§1.3行列式计算

§1.3 行列式的展开与计算一.基本概念1.行列式元素a i j 的余子式：在n 阶行列式中划去第i 行和第j 列的元素，余下的元素按原相对位置构成的n -1阶行列式．以三阶行列式的元素a 2 3为例，记作M 2 3 ：3231121123a a a a M =2.元素a i j 的代数余子式：记作j i j i j i M A +−=)1(．仍用上例3231121123a a a a A −= 3.行列式的子式：在n 阶行列式D 中，任取k 行（1≤ k ≤ n -1，有kn C 种取法）、k 列（亦有k n C 种取法），在交点上的k 2个元素按原相对位置构成的k 阶行列式M ，称为D 的一个k 阶子式．4.子式的余子式：在D 中划去子式M 所在的行和列，所余元素按原相对位置构成的n - k 阶行列式N ，成为M 的余子式．5.子式的代数余子式：若子式M 是由的第i 1，i 2，…，i k 行和第j 1，j 2，…，j k 列的元素构成，则称NA k k j j j i i i +++++++−=L L 2121)1(为M 的代数余子式．注：n 阶行列式的k 阶子式有2)(k n C 个．而对取定的k 行（或k 列）则有k nC 个k 阶子式．二.行列式的展开定理1.按元素：行列式的任一行（列）中各元素与其代数余子式的乘积之和等于该行列式．即 ),,2,1(1n i A a D nk ikik L ==∑= （严格证明，略）．若A jk 为第j 行元素所对应的代数余子式，且i j ≠；可以证明01=∑=nk jk ik A a ，证明见附一；即行列式的任一行（列）中各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式的乘积之和等于零（可从把另一行完全换成该行来理解）．2.按子式（拉普拉斯定理）：在n 阶行列式D 中，任意取定k 行（或k 列）（1≤ k ≤ n -1），所构成的kn C 个子式为M i 相应的代数余子式为A i 则∑==knC i i i A MD 1（严格证明，略）．三.例题计算四阶行列式3351110243152113−−−−−− 解： 原式035501013111111531342−−−−−=====−+c c c c 05511111153−−−−======行展按第 05502611512−−−====+r r 55263−−−======列展按第 = 40四.特殊类型的行列式 1.爪型行列式nnn n a b a b a b e e e a D L MOM M M LL L 000003322321= 计算（用后面的列，改变第一列）：nnnj jj j a b c c nj n a a e e a e b a D jj jL OM M LL L 0002221,,3,21∑=−=−=======∏∑==−=ni i nj j jj a a e b a 221)( ；（可作为公式）．具体特例：①.（P.20例2） nL MO M M M L L L 001030100211110 !)13121(n n⋅+++−=L②. P.21倒3行的行列式 [课后看：如何变成爪型的！] 2.范得蒙得（Vander monde ）行列式[P.24例6]113121122322213211111−−−−=n n n n n nnn a a a a a a a a a a a a D L MOMM ML L L )2()(1≥−=∏≥>≥n a a j i n j i [要求①.看懂；②.知道可用数学归纳法证明；③.会用；④.证明见附二．]（可作为公式）．具体特例： ①.122111a a a a −= ②. 2121941321111=⋅⋅= （P.31）③. 121323312222112111111−−−−n nnnn n n x x x x x x x x x x x x LM O M M M L L L )2()(1≥−=∏≥>≥n x x j i n j i （P.32）五.n 阶行列式乘以n 阶行列式 [P.25例7]nnn n n n nnn n nn nn n n n nc c c c c c c c c b b b b b b b b b a a a a a a a a a L M O M M L L L M O M M L L L M O M M L L 212222111211212222111211212222111211=⋅其中 ∑==nk j k k i j i b a c 1．记忆说明：“行乘列之和作元素”结果仍是n 阶行列式．[ 后面P.43(13)式的证明用此式．]作业(P.27)： 1.(1)； 2.(5) （提示：可按子式展开；也可按爪型行列式公式计算）； 5.(1)（要求：叙述变成标准范得蒙得行列式的操作的过程）；本节小结一.基本概念：元素的余子式；元素的代数余子式；子式；子式的余子式；子式的代数余子式．二.重要定理及公式（及其证明）：2个展开；2种行列式；1个相乘． 三.应用：附一：i j ≠，证明01=∑=nk jk ik A a ∵ nnn n injn i j i j in i i n nnn n jn j j ini i n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a LM O M M L MOMM L M O M M L L M O M M L M O M ML M O M M L 212211211121121212111211+++=；两边都按第j 行展开,∑∑==+=nk jk k i jk nk jk jkA a a A a11)( ．∴ 01=∑=nk jk ik A a ．附二：范得蒙得行列式计算公式的推导)2(≥n113121122322213211111−−−−=n nn n n n nn a a a a a a a a a a a a D L MO MM M L L L 112,),1(,−−−=========i i r a r n n i L 按第一列展开========−−−−−−−−−−−−)()()(0)()()(011111213231222113312211312a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a n n n n n n n n L M OM M M LL L每列都提公因子========−−−−−−−−−−−−)()()()()()()(132313231222113312211312a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a n n n n n n L M O M M LL 223223211312111)())((−−−−−−n n n n nn a a a a a a a a a a a a L MO MMLL L 122,),1(−−−=========i i r a r n i L)()(00111)(23233322311a a a a a a a a a a a a n n n n n i n i −−−−⋅−−−>≥∏L MO M M LL )()()(12211−>≥>≥−⋅⋅−⋅−=∏∏n n i n ii n ia a a aa aL ∏≥>≥−=1)(j i n j ia a。

第三节 行列式的性质考虑nnn n nna a a a a a a a a D 212222111211=将它的行依次变为相应的列，得nnn nn n T a a a a a a a a a D 212221212111=称D T 为D 的转置行列式 .性质1 将行列式转置，行列式的值不变，即D=D T 。

例1 计算行列式nnn n a a a a a a D2122211100=解 nn nnn n Ta a a a a a a a a D D2211222121110=== 证 事实上，若记)det(ij T b D = 则),,2,1,(n j i a b ji ij ==∑-=∴n n np p p p p p T b b b D 212121)()1(τ Da a a n p p p p p p n n =-=∑ 21)(2121)1(τ性质2 互换行列式的两行(r i ↔r j )或列(c i ↔c j )，行列式的值变号 . 推论 若行列式D 的两行（列）完全相同，则D=0 .性质3 行列式某一行（列）的所有元素都乘以数 k ，等于数k 乘以此行列式，即nnn n in i i n nnn n in i i n a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a212111211212111211= 推论1 行列式D 中一行(列)所有元素的公因子可提到D 的外面；推论2 行列式D 中有两行（列）的元素对应成比例，则行列式的值等于零。

结 论： D 中一行(列)所有元素为零，则D=0；性质4 若行列式 某一行(列)的所有元素都是两个数的和，则此行列式等于两个行列式的和. 这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行(列)的元素与原行列式相同 .即=+++nn n n in in i i i i na a ab a b a b a a a a21221111211 +nnn n in i i na a a a a a a a a 212111211nnn n in i i n a a a b b b a a a212111211证 由行列式定义∑+-=n i i n np ip ip p p p p p a b a a a D )()1(212121)(τ∑∑-+-=ni n ni n np ip p p p p p np ip p p p p p a b a a a a a a 2121212121)(21)()1()1(ττ性质5 行列式D 的某一行（列）的所有元素都乘以数 k 加到另一行（列）的相应元素上，行列式的值不变)(D D ji kr r +=，即ji kr r nnn n in i i n a a a a a a a a a +=212111211nnn n jn in j i j i na a a ka a ka a ka a a a a21221111211+++推论 D 的两行（列）对应元素成比例，则D=0.例2 计算行列式2413635104---。