角形，P 为线段AB 上一点(包含端点)，则PB⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为( ) A ．[－14，2] B ．[－14，4] C ．[0，2]D ．[0，4]第二讲 复数、平面向量微专题1 复数保分题1．解析：(2＋2i)(1－2i)＝2－4i ＋2i －4i 2＝2－2i ＋4＝6－2i.故选D. 答案：D2．解析：因为z ＝1＋i ，所以z ̅＝1－i ，所以i z ＋3z ̅＝i(1＋i)＋3(1－i)＝2－2i ，所以|i z ＋3z ̅|＝|2－2i|＝√22+(−2)2＝2√2.故选D. 答案：D3．解析：由z ＝1－2i 可知z ̅＝1＋2i.由z ＋a z ̅＋b ＝0，得1－2i ＋a (1＋2i)＋b ＝1＋a ＋b ＋(2a －2)i ＝0.根据复数相等，得{1+a +b =0，2a −2=0，解得{a =1，b =−2.故选A.答案：A提分题[例1] 解析：(1)∵z ＝|√3i －1|＋11+i ＝ √(√3)2+(−1)2+1−i1−i 2＝2＋1−i 2＝52−12i ，∴复平面内z 对应的点(52，－12)位于第四象限． (2)对于A ，z1z 2＝2+3i −1+i＝(2+3i )(−1−i )(−1+i )(−1−i )＝1−5i 2＝12−52i ，A 错误；对于B ，∵z 1·z 2＝(2＋3i)(－1＋i)＝-5-i ，∴z 1·z 2̅̅̅̅̅̅̅̅＝－5＋i ；又z 1̅·z 2̅＝(2－3i)(－1－i)＝-5+i ，∴z 1·z 2̅̅̅̅̅̅̅̅＝z 1̅·z 2̅，B 正确；对于C ，∵z 1＋m ＝2＋m ＋3i 为纯虚数，∴m ＋2＝0，解得：m ＝－2，C 正确； 对于D ，由题意得：OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(2，3)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－1，－1)，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－3，－4)，∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |＝√9+16＝5，D 正确．答案：(1)D (2)BCD [巩固训练1]1．解析：z ＝3−i1−2i ＝(3−i )(1+2i )(1−2i )(1+2i )＝5+5i 5＝1＋i ，则z ̅－4＝1－i －4＝－3－i ，对应的点位于第三象限．故选C.答案：C2．解析：由(z 2－4)(z 2－4z ＋5)＝0，得z 2－4＝0或z 2－4z ＋5＝0， 即z 2＝4或(z －2)2＝－1，解得：z ＝±2或z ＝2±i ，显然A 错误，C 正确； 各根之和为－2＋2＋(2＋i)＋(2－i)＝4，B 正确； 各根之积为－2×2×(2＋i)(2－i)＝－20，D 正确． 答案：BCD微专题2 平面向量保分题1．解析：因为点E 是BC 边上靠近B 的三等分点，所以BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )＝23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ .故选C. 答案：C2．解析：将|a －2b |＝3两边平方，得a 2－4a ·b ＋4b 2＝9.因为|a |＝1，|b |＝√3，所以1－4a ·b ＋12＝9，解得a ·b ＝1.故选C.答案：C3．解析：由a ⊥b ，可得a ·b ＝(m ，3)·(1，m ＋1)＝m ＋3m ＋3＝0，所以m ＝－34. 答案：－34提分题[例2] 解析：(1)如图所示，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝m ，AD⃗⃗⃗⃗⃗ ＝n ，且BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝x a ＋y b ，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝x a ＋y b ＝x (12n －m )＋y (n －12m )＝(12x ＋y )n －(x ＋12y )m ， 又因为BD⃗⃗⃗⃗⃗ ＝n －m ， 所以{12x +y =1x +12y =1，解得x ＝23，y ＝23，所以BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝23a ＋23b . 故选B.(2)如图，等边三角形ABC ，O 为等边三角形ABC 的外接圆的圆心，以O 为原点，AO 所在直线为y 轴，建立直角坐标系．因为AO ＝2，所以A (0，2)，设等边三角形ABC 的边长为a ，则asin A ＝asin 60°＝2R ＝4，所以a ＝2√3，则B (－√3，－1)，C (√3，－1).又因为P 是该圆上的动点，所以设P (2cos θ，2sin θ)，θ∈[0，2π)， PA ⃗⃗⃗⃗ ＝(－2cos θ，2－2sin θ)，PB⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－√3－2cos θ，－1－2sin θ)，PC ⃗⃗⃗⃗ ＝(√3－2cos θ，－1－2sin θ)，PA ⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ ＝－2cos θ(－√3－2cos θ)＋(2－2sin θ)(－1－2sin θ)＋(－√3－2cos θ)(√3－2cos θ)＋(－1－2sin θ)(－1－2sin θ)＝3＋1＋2sin θ＋2√3cos θ＝4＋4sin (θ＋π3)，因为θ∈[0，2π)，θ＋π3∈[π3，7π3)，sin (θ＋π3)∈[－1，1]，所以当sin (θ＋π3)＝1时，PA ⃗⃗⃗⃗ ·PB⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ 的最大值为8.故选C.答案：(1)B (2)C [巩固训练2]1．解析：取AD 中点N ，连接MN ，∵AB⃗⃗⃗⃗⃗ ＝－2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AB ∥CD ，|AB |＝2|CD |， 又M 是BC 中点，∴MN ∥AB ，且|MN |＝12(|AB |＋|CD |)＝34|AB |， ∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AN ⃗⃗⃗⃗⃗ +NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，故选B. 答案：B 2．解析：以AB 中点O 为坐标原点，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OC⃗⃗⃗⃗⃗ 正方向为x ，y 轴可建立如图所示平面直角坐标系，则A (－1，0)，B (1，0)，C (0，√3)，设P (m ，0)(－1≤m ≤1)，∴PB⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1－m ，0)，PC ⃗⃗⃗⃗ ＝(－m ，√3)， ∴PB⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ ＝m 2－m ＝(m －12)2－14， 则当m ＝12时，(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ )min ＝－14；当m ＝－1时，(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ )max ＝2； ∴PB⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为[－14，2].故选A. 答案：A。

小题专练·作业(二) 平面对量、复数1．(2024·全国卷Ⅰ)设z ＝1－i1＋i＋2i ，则|z |＝( ) A ．0 B.12 C ．1D. 2解析 解法一：因为z ＝1－i 1＋i ＋2i ＝1－i 21＋i 1－i ＋2i ＝－2i2＋2i ＝i ，所以|z |＝0＋12＝1。

故选C 。

解法二：因为z ＝1－i 1＋i ＋2i ＝1－i ＋2i 1＋i 1＋i ＝－1＋i 1＋i ，所以|z |＝|－1＋i1＋i |＝|－1＋i||1＋i|＝22＝1，故选C 。

答案 C2.(2024·福州联考)假如复数z ＝2－1＋i，则( ) A.z 的共轭复数为1＋i B ．z 的实部为1 C.|z |＝2 D ．z 的实部为－1 解析 因为z ＝2－1＋i ＝2－1－i －1＋i －1－i ＝－2－2i2＝－1－i ，所以z 的实部为－1，故选D 。

答案 D3.(2024·福建质检)庄重漂亮的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征。

正五角星是一个特别美丽的几何图形，且与黄金分割有着亲密的联系：在如图所示的正五角星中，以A ，B ，C ，D ，E 为顶点的多边形为正五边形，且PT AT ＝5－12。

下列关系中正确的是( )A.BP →－TS →＝5＋12RS →B.CQ →＋TP →＝5＋12TS →C.ES →－AP →＝5－12BQ →D.AT →＋BQ →＝5－12CR →解析 结合题目中的图形可知BP →－TS →＝TE →－TS →＝SE →＝25－1RS →＝5＋12RS →。

故选A 。

答案 A4.(2024·贵阳摸底)如图，在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形ABCD 的顶点D 被阴影遮住，找出D 点的位置，AB →·AD →的值为( )A.10 B ．11,C.12 D ．13解析 以点A 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，A (0,0)，B (4,1)，C (6,4)，依据四边形ABCD 为平行四边形，可以得到D (2,3)，所以AB →·AD →＝(4,1)·(2,3)＝8＋3＝11。

2.复数、平面向量考向1 复数的概念、运算及几何意义1.(2022·河南开封一模)设(1+i 4n+3)z=i,n ∈Z ,则在复平面内,复数z 对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.(2022·全国甲·理1)若z=-1+√3i,则zz -1=( )A.-1+√3iB.-1-√3iC.-13+√33iD.-13−√33i3.(2022·全国乙·理2)已知z=1-2i,且z+a z +b=0,其中a ,b 为实数,则( ) A.a=1,b=-2 B.a=-1,b=2 C.a=1,b=2 D.a=-1,b=-24.(2022·山东潍坊一模)已知复数z 满足z+3=4z +5i,则在复平面内复数z 对应的点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 5.(2022·新高考Ⅰ·2)若i(1-z )=1,则z+z =( ) A.-2B.-1C.1D.2考向2 平面向量的概念及线性运算6. (2022·河南名校联盟一模)如图,在△ABC 中,点M 是AB 上的点且满足AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,P 是CM 上的点,且MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =15MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.12a +14b B.35a +15b C.14a +12bD.310a +35b7.(2022·河南名校联盟一模)下列关于平面向量的说法正确的是( ) A.若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,则点A ,B ,C ,D 必在同一直线上 B.若a ∥b 且b ∥c ,则a ∥cC.若G 为△ABC 的外心,则GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +GB⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 D.若O 为△ABC 的垂心,则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 8.(2022·新高考Ⅰ·3)在△ABC 中,点D 在边AB 上,BD=2DA.记CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ,则CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.3m -2nB.-2m +3nC.3m +2nD.2m +3n9.(2022·河南许昌质检)正方形ABCD 中,P ,Q 分别是边BC ,CD 的中点,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +y BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x=( ) A.1113B.65C.56D.3210.(2022·河南名校联盟一模)如图,在同一个平面内,向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α,且tan α=7,向量OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为45°,且|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2.若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OB ⃗⃗⃗⃗⃗ (m ∈R ,n ∈R ),则n-m= . 考向3 平面向量的数量积11.(2022·新高考Ⅱ·4)已知向量a =(3,4),b =(1,0),c =a +t b ,若<a ,c >=<b ,c >,则实数t=( ) A.-6 B.-5C.5D.612. (2022·新高考八省第二次T8联考)如图,在同一平面内沿平行四边形ABCD 两边AB ,AD 向外分别作正方形ABEF ,正方形ADMN ,其中AB=2,AD=1,∠BAD=π4,则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FN ⃗⃗⃗⃗⃗=( )A.-2√2B.2√2C.0D.-1 13.(2022·山东威海期末)已知向量a ,b 满足|a |=|b |=2,且a -b 在a 上的投影为2+√3,则<a ,b >=( )A.π6 B.π3C.2π3D.5π614.(2022·山东潍坊期末)已知正方形ABCD 的边长为2,MN 是它的内切圆的一条弦,点P 为正方形四条边上的动点,当弦MN 的长度最大时,PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是( ) A.[0,1]B.[0,√2]C.[1,2]D.[-1,1]15.(2022·山东济宁一模)等边三角形ABC 的外接圆的半径为2,点P 是该圆上的动点,则PA⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为( ) A.4 B.7C.8D.111 3,且|a|=1,|b|=3,则(2a+b)·b=.16.(2022·全国甲·理13)设向量a,b的夹角的余弦值为2.复数、平面向量1.B 解析: ∵i 4n+3=i 4n ·i 3=-i, ∴(1+i 4n+3)z=(1-i)z=i, ∴z=i1-i =i (1+i )(1-i )(1+i )=-12+12i,∴复数z 在复平面内对应的点为-12,12位于第二象限. 故选B . 2.C 解析: zz -1=√3i(-1+√3i )(-1-√3i )-1=√3i(-1)2+(√3)2-1=-13+√33i,故选C .3.A 解析: ∵z=1-2i, ∴z =1+2i,∴z+a z +b=1-2i +a (1+2i)+b=a+b+1+(2a-2)i =0, ∴{a +b +1=0,2a -2=0, 解得{a =1,b =-2.故选A .4.A 解析: 设z=x+y i,x ,y ∈R ,则z =x-y i,由z+3=4z +5i 得(x+y i)+3=4(x-y i)+5i,即(x+3)+y i =4x+(5-4y )i,于是得{x +3=4x ,y =5-4y ,解得x=y=1,则有z=1+i 对应的点为(1,1),所以在复平面内复数z 对应的点在第一象限. 故选A .5.D 解析: ∵i(1-z )=1, ∴z=i -1i=1+i, ∴z =1-i . ∴z+z =2. 故选D .6.B 解析: AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +15MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +15(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=45AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +15AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =45×34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +15AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =35a +15b .7.D 解析: 若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,则直线AB 与CD 平行或重合,∴点A ,B ,C ,D 不一定在同一直线上,A 错;当b =0时,满足a ∥b 且b ∥c ,不能得出a ∥c ,B 错; 当G 为△ABC 的重心,则GA⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,C 错; 若O 为△ABC 的垂心,则OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 即OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0,∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,同理OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴D 正确,故选D . 8.B解析: 如图.∵BD=2DA ,∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3(CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ . 又CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ,所以CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-2m +3n . 故选B .9.C 解析: ∵P ,Q 分别是正方形边BC ,CD 的中点,∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +A D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +y BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =x (AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )+y -12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =x-12y AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(x+y )AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴{x -12y =1,x +y =12,∴{x =56,y =-13,故选C . 10.12解析: 由题意在题图中以O 为原点,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向为x 轴非负半轴,过O 与OA 垂直向上为y 轴正方向建立平面直角坐标系(图略),则A (1,0),∵向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α, tan α=7,∴cos α=√210,sin α=7√210, 又|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2,∴C15,75,cos(α+45°)=-35,sin(α+45°)=45,∴B -35,45, ∵OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴15,75=m (1,0)+n -35,45,∴{m -35n =15,45n =75,解得{m =54,n =74,∴n-m=12. 11.C 解析: 由题意得c =(3+t ,4),cos <a ,c >=cos <b ,c >,故9+3t+16|c |×5=3+t|c |×1,解得t=5.故选C .12.C 解析: AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FN ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +A A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0+|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ||FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos π4+|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos 3π4+0=√2−√2=0.选C . 13.D 解析: (a -b )·a =|a -b ||a |cos <a -b ,a >=(2+√3)·2, 即a 2-a ·b =4+2√3,a ·b =-2√3.所以|a ||b |cos <a ,b >=-2√3,cos <a ,b >=-√32,<a ,b >=5π6.14.A 解析: 由题当弦MN 长度最大时,即MN 为直径,设弦MN 的中点为O ,由题意,PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=PO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−14MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=PO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2-1=|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2|-1,由1≤|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |≤√2,得PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是[0,1]. 15.C解析: 如图所示,建立平面直角坐标系,设△ABC 的边长为a ,则asinA =2R=4(R 为△ABC 外接圆半径),所以a=2√3,A (0,3),B (-√3,0),C (√3,0),△ABC 的外接圆的方程为x 2+(y-1)2=4,设P 点坐标为(2cos θ,1+2sin θ),θ∈R ,PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ (PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=4+2√3cos θ+2sin θ=4+4cos θ-π6≤8,当cos θ-π6=1时,等号成立.故选C .。

高考数学平面向量及复数专项训练试题一、选择题（本题每小题5分，共60分）1．设向量(cos 23,cos67),(cos53,cos37),a b a b =︒︒=︒︒⋅=则 （ ）AB ．12C ．D ．12-2．如果复数212bi i-+（其中i 为虚数单位，b 为实数）的实部和虚部是互为相反数，那么b 等于（ ）A B ．23C ．2D ． 23-3．220041i i i ++++的值是 （ ） A ．0 B ．1- C ．1 D ．i 4．若(2,3)a =-, (1,2)b =-，向量c 满足c a ⊥,1b c ⋅=,则c 的坐标是 （ ） A ．(3,2)- B ．(3,2) C ．(3,2)-- D ．(3,2)- 5．使4()a i R +∈(i 为虚数单位）的实数a 有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个6．设e 是单位向量，3,3,3AB e CD e AD ==-=，则四边形ABCD 是（ ）A ．梯形B ．菱形C ．矩形D ．正方形7．已知O 、A 、B 三点的坐标分别为(0,0)O ，(3,0)A ，(0,3)B ，点P 在线段AB 上，且(0AP t AB =≤t ≤1),则OA OP ⋅的最大值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．128．已知2,1a b ==，a 与b 的夹角为60︒，则使向量a b λ+与2a b λ-的夹角为钝角的实数λ的取值范围是 （ ）A ． (,1-∞--B ． (1)-++∞C ． (,1(13,)-∞--++∞D ． (11--+9．若z 为复数，下列结论正确的是 （ ）A ．若12,z z C ∈且120z z ->且12z z >B ．22z z =C ．若0,z z -=则z 为纯虚数D ．若2z 是正实数，那么z 一定是非零实数10．若sin 211)i θθ-++是纯虚数，则θ的值为 （ ） A ．2()4k k Z ππ-∈ B ．2()4k k Z ππ+∈ C ．2()4k k Z ππ±∈ D ．()24k k Z ππ+∈11．已知△ABC 的三个顶点的A 、B 、C 及平面内一点P 满足PA PB PC AB ++=，下列结论中正确的是 （ ） A ．P 在△ABC 内部 B ．P 在△ABC 外部 C ．P 在AB 边所在直线上 D ．P 是AC 边的一个三等分点 12．复数z 在复平面上对应的点在单位圆上，则复数21zz+ （ ）A ．是纯虚数B ．是虚数但不是纯虚数C ．是实数D ．只能是零 二、填空题（本题每小题4分，共16分）13．已知复数z 满足等式：2||212z zi i -=+，则z= .14．把函数)2245y x x =-+的图象按向量a 平移后，得到22y x =的图象，且a ⊥b ，(1,1)c =-，4b c ⋅=，则b =_____________。

第2练 平面向量、复数(限时45分钟，满分80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2019·兰州二诊)复数z ＝(1＋i)2，则|z |＝ A ．0B ．1C ．2D ．3解析 由题得z ＝2i ，所以|z |＝2.故选C. 答案 C2．(2019·长春期末)(2＋2i)(1－2i)＝ A ．4－2iB ．－2iC ．4＋2iD.2i解析 由题意，根据复数的运算(2＋2i)(1－2i)＝2＋2－2i ＝4－2i.故选A. 答案 A3．(2019·全国卷Ⅱ)设z ＝i(2＋i)，则z －＝ A ．1＋2iB ．－1＋2iC ．1－2iD ．－1－2i解析 z ＝i(2＋i)＝2i ＋i 2＝－1＋2i ，所以z －＝－1－2i.故选D. 答案 D4．(2019·全国卷Ⅰ)设复数|z －i|＝1，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则 A ．(x ＋1)2＋y 2＝1 B ．(x －1)2＋y 2＝1 C ．x 2＋(y －1)2＝1D ．x 2＋(y ＋1)2＝1解析 设z ＝x ＋y i ，故而|z －i|＝|x ＋(y －1)i|＝x 2＋（y －1）2＝1，化简得x 2＋(y －1)2＝1.故选C.答案 C5．(2019·全国卷Ⅱ)已知向量a ＝(2，3)，b ＝(3，2)，则|a －b |＝ A. 2B ．2C ．5 2D ．50解析 由已知a －b ＝(2，3)－(3，2)＝(－1，1)，所以|a －b |＝（－1）2＋12＝ 2.故选A.答案 A6．(2019·昆明一检)设向量a ＝(x －1，x )，b ＝(－1，2)，若a ∥b ，则x ＝ A ．－32B ．－1C.23D.32解析 ∵a ∥b ，∴2(x －1)＋x ＝0，∴ x ＝23.故选C.答案 C7．(2019·全国卷Ⅰ)已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且(a －b )⊥b ，则a 和b 的夹角为 A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析 ∵(a －b )⊥b ，∴(a －b )·b ＝a ·b －b 2＝|a |·|b |cos θ－|b |2＝0，将|a |＝2|b |代入可得cosθ＝12，即夹角为π3.故选B.答案 B8．(2019·合肥质检)若向量a ，b 的夹角为120°，|a |＝1，|a －2b |＝7，则|b |＝ A.12B.72C ．1D ．2解析 因为|a －2b |2＝|a |2＋4|b |2－4|a ||b |cos 〈a ，b 〉， 又〈a ，b 〉＝120°，|a |＝1，|a －2b |＝7，所以7＝1＋4|b |2＋2|b |，解得|b |＝－32(舍去)或|b |＝1.故选C.答案 C9．(2019·烟台二模)已知a ，b 均为单位向量，其夹角为θ，则“θ∈⎝⎛⎭⎫π3，π”是“|a－b |>1”的A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析 因为|a －b |>1⇒(a －b )2>1⇒a 2－2a ·b ＋b 2>1⇒1－2×1×1cos θ＋1>1⇒cos θ<12⇒θ∈⎝⎛⎦⎤π3，π，所以“θ∈⎝⎛⎭⎫π3，π”是“|a －b |>1”的充分不必要条件．故选B. 答案 B10．(2019·晋城二模)已知向量a ，b 满足2a ＋b ＝(1，2m )，b ＝(1，m )，且a 在b 方向上的投影是255，则实数m ＝A ．士2B ．2C ．± 5D. 5解析 因为向量a ，b 满足2a ＋b ＝(1，2m )，b ＝(1，m )，所以a ＝⎝⎛⎭⎫0，m 2，a ·b ＝m 22，|b |(|a |cos θ)＝1＋m 2·255＝a ·b ＝m 22，所以5m 4－16m 2－16＝0，即(5m 2＋4)(m 2－4)＝0，解得m ＝±2.故选A.答案 A11．(2019·长春质监)已知向量a ＝(cos θ－2，sin θ)，其中θ∈R ，则|a |的最小值为 A ．1B ．2C. 5D ．3解析 因为a ＝(cos θ－2，sin θ)，所以|a |＝（cos θ－2）2＋sin 2θ＝1－4cos θ＋4 ＝5－4cos θ，因为θ∈R ，所以－1≤cos θ≤1， 故|a |的最小值为5－4＝1.故选A. 答案 A12．(2019·南昌二模)已知△ABC 中，AB ＝2，B ＝π4，C ＝π6，点P 是边BC 的中点，则AP →·BC →等于A ．1B ．2C ．3D ．4解析 在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C 得AB sin C ＝AC sin B ，即212＝AC22，解得AC＝22，因为AP →＝AB →＋AC →2，BC →＝AC →－AB →，所以AP →·BC →＝AB →＋AC →2·(AC →－AB →)＝12(AC →2－AB →2)＝12(8－4)＝2.故选B.答案 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．(2019·宁德质检)复数z ＝1＋2i1－i的实部为________． 解析 复数z ＝1＋2i 1－i ＝（1＋2i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝－1＋3i2＝－12＋32i ，则复数z 的实部为－12.答案 －1214．(2019·开封三模)设向量a ＝(x ，x ＋1)，b ＝(1，2)，且a ∥b ，则x ＝________． 解析 由题得2x －(x ＋1)＝0，所以x ＝1. 答案 115．(2019·石家庄二模)在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝1，AD ＝2，∠BAD ＝60°，若CE →＝ED →，DF →＝2FB →，则AE →·AF →＝________．解析 由题意，如图所示，设AB →＝a ，AD →＝b ，则|a |＝1，|b |＝2，又由CE →＝ED →，DF →＝2FB →，所以E 为CD 的中点，F 为BD 的三等分点， 则AE →＝b ＋12a ，AF →＝b ＋23(a －b )＝23a ＋13b ，所以AE →·AF →＝⎝⎛⎭⎫12a ＋b ·⎝⎛⎭⎫23a ＋13b ＝13a 2＋56a ·b ＋13b 2＝13×12＋56×1×2cos 60°＋13×22＝52. 答案 5216．(2019·泰安二模)如图，在△ABC 中，∠BAC ＝π3，AD →＝2DB →，P 为CD 上一点，且满足AP →＝mAC →＋12AB →，若△ABC 的面积为23，则|AP →|的最小值为________．解析 因为△ABC 的面积为23， 所以12|AB ||AC |sin A ＝23，∴12|AB ||AC |sin π3＝23，|AB ||AC |＝8， 因此AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos π3＝4，因为AP →＝mAC →＋12AB →＝mAC →＋34AD →，所以m ＋34＝1，m ＝14因此|AP →|2＝⎪⎪⎪⎪14AC →＋12AB →2＝116AC →2＋14AB →2＋14AC →·AB →＝116|AC →|2＋14|AB →|2＋1≥2×14|AC →|·12|AB →|＋1＝3， 当且仅当2|AC →|＝|AB →|＝4时取等号 即|AP →|≥3，|AP →|的最小值为 3. 答案 3。

层级一 第二练 复数、平面向量限时40分钟 满分80分一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1．(2020·昆明模拟)已知复数z ＝2－1＋i 则( )A ．z 的模为2B ．z 的实部为1C ．z 的虚部为－1D ．z 的共轭复数为1＋i解析：C [根据题意可知,2－1＋i＝2－1－i2＝－1－i,所以z 的虚部为－1,实部为－1,模为2,z 的共轭复数为－1＋i,故选C.]2．已知i 为虚数单位,a ∈R ,若2－ia ＋i 为纯虚数,则复数z ＝2a ＋2i 的模等于( )A. 2B.11C. 3D. 6解析：C [由题意可设2－ia ＋i＝t i,t ≠0,∴2－i ＝－t ＋ta i,∴⎩⎪⎨⎪⎧－t ＝2，ta ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝－2，a ＝12，∴z ＝2a ＋2i ＝1＋2i,∴|z |＝3,故选C.]3．(2019·全国Ⅱ卷)已知AB →＝(2,3),AC →＝(3,t ),|BC →|＝1,则AB →·BC →＝( ) A ．－3 B ．－2 C ．2D ．3解析：C [∵BC →＝AC →－AB →＝(3,t )－(2,3)＝(1,t －3), ∴|BC →|＝ 12＋t －32＝1,∴t ＝3,∴BC →＝(1,0),∴AB →·BC →＝(2,3)·(1,0)＝2.]4．(2019·北京卷)设点A ,B ,C 不共线,则“AB →与AC →的夹角为锐角”是“|AB →＋AC →|＞|BC →|”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：C [本题考查充要条件的概念与判断、平面向量的模、夹角与数量积,同时考查了转化与化归数学思想．∵A 、B 、C 三点不共线,∴|AB →＋AC →|＞|BC →|⇔|AB →＋AC →|＞|AB →－AC →|⇔|AB →＋AC →|2＞|AB →－AC →|2⇔AB →·AC →＞0⇔AB →与AC → 的夹角为锐角．故“AB →与AC →的夹角为锐角”是“|AB →＋AC →|>|BC →|”的充分必要条件,故选C.]5．(2020·南昌模拟)欧拉公式e i x＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位,被誉为“数学中的天桥”,根据欧拉公式可知,e π3i 表示的复数在复平面中位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：A [根据欧拉公式得eπ3i ＝cos π3＋isin π3＝12＋32i,它在复平面中对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32,位于复平面中的第一象限．] 6．(2019·吉林三模)已知z 是纯虚数,z ＋21－i是实数,那么z 等于( )A ．2iB ．iC ．－iD ．－2i解析：D [设z ＝a i(a ≠0,a ∈R ),则z ＋21－i ＝a i ＋21－i＝2＋a i 1＋i1－i 1＋i ＝2－a ＋2＋a i2,因为z ＋21－i是实数,所以2＋a ＝0⇒a ＝－2,故z ＝－2i.]7．(2020·兰州诊断考试)在△ABC 中,M 是BC 的中点,AM ＝1,点P 在AM 上且满足AP →＝2PM →,则PA →·(PB →＋PC →)等于( )A ．－49B ．－43C.43D.49解析：A [如图,∵AP →＝2PM →,∴AP →＝PB →＋PC →, ∴PA →·(PB →＋PC →)＝－PA →2,∵AM ＝1且AP →＝2PM →,∴|PA →|＝23,∴PA →·(PB →＋PC →)＝－49.]8．(多选题)下列命题正确的是( ) A ．若复数z 1,z 2的模相等,则z 1,z 2的共轭复数B ．z 1,z 2都是复数,若z 1＋z 2是虚数,则z 1不是z 2的共轭复数C ．复数z 是实数的充要条件是z ＝z －(z －是z 的共轭复数)D ．已知复数z 1＝－1＋2i,z 2＝1－i,z 3＝3－2i(i 是虚数单位),它们对应的点分别为A ,B ,C ,O 为坐标原点,若OC →＝xOA →＋yOB →(x ,y ∈R ),则x ＋y ＝1解析：BC [本题考查复数的基本概念和向量的坐标运算．对于A,z 1和z 2可能是相等的复数,故A 错误；对于B,若z 1和z 2是共轭复数,则相加为实数,不会为虚数,故B 正确；对于C,由a ＋b i ＝a －b i 得b ＝0,故C 正确；对于D,由题可知,A (－1,2),B (1,－1),C (3,－2),建立等式(3,－2)＝(－x ＋y,2x －y ),即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝3，2x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4，故D 错误．故选BC.]9．(2019·张家界三模)边长为2的等边△ABC 所在平面内一点M 满足CM →＝13CB →＋12CA →,则MA →·MB →＝( )A ．－89B.49C.69D.89解析：A [CA →·CB →＝2×2×cos π3＝2,MA →·MB →＝(CA →－CM →)·(CB →－CM →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12CA→－13CB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫23CB →－12CA →＝13CA →·CB →－14CA 2→－29CB 2→＋16CA →·CB →＝23－14×22－29×22＋26＝－89.] 10.在平行四边形ABCD 中,E ,F 分别是BC ,CD 的中点,DE 交AF 于H ,记AB →,BC →分别为a ,b ,则AH →＝( )A.25a －45b B.25a ＋45b C ．－25a ＋45bD ．－25a －45b解析：B [如图,过点F 作BC 的平行线交DE 于G , 则G 是DE 的中点,且GF →＝12EC →＝14BC →,∴GF →＝14AD →,易知△AHD ∽△FHG ,从而HF →＝14AH →,∴AH →＝45AF →,AF →＝AD →＋DF →＝b ＋12a ,∴AH →＝45⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12a ＝25a ＋45b ,故选B.]11．(2018·浙江卷)已知a ,b ,e 是平面向量,e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π3,向量b 满足b 2－4e ·b ＋3＝0,则|a －b |的最小值是( )A.3－1B.3＋1 C ．2D ．2－ 3解析：A [设e ＝(1,0),b ＝(x ,y ),则b 2－4e ·b ＋3＝0⇒x 2＋y 2－4x ＋3＝0⇒(x －2)2＋y 2＝1如图所示,a ＝OA →,b ＝OB →,(其中A 为射线OA 上动点,B 为圆C 上动点,∠AOx ＝π3.)∴|a －b |min ＝|CD |－1＝3－1.(其中CD ⊥OA .)]12．(2020·贵阳模拟)在等腰直角△ABC 中,∠ABC ＝90°,AB ＝BC ＝2,M ,N 为AC 边上的两个动点(M ,N 不与A ,C 重合),且满足|MN →|＝2,则BM →·BN →的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ 解析：C [不妨设点M 靠近点A ,点N 靠近点C ,以等腰直角三角形ABC 的直角边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系,如图所示,则B (0,0),A (0,2),C (2,0),线段AC 的方程为x ＋y －2＝0(0≤x ≤2)．设M (a,2－a ),N (a ＋1,1－a )(由题意可知0＜a ＜1),∴BM →＝(a,2－a ),BN →＝(a ＋1,1－a ),∴BM →·BN →＝a (a ＋1)＋(2－a )(1－a )＝2a 2－2a ＋2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋32,∵0＜a ＜1,∴由二次函数的知识可得BM →·BN →∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2.] 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13．(2020·潍坊模拟)复数z 1＝3a ＋5＋(10－a 2)i,z 2＝21－a＋(2a －5)i,若z 1＋z 2是实数,则实数a 的值为________．解析：z 1＋z 2＝3a ＋5＋(a 2－10)i ＋21－a＋(2a －5)i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋5＋21－a ＋[(a 2－10)＋(2a －5)]i＝a －13a ＋5a －1＋(a 2＋2a －15)i.∵z 1＋z 2是实数,∴a 2＋2a －15＝0,解得a ＝－5或a ＝3. ∵a ＋5≠0,∴a ≠－5,故a ＝3. 答案：314．(2019·全国Ⅲ卷)已知a ,b 为单位向量,且a ·b ＝0,若c ＝2a －5b ,则cos 〈a ,c 〉＝____________.解析：本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．因为c ＝2a －5b ,a ·b ＝0, 所以a ·c ＝2a 2－5a ·b ＝2,|c |2＝4|a |2－45a ·b ＋5|b |2＝9,所以|c |＝3, 所以cos 〈a ,c 〉＝a ·c |a |·|c |.＝21×3＝23.答案：2315．(双空填空题)设复数z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2 018＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋i 1－2i 2 019,其中i 为虚数单位,则z －的虚部是________,|z |＝________.解析：本题考查复数代数形式的乘除运算、乘方运算及复数的基本概念． ∵1－i 1＋i ＝1－i21＋i 1－i ＝－i, 2＋i 1－2i ＝2＋i 1＋2i 1－2i1＋2i＝i,∴z ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2 018＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋i 1－2i 2 019＝(－i)2 018＋i 2 019＝i 2＋i 3＝－1－i,∴z －＝－1＋i,则z －的虚部为1,|z |＝ 2. 答案：1216．(2019·天津卷)在四边形ABCD 中,AD ∥BC ,AB ＝23,AD ＝5,∠A ＝30°,点E 在线段CB 的延长线上,且AE ＝BE ,则BD →·AE →＝____________.解析：如图,过点B 作AE 的平行线交AD 于F , 因为AE ＝BE ,故四边形AEBF 为菱形．因为∠BAD ＝30°,AB ＝23,所以AF ＝2,即AF →＝25AD →.因为AE →＝FB →＝AB →－AF →＝AB →－25AD →,所以BD →·AE →＝(AD →－AB →)⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →－25AD →＝75AB →·AD →－AB →2－25AD →2＝75×23×5×32－12－10＝－1.答案：－1。