第七章 多元函数微分

第七章 多元函数微分学作业1 多元函数1．填空题（1）已知函数22,y f x y x y x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则(),f x y =()()22211x y y -+； （2）49arcsin2222-+++=y x y x z 的定义域是(){}22,49x y x y ≤+≤； （3）)]ln(ln[x y x z -=的定义域是(){}(){},,0,1,0,1x y x y x x y x x y x >>+⋃<<≤+；（4）函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,0,sin ),(x y x x xyy x f 的连续范围是 全平面 ；（5）函数2222y x z y x+=-在22y x =处间断.2．求下列极限（1）00x y →→；解：000016x t t y →→→→===-（2）22()lim (ex y x y x y -+→+∞→+∞+）.解：3y x =22()2()lim (e lim (e 2x y x y x y x x y y x y x y xe ye -+-+--→+∞→+∞→+∞→+∞⎡⎤+=+-⎣⎦）） 由于1lim e lim lim 0tt t t t t t t e e-→+∞→+∞→+∞===，2222lim e lim lim lim 0tt t t t t t t t t t e e e -→+∞→+∞→+∞→+∞====，故22()2()lim (elim (e 20x y x y x yx x y y x y x y xe ye -+-+--→+∞→+∞→+∞→+∞⎡⎤+=+-=⎣⎦）） 3．讨论极限26300lim y x yx y x +→→是否存在.解：沿着曲线()()3,,0,0y kx x y =→,有336626262000lim lim 1x x y kx x y kx kx y x k x k →→=→==+++因k 而异，从而极限26300lim y x yx y x +→→不存在4．证明⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,2),(222222y x y x y x xyy x f 在点)0,0(分别对于每个自变量x 或y都连续，但作为二元函数在点)0,0(却不连续.解：由于(,0)0,(0,)0,f x f y ≡≡从而可知在点)0,0(分别对于每个自变量x 或y 都连续，但沿着曲线()(),,0,0y kx x y =→,有2222222000222lim lim 1x x y kx xy kx kx y x k x k →→=→==+++因k 而异， 从而极限()0lim ,x y f x y →→不存在，故作为二元函数在点)0,0(却不连续.作业2 偏导数1．填空题（1）设22),(y x y x y x f +-+=，则=)4,3(x f 25； （2）（3）设(),ln 2y f x y x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则1x y f y==∂=∂12； （3）设2sin x u xz y =+，则42ux y z∂=∂∂∂ 0 ；（4）曲线22:44x y z y ⎧+=⎪Γ⎨⎪=⎩在点()2,4,5处的切线与Ox 轴正向的倾角是4π. 2．设2e xyu =， 证明 02=∂∂+∂∂yu y x u x. 证:因为222312,xxy yu ux e e x y y y∂∂-==∂∂ 所以222223221222220x x x xy y y y u u x x x x y xe ye e e x y y y y y ∂∂--+=+=+=∂∂3. 设xyz ln =，求22x z ∂∂，yx z∂∂∂2.解：ln ln x yz e⋅=，从而222ln ln ln ln ln ln ln 222ln ln ln ln ln ,,x y x y x y x z y z y y y y e e e y x x x x x x ⋅⋅⋅∂∂--⎛⎫=⋅=⋅+⋅= ⎪∂∂⎝⎭2ln ln ln ln ln ln ln 11ln ln 1x y x y x z y x y x e e y x y x y x y xy⋅⋅∂⋅+=⋅⋅+⋅⋅=∂∂4．设y x z u arctan =， 证明 0222222=∂∂+∂∂+∂∂zuy u x u . 解：因为()()2222222222211022,1uyz u yz x xyzz xy x y x x x y x y y ∂∂-⋅-=⋅⋅===∂+∂⎛⎫+++ ⎪⎝⎭()()2222222222221022,1u x xz u xz y xyzz yy x y y x x y x y y ∂--∂-⋅=⋅⋅==-=∂+∂⎛⎫+++ ⎪⎝⎭22arctan ,0,u x uz y x∂∂==∂∂ 所以()()2222222222222200u u u xyz xyzx y z x y x y ∂∂∂-++=++=∂∂∂++ 5．设函数()()2221sin ,0,0,x x y x f x y xx ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩.（1）试求(),f x y 的偏导函数； 解：当()()()3222221110,,42sin cos x x f x y x xyx x y xx x-≠=+++⋅()21,2sin y f x y x y x =，()()()322211,42sin cos x f x y x xy x y x x=+-+当()()()()222001sin 0,0,0,0,lim lim 00x x x x x y f x y f y x x f y x x→→+--≠===-()()()000,0,000,lim lim 0y y y f y y f y f y y y ∆→→+∆--===∆-∆，()()()322211,42sin cos x f x y x xy x y x x=+-+（2）考察偏导函数在()0,3点处是否连续.()()200331lim ,lim 2sin00,3y y x x y y f x y x y f x→→→→===，故(),y f x y 在()0,3点处连续， ()()()3222003311lim ,lim 42sin cos x x x y y f x y x xy x y x x →→→→⎡⎤=+-+⎢⎥⎣⎦不存在，从而(),x f x y 在()0,3点处不连续作业3 全微分及其应用1．填空题（1）),(y x f z =在点),(00y x 处偏导数存在是),(y x f z =在该点可微的必要 条件；（2）函数23z x y =在点()2,1-处，当0.02,0.01x y ∆=∆=-时有全增量z ∆=0.2040402004-，全微分d z =0.20-；（3）设),(y x f z =在点),(00y x 处的全增量为z ∆，全微分为dz ，则),(y x f 在点),(00y x 处的全增量与全微分的关系式是()z dz o dz ∆=+；（4）22yx x u +=在点)1,0(处的d u =dx ；（5）xy u cos )(ln =,则d u =cos cos (ln )ln ln sin ln x x y y xdx dy y y ⎡⎤-⋅+⎢⎥⎣⎦； （6）zyx u )(=,则d u =()ln zx z z x dx dy dz y x y y ⎛⎫-+⎪⎝⎭；（7）2221zy x u ++=,则d u = ()()3222212x y z -++ .2．证明：(),f x y =在点()0,0处连续，()0,0x f 与()0,0y f 存在，但在()0,0处不可微.证：由于(0,)0,(,0)0,f y f x ==从而(0,0)0,(0,0)0.y x f f ==但是limlimx x y y ∆→∆→∆→∆→=不存在，从而在()0,0处不可微.3．设函数()()222222221sin ,0,0,0x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩试证：（1）函数(),f x y 在点()0,0处是可微的；证：因为 ()()()()22001sin0,00,00,0limlim 0,0,000x y x x x f x f x f f x x →→--====-- 又()()()()()22221sinlimlim0x x y y x y x y ∆→∆→∆→∆→∆+∆∆+∆==所以函数(),f x y 在点()0,0处是可微的（2）函数(),x f x y 在点()0,0处不连续.证：当()222222221210,,2sincos x x x y f x y x x y x y x y+≠=-+++ ()2222220000121lim ,lim 2sin cos x x x y y x f x y x x y x y x y ∆→∆→∆→∆→⎛⎫=- ⎪+++⎝⎭不存在， 故(),x f x y 在点()0,0处不连续作业4 多元复合函数的求导法则1．填空题（1）设2ln ,,32yz u v u v y x x===-，则 z x ∂=∂()()223222ln 3232y y y x x x y x ----； （2）设22,cos ,sin z x y xy x u v y u v =-==，则zv∂=∂()333sin cos sin 2sin sin 2cos u v v v v v v +--； （3）设()22,zu x y z x y =-=+，则u x ∂=∂()()222ln z x y x y x x y x y ⎡⎤+--+⎢⎥-⎣⎦；（4）设2sin z x y x ==，则dd zx =2x . 2．求下列函数的偏导数（1）设,,x y u f y z ⎛⎫=⎪⎝⎭其中f 具有一阶连续偏导数，求,u x ∂∂u y ∂∂和uz ∂∂； 解：111,f u f x y y ∂=⋅=∂121222222211,u x x u y yf f f f f f y y z y z z z z∂--∂--=⋅+⋅=+=⋅=∂∂ （2）设(),,,u f x y z =()(),,,z y t t y x ϕψ==，其中,,f ϕψ均可微，求u x ∂∂和uy∂∂. 解：因为1231212,,du f dx f dy f dz dz dy dt dt dy dx ϕϕψψ=++=+=+ 从而()1231212du f dx f dy f dy dy dx ϕϕψψ=++++⎡⎤⎣⎦()()1322231321f f dx f f f ϕψϕϕψ=+++++所以1322231321,u u f f f f f x yϕψϕϕψ∂∂=+=++∂∂ 3．验证下列各式（1）设()22yz f x y =-，其中()f u 可微，则211z z z x x y y y ∂∂+=∂∂； 证：因为222212,z xyf z y f x f y f f ''∂-∂==+∂∂ 所以222211121121z z z xyf y f zx x y y x x f y f f yf y ''⎛⎫∂∂∂-+=++== ⎪∂∂∂⎝⎭ （2）设()23y z xy x ϕ=+，其中ϕ可微，则220z zx xy y x y ∂∂-+=∂∂. 证：因为()()222,33z y z y y xy x xy x x y xϕϕ∂∂''=-+=+∂∂ 所以22z z x xy y x y ∂∂-+=∂∂()()2222233y y x y xy xy x xy y x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫''-+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()22222033y y x y xy y x y xy y ϕϕ''=-+--+=4．设22,,y z xf x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭其中函数f 具有二阶连续偏导数，求2z x y ∂∂∂. 解：因为221212222,z y y f x f f f xf f x x x ⎛⎫∂-=++⋅=+- ⎪∂⎝⎭所以22212212222222222z y y y y y y f xf f f xf f f x y y x x x x x x⎡⎤∂∂=+-=+⋅--⋅⎢⎥∂∂∂⎣⎦ 31222224y yf f x=-4．设)()(xy x x y u ψϕ+=其中函数ψϕ,具有二阶连续偏导数，试证：022222222=∂∂+∂∂∂+∂∂y u y y x u xy x u x . 证：因为222223432,u y y u y y y x x x x x x x ϕψψϕϕψ∂-∂'''''''=+-=++∂∂222322211,,u y y u u x y x x x y x y x xϕψϕϕψϕψ''''∂∂∂'''''''=---=+=+∂∂∂∂ 从而左边222234323222120y y y y y x xy y x x x x x x x x ϕψϕϕψϕϕψ''''⎛⎫⎛⎫⎛⎫''''''''''=+++---++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭作业5 隐函数求导法1．填空题（1）已知3330x y xy +-=，则d d y x =22x yx y--； （2）已知20x y z ++-=，则x y ∂=∂（3）已知xzz y =，则d z =2ln ln z dy yz zdxxy yz y--；（4）已知222cos cos cos 1x y z ++=，则d z =sin 2sin 2sin 2xdx ydyz+-；（5）已知(),z f xz z y =-，其中f 具有一阶连续偏导数，则d z =12121zf dx f dyxf f ---.2．设(),0,F y z xy yz ++=其中F 具有二阶连续偏导数，求22zx∂∂．解：212120,yF z z z F F y y x x x F yF -∂∂∂⎛⎫+⋅+=⇒= ⎪∂∂∂+⎝⎭ ()()[]()22122122122221212x x x F z F y yz F yF F F yF F z y y x x F yF F yF '⋅+++-+⎡⎤⎛⎫∂∂⎣⎦=-=- ⎪∂∂++⎝⎭()()()()()2222112111222212221231212y F F F yF F F yF y F F F F F yF F yF -+++⎡⎤-⎣⎦=+++3．求由方程组222222320z x yx y z ⎧=+⎪⎨++=⎪⎩所确定的()y x 及()z x 的导数d d y x 及d d z x .解：由已知()2222222602460dz xdx ydydz xdx ydy xdx dz xdx zdz xdx ydy zdz -=⎧=+⎧⎪⇒⎨⎨+-+=++=⎪⎩⎩()()22606,132623220xdx z dz dz x dy x xy dx z dx y yz xdx ydy z xdx ydy -++=⎧+⎪⇒⇒==-⎨+++++=⎪⎩4．设函数()z f u =，又方程()()d xy u u P t t ϕ=+⎰确定u 是,x y 的函数，其中()f u 与()u ϕ均可微；()(),P t u ϕ'连续，且()1u ϕ'≠. 试证：()()0z zP y P x x y∂∂+=∂∂. 证：因为()(),z u z uf u f u x x y y∂∂∂∂''=⋅=⋅∂∂∂∂， ()()()(),1P x u u uu P x x x x u ϕϕ∂∂∂'=⋅+='∂∂∂- ()()()(),1P y u u uu P y y y y u ϕϕ-∂∂∂'=⋅-='∂∂∂- ()()()()()()()()()()011P x P y z zP y P x P y f u P x f u x y u u ϕϕ-∂∂''+=+=''∂∂-- 5．设函数()f u 具有二阶连续偏导数，而()e sin xz f y =满足方程22222e xz z z x y∂∂+=∂∂，求()f u . 解：因为()()()()222sin ,sin sin x xx z z f u e y f u e y f u e y x x∂∂''''==+∂∂ ()()()()222cos ,cos (sin )x x x z z f u e y f u e y f u e y y y∂∂''''==+-∂∂()()222222()e ,()0x x z zf u e f u f u f u x y∂∂''''+==⇒-=∂∂ 特征方程为()2121210,1,1,u u r r r f u c e c e --===-=+作业6 方向导数与梯度1．填空题（1）在梯度向量的方向上，函数的变化率 最大 ； （2）函数在给定点的方向导数的最大值就是梯度的 模 ； （3）函数2249z x y =+在点()2,1的梯度为grad z ={16,18}；（4）函数xyz u =在点)1,1,1(处沿方向}cos ,cos ,{cos γβα=l的方向导数是cos cos cos αβγ++，且函数u 在该点的梯度是{1,1,1}；（5）函数e cos()xu yz =在点)0,0,0(处沿方向}2,1,2{-=l的方向导数是23； （6）函数)ln(22z y x u ++=在点)1,0,1(A 处沿A 指向点)2,2,3(-B 方向的方向导数是12. 2．求222z y x u -+=在点)0,0,(a A 及点)0,,0(a B 处的梯度间的夹角.解：{}2,2,2{2,0,0}AAgradux y z a =-={}2,2,2{0,2,0}B Bgradu x y z a =-=夹角余弦为cos 02A B A Bgradu gradu gradu gradu πϕϕ⋅==⇒=⋅3．求二元函数22z x xy y =-+在点()1,1-沿方向{}2,1l =的方向导数及梯度，并指出z 在该点沿那个方向减少得最快沿那个方向z 的值不变 解：(){}(){}1,11,12,23,3gradz x y y x --=--=-25l ⎧=⎨⎩，{3,3}5zl ∂=-⋅=-∂z 在该点沿梯度相反方向，即方向减少得最快；沿与梯度垂直的那个方向，即±方向z 的值不变 4．设x轴正向到l 得转角为α，求函数()22220,0,x y f x y x y +>=+=⎩在点()0,0处沿着方向l 的方向导数.解：{}cos ,sin ,cos l αααα===由于该函数在点()0,0处不可微，从而不能用公式，只能由定义得出沿着方向l 的方向导数：()()00,0,0lim x y f x y f fl ρρρ→→→→-∂===∂1cos sin sin 22ααα==作业7 偏导数的几何应用1．填空题（1）已知曲面224z x y =--上点P 的切平面平行于平面221x y z ++=，则点P的坐标是(1,1,2)；（2）曲面e 23zz xy -+=在点()1,2,0处的切平面方程是24x y +=；（3）由曲线223212x y z ⎧+=⎨=⎩绕y轴旋转一周所得到的旋转曲面在点(M处的指向内侧的单位法向量为0,⎧⎪⎨⎪⎩； （4）曲面2222321x y z ++=在点()1,2,2-处的法线方程是122146x y y -+-==-； （5）已知曲线23,,x t y t z t ===上点P 的切线平行于平面24x y z ++=，则点P的坐标是()1,1,1--或111,,3927⎛⎫--⎪⎝⎭． 2．求曲线22sin ,sin cos ,cos x t y t t z t ===在对应于的点π4t =处的切线和法平面方程.解：切点为{}224111,,,2sin cos ,cos sin ,2cos sin {1,0,1}222T t t t t t tπ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，从而切线为11110222,11012x z x y z y +-=⎧---⎪==⎨-=⎪⎩， 法平面为110,022x z x z ⎛⎫---=-= ⎪⎝⎭3．求两个圆柱面的交线22221:1x y x z ⎧+=⎪Γ⎨+=⎪⎩在点M 处的切线和法平面的方程.解：1{2,2,0}|//{1,1,0}M n x y =，2{2,0,2}|//{1,0,1}M n x z ={}{}1,1,01,0,1{1,1,1}T =⨯=--==，法平面为0x y z --+= 4．求曲面()22210ax by cz abc ++=≠在点()000,,x y z 处的切平面及法线的方程. 解：000000{2,2,2}//{,,}n ax by cz ax by cz =切平面为0001ax x by y cz z ++=，法线为000000x x y y z z ax by cz ---== 5．求函数22221x y z a b ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在点M 处沿曲线22221x y a b +=在此点的外法线方向的方向导数.解：2222,,MM x y gradza b a b ⎧⎪⎧⎫=--=--⎨⎬⎨⎩⎭⎪⎪⎩⎭2222,M x y n a b a b ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭指向外侧为此点的外法线方向，方向导数为(2a z n gradz n n∂=⋅=-∂6．证明：曲面y z xf x ⎛⎫=⎪⎝⎭在任意点处的切平面都通过原点，其中f 具有连续导数. 证：设切点为()000,,x y z ，则000000000000,,1,y y y y y n f f f z x f x x x x x ⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪''=--=⎨⎬⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎭ 切平面为()()()000000000000y y y y f f x x f y y z z x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫''--+---=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦令0x y z ===，得左边等于右边，从而原点在任意点处的切平面上，也即任意点处的切平面都通过原点。

习题7.1(A)1、求点(2,1,3)A -关于(1)各坐标面；(2)各坐标轴；(3)坐标原点的对称点的坐标。

解 (1)(2,1,3)--,(2,1,3)--, (2,1,3)；(2)x 轴：(2,1,3)-，y 轴：(2,1,3)---，z 轴：(2,1,3)-； (3) (2,1,3)--。

2、在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？(4,3,5)A -，(2,3,4)B -，(2,3,4)C --，(2,3,1)D --并求点(4,3,5)A -分别到(1)坐标原点；(2)各坐标轴；(3)各坐标面的距离。

解 A 点在第4卦限； B 点在第5卦限；C 点在第8卦限；D 点在第3卦限。

(1) A =(4,3,5)-(2) A 到x =A 到y =A 到z 5=；(3) A 到坐标面xy 5=；A 到坐标面yz 4=；A 到坐标面xz 3=。

3、在z 轴上求一点M ，使该点与点(4,1,7)A 和(3,5,2)B 的距离相等。

解 因为所求点在z 轴上, 所以设该点为(0,0,)M z , 由题意有MA MB , 即222222(4)1(7)35(2)z z两边平方, 解得149z, 于是所求点为14(0,0,)9M . 4、写出球心在点(1,3,2)--处，且通过点(1,1,1)-的球面方程。

解 由2222000()()()xx yy zz R ，得2222(1())(113())(12)R则3R ，从而球面方程为2222(1)(3)(2)3x yz5、下列各题中方程组各表示什么曲线？(1)2248,8;x y z z(2)2225,3;x y z x(3)2224936,1;x y z y (4)2244,2.x y z y解 (1) 双曲线；(2) 圆；(3) 椭圆；(4) 抛物线。

6、描绘下列各组曲面在第一卦限内所围成的立体的图形。

(1) 0,0,0,1x y z x y z ===++=；(2) 2222220,0,0,,x y z x y R y z R ===+=+=。

第七章 多元函数微分学1 多元函数题目尽量简单，难难度系数在0.1-0.5每个题目都标上难难度系数），格式如下： 选择题：1、设。

，则。

等于（ ）（c, 难难度系数0.1） A 、 B 、 C 、 D 、 1、2200lim3x y xyx y →→+之值为（ ）（B, 难难度系数0.2）A 、 0B 、 不存在C 、13 D 、 142、若()(),ln 1ln xy xy e f x y x x e x ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，则(),f x y 等于（ ）（D, 难难度系数0.2） A 、1xye B 、x x e yC 、 xxe D 、 2x yxe ye3、已知ln x y x =是微分方程yx y x y ϕ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭的解，则x y ϕ⎛⎫ ⎪⎝⎭的表达式为（ ）（A, 难难度系数0.3） A 、22y x - B 、22y x C 、22x y- D 、22x y4、设函数(),zf x y =的定义域为(){},01,01D x y x y =≤≤≤≤，则函数()23,z f x y =的定义域为（ ）（B, 难难度系数0.3） A 、 (){},01,01D x y x y =≤≤≤≤ B 、 (){},11,01D x y x y =-≤≤≤≤C 、(){},01,11D x y x y =≤≤-≤≤ D 、 (){},11,11D x y x y =-≤≤-≤≤ 5、下列函数中，在点()0,0处连续的函数是（ ）（c, 难难度系数0.3）A 、33x y z x y +=+ B 、()()()()222,,0,010,,0,0xyx y x y z x y -⎧≠⎪++=⎨⎪=⎩C 、sin(),00,0xy x z xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ D 、 ()()()(),,0,00,,0,0x y x y x y z x y -⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩6、设()22,f x y x y x y +-=-，则(),f x y =（ ）（D, 难难度系数0.1）A 、22x y - B 、 22x y + C 、 2()x y - D 、 xy7、22(,)(,)limx y x yx xy y →∞∞+=-+（ ）（A, 难难度系数0.3）A 、 0B 、 1C 、1- D 、 ∞8、设(),,0,xyx y x y f x y x y ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩，则(),f x y 在()0,0点（ ）（D, 难难度系数0.2） A 、 极限存在且为1 B 、极限存在且为1- C 、 连续 D 、 极限不存在9、设()()()()()242,,0,0,0,,0,0x yx y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩，则（ ）（c, 难难度系数0.2）A 、 极限()(,)(0,0)lim,x y f x y →存在，但(),f x y 在点()0,0处不连续 B 、 极限()(,)(0,0)lim ,x y f x y →存在，且(),f x y 在点()0,0处连续 C 、 极限()(,)(0,0)lim,x y f x y →不存在，但(),f x y 在点()0,0处不连续 D 、 极限()(,)(0,0)lim,x y f x y →不存在，但(),f x y 在点()0,0处连续 10、函数()1,sin cos f x y x y=的间断点为（ ）（D, 难难度系数0.1）A 、(),x y ，其中2,1,1,2,x y n n π===±±B 、 (),x y ，其中2,1,1,2,2x y n n ππ==+=±±C 、(),x y ，其中,1,1,2,x y n n π===±±D 、(),x y ，其中,,1,1,2,2x n y n n πππ==+=±±11、下列式子正确的是（ ）（D, 难难度系数0.3） A 、2200lim 0x y xyx y →→=+ B 、 00lim0x y xy x y →→=+ C 、 32600lim 0x y xy x y →→=+ D 、 2244lim 0x y x y x y →∞→∞+=+12、00limx y xyx y →→+之值为（ ）（B, 难难度系数0.2）A 、 0B 、 不存在C 、∞ D 、 1-13、2(,)lim x y →=（ ）（A, 难难度系数0.2）A 、 12B 、 不存在C 、 1-D 、 ∞的不存在14、设()22,f x y x y x y +-=-，则(),f x y =（ ）（B, 难难度系数0.1）A 、()22y x y x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭B 、211y x y ⎛⎫- ⎪+⎝⎭ C 、 11y x y ⎛⎫- ⎪+⎝⎭D 、 22x y - 15、函数22ln 4x y z +-=的定义域是（ ）（c, 难难度系数0.2）A 、 224x y +≥且20x y >≥B 、 224x y +>且20x y ≥≥C 、224x y +>且20x y >≥ D 、 224x y +≥且20x y ≥≥16、已知函数()2,4f x y x y =+，则(),f x y xy -=（ ）（B, 难难度系数0.2）A 、 ()2x y - B 、()2x y + C 、24x y - D 、 24x y +17、已知函数()33,2f x y x y =+，则(),f y x --=（ ）（C, 难难度系数0.1）A 、332xy - B 、 332y x + C 、 332x y -- D 、 332x y -+18、已知函数()2,2x y f x y x y-=-，则()1,3f =（ ）（B, 难难度系数0.1）A 、15 B 、 5 C 、 15- D 、 5- 19、已知函数()22,3f x y x y x y -+=+，则(),f x y =（ ）（D, 难难度系数0.2）A 、223()()x y x y -++B 、22()3()x y x y -++C 、22xxy y ++ D 、 22x xy y -+20、已知函数(),32f x y x y =+，则()(),,f xy f x y =（ ）（B, 难难度系数0.2）A 、32x y +B 、364xy x y ++ C 、36xy x + D 、34xy y +20、()2222arcsin ln 14x y z x y +=++-的定义域是（ ）（D, 难难度系数0.2） A 、(){}22,14x y x y ≤+≤ B 、(){}22,14x y x y <+< C 、(){}22,14x y xy ≤+< D 、 (){}22,14x y x y <+≤21、)]ln(ln[x y x z -=的定义域是（ ）（D, 难难度系数0.2）A 、(){},0,1x y x x y x <<<+B 、 (){},,0,1x y x y x >≥+C 、(){}(){},,0,1,0,1x y x y x x y x x y x >≥+⋃<<<+ D 、 (){}(){},,0,1,0,1x y x y x x y xx y x>>+⋃<<<+ 22、()()ln arcsin 3z y x x =-+-的定义域是（ ）（C, 难难度系数0.2）A 、(){},,,2,24x y y x y x x >≤≤< B 、(){},,,2,24x y y x y x x >≤<≤ C 、(){},,,2,24x y y x y x x >≤≤≤ D 、(){},,,2,24x y y x y x x ><≤≤23、02sin limx y xyx →→=（ ）（A, 难难度系数0.1）A 、2 B 、1 C 、0 D 、不存在24、()2222001lim52sin34x y xy x y →→+=+（ ）（D, 难难度系数0.2）A 、不存在B 、∞C 、1D 、 025、(,)(0,0)limx y →=（ ）（A, 难难度系数0.2）A 、14B 、∞C 、1D 、 0 26、00x y →→=（ ）（D, 难难度系数0.2）A 、∞B 、1C 、0D 、 16-27、二重极限22400lim x y xy x y →→+值为（ ）（C, 难难度系数0.2）A 、1B 、∞C 、不存在D 、028、二重极限26300lim y x yx y x +→→值为（ ）（D, 难难度系数0.2）A 、1B 、∞C 、0D 、不存在 29、二重极限()102lim1xx y xy →→+=（ ）（A, 难难度系数0.2）A 、 2eB 、1C 、∞D 、 030、22()lim (e x y x y x y -+→+∞→+∞+=）（ ）（C, 难难度系数0.2）A 、1B 、∞C 、0D 、不存在31、函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,0,sin ),(x y x xxyy x f 的连续范围是（ ）（D, 难难度系数0.3） A 、220xy +≠ B 、0xy ≠ C 、0x ≠ D 、 全平面32、函数2222y x z y x+=-在22y x =处（ ）（B, 难难度系数0.1）A 、不能判定B 、间断C 、连续D 、不间断也不连续 33、函数2sinzx xy=在0xy =处（ ）（A, 难难度系数0.1） A 、连续 B 、不能判定 C 、不间断也不连续 D 、间断34、函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,2),(222222y x y x y x xy y x f 在)0,0(点（ ）（A, 难难度系数0.2）A 、间断B 、连续C 、极限存在D 、不间断也不连续 35、函数()22(,)ln f x y x y =+在点)0,0(（ ）（B, 难难度系数0.2）A 、连续B 、 间断C 、极限存在D 、不间断也不连续2 偏导数1、设(),f x y 在点()00,x y 处偏导数存在，则()()00000,,limx f x x y f x x y x∆→+∆--∆=∆（ ）（c, 难难度系数0.2） A 、()00,x f x y ' B 、 ()002,x f x y ' C 、 ()002,x f x y ' D 、()001,2x f x y ' 2、设(),ln 2y f x y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()1,0y f '=（ ）（B, 难难度系数0.3）A 、 1B 、 12C 、 2D 、 0 3、若()22,f xy x y x y xy +=++，则(),x f x y =（ ）（A, 难难度系数0.3）A 、1- B 、 2y C 、 ()2x y + D 、 2x4、二元函数()()()()()22,,0,0,0,,0,0xyx y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩在点()0,0处（ ）（c, 难难度系数0.2） A 、 连续，偏导数存在 B 、连续，偏导数不存在 C 、不连续，偏导数存在 D 、 不连续，偏导数不存在 5、已知(),f x y = ）（D, 难难度系数0.3）A 、 ()()0,0,0,0x y f f ''都存在B 、 ()0,0x f '不存在(),0,0y f '存在C 、()0,0x f '存在(),0,0y f '不存在 D 、 ()0,0x f '(),0,0y f '都不存在6、二元函数()()()()()242,,0,0,0,,0,0x yx y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩在点()0,0处（ ）（c, 难难度系数0.3）A 、 连续，偏导数存在B 、连续，偏导数不存在C 、不连续，偏导数存在D 、 不连续，偏导数不存在7、设函数(),z f x y =满足222fy∂=∂，且()(),01,,0y f x f x x ==，则(),f x y =（ ）（B, 难难度系数0.4） A 、21xy y -+ B 、 21xy y ++ C 、221x y y -+ D 、 221x y y ++8、设(),zf x y =在点()00,x y 处偏导数存在，则()00,x y zx ∂=∂（ ）（B, 难难度系数0.3）A 、()()00000,,limx f x x y y f x y x ∆→+∆+∆-∆ B 、 ()()00000,,lim x f x x y f x y x ∆→+∆-∆C 、()()0000,,limx f x x y f x y x ∆→+∆-∆ D 、 ()()0000,,lim x f x y x f x y x∆→+-∆9、若()22,f xy x y x y xy +=+-，则()(),,x y f x y f x y +=（ ）（c, 难难度系数0.3）A 、22x y + B 、 23y + C 、 23y - D 、 23x +10、二元函数),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数),(00y x f x '和),(00y x f y '都存在，是),(y x f 在该点连续的（ ）条件（D,难难度系数0.3）A 、 充分条件但非必要条件B 、 必要条件但非充分条件C 、 充分必要条件D 、 既非充分条件也非必要条件 11、二元函数(),f x y 在点()0,0处连续，且偏导数存在，()0,00f =，则当()(),0,0x y ≠时，(),f x y 可以等于下列四个式子中的（ ）（c, 难难度系数0.3）A 、2422x y x y ++ BCD 、22xy x y +12、已知(),f x y = ）（c, 难难度系数0.3）A 、 ()()0,0,0,0x y f f ''都存在B 、 ()0,0x f '不存在(),0,0y f '存在C 、()0,0x f '存在(),0,0y f '不存在 D 、 ()0,0x f '(),0,0y f '都不存在13、二元函数()()()()()544,,0,0,0,,0,0x xyx y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪=⎩，则()0,0x f =（ ）（c, 难难度系数0.3）A 、 0B 、∞C 、 1D 、 不存在但不是无穷大14、二元函数()()()()()3322,,0,0,0,,0,0x y xy x y x y f x y x y ⎧-≠⎪+=⎨⎪=⎩，则下列各式错误的是（ ）（c, 难难度系数0.4） A 、()0,0x f =0 B 、()0,x f y y =- C 、()0,01xy f = D 、 ()0,01xy f =-15、曲线22:44x y z y ⎧+=⎪Γ⎨⎪=⎩在点()2,4,5处的切线与Ox 轴正向的倾角是（ ）（c, 难难度系数0.3）A 、2π B 、 3π C 、4π D 、 6π 16、设x zy =,则xy z =（）（c, 难难度系数0.2）A 、1ln x xy x -B 、()1ln x y x y -+C 、()11ln x y x y -+D 、2ln x y x17、()22,f x y xy x y π=---，则(,)f x y x∂=∂（ ）22y x y --（c, 难难度系数0.2）A 、22y x y π--- B 、 22y x y -- C 、2y x - D 、 22y x y --18、设()22,f x y xy x y e =--+，则(,)f x y y∂=∂（ ）（B, 难难度系数0.2）A 、22y x y e --- B 、2x y - C 、 22y x y -- D 、 22y x y --19、已知理想气体状态方程RT PV =，则=∂∂⋅∂∂⋅∂∂PT T V V P （ ）（A, 难难度系数0.3 A 、1- B 、 1 C 、 2 D 、 没意义20、已知()()()()()2222,,0,0(,)0,,0,0x y xy x y f x y x y x y ⎧-⎪≠=+⎨⎪=⎩，则()0,0x f =（ ）（C,难难度系数0.3）A 、 1B 、1- C 、 0 D 、 不存在21、已知()()()()()2222,,0,0(,)0,,0,0x y xy x y f x y x y x y ⎧-⎪≠=+⎨⎪=⎩，则()0,1x f =（ ）（A,难度系数0.3） A 、1- B 、 1 C 、 0 D 、 不存在22、已知()()()()()2222,,0,0(,)0,,0,0x y xy x y f x y x y x y ⎧-⎪≠=+⎨⎪=⎩，则()0,x f y =（ ）（B,难度系数0.3）A 、yB 、y -C 、x -D 、123、已知()()()()()2222,,0,0(,)0,,0,0x y xy x y f x y x y x y ⎧-⎪≠=+⎨⎪=⎩，则(),0y f x =（ ）（A,难度系数0.3）A 、xB 、y -C 、x -D 、124、设)cos()2cos(),(y x y x y x f +-=，则=')4,(ππyf （ ）（D,难度系数0.3）A 、0BC 、D 、 -25、设y x y x u arcsin)1(-+=，则xu∂∂在(2,1)的值是（ ）（A,难度系数0.1）A 、1B 、1-C 、0D 、226、设(ux y =+-，则(,1)x f x 的值是（ ）（A,难度系数0.1）A 、1B 、1-C 、0D 、2 27、设(21)arcsinx ux y y =+-，则xu ∂∂在(1,2)的值是（ ）（D,难度系数0.3）A 、1-B 、1+C 、1-D 、 31+28、设(21)arccosx u x y y=+-，则xu ∂∂在(1,2)的值是（ ）（B,难度系数0.3）A 、1-B 、1-C 、1+D 、 31+29、设(1)arctanx u y y y =+-，则xu ∂∂在(1,2)的值是（ ）（D,难度系数0.3）A 、15 B 、 15- C 、25- D 、 2530、设2arctan (21)arccoty xue y y=+-，则xu ∂∂在(1,2)的值是（ ）（C,难度系数0.3）A 、35 B 、35- C 、 65- D 、6531、设(21)arctanyux x x=+-，则u y ∂∂在(1,1)-的值是（ ）（B,难度系数0.3）A 、32 B 、 12 C 、12- D 、1 32、设2arctan 2y ux x =+，则uy∂=∂（ ）（D,难度系数0.3） 33、设2arcsin 2y ux y =+，则ux∂=∂（ ）（A,难度系数0.3）A 、212y yx - B 、22ln yxx C 、2ln y x x D 、2122214y yx x -++34、设(),z f x y x y ==+()3,4x f =（ ）（D,难度系数0.3）A 、35 B 、85 C 、15 D 、 2535、设(),ln 2y f x y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则1x y f y ==∂=∂（ ）（C,难度系数0.3）A 、23 B 、13 C 、12D 、 1 36、设2e xyu =， 则2u uxy x y∂∂+=∂∂（ ）（C,难度系数0.4） A 、1 B 、224xy x eyC 、0D 、224xy x ey-37、设2x yue=，则2ux y∂=∂∂（ ）（D,难度系数0.3） A 、22x yxe B 、2x ye C 、()2321x yyx e+ D 、()2221xyx x y e +38、设2sin xu xz y=+，则42u x y z ∂=∂∂∂（ ）（A,难度系数0.3） A 、0 B 、2xz C 、2z D 、21sin xy y-39、设xyz ln =，则22zx ∂=∂（ ）（D,难度系数0.4） A 、1 B 、0 C 、2ln 2ln ln x y y y x + D 、 2ln 2ln ln xy y y x- 40、设xyzln =，则2zx y∂=∂∂（ ）（C,难度系数0.3） A 、0 B 、ln 2ln ln 1xx y y x - C 、 ln ln ln 1x y x y xy ⋅+ D 、 2ln 2ln ln x y y y x - 41、设yxz u arctan =，则222222u u u x y z ∂∂∂++=∂∂∂（ ）（C,难度系数0.3）A 、()2224xyzxy-+ B 、()2224xyzxy-+ C 、 0 D 、1A 、B 、C 、连续D 、 不连续 42、设()22,f xy x y x y -=+，则1f f x y y∂∂+=∂∂（ ）（D,难度系数0.3） A 、0 B 、1 C 、2 D 、43 全微分及其应用1、函数(),zf x y =在点()00,x y 处具有偏导数()()0000,,,x y f x y f x y ''是函数在该点可微的（ ）（A,难度系数0.2）A 、 必要条件但非充分条件B 、充分条件但非必要条件C 、 充分必要条件D 、 既非充分条件也非必要条件 2、二元函数(),f x y 在点()0,0处可微的一个充分条件是（ ）（C,难度系数0.3）A 、()()()(),0,0lim,0,00x y f x y f →-=⎡⎤⎣⎦B 、()(),00,0lim0x f x f x→-=,且()()00,0,0lim0y f y f y →-= C 、()(,0,0,0,0lim0x y f x y f →-=D 、()()0lim ,00,00x x x f x f →''-=⎡⎤⎣⎦,且()()0lim 0,0,00y y y f y f →''⎡⎤-=⎣⎦ 3、若函数(),f x y 在点()00,x y 处的偏导数存在，则(),f x y 在该点处函数（ ）（D,难度系数0.3）A 、 有极限B 、连续C 、可微D 、 A 、B 、C 都不成立 4、考虑二元函数(),f x y 的下面4条性质：①(),f x y 在点()00,x y 处连续， ②(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数连续， ③(),f x y 在点()00,x y 处可微， ④(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数存在若用“P Q ⇒”表示可由性质P 推出性质Q ，则有（ ）（A,难度系数0.3） A 、②⇒③⇒① B 、③⇒②⇒① C 、③⇒④⇒① D 、 ③⇒①⇒④ 5、设z=()1,1dz =（ ）（B,难度系数0.3）A 、()12dx dy + B 、 dx dy + C 、 ()13dx dy + D 、)dx dy + 6、设1zx uy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()1,1,1du=（ ）（B,难度系数0.3）A 、dx dy dz ++B 、 dx dy -C 、 dx dz -D 、 dy dz -7、设cos ,sin x r y r θθ==，则xdy ydx -=（ ）（B,难度系数0.2）A 、2rd rdr θ+ B 、 2r d θ C 、 rdr D 、 rd θ8、在下列条件中，使函数(),z f x y =在点()00,x y 处可微，且全微分为零的是（ ）（D,难度系数0.3） A 、 具有偏导数且()()0000,0,,0x y f x y f x y ''== B 、()00,x y f∆=C 、()0022,sin x y x y f∆+∆∆=D 、()()0022,x y fx y ∆=∆+∆9、下列函数在点()0,0处可微的是（ ）（C,难度系数0.3）A、z =B 、()()()(),0,00,,0,0x y z x y ≠==⎩ C 、()()()()()22221sin ,,0,00,,0,0x y x y x y z x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪=⎩ D 、()()()()22,,0,00,,0,0xy x y x y z x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩10、若()()(),,zf x y x yg x y ==+，(),g x y 在点()0,0处连续，则(),f x y 在该点处结论错的是（ ）（C,难度系数0.3）A 、 有极限B 、连续C 、不可微D 、 dz dx dy =+11、若函数(),f x y 在点()00,x y 处不连续，则（ ）、（D,难度系数0.1） A 、()00,f x y 必不存在 B 、()()00(,),lim,x y x y f x y →必不存在C 、()()0000,,,x y f x y f x y 必不存在D 、 (),f x y 在()00,x y 必不可微12、函数(),f x y 在点(),x y 处可微是它在该点偏导数z x ∂∂与z y∂∂连续的（ ）条件（A,难度系数0.2） A 、 必要 B 、 充分 C 、 充要 D 、 无关 13、设432z x y x =+，则()1,2dz =（ ）（C,难度系数0.2）A 、()3342423x ydx x y dy ++ B 、1234dx dy + C 、 3412dx dy + D 、3412dx dy -14、arctanxz y=，则dz =（ ）（D,难度系数0.2） A 、22xdy ydx x y -+ B 、22xdx ydy x y -+ C 、22ydx xdy x y ++ D 、 22ydx xdyx y -+15、(),fx y 在()00,x y 的一阶偏导数连续是(),f x y 在()00,x y 可微的（ ）条件（B,难度系数0.2）A 、 必要B 、 充分C 、 充要D 、 无关16、若(),f x y =()1,1df=（ ）（D,难度系数0.2）A 、22xdx ydy x y ++ B 、221xdx ydyx y +++ C 、2dx dy+ D 、3dx dy+17、u =()0,1处的du =（ ）（B,难度系数0.3）A 、2dxB 、dxC 、()2222yx dx xydy x y--+ D 、222y dx xydyx y-+ 18、设yx yx y x z-+++=arctanln 22，则d z =（ ）（D,难度系数0.3） A 、()()22x y dy x y dxx y --++ B 、()()22x y dx x y dyx y --++C 、()()22x y dx x y dyx y ++-+ D 、()()22x y dx x y dyx y -+++19、设(),zf x y =在点()00,x y 处的全增量为z ∆,全微分为dz ,则(),z f x y =在点()00,x y 处的全增量与全微分的关系式是（ ）（B,难度系数0.2） A 、zdz ∆= B 、()z dz o dz ∆=+ C 、()z dz o z ∆=+ D 、()z dz o dx ∆=+20、函数)ln(22z y x u++=，则在点)1,0,1(A 处的全微分为（ ）（C,难度系数0.2）A 、22dx ydy zdz x y z ++++ B 、2222dx ydy zdzx y z ++++ C 、22dx dz + D 、2dx dz+ 21、函数32),(y x y x f =在点)0,0(处（ ）（D,难度系数0.3）A 、两个偏导函数连续B 、可微C 、连续且两个偏导数)0,0(),0,0(y x f f ''都不存在 D 、 连续且两个偏导数)0,0(),0,0(y x f f ''都存在，但不可微22、若(),z f x y =在点()00,x y 处可微，则下列结论错误的是（ ）（B,难度系数0.3）A 、(),z f x y =在点()00,x y 处连续B 、()(),,,x y f x y f x y 在点()00,x y 处连续C 、()(),,,x y f x y f x y 在点()00,x y 处存在D 、 曲面(),zf x y =在点()()0000,,,x y f x y 处有切平面23、二元函数),(y x f 在点),(000y x M 处连续，且),(00y x f x '和),(00y x f y '都存在，这是),(y x f 在点可微的（ ）条件（B,难度系数0.2）A 、 充分非必要B 、必要非充分C 、 充分必要D 、 既非充分亦非必要 24、．难度0、3答案 设2yu x =，则du =（ ）（A,难度系数0.3）A 、22212ln y y y xdx yx xdy -+ B 、2221ln y y y xdx x xdy -+C 、221()y y x dx dy -+ D 、22212ln y y y x dy yx xdx -+25、函数23z x y =在点()2,1-处，当0.02,0.01x y ∆=∆=-时有全增量z ∆=（ ）（C,难度系数0.1）A 、0.20B 、0.20-C 、0.2040402004-D 、0.2040402004 26、函数23z x y =在点()2,1-处，当0.02,0.01x y ∆=∆=-时有全微分d z =（ ）（C,难度系数0.1）A 、0.20B 、0.2040402004C 、0.2040402004-D 、0.20- 27、x y ucos )(ln =,则d u =（ ）（A,难度系数0.3）A 、cos cos (ln)ln ln sin ln x x y y xdx dy y y ⎡⎤-⋅+⎢⎥⎣⎦ B 、cos cos (ln )ln ln sin ln x x y y xdx dy y y ⎡⎤⋅+⎢⎥⎣⎦C 、cos sin (ln)ln ln sin ln x x y y xdx dy y y ⎡⎤-⋅+⎢⎥⎣⎦ D 、cos cos (ln )ln ln sin ln x x y y xdx dy y ⎡⎤-⋅+⎢⎥⎣⎦28、z yxu)(=,则d u =（ ）（D,难度系数0.3）A 、11()ln z x x dx dy dz y x y y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ B 、()ln z x z z x dx dy dz y x y y ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭ C 、()ln z x z z x dx dy dz y x y y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭ D 、()ln z x z z x dx dy dz y x y y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ 29、2221zy x u++=,则d u =（ ）（C,难度系数0.3）A 、()()32222xy zxdx ydy zdz -++++ B 、()()32222xy zxdx ydy zdz -++++ C 、 ()()32222x y z xdx ydy zdz --++++ D 、()()32222xy zxdx ydy zdz ++++30、(),f x y =()0,0处（ ）（C,难度系数0.3）A 、不连续B 、()0,0x f 与()0,0y f 不存在C 、 不可微D 、可微31、设xy zxe y =+，则()1,1dz =（ ）（B,难度系数0.2）A 、edx dy +B 、 ()21edx e dy ++C 、xyedx dy + D 、()()211xy xy xy e dx x e dy +++4 多元复合函数的求导法则1、设(),u f x y =，且cos ,sin x r y r θθ==，其中f 具有二阶连续的偏导数，则22uθ∂=∂（ ）（C,难度系数0.3） A 、 2222sin cos xx yy r f r f θθ+B 、 22222sin sin 2cos xx xy yy r f r f r f θθθ-+C 、 22222sin sin 2cos cos sin xx xy yy x y r f r f r f rf rf θθθθθ-+--D 、2222sin cos cos sin xx yy x y r f r f rf rf θθθθ+--2、设(),,tf x xy xyz =，其中f 具有连续二阶偏导数，则2ty z∂=∂∂（ ）（D,难度系数0.3） A 、2132333xyf x yf xyzf ++ B 、 222333x yf x yzf +C 、2223333x yf x yzf f ++ D 、 2223333x yf x yzf xf ++3、设(),,tf x xy xyz =，其中f 具有连续二阶偏导数，则22tx∂=∂（ ）（D,难度系数0.3）A 、222112233f y f y z f ++B 、 2121323222yf yzf y zf ++C 、 2222112233121323222y f yf y z f f yzf y zf +++++D 、2222112233121323222f y f y z f yf yzf y zf +++++4、设函数()()(),ux y x y x y ϕϕ=++-，其中函数ϕ具有二阶导数，则必有（ ）（B,难度系数0.3） A2222u u x y ∂∂=-∂∂ B 2222u u x y ∂∂=∂∂ C 20u x y ∂=∂∂ D 2220u ux x y∂∂+=∂∂∂ 5、设()(),,,zf x v vg x y ==，其中,f g 均有二阶连续导数，则（ ）（C,难度系数0.3）A2222f f vx v x ∂∂∂+∂∂∂ B222222f f v f vx v x v x∂∂∂∂∂++∂∂∂∂∂C222222222f f v fv f v x x v x v x v x∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫+++ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭ D2222222f fv f v x v x v x∂∂∂∂∂⎛⎫++ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭6、设函数222200,0x y z x y +≠=+=⎩，又,x t y t ==，则t dzdt ==（ ）（C,难度系数0.3） A 、 0 B、 C 、D 、 17、设函数()()()(),x yx yux y x y x y t dt ϕϕψ+-=++-+⎰，其中函数ϕ具有二阶导数，ψ具有一阶导数，则必有（ ）（B,难度系数0.4）A2222u u x y ∂∂=-∂∂ B 2222u u x y ∂∂=∂∂ C 222u u x y y ∂∂=∂∂∂ D 222u ux y x ∂∂=∂∂∂ 8、设函数()21ax e y z u a -=+，又sin ,cos y a x z x ==，则du dx=（ ）（A,难度系数0.3）A 、sin ax e x B 、cos ax e x C 、21(cos sin )1ax e a x x a ++ D 、 21cos 1axe x a + A 、 B 、 C 、 D 、 9、设()v uf z,=，其中e ,x u v x y -==+，下面运算中（ ）（B,难度系数0.3）:e x z f f I x u v-∂∂∂=-+∂∂∂，222:v f y x z II ∂∂=∂∂∂A 、I 、II 都不正确B 、I 正确，II 不正确C 、I 不正确，II 正确D 、 I 、II 都正确10、设(),u f x y xz =+有二阶连续偏导数，则2ux y∂=∂∂（ ）（C,难度系数0.3） A 、 ()2111222f xf x z f xzf ++++ B 、 1222xf xzf +C 、21222f xf xzf ++ D 、 22xzf11、设()(),,,,zf x y z yg x t ==，其中,f g 可微，则zx∂=∂（ ）（B,难度系数0.3） A 、()(),,,y x f x y z g x t - B 、 1x y x z f f g f +-C 、 ()(),,,y x f x y z g x tD 、1x y x zf fg f ++12、若设()22222,f x y x y M x y∂++=∂∂，其中f为二次连续可微函数，则（ ）（D,难度系数0.3）A 、2f f M x u v ∂∂⎛⎫=+ ⎪∂∂⎝⎭ B 、 22222f f M x u v ⎛⎫∂∂=+ ⎪∂∂⎝⎭C 、22222f f M xy u v ⎛⎫∂∂=- ⎪∂∂⎝⎭ D 、 22224f f M xy uv ⎛⎫∂∂=- ⎪∂∂⎝⎭13、若函数(),x y uxyf f t xy ⎛⎫+= ⎪⎝⎭为可微函数，且满足()22,u u x y G x y u x y ∂∂-=∂∂，则(),G x y 必等于（ ）（B,难度系数0.3） A 、x y + B 、 x y - C 、 22x y - D 、 ()2x y +14、设()()2,zf x yg x xy =-+，其中f有二阶连续导数，g 有二阶连续偏导数，则下列正确的是（ ）（C,难度系数0.3）A2x x xy zf g yg x∂''=++∂ B2,,2xy x xy xy xy xy z f xg g xyg x y ∂'''''''=-+++∂∂ C2122222z f xg g xyg x y ∂'''''''=-+++∂∂ D 2122222zf xg g xyg x y∂'''''''=-++-∂∂ 15、设函数()2222,z x y u x y ϕ=+=+，其中函数ϕ可微，则下列四个式子正确的是（ ）（B,难度系数0.2） Az u x u x ϕ∂∂∂=⋅∂∂∂ B z d u x du x ϕ∂∂=⋅∂∂ C z d du x du dx ϕ∂=⋅∂ D z du x u dxϕ∂∂=⋅∂∂16、设y zxyf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()f u 可导，则z x x ∂+∂z y y ∂∂为（ ）（D,难度系数0.2）A 、2xy B 、 ()2x y z + C 、()2x y + D 、 2z17、设)(22y x z-=ϕ，其中ϕ具有连续的导数，则下列等式成立的是（ ）（C,难度系数0.2）A 、y z y x z x∂∂=∂∂ B 、 y z x x z y ∂∂=∂∂ C 、 y z x x z y ∂∂-=∂∂ D 、 yzy x z x ∂∂-=∂∂5 隐函数求导法1、设有三元方程ln 1xzxy z y e-+=，根据隐函数存在定理，存在点()0,1,1的一个邻域，在此邻域内该方程（ ）（D,难度系数0.3）A 、只能确定一个具有连续偏导数的隐函数(),z z x y =B 、可确定俩个具有连续偏导数的隐函数(),y y x z =和(),z z x y =C 、 可确定俩个具有连续偏导数的隐函数(),x x y z =和(),z z x y =D 、 可确定俩个具有连续偏导数的隐函数(),x x y z =和(),y y x z =2、已知,tan ,cos zxx y z e xe t y t +-===，则220t d zdt ==（ ）（D,难度系数0.3）A 、12 B 、 14 C 、 18 D 、 138- 3、若(),u u x y =为可微函数，且满足()22,1,y x y x uu x y x x==∂==∂，则必有2y x u y=∂=∂（ ）（C,难度系数0.3）A 、 1B 、12 C 、 12- D 、 1- 4、设函数(),z z x y =由方程,0y z F x x ⎛⎫=⎪⎝⎭确定，其中F 为可微函数，且20F '≠，则z zxy x y∂∂+=∂∂（ ）（B,难度系数0.3） A 、 x B 、 z C 、 x - D 、 z -5、设(),z z x y =由方程()22y z xf y z +=-确定，f 可微，则z zxy x y∂∂+=∂∂（ ）（B,难度系数0.3）A 、xB 、yC 、zD 、 1 6、设函数(),z f x y =由方程()x y z x y z e-++++=确定，则（ ）（C,难度系数0.3）A 、z zx y∂∂≠∂∂ B 、2222z z x y ∂∂≠∂∂ C 、 222z z x y y ∂∂=∂∂∂ D 、 222z z x x y ∂∂≠∂∂∂7、设(),z x y 由方程()22ln 0xz xyz xyz -+=确定，则zx∂=∂（ ）（C,难度系数0.2）A 、z x B 、 x z C 、 z x - D 、 x z- 8、设ln x zz y=，则()0,1=dz （ ）（B,难度系数0.2） A 、1122dx dy + B 、 1122dx dy - C 、 dx dy + D 、 dx dy - 9、设(),0f x az y bz ++=，则z zab x y∂∂+=∂∂（ ）（C,难度系数0.3） A 、0 B 、1 C 、1- D 、 ab10、设(),z z x y =由方程222124y z x ++=确定，则（ ）（C,难度系数0.3） A 、2z xx z∂=-∂ B 、 224z x z ∂=-∂ C 、 2223416z x x z z ∂=--∂ D 、2223416z x x z z∂=-+∂11、由方程2222=+++z y x xyz 所确定的函数),(y x z z =在点()1,0,1-处的全微分=dz （ ）（C,难度系数0.3）A dy -B dy +C 、 dx -D 、dx +12、设⎪⎭⎫⎝⎛=z y z x ϕ，其中ϕ为可微函数，则z z x y x y ∂∂+=∂∂（ ）（D,难度系数0.3） A 、()x y z + B 、0 C 、z - D 、 z13、若(),zz x y =由方程,0y z F x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭确定，则z z x y x y ∂∂+=∂∂（ ）（A,难度系数0.3）A 、zB 、z -C 、0D 、 114、由方程组222222320z x yx y z ⎧=+⎪⎨++=⎪⎩所确定的()y x 及()z x 的导数dz dx =（ ）（B,难度系数0.3）A 、13y z - B 、 13x z + C 、13x z - D 、13yz+15、设函数()zf u =，又方程()()d xyu u P t t ϕ=+⎰确定u 是,x y 的函数，其中()f u 与()u ϕ均可微；()(),Pt u ϕ'连续，且()1u ϕ'≠、 则()()z zP y P x x y∂∂+=∂∂（ ）（A,难度系数0.3） A 、 0 B 、1 C 、2 D 、()()xPy yP x +6 方向导数与梯度1、函数(),arctanxf x y y =在点()0,1处的梯度等于（ ）（A,难度系数0.2） A 、iB 、i- C 、jD 、j-2、设2uxy z =-，则在点()1,2,2-处方向导数的最大值为（ ）（C,难度系数0.2） A 、 1 B 、 2 C 、 3 D 、 4 3、设2uxy z =，则在点()01,1,1M 处方向导数的最大值为（ ）（D,难度系数0.2）A 、B 、 4C 、 1D 、4、函数(),zf x y =在点()0,0处的两个偏导数()()0,0,0,0x y f f ''都存在，则在点()0,0处，函数(),z f x y =（ ）（B,难度系数0.2）A 、 沿x 轴的正向和负向的方向导数比相等B 、关于x 连续，关于y 也连续C 、 沿x 轴的正向和负向的方向导数比相等D 、 连续 5、设22223326ux y z xy x y z =++++--在原点沿()1,2,1方向的方向导数为（ ）（C,难度系数0.2） A 、B 、C 、D 、 6、函数(),f x y 在点(),x y 处可微是它在该点有方向导数的（ ）条件（D,难度系数0.1）A 、无关B 、充要C 、必要D 、充分7、在梯度向量的方向上，函数的变化率（ ）（B,难度系数0.1） A 、 B 、最大 C 、 D 、8、函数xyz u =在点)1,1,1(处沿方向}cos ,cos ,{cos γβα=l的方向导数是（ ）（B,难度系数0.2）A 、0B 、cos cos cos αβγ++ C 、1 D 、{cos ,cos ,cos }αβγ9、函数xyxu =在点)1,1,1(的梯度为（ ）（B,难度系数0.3）A 、{}1,1- B 、 {}1,1,0- C 、{}1,1,0- D 、{}1,1-10、二元函数),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数),(00y x f x '和),(00y x f y '都存在，则),(y x f （ ）（D,难度系数0.2）A 、在该点可微；B 、 在该点连续；C 、在该点沿任意方向的方向导数存在；D 、 以上结论都不对、； 11、函数e cos()x u yz =在点)0,0,0(处沿方向}2,1,2{-=l的方向导数是（ ）（D,难度系数0.3）A 、13 B 、13- C 、23- D 、 2310．难度0、3答案 函数)ln(22z y x u++=在点)1,0,1(A 处沿A 指向点)2,2,3(-B 方向的方向导数是（ ）（C,难度系数0.3） A 、1 B 、0 C 、 12 D 、12- 12．难度0、2答案 设函数u x xy xyz =++在点()1,2,0的所有方向导数中，最大的方向导数是沿方向（ ）（B,难度系数0.2）A 、{3,1,2}---B 、 {3,1,2}C 、{1,3,2}D 、{3,2,1}13、函数z=在点()0,0处沿方向{}1,0的方向导数zl∂=∂（ ）（A,难度系数0.2） A 、 1 B 、1- C 、0 D 、不存在 14、设2)0,0(,1)0,0(='='y x f f ，则（ ）（D,难度系数0.3）A 、),(y x f 在点)0,0(处连续；B 、 dy dx y x df 2),()0,0(+=；C 、 βαcos 2cos )0,0(+=∂∂lf ，其中βαcos ,cos 为l 的方向余弦；D 、),(y x f 在点)0,0(处沿x 轴负方向的方向导数为1-。

1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或卦限：A (2，1,-6)，B (0，2，0)，C (-3，0,5)，D (1，-1，-7).解：A 在V 卦限，B 在y 轴上，C 在xOz 平面上，D 在VIII 卦限。

2. 已知点M (-1，2，3)，求点M 关于坐标原点、各坐标轴及各坐标面的对称点的坐标. 解：设所求对称点的坐标为(x ，y ，z )，则(1) 由x -1=0，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于坐标原点的对称点的坐标为：(1，-2，-3). (2) 由x =-1，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于x 轴的对称点的坐标为：(-1，-2，-3). 同理可得：点M 关于y 轴的对称点的坐标为：(1， 2，-3)；关于z 轴的对称点的坐标为：(1，-2，3).(3)由x =-1，y =2，z +3=0，得到点M 关于xOy 面的对称点的坐标为：(-1， 2，-3).同理，M 关于yOz 面的对称点的坐标为：(1， 2，3)；M 关于zOx 面的对称点的坐标为：(-1，-2，3).3. 在z 轴上求与两点A (-4，1，7)和B (3，5，-2)等距离的点. 解: 设所求的点为M (0，0，z )，依题意有|MA |2=|MB |2，即(-4-0)2+(1-0)2+(7-z)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2.解之得z =11，故所求的点为M (0，0，149). 4. 证明以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解：由两点距离公式可得21214M M =，2213236,6M M M M ==所以以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 5. 设平面在坐标轴上的截距分别为a =2,b =－3,c =5,求这个平面的方程.解：所求平面方程为1235y x z++=-。