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Advances in Applied Mathematics 应用数学进展, 2023, 12(8), 3619-3630 Published Online August 2023 in Hans. https:///journal/aam https:///10.12677/aam.2023.128360文章引用: 朱开心, 庹清, 黄琦. 广义S-α1型块对角占优矩阵的判定及其谱分析[J]. 应用数学进展, 2023, 12(8): 3619-3630. DOI: 10.12677/aam.2023.128360广义S -α1型块对角占优矩阵的判定及其谱分析朱开心，庹 清*，黄 琦吉首大学数学与统计学院，湖南 吉首收稿日期：2023年7月18日；录用日期：2023年8月8日；发布日期：2023年8月17日摘 要利用G -函数的性质研究了一类新的广义块对角占优矩阵及其判定方法。
同时，利用该判定方法给出了分块矩阵特征值新的包含域。
最后，用数值算例说明了该判定方法的优越性。
关键词块H -矩阵，G -函数，特征值，广义S -α1型块对角占优矩阵The Determination and Spectrum of Generalized S -α1 Block Diagonally Dominant MatricesKaixin Zhu, Qing Tuo *, Qi HungCollege of Mathematics and Statistics, Jishou University, Jishou HunanReceived: Jul. 18th , 2023; accepted: Aug. 8th , 2023; published: Aug. 17th, 2023AbstractA new class of generalized block diagonally dominant matrix and its determination method are studied by using the properties of G-function. At the same time, a new bound for eigenvalues of block matrices was given and some examples are given to show the advantages of this new result.KeywordsBlock H -Matrix, G -Function, Eigenvalue, Generalized S -α1 Block Diagonally Dominant Matrix*通讯作者。
第六章矩阵的特征值和特征向量知识点梳理(一).相似的概念：1.定义：_______________________________________________________________________。
2.性质：(1).____________________________________________________________________。
(2).____________________________________________________________________。
(3).____________________________________________________________________。
(二).矩阵的特征值和特征向量1.定义：_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 2.求矩阵A的特征值和特征向量的步骤：(1).___________________________________________________________________________(2).______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________。
严格对角占优矩阵定义矩阵是线性代数中的基本概念之一，它是由若干个数排成的矩形阵列。
在实际应用中，矩阵广泛应用于各种数学、物理、工程和计算机科学等领域。
其中，严格对角占优矩阵是一类特殊的矩阵，它在数值计算和科学计算中具有重要的作用。
本文将详细介绍严格对角占优矩阵的定义、性质和应用。
一、严格对角占优矩阵的定义严格对角占优矩阵是一类具有特殊性质的矩阵。
它的定义如下：对于一个n阶矩阵A=(aij)，如果存在一个正整数p，使得对于任意的i∈[1,n]，都有|aii|>∑|aij|，其中j∈[1,n]，j≠i且j≠p，则称矩阵A是严格对角占优的。
其中，|aij|表示aij的绝对值，∑|aij|表示矩阵A第i行除去aii元素后，其余元素绝对值之和。
举个例子，下面是一个3阶的严格对角占优矩阵：A = [ 4 -1 0-1 4 -10 -1 4 ]可以看到，对于任意一个元素aii，都有|aii|>∑|aij|，其中j ≠i。
例如，当i=1时，|4|>|(-1)|+|0|=1，当i=2时，|4|>|(-1)|+|(-1)|=2，当i=3时，|4|>|(-1)|+|0|=1。
因此，矩阵A是严格对角占优的。
二、严格对角占优矩阵的性质严格对角占优矩阵具有以下性质：1.唯一性：严格对角占优矩阵是唯一的。
也就是说，如果一个矩阵A是严格对角占优的，那么它一定是唯一的。
2.可逆性：严格对角占优矩阵是可逆的。
也就是说，如果一个矩阵A是严格对角占优的，那么它一定是可逆的。
3.正定性：严格对角占优矩阵是正定的。
也就是说，如果一个矩阵A是严格对角占优的，那么它的所有特征值都是正实数。
4.稳定性：严格对角占优矩阵在数值计算中具有很好的稳定性。
也就是说，对于一个严格对角占优矩阵A，如果对其进行一些数值计算，得到的结果也是非常稳定的，不会受到舍入误差的影响。
三、严格对角占优矩阵的应用严格对角占优矩阵在数值计算和科学计算中具有广泛的应用。
---文档均为word 文档，下载后可直接编辑使用亦可打印---一、引言矩阵范数是一种的特殊的凸函数，是定义在线性空间上的．这个线性空间中的元素满足矩阵的数乘性质和矩阵的加法性质．这些元素是所有的m n ⨯型实矩阵．不同种类型的矩阵范数在这个线性空间上能够被引入． 矩阵Schatten -p 范数近些年来在图像修复中、图像修补、图像去噪等领域得到广泛的应用和研究错误!未找到引用源。
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，矩阵范数不等式在优化领域、几何研究中得到诸多的应用错误!未找到引用源。
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．本文尽可能系统性地总结了矩阵范数不等式和矩阵Schatten -p 范数的定义及其性质，并对范数不等式以及矩阵Schatten -p 范数的性质做出简单的证明，文章内容：约定文中的符号定义并给出相关的基础知识与定义；简单阐述矩阵Schatten -p 范数的性质及其定义并加以证明；给出几个矩阵范数不等式以及相关简洁证明；简单总结．二、基础知识为了更好地研究矩阵Schatten -p 范数和矩阵范数不等式，此处约定相应符号的意义并给出一些已有文献中的基础知识．对于线性空间（向量空间）V ，记作(),V F ，其中线性空间V 是数域F 上的．如果数域F 是明确的或上下文已所指明确的情况时，此线性空间又常记为V ．如线性空间(),n简记作n．定义1（赋范线性空间与范数）实值函数⋅是定义在线性空间(),V F 上的：V →，若满足（x y V F α∀∈∀∈，，）：（a ） 正定性：x 0≥，等号成立时当且仅当x=0； （b ） 齐次性：x x αα=；（c ） 三角不等性： x+y ≤x +y ；称⋅为一个范数，并且是定义在线性空间(),V F 上的．同时也把范数的线性空间定义为了赋范线性空间，记作()V F ⋅，，，当数域F 是明确的，也可简记为()V ⋅，，如果当范数⋅也是指明的情况下，可简记作V ．明显，当数域F =时，由以上描述可以得到⋅凸函数，并且是定义在线性空间()V ⋅，，上的，当数域F =时．如果()V F ⋅，，是一个赋范线性空间，令 y 1x=sup x y x .DV ≤∀∈，，则D⋅也是线性空间(),V F 上的范数， x y ，表示实值内积运算，它称为是范数⋅的对偶函数．定义2（矩阵算子式范数） 在赋范线性空间()np，与赋范线性空间()mq，中，从赋范线性空间()np，到赋范线性空间()mq，的一个线性映射是由矩阵m n⨯A∈定义的：x x A ，矩阵空间m n⨯中矩阵A 的算子范数p q→A为：x supxqp qx p→≠A A=．当=q p 时，将范数p q→A 称为矩阵A 的算子式p 范数，并记作pA，简称p 范数，即：x maxxppx p≠A A=．另外，通常情况下矩阵的最大奇异值或谱半径等于矩阵的算子式2范数2A ，故矩阵的谱范数是2A ．容易证明，满足pp p AB ≤A ⋅B ，当是矩阵的算子式p 范数的时候．定义3（p范数）范数p是赋范线性空间()np⋅，中的范数，可以定义为：(){}()1=112,1x =max p p nini n p ii n x p x x x x x p ≤≤⎧≤≤∞⎪∀=⋅⋅⋅∈⎨⎪=∞⎩∑， 1，，，， ，当111p q+=时，易证，在线性空间(),n上，p范数和q范数互相为对偶范数．在定义1取(),V F =()m n⨯，时，即当线性空间为矩阵空间时，只要这些函数满足定义１中的（ａ）（ｂ）（ｃ）三种性质，即在其上定义出的不同的实值函数都可以称之为矩阵的范数．接下来把两种不同类型的矩阵的范数分别引入．定义4（矩阵奇异值） 定义矩阵A 的奇异值,设矩阵m n⨯A∈，当211......0r r n λλλλλ+≥≥≥>===.其中λｉ是矩阵A A 的特征值 那么1,2,3i i n σ==，，，其中r =rank ()A ，r 为矩阵A 的秩．定义5（矩阵向量式范数）考虑元素个数为m n ⨯的向量，这些向量可由矩阵视为其中矩阵m n⨯A∈，由定义3，可将矩阵A 的向量式p 范数定义出，记作V Αp ，即1V 11ppmnp ij i j a ==⎛⎫A= ⎪⎝⎭∑∑特别地，矩阵的Frobenius 范数又称为向量式2范数2V Α，是当p =2时定义出的，记为F A ．可证矩阵向量式2范数2V Α也满足相容性，但是也有矩阵的部分向量式范数是不满足相容性的，比如范数V ∞⋅是定义在赋范线性空间()Vn n∞⨯⋅，中的，便不满足相容性．实际上当我们把矩阵A 取为元素全为１的二阶矩阵1111⎛⎫⎪⎝⎭时，V =1∞A，2V =2∞A ，因此有V V V ∞∞∞AA >A ⋅A．为了不讨论特殊性，本文把以下讨论的矩阵空间m n⨯中，总假设m n ≥．定义６（矩阵正交不变范数）将范数⋅称为正交不变范数，对于任意的m 阶正交矩阵矩阵U 和n 阶的正交矩阵矩阵V ，当范数⋅满足：U V =A A ，其中⋅是矩阵A 的范数．容易证明，对于任意正交阵U 和V ：v n∈22F F U V =U V =A A A A ，，所以正交不变范数有矩阵的Frobenius 范数和２范数．定义７（矩阵奇异值分解式）12n σσσ⋯，，，为矩阵A 的奇异值（降序排列），其中m n⨯A∈，则一定有矩阵[]1U=u u m mm ⨯∈，，与[]1V=v v n nn ⨯∈，，，其中U 和V 都是正交矩阵．使得：()1diag U AV=0n m nσσ⨯⎛⎫∈⎪⎝⎭，， ， （1）运算()diag ⋅表示将向量转换为对角矩阵．称公式（1为矩阵A 奇异值的分解）．可以将公式（1）改写为：=UV ΛA ，当把对角矩阵()1diag 0n σσ⎛⎫⎪⎝⎭，，记为为Λ时，同时定义矩阵A 的左、右奇异分量分别是列向量，列向量分别取自正交矩阵U 和正交矩阵V ．定义8（近邻算子）近邻算子可由下式定义的算子prox :nnf →()()22x 1prox v =aigmin x +x-v 2n f f ∈⎛⎫ ⎪⎝⎭， （2）表示，其中()x f 是凸函数，并且是定义在线性空间（例如n）上的．可知，式（2）中其存在唯一最优解因为目标函数是严格凸函数．三、矩阵Schatten-p 范数及其性质（一）矩阵Schatten -p 范数的定义当m n ≥时，对矩阵A 做奇异值分解，其中矩阵m n⨯A∈，使得=UV A A ，由矩阵A的奇异值向量可以分别组成U 和V ；U 和V 分别是m 阶正交矩阵和n 阶正交矩阵而()diag =0σ⎛⎫A ⎪⎝⎭，其中()1σ=n σσ，，是向量，是由矩阵A 的奇异值所组成的，设121=0r r n σσσσσ+≥≥≥>=⋯=．矩阵Schatten -p 范数可以用矩阵的奇异值分解定义出． 定义9 当m n ≥时，若矩阵m n⨯A∈，()p ∈∞１，，可以将矩阵A 的Schatten -p范数()()Px =x g gS pA定义为：S =σpp A （3）其中向量矩阵A 的奇异值所组成的向量为()1σ=n σσ，，．特别情况下，常被称为是核范数的是范数1S A ，又可被记为*A ．下列讨论三种特殊的Schatten -p 范数： （a ） 当=1p 时，满足1S A=)*1trace==ri i σ=A ∑，范数1S A 被称为核范数*A ，；（b ） 当=2p 时，满足2S F AA ，范数2S A 被称为Frobenius 范数，记作F A ，;（c ） 当=3p 时，满足1S 2==σ∞AA ，范数S ∞A 也被称为矩阵的谱范数（2-范数）．（二）矩阵Schatten -p 范数的性质定义10（对称度规函数）以下几个条件满足时称函数ng →：为对称度规函数：（a ） 正定性：()x x g >0∀≠0，； （b ） 齐次性：()()x =x x ng g ααα∀∈∀∈，，；（c ） 三角不等式性：()()()x+y x +y x y ng g g ≤∀∈，，；（d ） 对于∀向量x r∈满足()()x =x g g ，其中x 表示向量，是由向量中的逐元素绝对值构成的向量，即∀()12x=nn x x x ∈，，，时()1x =n x x ，，；（e ）所有的向量x n∈和置换矩阵P n n⨯∈的全体，满足()()Px =x g g ．通过以上所定义中的（ａ）（ｂ）（ｃ）条件可知，对称度规函数是性空间n中的一个范数，且线性空间n中的p范数都是具体的对称度规函数．定理1: 在实数域构成的线性空间()m n⨯，和矩阵所生成的集合m n⨯中，m n ≥，矩阵Schatten -p 范数具有如下性质：① 1S 1=0prpp i i σ=⎛⎫A ≥ ⎪⎝⎭∑，12n σσσ≥≥≥为矩阵A 的奇异值（正定性）；②S S ppααA =⋅A ，α为任意实数（齐次性）；③ S S S ++pppA B ≤A B ，,m n⨯∀A B∈（三角不等式性）；④ S S S pppAB ≤A ⋅B ，,m nn l⨯⨯∀A ∈∀B∈（相容性）；⑤ S S U VppA =A ，U 和V 分别是m 阶与n 阶正交矩阵（正交不变性）；⑥ S S pqA ≥A ，1p q ∀≤≤（关于p 的单调性）；⑦ S S =qpAA，（转置不变性）．可由正交不变范数与对称度规函数的关系得到第⑤条结论．接下来描述von Neumann 定理和给出对称度规函数的定义．在许多矩阵范数中，一种范数在应用中收到很多的关注，那就是具有正交不变性的范数．事实上，矩阵的奇异值与具有正交不变性的范数之间有很密切的关系，有以下：引理１（ von Neumann ）：矩阵的正交不变范数与对称度规函数之间存在一一对应关系。
严格对角占优M-矩阵的逆矩阵无穷大范数上界的序列蒋建新;李艳艳;黄卫华【摘要】利用严格对角占优M-矩阵的逆矩阵元素的上界序列,得到了‖A-1‖∞收敛的上界序列和q(A)收敛的下界序列.这些新的序列提高了现有关于该类问题的研究结果.【期刊名称】《齐齐哈尔大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(031)004【总页数】4页(P74-77)【关键词】对角占优矩阵;M-矩阵;矩阵的无穷大范数;上界;最小特征值【作者】蒋建新;李艳艳;黄卫华【作者单位】文山学院数学学院,云南文山663000;文山学院数学学院,云南文山663000;文山学院数学学院,云南文山663000【正文语种】中文【中图分类】O151.21严格对角占优矩阵是一类在数值代数、数学物理和控制论等领域有着广泛应用的特殊矩阵，例如：线性方程组Ax=b，当系数矩阵A为严格对角占优矩阵时，许多经典的迭代算法均是收敛的，同时对目前提出的一些修正算法也是收敛的。
所以在理论探讨和实际工作中常要估计矩阵逆的无穷范数，例如偏微分方程差分策略的稳定性和收敛性不足，一些不足迭代法的收敛性不足和估计矩阵的某些数值特点时等等。
尤其是对大型矩阵的判别，还存在许多困难，经过国内外许多学者不懈努力，已获得一些重要结果[1-10］。
本文继续研究严格对角占优M-矩阵A的的上界估计问题，给出其新的收敛的上界序列。
Cn×n(Rn×n)表示n×n复 (实) 矩阵集，设A =(aij)∈Zn×n，A（n1,n)表示去掉A的前n1行与前n1列所得A的主子矩阵，例如A（1,n)表示删去A的第一行与第一列所得A的主子矩阵。
定义1[1］记称Zn×n中的矩阵A为Z-矩阵(简记为A∈Zn×n)；设A=(aij)∈Zn×n，如果A可表示为A=αI-P，其中P≥0（即P=(pij),pij≥0,∀i,j∈N ），α≥ρ(P)，则称A为M-矩阵（ρ(P)是非负矩阵P的谱半径）。
