安徽省五校2021届高三上学期12月联考数学理试题

2021年高三12月联考理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．选出符合题目要求的一项填在机读卡上．1．若集合，且，则集合可能是A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以，因为，所以答案选A.2．复数在复平面上对应的点的坐标是A．B．C．D．【答案】D【解析】复数，所以对应的点位,选D.3．已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是A．B．C．D．【答案】B【解析】根据线面垂直的性质可知，B正确。

4．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为），则该棱锥的体积是A．B．C．D．【答案】A【解析】由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直且底面与垂直于底面的侧面全等的三棱锥由图中数据知此两面皆为等腰直角三角形，高为2，底面边长为2，底面面积故此三棱锥的体积为，选A.5．设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为A．B．C．D．【答案】C【解析】做出约束条件对应的可行域如图，，由得。

做直线，平移直线得当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大，所以最大值，选C.6．已知数列为等比数列，，，则的值为A．B．C．D．【答案】D【解析】在等比数列中，，所以公比，又，解得或。

由，解得，此时。

由，解得，此时991101111(1)8(1)78a a a a q a q +=+=+=--=-，综上，选D.7． 已知函数在上是增函数，，若，则的取值范围是 A ． B ． C ． D ． 【答案】B【解析】因为，所以函数为偶函数，因为函数在上是增函数，所以当时，，此时为减函数，所以当，函数单调递增。

因为，所以有，解得，即，选B.8．设、分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为 A ． B ． C ． D ． 【答案】D【解析】依题意|PF 2|=|F 1F 2|，可知三角形是一个等腰三角形，F 2在直线PF 1的投影是其中点，由勾股定理知可知，根据双曲定义可知4b ﹣2c=2a ，整理得c=2b ﹣a ，代入c 2=a 2+b 2整理得3b 2﹣4ab=0，求得=∴双曲线渐进线方程为，即。

2021年高三（上）12月联考数学试卷（理科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．（5分）设集合A={x|y=log2（x﹣2）}，B={x|x2﹣5x+4＜0}，则A∪B=（1，+∞）．考点：并集及其运算；函数的定义域及其求法；一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：求出集合A，集合B，然后求解它们的并集即可．解答：解：因为集合A={x|y=log2（x﹣2）}={x|x＞2}，集合B={x|x2﹣5x+4＜0}={x|1＜x＜4}，所以A∪B={x|x＞1}．故答案为：（1，+∞）．点评：本题考查集合的求法并集的基本运算，考查计算能力，常考题型．2．（5分）已知复数z满足z•（1﹣i）=2，其中i为虚数单位，则z=1+i．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：复数方程两边同乘1﹣i的共轭复数，然后化简即可．解答：解：由z•（1﹣i）=2，可得z•（1﹣i）（1+i）=2（1+i），所以2z=2（1+i），z=1+i．故答案为：1+i．点评：本题考查复数代数形式的混合运算，考查计算能力，常考题型．3．（5分）已知点A（﹣1，﹣5）和向量，若，则点B的坐标为（5，7）．考点：平面向量的坐标运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：设B（x，y），则=（x+1，y+5），然后由==（6，12）可求x，y，即可求解B解答：解：设B（x，y），则=（x+1，y+5）∵==（6，12）∴x+1=6，y+5=12∴x=5，y=7故答案为：（5，7）；点评：本题主要考查了向量的坐标运算，属于基础试题4．（5分）已知函数f（x）=ax2+（b﹣3）x+3，x∈[2a﹣3，4﹣a]是偶函数，则a+b=2．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：偶函数定义域关于原点对称，且f（﹣x）=f（x），由此即可求出a，b．解答：解：因为偶函数的定义域关于原点对称，所以2a﹣3+4﹣a=0，解得a=﹣1．由f（x）为偶函数，得f（﹣x）=f（x），即ax2﹣（b﹣3）x+3=ax2+（b﹣3）x+3，2（b﹣3）x=0，所以b=3．所以a+b=3﹣1=2．故答案为：2．点评：偶函数的定义域关于原点对称，f（﹣x）=f（x）恒成立，对于函数的奇偶性问题，往往从定义上考虑．5．（5分）已知x∈R，那么的必要不充分条件（“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”“既不充分又不必要”）考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意把x2＞1，解出来得x＞1或x＜﹣1，然后根据命题x＞1与命题x＞1或x＜﹣1，是否能互推，再根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．解答：解：∵x2＞1，∴x＞1或x＜﹣1，∴x＞1⇒x2＞1，反之不能推出，∴那么的必要不充分条件，故答案为：必要不充分．点评：此题主要考查必要条件、充分条件和充要条件的定义，是一道基础题．6．（5分）为了得到函数的图象，可以将函数y=cos2x的图象向右平移个单位长度考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：阅读型．分析：根据函数的平移左加右减的原则，把y=cos2x的向右平移个单位得到函数的图象．解答：解：将函数函数y=cos2x的图象向右平移个单位得到函数的图象，故答案为右，点评：本题主要考查了三角函数图象的变换．属基础题．7．（5分）若存在实数x∈[1，2]满足2x2﹣ax+2＞0，则实数a的取值范围是（﹣∞，5）．考点：特称命题．专题：不等式的解法及应用．分析：构造函数f（x）=2x2﹣ax+2，若存在实数x∈[1，2]满足2x2﹣ax+2＞0，则f（1）＞0，或f（2）＞0，进而可得实数a的取值范围解答：解：令f（x）=2x2﹣ax+2若存在实数x∈[1，2]满足2x2﹣ax+2＞0，则f（1）＞0，或f（2）＞0即4﹣a＞0，或10﹣2a＞0，即a＜4，或a＜5故a＜5即实数a的取值范围是（﹣∞，5）故答案为：（﹣∞，5）点评：本题考查的知识点是特称命题，其中构造函数，将存在性问题（特称命题），转化为不等式问题是解答的关键．8．（5分）（xx•上海）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题．分析：通过侧面展开图的面积．求出圆锥的母线，底面的半径，求出圆锥的体积即可．解答：解：由题意一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，可知，圆锥的母线为：l；因为4π=πl2，所以l=2，半圆的弧长为2π，圆锥的底面半径为2πr=2π，r=1，所以圆柱的体积为：=．故答案为：．点评：本题考查旋转体的条件的求法，侧面展开图的应用，考查空间想象能力，计算能力．9．（5分）（xx•如皋市模拟）已知=．考点：两角和与差的正弦函数．分析：观察题中角之间的关系，x+与是互补的关系，x+与是互余关系，这是解题的突破口，用诱导公式求出结论中要用的结果，题目得解．解答：解：∵，∴，∴===，故答案为：点评：在三角函数中除了诱导公式和作八个基本恒等式之外，还有两角和与差公式、倍角公式、半角公式、积化和差公式、和差化化积，此外，还有万能公式，在一般的求值或证明三角函数的题中，只要熟练的掌握以上公式，用一般常用的方法都能解决我们的问题．10．（5分）定义min{a，b，c}为a，b，c中的最小值，设f（x）=min{2x+4，x2+1，5﹣3x}，则f（x）的最大值是2．考点：函数的值域．专题：新定义．分析：根据min{a，b，c}的意义，画出函数图象，观察最大值的位置，通过求函数值，可得答案．解答：解：解：画出y=2x+4，y=x2+1，y=5﹣3x的图象，观察图象可知，当x≤﹣1时，f（x）=2x+4，当﹣1≤x≤1时，f（x）=x2+1，当x＞1时，f（x）=5﹣3x，f（x）的最大值在x=±1时取得为2，故答案为：2点评：本题考查函数的图象函数的图象、函数最值问题，利用数形结合可以很容易的得到最大值．11．（5分）在直角三角形ABC中，AB⊥AC，AB=AC=1，，则的值等于．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：先建立直角坐标系，由可求D的坐标，代入可求，，然后代入向量的数量积的坐标表示即可求解解答：解：建立如图所示的直角坐标系则A（0，0），B（0，1），C（1，0），设D（x，y）∴=（x，y﹣1），=（1﹣x，﹣y）∵∴x=，y﹣1=∴x=，y=则=（）•（，）==故答案为：点评：本题主要考查了向量的数量积的坐标表示，解题的关键是合理的建立直角坐标系．12．（5分）若a=，b=，c=，则a，b，c将用”＜”连接得c＜a＜b．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：计算题．分析：因为=，=ln ，=，所以先比较，，的大小，然后再比较，，的大小关系．解答：解：∵=，=ln ，=，∵，，，，∴，考察对数函数y=lnx，它在（0，+∞）是增函数，∴∴．故答案为：c＜a＜b．点评：本题考查对数值的大小比较，解题时要注意对数单调性的合理运用．13．（5分）（xx•四川）椭圆的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于点A、B，当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是3．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：先画出图象，结合图象得到△FAB的周长最大时对应的直线所在位置．即可求出结论．解答：解：设椭圆的右焦点为E．如图：由椭圆的定义得：△FAB的周长：AB+AF+BF=AB+（2a﹣AE）+（2a﹣BE）=4a+AB ﹣AE﹣BE；∵AE+BE≥AB；∴AB﹣AE﹣BE≤0，当AB过点E时取等号；∴AB+AF+BF=4a+AB﹣AE﹣BE≤4a；即直线x=m过椭圆的右焦点E时△FAB的周长最大；此时△FAB的高为：EF=2．此时直线x=m=c=1；把x=1代入椭圆的方程得：y=±．∴AB=3．所以：△FAB的面积等于：S△FAB=×3×EF=×3×2=3．故答案为：3．点评：本题主要考察椭圆的简单性质．在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口．解决本题的关键在于利用定义求出周长的表达式．14．（5分）已知函数，函数﹣2a+2（a＞0），若存在x1、x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围是．考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：计算题．分析：根据x的范围确定函数f（x）的值域和g（x）的值域，进而根据f（x1）=g（x2）成立，推断出，先看当二者的交集为空集时刻求得a的范围，进而可求得当集合的交集非空时a的范围．解答：解：当x∈（，1]时，是增函数，y∈（，1]，当x∈[0，]时，f（x）=﹣x+是减函数，∴y∈[0，]，如图．∴函数的值域为[0，1]．值域是，∵存在x1、x2∈[0，1]使得f（x1）=g（x2）成立，∴，若，则2﹣2a＞1或2﹣＜0，即，∴a的取值范围是．故答案为：．点评：本题主要考查了三角函数的最值，分段函数的值域问题，不等式的应用．解题的关键是通过看两函数值域之间的关系来确定a的范围．二．解答题：（本大题共6个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（14分）已知，且，A∪B=R，（1）求A；（2）实数a+b的值．考点：子集与交集、并集运算的转换．专题：计算题．分析：（1）由分式不等式的解法，解＞0可得其解集，即可得集合A；（2）根据题意，由（1）的结论，分析可得集合B，进而可得方程x2+ax+b=0的解，又由方程的根与系数的关系，可得a、b的值，将其相加即可得答案．解答：解：（1）根据题意，＞0⇒（2x﹣1）（x+2）＞0，解可得x＜﹣2或x＞，则A=（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）；（2）由（1）可得又由，A∪B=R，必有B={x|﹣2≤x≤3}，即方程x2+ax+b=0的解是x1=﹣2，x2=3于是a=﹣（x1+x2）=﹣1，b=x1x2=﹣6，∴a+b=﹣7．点评：本题考查集合的交集、并集的应用，（2）的关键是根据A、B的交集与并集，求出集合B．16．（14分）如图，斜三棱柱A1B1C1﹣ABC中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，侧面AA1C1C 是菱形，，E、F分别是A1C1、AB的中点．求证：（1）EF∥平面BB1C1C；（2）平面CEF⊥平面ABC．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：证明题．分析：（1）取BC中点M，连接FM，C1M，证明FM，推出四边形EFMC1为平行四边形，然后证明EF∥平面BB1C1C；（2）在平面AA1C1C内，作A1O⊥AC，O为垂足，证明OCA1E，得到ECA1O1，证明A1O⊥底面ABC．得到平面CEF⊥平面ABC．解答：证明：（1）取BC中点M，连接FM，C1M，在△ABC中，因为F，M分别为BA、BC的中点，所以FM，因为E为A1C1的中点，AC，所以EF∥EC1，又FM∥A1C1从而四边形EFMC1为平行四边形，所以EF∥C1M，又因为C1M⊂平面BB1C1C，EF⊄平面BB1C1C，EF∥平面BB1C1C；（2）在平面AA1C1C内，作A1O⊥AC，O为垂足，因为∠A1AC=60°，所以AO=AA1=AC，从而O为AC的中点．所以OCA1E，因而ECA1O1，因为侧面AA1C1C⊥底面ABC，交线为AC，A1O⊥AC，所以A1O⊥底面ABC．所以EC⊥底面ABC，又因为EC⊂平面EFC，所以平面CEF⊥平面ABC．点评：本小题主要考查空间线面关系，考查直线与平面平行，平面与平面垂直的证明，考查空间想像能力和推理论证能力．17．（14分）若a、b、c是△ABC三个内角A、B、C所对边，且asinAsinB+bcos2A=a （1）求；（2）当cosC=时，求cos（B﹣A）的值．考点：余弦定理；正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：（1）利用正弦定理即可求得；（2）利用余弦定理可求得c=a，从而可判断三角形△ABC为直角三角形，利用两角差的余弦即可求得答案．解答：解：（1）由正弦定理得sin2AsinB+sinBcos2A=sinA（2分）即sinB=sinA，∴= （6分）（2）∵=，∴b=a，∴由余弦定理=得c=a（8分）∴b2=3a2=a2+2a2=a2+c2，∴B=90°（10分）∴cos（B﹣A）=sinA=cosC=．（12分）点评：本题考查正弦定理与余弦定理的应用，考查两角和与差的余弦与诱导公式的应用，属于中档题．18．（16分）如图，开发商欲对边长为1km的正方形ABCD地段进行市场开发，拟在该地段的一角建设一个景观，需要建一条道路EF（点E、F分别在BC、CD上），根据规划要求△ECF的周长为2km．（1）设∠BAE=α，∠DAF=β，试求α+β的大小；（2）欲使△EAF的面积最小，试确定点E、F的位置．考点：已知三角函数模型的应用问题．专题：综合题．分析：（1）根据规划要求△ECF的周长为2km，建立等式，再利用和角的正切公式，即可求得α+β的大小；（2）先表示三角形的面积，再利用三角函数求面积的最值，从而可确定点E、F的位置．解答：解：（1）设CE=x，CF=y（0＜x≤1，0＜y≤1），则tanα=1﹣x，tanβ=1﹣y，由已知得：x+y+，即2（x+y）﹣xy=2…（4分）∴tan（α+β）===1∵0＜α+β，∴α+β=；…（8分）（2）由（1）知，S△EAF==AE×AF====…（12分）∵，∴2α=，即α=时，△EAF的面积最小，最小面积为﹣1．∵tan=，∴tan=﹣1，故此时BE=DF=﹣1．所以，当BE=DF=﹣1时，△EAF的面积最小．…（15分）点评：本题考查三角函数知识的运用，考查和角公式的运用，考查面积的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．（16分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，一条准线l：x=2．（1）求椭圆C的方程；（2）设O为坐标原点，M是l上的点，F为椭圆C的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆D交于P，Q两点．①若PQ=，求圆D的方程；②若M是l上的动点，求证：点P在定圆上，并求该定圆的方程．考直线与圆锥曲线的关系；圆的标准方程；椭圆的标准方程．点：专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由题意可知：，解方程可求a，c利用b2=a2﹣c2，可求b，即可求解椭圆C的方程（2）①先设M（2，t），然后求出圆D的方程及直线PQ的方程，联立直线与圆的方程，结合方程的根与系数关系及弦长公式及已知，可求t，进而可求②设出P，由①知P满足圆D及直线PQ的方程，代入后消去参数t即可判断解答：解：（1）由题意可知：，∴a=，c=1，b2=a2﹣c2=1，∴椭圆C的方程为：（2）①由（1）知：F（1，0），设M（2，t），则圆D的方程：，直线PQ的方程：2x+ty﹣2=0，∴，∴∴t2=4，t=±2∴圆D的方程：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2或（x﹣1）2+（y+1）2=2 ②证明：设P（x1，y1），由①知：，即：消去t得：=2∴点P在定圆x2+y2=2上．点评：本题综合考查了利用椭圆的性质求解椭圆方程，直线与圆，与椭圆位置关系的应用，还考查了运算的能力20．（16分）已知函数f（x）=﹣x3+x2+b，g（x）=alnx．（1）若f（x）在上的最大值为，求实数b的值；（2）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥﹣x2+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围；（3）在（1）的条件下，设，对任意给定的正实数a，曲线y=F（x）上是否存在两点P、Q，使得△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上？请说明理由．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题；压轴题．分析：（1）求导函数，令f′（x）=0，确定函数的单调性与极值，从而可得函数的最大值，由此可求b的值；（2）由g（x）≥﹣x2+（a+2）x，得恒成立，即，求出最小值，即可求得a的取值范围；（3）由条件，，假设曲线y=F（x）上存在两点P，Q满足题意，则P，Q只能在y 轴两侧，不妨设P（t，F（t））（t＞0），则Q（﹣t，t3+t2），且t≠1，则是否存在P，Q等价于方程﹣t2+F（t）（t3+t2）=0在t＞0且t≠1时是否有解．解答：解：（1）由f（x）=﹣x3+x2+b，得f′（x）=﹣3x2+2x=﹣x（3x﹣2），令f′（x）=0，得x=0或．列表如下：x 0f′（x）﹣0 + 0 ﹣f（x）↘极小值↗极大值↘∵，，∴，即最大值为，∴b=0．…（4分）（2）由g（x）≥﹣x2+（a+2）x，得（x﹣lnx）a≤x2﹣2x．∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x，且等号不能同时取，∴lnx＜x，即x﹣lnx＞0，∴恒成立，即．令，求导得，，当x∈[1，e]时，x﹣1≥0，lnx≤1，x+1﹣2lnx＞0，从而t′（x）≥0，∴t（x）在[1，e]上为增函数，∴t min（x）=t（1）=﹣1，∴a≤﹣1．…（8分）（3）由条件，，假设曲线y=F（x）上存在两点P，Q满足题意，则P，Q只能在y轴两侧，不妨设P（t，F（t））（t＞0），则Q（﹣t，t3+t2），且t≠1．∵△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，∴，∴﹣t2+F（t）（t3+t2）=0…（*），…（10分）是否存在P，Q等价于方程（*）在t＞0且t≠1时是否有解．①若0＜t＜1时，方程（*）为﹣t2+（﹣t3+t2）（t3+t2）=0，化简得t4﹣t2+1=0，此方程无解；…（11分）②若t＞1时，（*）方程为﹣t2+alnt•（t3+t2）=0，即，设h（t）=（t+1）lnt（t＞1），则，显然，当t＞1时，h′（t）＞0，即h（t）在（1，+∞）上为增函数，∴h（t）的值域为（h（1），+∞），即（0，+∞），∴当a＞0时，方程（*）总有解．∴对任意给定的正实数a，曲线y=F（x）上总存在两点P，Q，使得△POQ是以O （O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上．…（14分）点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，考查恒成立问题，考查是否存在问题的探究，综合性强．三、附加题21．（10分）设函数f（x）=xlnx+（1﹣x）ln（1﹣x）（0＜x＜1），求f（x）的最小值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：利用导数的运算法则即可得到f′（x），再利用导数与函数单调性、极值与最值的关系即可得到f（x）的最小值．解答：解：对函数f（x）求导数：f'（x）=（xlnx）'+[（1﹣x）ln（1﹣x）]'=lnx﹣ln（1﹣x）=．令f′（x）=0，则，解得．当0＜在区间是减函数，当1＞在区间是增函数．所以时取得最小值，．点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值、最值是解题的关键．22．（10分）已知空间三点A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5）求：（1）求以向量为一组邻边的平行四边形的面积S；（2）若向量a分别与向量垂直，且|a|=，求向量a的坐标．考点：平面向量的综合题．专题：计算题．分析：（1）由已知中空间三点A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5），我们分别求出向量，，的坐标，进而根据它们三个的模相等，判断出三角形ABC为等边三角形，进而得到以向量为一组邻边的平行四边形的面积S；（2）根据（1）中结论，易向量分别与向量垂直，且||=，设出向量的坐标，进而构造方程组，解方程组即可求出向量的坐标．解答：解：（1）∵空间三点A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5）∴=（﹣2，﹣1，3），=（1，﹣3，2），=（3，﹣2，﹣1）∵||=||=||=∴△ABC为等边三角形，故以向量为一组邻边的平行四边形的面积S==7 （2）设=（x，y，z），由已知中向量分别与向量垂直，且||=，∴解得x=y=z=±1=（1，1，1）或=（﹣1，﹣1，﹣1）点评：本题考查的知识点是向量模的运算及向量垂直的坐标表示，是平面向量的综合题，熟练掌握平面向量模的计算公式，及向量平行和垂直的坐标运算公式是解答本题的关键．23．（10分）（2011•日照模拟）设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（Ⅰ）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（Ⅱ）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．考充分条件；命题的真假判断与应用．点：分析：（1）p∧q为真，即p和q均为真，分别解出p和q中的不等式，求交集即可；（2）﹁p是﹁q的充分不必要条件⇔q是p的充分不必要条件，即q⇒p，反之不成立．即q中的不等式的解集是p中的不等式解集的子集．解答：解：（1）a=1时，命题p：x2﹣4x+3＜0⇔1＜x＜3命题q：⇔⇔2＜x≤3，p∧q为真，即p和q均为真，故实数x的取值范围是2＜x＜3（2）﹁p是﹁q的充分不必要条件⇔q是p的充分不必要条件，即q⇒p，反之不成立．即q中的不等式的解集是p中的不等式解集的子集．由（1）知命题q：2＜x≤3，命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0⇔（x﹣a）（x﹣3a）＜0由题意a＞0，所以命题p：a＜x＜3a，所以，所以1＜a≤2点评：本题考查复合命题的真假、充要条件的判断、解二次不等式等知识，考查知识点较多，但难度不大．24．（10分）（xx•江苏二模）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱AB的中点，点P在平面A1B1C1D1，D1P⊥平面PCE．试求：（1）线段D1P的长；（2）直线DE与平面PCE所成角的正弦值．考点：用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算．专题：计算题；空间角．分析：（1）建立空间直角坐标系，利用D1P⊥平面PCE，确定P的坐标，从而可求线段D1P的长；（2）由（1）知，平面平面PCE，利用向量的夹角公式可求直线DE与平面PEC所成角的正弦值为．解答：解：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则D1（0，0，2），E（2，1，0），C （0，2，0）．设P（x，y，2），则，，因为D1P⊥平面PCE，所以D1P⊥EP，D1P⊥EC，所以，解得（舍去）或…（4分）即P（），所以，所以．…（6分）（2）由（1）知，平面平面PCE，设DE与平面PEC所成角为θ，与所成角为α，则所以直线DE与平面PEC所成角的正弦值为．…（10分）点评：本题考查的知识点是用空间向量表示直线与平面所成角，建立适当的空间直角坐标系，将空间点，线，面之间的关系问题转化为向量问题是解答此类问题的关键．29520 7350 獐39259 995B 饛32199 7DC7 緇b31391 7A9F 窟Ml32561 7F31 缱29074 7192 熒z 21206 52D6 勖。

2021年高三数学12月联考试题理（含解析）本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第I卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3至第4页。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2-x）}，则P∩Q=(1)设集合P={y|y =2cosx}，Q={x∈N|y =log5A.{x|-2≤x≤2)B.{x|-2≤x<2} C．{0,1,2} D.{0,1}(2)命题p：存在x∈[0，]，使sinx +cosx>；命题q：命题“x o∈(0，+∞)，lnx o=x o-1”的否定是 x∈(0，+∞)，lnx≠x-1，则四个命题(p) V(q)、pq、(p) q、p V（q）中，正确命题的个数为A.l B．2 C．3 D．4(3)已知数列{a n}的首项为2，且数列{a n}满足，数列{a n}的前n项的和为S n,则S xx为A.504B.588C.-588D.-504(4)在△ABC中，已知向量=(2，2)， =2，= -4，则△ABC的面积为A.4 B．5 C．2 D.3(5)定义在[-2，2]上的函数f(x)满足（x1- x2）[f(x1)-f(x2)]>0，x1≠x2，且f(a2-a>[(2a -2)，则实数a的范围为A.[一l,2)B.[0,2)C.[0,1)D.[一1,1)(6)设f(x)= sinx+cosx，则函数f(x)在点（-，0）处的切线方程为A． B．C． D.(7)已知函数y=Acos（ax+）+b（a>0，0<<）的图象如图所示，则该函数的解析式可能是A．y=2cos（2x+）-1 B．y=2cos（x一）-1C．y=2cos（x+）-1 D．y=2cos（2x一）一1(8)已知S n是各项为正数的等比数列{a n}的前n项和，a2·a4 =16，S3 =7，则a8=A．32 B．64 C．128 D．256(9)已知函数f(x）=e x- 2ax，函数g（x）=-x3-ax2. 若不存在x1，x2∈R，使得f'(x1）=g'（x2），则实数a的取值范围为A．（-2,3) B．（-6,0) C.[-2,3] D．[-6,0](10)已知锐角△ABC中，角a+的终边过点P( sinB - cosA,cosB - sinA)，且cos（a+）=，则cos2a的值为A． B． C． D．(11)已知实数x，y满足，若目标函数z= ax+by +5（a>0，b>0）的最小值为2，则的最小值为A． B． C． D．(12)若y=ax+b为函数f(x）=图象的一条切线，则a+b的最小值为A．-4 B．-1 C．1 D．2第Ⅱ卷（非选择题共90分）考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试卷上作答无效．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．(13)奇函数f(x）的周期为4，且x∈[0，2]，f(x)=2x-x2，则f(xx)+f(xx)+f(xx)的值为．(14)在平面直角坐标系内，已知B(-3，一3)，C（3，-3），且H(x，y)是曲线x2 +y2 =1任意一点，则的最大值为．(15)已知函数f(x）=sinx+cosx的图象关于x=对称，把函数f(x）的图象向右平移个单位，再将横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g(x)的图象，则函数g(x)在x∈[-，]上的单调递减区间为__ 。

2021年高三数学12月联考试题理新人教A版本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前,考生务必填写好答题卷上的有关项目.2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答案涂在答题卷的相应位置上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷交回.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 复数(其中为虚数单位)的虚部为( )A．B．C．D．2．命题“,”的否定是( )A．, B．,C．, D．,3. 设向量,,且,方向相反,则的值是( )A．B．C．D．4. 下列四个函数中,最小正周期为,且图象关于直线对称的是( )A．B．C．D．5．已知三个正态分布密度函数(,)的图象如图所示,则( ) Array A．,B．,C．,D．,6．已知在上是奇函数,且满足,当时,,则( )A．B．C．7．已知双曲线的中心在原点,一个焦点为,点在双曲线上方程是( )侧视图俯视图图2ABCDPO图4A ．B ．C ．D ．8. 由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪.直到1872年,德国数学家戴德金从连续性的要求出发,用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割),并把实数理论建立在严格的科学基础上,才结束了无理数被认为“无理”的时代,也结束了持续xx 多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割,是指将有理数集划分为两个非空的子集与,且满足,,中的每一个元素都小于中的每一个元素,则称为戴德金分割.试判断,对于任一戴德金分割,下列选项中,不可能成立的是( )A ．没有最大元素,有一个最小元素B ．没有最大元素,也没有最小元素C ．有一个最大元素,有一个最小元素D ．有一个最大元素,没有最小元素二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分） (一)必做题(9～13题)9. 一支田径队有男运动员人,女运动员人,现按性别用分层抽样的方法,从中抽取位运动员进行健康检查,则男运动员应抽取________人.10.一个几何体的三视图(单位:)如图所示,则该几何体的体积是 _ .11.某程序框图如图所示,该程序运行后,输出的值为,则等于______. 12.若(),记,则的值为_______.13.已知为平面内的一个区域.:点；:点.如果是的充分条件,那么区域的面积的最小值是_________．(二)选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）14.(坐标系与参数方程选讲选做题)在直角坐标系中,已知曲线:(为参数)与曲线:(为参数)相交于、两点,则线段的长为 .15.(几何证明选讲选做题)如图,、为的两条割线, 若,,,,则 .三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本题满分12分)设的内角所对边的长分别为,且. (Ⅰ) 求的度数； (Ⅱ) 若,,求的面积.CC 1B 1AA 1BD图517.(本题满分12分)某中学校本课程共开设了共门选修课,每个学生必须且只能选修门选修课,现有该校的甲、乙、丙名学生.(Ⅰ) 求这名学生选修课所有选法的总数； (Ⅱ) 求恰有门选修课没有被这名学生选择的概率； (Ⅲ) 求选修课被这名学生选择的人数的分布列和数学期望.18.(本题满分14分)如图,三棱柱中,,,平面平面, 与相交于点. (Ⅰ) 求证:平面； (Ⅱ) 求二面角的余弦值.19.(本题满分14分)已知各项均为正数的数列的前项和为,且(). (Ⅰ) 求的值及数列的通项公式； (Ⅱ) 记数列的前项和为,求证:()；20.(本题满分14分)已知两点、,动点与、两点连线的斜率、满足.(Ⅰ) 求动点的轨迹的方程；（Ⅱ）是曲线与轴正半轴的交点,曲线上是否存在两点、,使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在,请说明有几个；若不存在,请说明理由.21.(本题满分14分)已知函数,(其中).(Ⅰ) 如果函数和有相同的极值点,求的值,并直接写出函数的单调区间；(Ⅱ) 求方程在区间上实数解的个数.xx届七校第二次联考理科数学参考答案与评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分[必做题]9．； 10．； 11．； 12．； 13.； [选做题]14．； 15.CC 1 B 1AA 1BDH第18题传统法图B三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.【解析】(Ⅰ) 因为,,所以, ………………………………………………………………………2分 又,所以,所以, ………………………………………………4分因为,所以. …………………………………………………………………………6分 (Ⅱ) 在中, 由余弦定理可得,………………………………………8分 即,解得或(舍去) ……………………………………………………10分 所以 ……………………………………………………12分17.【解析】(Ⅰ)每个学生有四个不同选择,根据分步计数原理,选法总数 ………2分 (Ⅱ) 设“恰有门选修课没有被这名学生选择”为事件,则,即恰有门选修课没有被这名学生选择的概率为.…………………5分 (Ⅲ) 的所有可能取值为,且 , ,, ……………………………………………… 9分 所以的分布列为所以期望27279130123646464644EX =⨯+⨯+⨯+⨯=.…………………………………12分 或:因为选修课被每位学生选中的概率均为,没被选中的概率均为. 所以的所有可能取值为,且, , ,, …………………………………… 9分 所以的分布列为所以的数学期望.12分 18.【解析】(Ⅰ)依题意,侧面是菱形,是的中点,因为,所以, 又平面平面,且平面,平面平面所以平面.………………………………………………………………………………5分 (Ⅱ)[传统法]由(Ⅰ)知平面,面,所以, 又,,所以平面, 过作,垂足为,连结,则,所以为二面角的平面角. …………9分在中,, 所以,……12分所以,即二面角的余弦值是. ………………………14分[向量法]以为原点,建立空间直角坐标系如图所示, …………………………………6分 由已知可得112,1,AC AD BD A D DC BC =====故()()(()()10,0,0,1,0,0,,1,0,0,D A B C C -, 则,………………8分……………………10分 ……………………10分设平面的一个法向量是, 则,即,解得令,得………………………………………11分 显然是平面的一个法向量, ……………12分所以cos ,55DC DC DC⋅<>===n n n ,即二面角的余弦值是.………14分 19.【解析】(Ⅰ)当时,,解得或(舍去)． ……2分 当时,,,相减得,………4分 即,又,所以,则,所以是首项为,公差为的等差数列,故． ………………………………………6分 (Ⅱ) 证法一:当时,． ………………………………………………7分 当时,()()()3322111118881181n a n n n n n n n n ==<=⋅-+-……10分 所以()()3111111112161223233411n n n n ⎡⎤<+-+-++-⎢⎥⨯⨯⨯⨯-+⎣⎦ ()1111111581621816232n n ⎡⎤=+-<+⨯=⎢⎥+⎣⎦. 综上,对任意,均有成立.………………………………………………………14分 证法二:当时,． ………………………………………………7分 当时,先证,即证()()()232414420n n n n n n n n --=-+=-≥显然成立.所以………………………………………………10分 所以3111111111111511232223183283232n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤+-+-++-=+-<+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦,综上,对任意,均有成立.………………………………………………………………14分 20.【解析】(Ⅰ)设点的坐标为(),则,,……………………2分 依题意,所以,化简得,……………………………4分所以动点的轨迹的方程为().………………………………………5分 注:如果未说明(或注),扣1分. （Ⅱ）设能构成等腰直角,其中为,由题意可知,直角边,不可能垂直或平行于轴,故可设所在直线的方程为, (不妨设),则所在直线的方程为…………………………………………7分 联立方程,消去整理得,解得, 将代入可得,故点的坐标为. 所以HM ==………………………………………9分 同理可得,由,得,所以,整理得,解得或……………11分当斜率时,斜率；当斜率时,斜率； 当斜率时,斜率, 综上所述,符合条件的三角形有个.…………………………………………………………………14分21.【解析】(Ⅰ),则, ……………………………………………………1分 令,得或,而二次函数在处有极大值,所以或,解得或； ……………………………………………………………………………………4分 当时,的递增区间为,,递减区间为.………………………………5分 当时,的递增区间为,递减区间为.……………………6分 (Ⅱ)()()()()221f x g x x x a x a x a ⎡⎤-=---+-+⎣⎦,…………………………………………………………………………8分 令,,当即时,无实根,故原方程的解为,满足题意,即原方程有唯一实数解；……………………………………………………………9分 当即或时,若,则的实数解为,故原方程在区间上有唯一实数解；若,则的实数解为,故原方程在区间上有两实数解,或；……10分 当即或时,若,由于()()()110,01,31330h a h h a -=+<==->,此时在区间上有一实数解,故原方程有唯一实数解； …………………………………………………………………11分若时,由于()()()114,01,3133h a h h a -=+>==-,当即时,在区间上有唯一实数解,故原方程有一实数解； 若即时,在区间上无实数解,故原方程有无实数解；…13分 综上,当时,原方程在上无实数解；当或时,原方程在上有唯一实数解；当时,原方程在上有两不等实数解.……………………………………………………14分• 32403 7E93 纓@20347 4F7B 佻30086 7586 疆 o22218 56CA 囊21771 550B 唋R38738 9752 青(。

安徽省五校2021届上学期高三年级12月联考数学试卷（理科）怀远一中、颍上一中、蒙城一中、涡阳一中、淮南一中满分150分，考试时间120分钟。

本卷命题范围：集合与常用逻辑用语，函数、导数及其应用（含定积分），三角函数、解三角形，平面向量，复数，数列。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}24,A x x =≤≤{}2430B x x x =-+<，则AB =A ．{}14x x <<B ．{}23x x ≤<C ．{}23x x <<D ．{}14x x <≤ 2.已知复数z 满足i 1i z ⋅=+，其中i 为虚数单位，则z 的共轭复数为A ．1i -+B ．1i --C ．1i +D ．1i -3.设: |1|1p x +<，:22q x -<<，则p 是q 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.已知点A B ，是圆O 上两点，2π3AOB ∠=，AOB ∠的平分线交圆O 于点C ，则OC =A ．1122OA OB + B 3OB+ C ．2233OA OB + D ．OA OB + 5.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1所示）.假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心O 到水面的距离h 为1.5m ，筒车的半径r 为2.5m ，筒车转动的角速度ω为πrad /s 12，如图2所示，盛水桶M 在0P 处距水面的距离为3m ，则2s 后盛水桶M 到水面的距离近似为图1 图2A ．3.2mB ．3.4mC ．3.6mD ．3.8m 6.记n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知30S =，68a =，则10a =A ．12B ．14C ．16D ．187.函数21()log ||f x x =的部分图象可能是8.已知2.02=a ，2.0log 2=b ，2log 2.0=c ，则,,a b c 的大小关系为A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．a c b <<9.已知ABC △的等边三角形，点D 为ABC △内一点，且120ADC ∠=︒，1AD =，则BD =A ．12 B ． 2C. 1 D 10.已知函数22()log |1|21f x x x x =-+-+，则不等式(21)(1)f x f x -<+的解集为A ．2(,1)(1,2)3 B ．2(2,0)(0,)3- C ．2(,2)3 D ．2(,2)(,)3-∞-+∞ 11.已知函数π()sin(),(0,||)2f x x ωϕωϕ=+>≤，π4x =-是()f x 的零点，直线π4x =是()f x 图象的对称轴，且()f x 在ππ()42，上单调，则ω的最大值为A ．1B ．2C ．3D ．412.若关于x 的不等式2e (ln )x a x x x ≥-对任意(0,+)x ∈∞恒成立，则实数a 的取值范围为A ．2(,e ]-∞B ．(,e]-∞C ．(,1]-∞D ．1(,]e-∞ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知向量,a b 为单位向量，其夹角为π3，则|2|+=a b . 14.函数2()23ln f x x x x =--的极小值为 .15.已知复数12,z z 满足1||1z =，234i z =+，其中i 为虚数单位，则12||z z -的最大值为 . 16.已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，q 为{}n a 的公比且43ln S S =.若11>S ，则下列命题中所有正确的序号是 .①10q -<<；②40a >；③321S S S >+；④321S S S <+.三、解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17题满分为10分，第18~22题每题满分为12分.17.（10分）已知函数1 22()(1)f x x ax -=-+.（1）若函数()f x 的定义域为R ，求实数a 的取值范围； （2）若1[,2]2x ∀∈，都有()12f x ≤成立，求实数a 的取值范围.18.（12分）已知向量a =(cos ,sin )x x ，b 33(cos sin ,cos sin )=+-x x x x ，设函数()=f x ⋅a b .（1）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）若关于x 的方程()0f x m -=在π[0,]2上有两个不同的实数解，求实数m 的取值范围.19.（12分）设数列{}n a 满足13a =，1233n n a a n +=-+. （1）计算2a ，3a ，猜想{}n a 的通项公式并加以证明； （2）求数列1{}3nn a +的前n 项和n S .20.（12分）ABC △的内角,,A B C 的对边分别是,,a b c .设sin 2sin A Ca b=. （1）判断ABC △的形状；（2）若ABC △的外接圆半径为1，求ABC △周长的最大值.21.（12分）第二届阜阳花博会2020年9月28日在颍上八里河开幕，其主题为“花漾水上，花开颍上”．据调研获悉，某花卉基地培育有水生与水陆两生花卉30余种，计划在花博会期间举行展销活动．经分析预算，投入展销费x 万元时，销售量为m 万个单位，且112++=x x m （a a x -≤<20，a 为正实数）．假定销售量与基地的培育量相等，已知该基地每培育m 万个单位还需要投入成本(21)m +万元（不含展销费），花卉的销售价定为4(11)m+万元/万个单位．（1）写出该花卉基地的销售利润y 万元与展销费x 万元的函数关系； （2）展销费x 为多少万元时，该花卉基地可以获得最大利润？ （注：⨯--利润=销售价销售量投入成本展销费） 22.（12分）已知函数ln ()e xxf x a x=+，()()g x xf x x =+.（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线过点(2,1)，求实数a 的值； （2）当21ea =-时，证明：()2g x <.安徽省五校2021届上学期高三年级12月联考数学试卷（理科）怀远一中、颍上一中、蒙城一中、涡阳一中、淮南一中参考答案【解析】11. 由对称轴和零点可知()(),444T k N T ω--=∈=，得到N k k ∈+=,12ω①由()f x 在区间ππ()42，上单调可知πππ242T ω-≤=，得到4≤ω②，由①②可知ω可能取3.当3ω=时，可得4πϕ=-，()⎪⎭⎫⎝⎛-=43sin πx x f 满足在⎪⎭⎫⎝⎛24ππ，上单调，所以3=ω满足题意，故ω的最大值为3.12.解法一：易知2ln 0x x x ->在(0,)x ∈+∞时恒成立，从而可知0a ≤满足题意；当0a >时，原不等式可化为21ln e x x x x a -≥.记2ln ()e xx x xg x -=，则max 1()g x a ≥.而 (1)(ln 1)()exx x x g x --+'=，ln 10x x -+≤，因此，(0,1)x ∈时()0g x '>；(1,)x ∈+∞时 ()0g x '<；所以，max 1()(1)e g x g ==，11ea ≥，0e a <≤.又0a ≤也满足题意，所以a 的取值范围为(,e]-∞，故选D.解法二：原不等式可化为ln e e (ln )xx x a x x x-=≥-，令ln t x x =-，则1t ≥.从而e t at ≥在[1,)t ∈+∞恒成立，由切线法知，e a ≤.14.1- 15.6 16.①③【解析】15. 由复数的几何意义可知，复数1z 在复平面内对应的点P 在以原点为圆心的单位圆上，2z 对应的点为定点(3,4)Q ，则12z z -表示P ，Q 两点间距离，由解析几何知识得16=. 16.43ln ,S S =34330,ln 1S S S S ∴>=≤-，进而得41a ≤-..0,11<∴>q a 又2210,11,q q q q q <-+>++>若，则21131,(1)1,1,a a q q S >∴++>>即 23234341ln 0,(1)0, 10,S S S a q q q q q q ∴=>=+++>+++>.1,0)1)(1(,0)1()1(22相矛盾这与-<>++∴>+++∴q q q q q q 1312310,,..q a a S S S ∴-<<∴>+>即17.【解】（1）由题意可知210x ax -+>在R 上恒成立，故0∆<……………2分可得a 2-4＜0，解得22a -<< ………………………………4分 （2）由题意可得，1 221(1)2x ax --+≤，也即1[,2]2x ∀∈时214x ax -+≥恒成立可化为23x a x -≤…6分 设()23x g x x -=，只要()min a g x ≤即可…8分 ()2310g x x '=+>，所以()min11122g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以11.2a ≤-……10分 18.【解】（1）44()cos cos sin sin cos sin f x x x x x x x =++-2222(cos sin )(cos sin )2sin cos x x x x x x =-++cos2sin 2x x =+π24x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭…2分周期2ππ2T ==…3分 由222,Z 242k x k k πππππ-+<+<+∈…4分 解得3ππππ,Z 88k x k k -+<<+∈…5分 所以，函数()f x 的单调递增区间为3πππ,π,Z 88k k k ⎛⎫-++∈⎪⎝⎭.………6分 （2）由方程()0f x m -=在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数解，可得()m f x =在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数解，即函数y m =与函数π(),02y f x x =≤≤的图象有两个交点…8分令π24t x =+，则π5π44t ≤≤，即函数y m =与函数()g t t =，π5π44t ≤≤的图象有两个交点，函数()y g t =在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在π5π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，草图如下：且ππ5π()()1,()1244g g g ===-…10分 故1m ≤<分19.【解】（1）.9,632==a a …2分 猜想：,3n a n =…3分 证明：由已知可得),3(2)1(31n a n a n n -=+-+[],)1(3231--=--n a n a n n ........2132(3)a a -=- .3,31n a a n =∴= …6分（2）,.3311n n n n a =+）得由（……7分 .331........333231132nn nnn S +-++++=∴- ①.331........333231311432++-++++=∴n n n n n S ②……8分 ①-②可得,331......31313212+-+++=n n n n S …10分 nn n nS 32341431⋅-⋅-=∴- 12分 20.【解】（1）解法一：ABC △中，由sin 2sin A C a b =及正弦定理得，2sin cos sin sin sin A A CA B=. 2cos sin sin A B C ∴=…2分 又 sin sin()C A B =+ 2cos sin sin()A B A B ∴=+，进而sin()0A B -= A B ∴=，从而即得ABC △为等腰三角形.……5分 解法二：ABC △中，由sin 2sin A C a b =及正弦定理得，2sin cos sin A A Ca b=， 进而2cos a A c a b = 2cos c A b ∴=.…2分 由余弦定理，222 22b c a cbc b+-=，化简得22a b =，即a b =. 所以ABC △为等腰三角形……5分 （2）由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C===（2R 为ABC △的外接圆直径）及题意， 2sin ,2sin ,2sin a A b B c C === 2(sin sin sin )a b c A B C ∴++=++…7分由（1）知，A B =且πA B C ++=π4sin 2sin 2, (0,)2a b c A A A ∴++=+∈…9分 令π()4sin 2sin 2, (0,)2f A A A A =+∈，则2()4cos 4cos 24(2cos cos 1)4(2cos 1)(cos 1)f A A A A A A A '=+=+-=-+， 易知，当π (0,)3A ∈时，()0f A '>，()f A 为递增的；当ππ (,)32A ∈时，()0f A '<，()f A为递减的.……11分 所以，当π 3A =时()f A 有最大值ππ2π()4sin 2sin333f =+=也即ABC △周长的最大值为 …………………………12分21.【解】（1）由题意得()x m m m y -+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=12411…2分x m -+=39x x x -+++⋅=311294分x x -+-=1921， 所以x x y -+-=1921（a a x -≤<20，a 为正实数）……………5分 （2）由（1）得x x y -+-=1921()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-=19122x x ……7分 易知20<<x ，函数递增，2>x ，函数递减……8分又02>-a a ，a 为正实数，故1>a ……9分所以，当22>-a a ，即2>a 时，31=+x ，2=x 时，函数取得最大值……10分 当22≤-a a ，即21≤<a 时，a a x -=2时，函数取得最大值……11分综上所述，当2>a 时，展销费为2万元时，该花卉基地可以获得最大利润；当21≤<a 时，展销费为2()a a -万元时，该花卉基地可以获得最大利润…12分 22.【解】（1）解法一：由题意，21ln ()e ,xxf x a x-'=+……1分 (1)e 1, (1) e.f a f a '∴=+=…2分 从而，曲线()f x 在点(1,(1))f 处切线方程为e (e 1)(1)y a a x -=+-3分 又该切线过点(2,1)，则有1e e 1a a -=+ 4分 解得0a =5分解法二：由题意，21ln ()e ,xxf x a x-'=+……1分 (1)e 1, (1) e.f a f a '∴=+= …2分 由曲线()f x 在点(1,(1))f 处切线过点(2,1)，则有(1)1e 112f a -=+-…4分即1e e 1a a -=+，解得0a =……5分（2）解法一：由题意，2()e ln ,(0)x g x x x x x -=-++>，则2211()(1)e1(1)(e )x x g x x x x x--'=-+++=+-.……7分 易知10x +>，记21()e x h x x -=-，则可知()h x 在(0,)+∞上递减，且1(1)10eh =->， 1(2)02h =-<0 (1,2)x ∴∃∈.使得0()0h x =.……9分从而，当0(0,)x x ∈时()0h x >，即()0g x '>；当0(,)x x ∈+∞时()0h x <，即()0g x '<.()g x ∴在0(0,)x 递增，在0(,)x +∞递减.…10分由0()0h x =可得020e1x x -=及00ln +2x x =02max 0000 g ()()e ln 1212x x g x x x x -∴==-++=-+=<(注：此处或者处理为“由0()0h x =可得020e1x x -=，max 000 g ()()1ln 1ln 22ln212x g x x x ∴==-++<-++=+<”）从而 ()2g x <…12分解法二：记 ()ln 1,0h x x x x =-+>，则1()1,h x x'=-…6分 易知(0,1), ()0;(1,), ()0.x h x x h x ''∈>∈+∞<时时所以在(0,1)递增，在(1,)+∞递减，则()(1)0h x h ≤=.………7分从而有 ()ln 10,ln 1;h x x x x x =-+≤≤- (e )ln e e 10,e 1.xxxxh x =-+≤≥+…9分由题意及上述结果225()eln [(2)1](1)3124x g x x x x x x x x x x -=-++≤--++-+=-+-≤<12分 解法三：由题意，欲证 2()e ln 2,x g x x x x -=-++<，只需证2ln 2e x x x x x-+<+.……6分 记ln (),0.x x m x x x +=>则1ln (),xm x x-'=从而易知()m x 在e x =处有极大值也是最大值11e+. …8分 记22()e ,0.x n x x x -=+>则222()e ,x n x x-'=-+易知()n x '在(0,)+∞递增， 且11(1)20,(2)10e 2n n ''=-+<=-+>，因此0(1,2),x ∃0()0n x '=，()n x 有最小值0()n x .而021200221()e e 12ex n x x --=+>+=+……11分 从而即证()()m x n x <，也即 ()2g x <.…12分。

2021年高三上学期12月联考数学（理）试题 含答案考试时间：120分钟 试卷满分：150分 一：选择题：（每题5分，共60分）．1.设{}{}R x y y Q R x x y y P x ∈==∈+-==,2,,12，则 （ ） A. B. C.D.2已知为两个命题，则“是真命题”是 “是真命题”的（ ）A ．充分不必要条B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．已知函数的大致图象如图所示， 则函数的解析式应为（ ）A. B.C. D.4.已知，若恒成立，则实数的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ．5. 过椭圆的右焦点作倾斜角为弦AB ，则为（ ）A. B. C. D.6. 已知函数在上有两个零点，则m 的取值范围为（ ）A. B C. D.7.设，曲线在处的切线与轴的交点的纵坐标为，则( ) A.80 B 32 C. 192 D. 256 8. 设有一立体的三视图如下，则该立体体积为（ ）正视图 侧视图2231221俯视图（圆和正方形）A. 4+B. 4+C. 4+D. 4+ 9．已知=(cos π, sin π), , ，若△OAB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB 的面积等于（ ）A ．1B ．C ．2D ．10. 在椭圆（ａ＞）中，记左焦点为F,右顶点为A ，短轴上方的端点为B ，若角，则椭圆的离心率为（ ） A ． B ． C ． D ． 11．在正三棱柱中，若,则与所成的角的大小是（ ）12．如果直线与圆交于M,N 两点，且M,N 关于直线对称，动点P(a ，b)在不等式组表示的平面区域内部及边界上运动，则点取值范围是（ ） A B C D二：填空题：（每题5分，共20分）． 13.计算定积分=________．14.夹在的二面角内的一个球与二面角的两个面的切点到棱的距离都是6，则这个球的半径为_______． 15.记函数的导数为，的导数为的导数为。

2021年高三上学期12月联考试题 数学 含答案一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．已知集合{1,3},{0,1,},{0,1,3},A B a A B a ==⋃==则 ▲ ．2．如果复数为纯虚数，则= ▲ ． 3．如右图程序运行的结果是 ▲ ．4．小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面． 他把4枚硬币叠成一摞（如右图），则所有相邻两枚硬币中 至少有一组同一面不相对的概率是 ▲ ．5．甲､乙两个样本数据的茎叶图（如右图），则甲､乙两样 本方差中较小的一个方差是 ▲ ． 6．已知三个球的半径、、满足， 记它们的表面积分别为、、，若， 则 ▲ ．7．经过函数上一点引切线与轴、轴分别交于点和点，为坐标原点,记的面积为,则= ▲ ． 8．函数f(x)＝Asin (ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A>0，ω>0)的图象如右图所示，若，则= ▲ ．9．在△ABC 中，所对边的长分别为a ，b ，c ． 已知a ＋2c ＝2b ，sinB ＝2sinC ，则＝ ▲ ．10．如右图，线段的长度为，点分别在轴的正半轴和轴的正半轴上滑动，以线段为一边，在第一象限内作等边三角形，为坐标原点，则的取值范围是 ▲ ．11．已知动圆与直线相切于点，圆被轴所截得的弦长为，则满足条件的所有圆的半径之积是 ▲ ． 12．已知函数，则不等式的解集为 ▲ ．(第10题图 )BO CAy x(第4题图 )(第8题图 )（第3题WhileEnd WhilePrint b(第5题图)13．集合{}1007*(,)(1)(2)()6,,A m n m m m n m Z n N =++++++=∈∈，则集合中的元素个数为 ▲ ． 14．实数，满足如果它们的平方组成公差的等差数列，当 取最小值时，= ▲ ．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，点的坐标为，点的坐标为，其中，设（为坐标原点）. （Ⅰ）若，为的内角，当时，求的大小；（Ⅱ）记函数的值域为集合，不等式的解集为集合.当时，求实数的最大值.16．（本小题满分14分）如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别为A 1C 1，BB 1的中点，B 1C ⊥AB ，侧面BCC 1B 1为菱形．求证：（Ⅰ）DE ∥平面ABC 1； （Ⅱ）B 1C ⊥DE ．17．（本小题满分14分）某油库的设计容量为30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前个月的需求总量（万吨）与的函数关系为，若区域外前4个月的需求总量为20万吨．（Ⅰ）试求出当第个月的石油调出后，油库内储油量（万吨）与的函数关系式；（Ⅱ）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定的取值范围．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆：的离心率为，且右焦点F 到左准线l 的距ABCDA 1B 1C 1E离为.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）（1）设椭圆上的任一点，从原点向圆引两条切线，设两条切线的斜率分别为，当为定值时求的值；（2）在（1）的条件下，当两条切线分别交椭圆于时，试探究是否为定值，若是，求出其值；若不是，请说明理由． 19．（本小题满分16分）设函数．（Ⅰ）若，函数在的值域为，求函数的零点； （Ⅱ）若，，．（1）对任意的,恒成立, 求实数的最小值； (2)令,若存在使得,求实数的取值范围.20．（本小题满分16分）已知数列为等差数列，，的前和为，数列为等比数列，且2112233(1)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+对任意的恒成立.（Ⅰ）求数列、的通项公式；（Ⅱ）是否存在非零整数，使不等式112111(1)(1)(1)cos 2n n a a a a πλ+--⋅⋅⋅⋅⋅⋅-<对一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.（Ⅲ）各项均为正整数的无穷等差数列，满足，且存在正整数k ，使成等比数列，若数列的公差为d ，求d 的所有可能取值之和．高三数学附加题 xx.12.1821．（选修4－2 矩阵与变换）（本小题满分10分）已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 c d ，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2．求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵．22．（选修4－4 坐标系与参数方程）（本小题满分10分）在极坐标系中，直线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数），求直线与曲线的交点P 的直角坐标.23．（本小题满分10分）抛掷甲，乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记底面上所得的数字分别为x ，y ．记表示的整数部分，如：，设为随机变量，． （Ⅰ）求概率；（Ⅱ）求的分布列，并求其数学期望．24．（本小题满分10分）数学运算中，常用符号来表示算式，如=，其中，. （Ⅰ）若，，，…，成等差数列，且，公差，求证：； （Ⅱ）若，，记，且不等式对于恒成立，求实数的取值范围.高三数学质量检测参考答案 xx.12.18一、填空题：1． 3 2． 3． 96 4． 5．23 6． 7． 8． 9．2410． 11． 12． 13． xx 14． 二、解答题：15．解：(Ⅰ)由题意()⎪⎭⎫⎝⎛+=+=+=⋅=32sin 22cos 32sin cos 3sin πωωx x x x x ON OM x f 3分当时，，75130,2,2333366A A A πππππππ<<∴<+<∴+=或， . ……7分（Ⅱ）由()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=3sin 2cos 3sin πωωωx x x x f 得，的值域， ……10分 又的解为，故要使恒成立，只需，所以的最大值为2. ……14分16．解：（Ⅰ）如图，取AA 1的中点F ，连DF ，FE ． 又因为D ，E 分别为A 1C 1，BB 1的中点， 所以DF ∥AC 1，EF ∥AB ．因为DF 平面ABC 1，AC 1平面ABC 1，故DF ∥平面ABC 1． ……3分 同理，EF ∥平面ABC 1．因为DF ，EF 为平面DEF 内的两条相交直线，所以平面DEF ∥平面ABC 1． ……5分 因为DE 平面DEF ，所以DE ∥平面ABC 1． ……7分 （Ⅱ）因为三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧面BCC 1B 1为菱形， 故B 1C ⊥BC 1． ……9分又B 1C ⊥AB ，且AB ，BC 1为平面ABC 1内的两条相交直线，所以B 1C ⊥平面ABC 1． ……12分 而平面DEF ∥平面ABC 1，所以B 1C ⊥平面DEF ，因为DE 平面DEF ，所以B 1C ⊥DE ． ……14分 17．解：（Ⅰ）由条件得，所以 2分，（）． ……4分 （Ⅱ）因为，所以()*100116,1030mx x x x mx x ⎧+--≥⎪≤≤∈⎨+--≤⎪⎩N 恒成立， ……6分()*101116,201m x x x m x ⎧≥-++⎪⎪⇒≤≤∈⎨⎪≤++⎪⎩N 恒成立， ……8分 设，则：，恒成立， ……10分由221711010110()1224m t t t t ⎛⎫≥-++=--+≤≤ ⎪⎝⎭恒成立得（时取等号）， 恒成立得（时取等号）． ……13分答：的取值范围是． ……14分 18．解：（Ⅰ）依题意，，解得则，所以椭圆的方程为． ……4分 （Ⅱ）（1）依题意，两条切线方程分别为，11由,化简得， 同理．所以是方程的两个不相等的实数根， . ……7分 因为，所以，所以.据,为定值得：. ……10分 （2）由（1）得，，设,则,所以，因为，所以， ……13分 所以，所以，，所以． ……16分 19．解：（Ⅰ）当时，① 若，则恒成立，函数单调递减， 又函数在的值域为，，此方程无解．……2分② 若，则．（i ）若，即时，，此方程组无解； （ii ），即时，，所以c=3； （iii ），即时，，此方程无解．由①、②可得，c=3．的零点为：． ……6分 (Ⅱ) 由，得：，， ……7分 又，对任意的,恒成立．当时，， ……8分 又时，对任意的,))2221)12121x x x ⎡⎤-+=-⎣⎦，即时，，实数的最小值是1，即． ……10分 (Ⅲ) 法1：由题意可知， 在上恒成立，在上恒成立； ……12分由(Ⅱ)得：在上恒成立， ……13分 ．又因为当时,，)111)(1)1x x -+≤≤-+．()()()()11)13(1)13(1136136+--++-≤≤+-++x x x x x ϕ， 即，，，……15分 .. ……16分 法2：]21)1(21[21)1(212)(2222+-++=+-++=x x x x x ϕ，……12分 设，则，由下图得： ， ∴，，． ……16分20．解：（Ⅰ）法1：设数列的公差为，数列的公比为.因为2112233(1)24()n n n a b a b a b a b n n +*+++⋅⋅⋅+=-⋅+∈N令分别得，，，又 所以即，得或，经检验符合题意，不合题意，舍去.所以. ……4分法2：因为2112233(1)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+ ①对任意的恒成立则1112233-1-1(2)24n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=-⋅+（） ②①②得，又，也符合上式，所以 由于为等差数列，令，则， 因为为等比数列，则（为常数），即2(2)(22)0qk k n bq kq b k n qb -+--+-=对于恒成立， ，所以．又，所以，故． ……4分 （Ⅱ）由，得， 设，则不等式等价于．∵，且，∴，数列单调递增. ……6分假设存在这样的实数，使得不等式对一切都成立，则 ①当为奇数时，得； ② 当为偶数时，得，即．综上，，由是非零整数，可知存在满足条件． ……9分 （Ⅲ）易知d =0，成立． ……10分 当d>0时，3911382014201438c c d c d =+=⇒=-， ，[][]22391(201438)2014(39)2014,38(53)2014(39)20142014,k c c c d k d d k d =⇒-+-=⇒-+-=⨯()()53201439532014d k d ⇒-+-=⨯⎡⎤⎣⎦，()23953(77)0(39)53(77)k d k d k d k ⇒--+-=⇒-=-，395353107(53)395377kd d k d k d ⇒-=-⨯⇒-=-⨯， ……12分*39537739(53)5339537753385338393953535353d d k N d d d d-⨯-+⨯-⨯⨯⨯===-=+∈----，又120143838(53)0530c d d d d =-=->⇒->⎧⎨>⎩，， ，，所以公差d 的所有可能取值之和为．……16分高三数学附加题试卷参考答案 xx.12.1821．解：由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11可得，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝6⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，即c ＋d ＝6； ……3分 由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2，可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2，即3c －2d ＝－2． ……6分解得⎩⎨⎧c ＝2，d ＝4．即A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 2 4， A 的逆矩阵是⎣⎢⎡⎦⎥⎤23 －12－13 12 ． ……10分 22．解：因为直线的极坐标方程为，所以直线的普通方程为， 3分又因为曲线的参数方程为（为参数）， 所以曲线的直角坐标方程为， ……6分 联立解方程组得或．根据的范围应舍去,故点的直角坐标为． ……10分23．解：（Ⅰ）依题意，实数对（x ，y ）共有16种，使的实数对（x ，y ）有以下6种： ，所以； ……3分（Ⅱ）随机变量的所有取值为0，1，2，3，4. 有以下6种：，所以； 有以下2种：，所以； 有以下1种：，所以；有以下1种：，所以； ……7分 所以的分布列为：0 1 2 34()331111701234888161616E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， ……9分答：的数学期望为． ……10分24．解：（Ⅰ）由已知得，等差数列的通项公式为，则01120()(2)n nnn n n n n a C C C C C nC =+++++++因为，所以，所以=. ……4分 （Ⅱ）令，则223202(14)22222421n nnn i i a =-=++++==⋅--∑，令，则，所以， ……6分根据已知条件可知，012233(41)(41)(41)(1)(41)n n nn nn n n n d C C C C C =--+---++--01223301234[(4)(4)(4)(4)][(1)]1n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C =+-+-+-++---+-+++-+精品文档，所以，……8分将、代入不等式得，，当为偶数时，，所以；当为奇数时，，所以；综上所述，所以实数的取值范围是. ……10分I29428 72F4 狴gs22730 58CA 壊$22368 5760 坠H.39082 98AA 颪20582 5066 偦a40059 9C7B 鱻U实用文档。