第9讲：包含与排除

和倍问题基本公式和÷（倍数和）=1倍数1倍数⨯倍数=几倍数例1 某校四年级选出48人到区里参加珠算竞赛，其中女同学是男同学的2倍，问：这个学校参加珠算竞赛的男、女生各多少人？练1 五年级学生参加文艺小组和科技小组的共有108人，参加文艺小组的人数是参加科技小组人数的2倍，参加两个小组的各有多少人？练2 师徒二人共加工零件42件，师傅加工数是徒弟的5倍，师徒各加工多少件？例2 小明买了14张画片，小刚买了10张画片，小明送给小刚几张后，小刚的画片张数是小明的3倍？练1 甲、乙两个数之和为72，甲数除乙数商是2，甲、乙两个数各是多少？练2 父子年龄的和是50岁，再过5年父亲的年龄是儿子的4倍，父子现在的年龄各是多少岁？例3 甲、乙二人共有钱810元，甲比乙的3倍还多10元，甲、乙二人各有钱多少元？练1 两个数的和是29，大数除以小数商是4，余数也是4，两个数各是多少？练2 一个除法算式，商是18，余数是4，被除数与除数的和是270，问：除数、被除数各是多少？例4 两个整数相除得商数是12，余数是26，被除数、除数、商数及余数的和等于454。

除数是多少？被除数是多少？练1 被除数比除数的3倍多1，并且被除数、除数、商、余数的和是81，求被除数、除数各是多少？练2 某公社有两个仓库共存粮84吨，已知甲仓库存粮比乙仓库的4倍少1吨，甲、乙两仓库各存粮多少吨？练3 甲站有车192辆，乙站有车48辆，每日从甲站开往乙站的有21辆，从乙站开往甲站的有24辆。

问：如此经过几天后，甲站车辆是乙站车辆的7倍？例5 白、红、黄三种棋子共56颗，白棋子是红棋子的2倍，红棋子是黄棋子的2倍，三种棋子各是多少颗？练1 红、黄、白三种棋子共48颗，红的是黄的3倍，白的是黄的2倍，三种棋子各是多少颗？练2 三个生产队合挖一条长1902米的水渠，第一队挖的是第二队的2倍，第三队挖的是第二队的3倍，三个队各挖了多少米？例6 甲、乙、丙三个数，甲数是乙数的2倍多100，乙数是丙数的2倍多50，已知三个数的和是950，三个数各是多少？练1 胜利化肥厂3天共生产2540袋，第二天生产的比第一天生产的2倍少60袋，第三天生产的比第一天生产的3倍少100袋，三天各生产了多少袋？练2 甲、乙、丙三人，甲的年龄比乙的年龄的2倍还大3岁，乙的年龄比丙的2倍小2岁，三个人年龄之和是109岁，分别求出三个人的年龄。

（二十九）包含与排除（上）《奥赛天天练》第二十一讲《包含与排除》。

包含与排除问题也叫重叠问题，从三年级奥数课堂开始由浅入深逐步学习，此类问题说明及容斥原理具体内容，请查阅：三年级奥数解析（三十九）重叠问题与容斥原理四年级奥数解析（二十九）容斥原理这一讲将在三、四年级学习的基础上，进一步学习运用容斥原理二解答稍复杂的包含与排除问题。

【容斥原理二】如果被计数的事物有A、B、C三类，则:三类元素总个数二A类元素个数+B类元素个数+C类元素个数一既是A类乂是B类的元素个数一既是A类乂是C类的元素个数一既是B类乂是C类的元素个数+既是A类乂是B类又是C类的元素个数。

【原理证明】如下图，三个圆片两两重叠，用红色圆片面积表示A类事物元素个数、黄色圆片面积表示B类事物元素个数、蓝色圆片面积表示C类事物元素个数，三个圆片覆盖的总面积就表示三类元素的总个数：A、B、C三个圆片共同重叠的正中间的一块，覆盖了三层圆片，重叠了2次；剩下的重叠部分都覆盖了两层圆片，重叠了1次。

三个圆片覆盖的总面积就等于三个圆片的面积之和减去重叠部分的面积，重叠1次的减去重叠面积，重叠2次的减去重叠面积的2倍。

但用三个圆片的总面积依次减去AB的重叠部分、AC的重叠部分和BC的重叠部分，重叠1次的面积正好减去了，可三个圆片共同重叠的部分既属于AB的重叠部分，也属于AC的重叠部分，同时属于BC的重叠部分。

这一块儿面积重叠2次，却减去了3次，多减了1次，要补上去。

所以：三类元素总个数二A类元素个数+B类元素个数+C类元素个数一既是A类乂是B类的元素个数一既是A类乂是C类的元素个数一既是B类乂是C类的元素个数+既是A类乂是B类又是C类的元素个数。

【题目】：在参加数学竞赛的46人中，做对第二题的有32人，做对笫4题的有24人，两道题都做对的有20人，两道题都没有做对的有儿人？【解析】：用做对第2题与做对第4题的人数和，减去两题都做对的人数（重叠部分），求出的就是这两题中至少做对了一题的人数：32+24-20=36 （人）。

包含与排除知识要点在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算。

求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B=+-U I (其中符号“U”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“I”读作“交”，相当于中文“且"的意思。

)，则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理。

图示如下:I，即阴影面积。

A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B1、先包含——A B+重叠部分A BI计算了2次，多加了1次；2、再排除——A B A B+-I把多加了1次的重叠部分A BI减去。

两者容斥【例 1】 把长38厘米和53厘米的两根铁条焊接成一根铁条。

已知焊接部分长4厘米，焊接后这根铁条有多长？包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B U 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +（意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起）；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =I （意思是“排除”了重复计算的元素个数）。

A 类、B 类与C 类元素个数的总和=A 类元素的个数+B 类元素个数+C 类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数。

用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+U U I I I I I图示如下：图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，大圆表示C 的元素的个数。

1. 先包含——A B C ++A B I 、B C I 、C A I 重叠了2次，多加了1次。

2. 再排除——A B C A B B C A C ++---I I I重叠部分A B C I I 重叠了3次，但是在进行A B C A B B C A C ++---I I I 计算时都被减掉了。

包含与排除(容斥原理)学生姓名：年级：小升初科目：数学授课教师：贺琴授课时间：学生签字：包含与排除（容斥原理）集合是指具有某种属性的事物的全体，它是数学中的最基本的概念之一。

如某班全体学生可以看作是一个集合，0、1、2、3、4、5、6、7、8、9便组成一个数字集合。

组成集合的每个事物称为这个集合的元素。

如某班全体学生组成一个集合，每一个学生都是这个集合的元素，数字集合中有10个元素。

两个集合中可以做加法运算，把两个集合A、B合并在一起，就组成了一个新的集合C。

计算集合C的元素的个数的思考方法主要是包含与排除：先把A、B的一切元素都“包含”进来加在一起，再“排除”A、B两集合的公共元素的个数，减去加了两次的元素，即：C=A＋B－AB。

在解包含与排除问题时，要善于使用形象的图示帮助理解题意，搞清数量关系的逻辑关系。

有些语言不易表达清楚的关系，用了适当的图形就显得很直观、很清楚，因而容易进行计算。

1、六年级96名学生都订了报纸，有64人订了少年报，有48人订了小学生报。

两种报纸都订的有多少人？[分析]用左边的圆表示订少年报的64人，右边的圆表示订小学报的48人，中间重叠部分表示两种报刊都订的人数。

显然，两种报刊都订的人数被统计了两次：64＋48=112人，比总人数多112－96=16人，这16人就是两种报刊都订的人数。

【练习】1、一个班的52人都在做语文和数学作业。

有32人做完了语文作业，有35人做完了数学作业。

语文、数学作业都做完的有多少人？2、六年级有122人参加语文、数学考试，每人至少有一门功课得优。

其中语文得优的有65人，数学得优的有87人。

语文、数学都得优的有多少人？3、某班有50名学生，在一次测验中有26人满分，在第二次测验中有21人满分。

如果两次测验都没得过满分的学生有17人，那么，两次测验都得满分的有多少人？2、某校教师至少懂得英语和日语中的一种语言。

已知有35人懂英语，34人懂日语，两种语言都懂的有21人。

复习盈亏问题1、少先队员到山上植树，如果每人载4棵，还剩18棵树苗，如果每人栽8棵，则少6棵树苗。

问：有多少名少先队员？多少棵树苗？2、活动课某班同学们参加拔河比赛，分成若干组，每组8人。

后来改成12人，结果少两组。

问全班有多少人？3、老师给大班小朋友分桃子，若8位小朋友每人分到3个，其余小朋友各分到5个，则还余54，若每人分到7个则正好分完。

问小朋友人数和桃子总数？4同学们秋游去公园划船，如果租船增加1条，那么正好每条船坐6人，如果少一条那么正好每条船坐8人。

问这个班共有多少人？包含与排除1、同学们到图书馆借书。

四（1）同学每人都借到课外书，其中借文艺书有40人，借科技书的有30人，两种书都借的有25，四（1）班共有多少人？2、四年级二班有46人，其中会弹琴的有30人，会拉小提琴的有28人，则这个班既会弹钢琴又会拉小提琴的有多少人？3、期末考试小芳的语文成绩和自然成绩加起来是187分，语文成绩和数学成绩加起来195分，数学成绩和自然成绩加起来是190分，那么小芳的语文成绩是多少?4、小玲会唱19首歌，小丽会唱24首歌，两人一共会唱的歌有36首，两人会唱的歌有几首？5、一个班级有48人，班主任在会上问：“谁做完语文作业的？这时有37人举手，又问”谁做完数学作业的有42人举手。

最后问“谁语文、数学作业都没有做完的？没有人举手。

这个班级语文、数学作业都玩的有多少？6、某班级40人在一次体育达标测试中，立定跳远达标的有26人，50米跑达标的有24人，两项都达标的有15人，有多少人两项都没有达标？7、四年级有48人，23人参加科技小组，26人参加文艺小组，12人两个小组都参加了。

有多少人两个小组都没有参加？8、一个旅行团有40人，其中会英语的有24人，会俄语的有18人，两样都不会的有14人，那么，两样都会的有多少人？9、某校进行体育竞赛，项目有短跑、游泳、跳高。

其中参加短跑的有75人，游泳的有52人，跳高的有38人，同时参加短跑与游泳的有26人、短跑与跳高有22人、游泳与跳高的有10人；三项都参加的有2人。

“包含与排除” 学生姓名授课日期 教师姓名授课时长包含与排除是小学奥数中一个非常重要的知识点，很多杯赛和小升初选拔考试中都会有相关考察内容，是考察学生逻辑思维能力，以及理解利用新知识的一个非常重要的方面，其中容斥原理更是最关键的点，而且与数论和几何的综合性题目是历年考察的重点。

一、容斥原理公式1、若已知A 、B 、C 三部分的数量（如图），其中C 为重复部分，则图中的数量等于A+B-C. 即：A ∪B=A+B- A ∩B ，其中A ∩B=C.2、若已知A 、B 、C 三部分的数量（如图）， 则图中的数量等于A+B+C-（A 与B 重叠部分+ B 与C 重叠部分+ C 与A 重叠部分）+A 、B 、C 三者重叠的部分.即：A ∪B ∪C=A+B+C-（A ∩B+B ∩C+C ∩A ）+ A ∩B ∩C.以上概念中符号解释：“∪”表示并集，“A ∪B ”表示A 并B ，通俗的讲表示所有或属于A 、或属于B 的元素的数量（集合），“A ∪B ∪C ” 通俗的讲表示所有或属于A 、或属于B 、或属于C 的元素数量.“∩”表示交集，“A ∪B ”表示A 交B ，通俗的讲表示所有即属于A 、又属于B 的元素的数量（集合），“A ∩B ∩C ”通俗的讲表示所有即属于A ，又属于B ，还属于C 的元素数量C B A C B A【试题来源】【题目】某小学三年级四班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小组都参加。

这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？【试题来源】【题目】在桌面上放置着三个两两重叠的圆纸片（如图，三个圆等大），它们的面积都是100cm2，并知A、B两圆重叠的面积是20cm2，A、C两圆重叠的面积为45cm2，B、C两圆重叠的面积为31cm2,三个圆共同重叠的面积为15cm2，求盖住桌子的总面积。

【试题来源】【题目】东方大学有外语老师120名，其中教英语的有50名，教日语的45名，教法语的有40名，有15名教师既教英语又教日语，有10名教师既教英语又教法语，有8名教师既教日语又教法语，有4名教师会教英语、日语和法语三门课，求不教这三门课的外教有多少名？【试题来源】【题目】五年级三班有46名学生参加三项课外活动，其中24人参加了绘画小组，20人参加了合唱小组，参加朗诵小组的人数是既参加绘画小组又参加朗诵小组人数的3.5倍，又是三项活动都参加人数的7倍，既参加朗诵小组又参加合唱小组的人数相当于三项都参加人数的2倍，既参加绘画小组又参加合唱小组的有10人，求参加朗诵小组的人数。

包含与排除（一）包含与排除问题也叫容斥原理。

“容”是容纳、包含的意思，“斥”是排斥、排除的意思，从题目名称上看，比较抽象，下面我们结合具体实例来说明这种问题的思考方法。

【典型例题】例1：如下图，桌面上放着两个正方形，求盖住桌面的面积。

（单位：厘米）分析与解：这是一个组合图形，是由两个正方形组成的，中间重合部分是一个长方形，要想求出盖住桌面的面积，可以有三种不同方法：方法一：方法二：方法三：答：盖住桌面的面积是64平方厘米。

例2：四（1）班同学中有37人喜欢打乒乓球，26人喜欢打羽毛球，21人既爱打乒乓球又爱打羽毛球。

问全班喜欢打乒乓球或羽毛球活动的有多少人？分析与解：根据题意可画图如下此类问题画集合图比画线段图更直观，更形象一些。

方法一：37 + 26—21 = 42（人）方法二：37—21 + 26 = 42（人）方法三：37 +（26—21）= 42（人）以上三种方法是紧密联系的，都是要从中减去重叠部分，可以从其中一部分中减去，再与另一部分合并，也可以从两部分之和中减去重叠部分。

三种方法比较，你喜欢哪一种解法呢？我们根据以上两个例题可以得出这样的数量关系：第一部分 + 第二部分—重叠部分 = 两部分之和例3：四年级一班在期末考试中，语文得“优”的有15人，数学得“优”的有17人，老师请得“优”的同学都站起来，数了数有24人。

两科都得“优”的有几人？分析与解：根据“第一部分 + 第二部分—重叠部分 = 两部分之和”可以求出两科都得“优”的人数。

15 + 17—24 = 8（人）另外，从下图中我们还能得出两种不同方法方法二：17—（24—15）= 8（人）15—（24—17）= 8（人）答：两科都得优的有8人。

例4：图新小学四年级二班有24人参加了美术小组，有18人参加了音乐小组，其中11人两个小组都参加，还有5人什么组都没参加。

这个班共有学生多少人？分析与解：这个题与例2相比，多了一个已知条件，那就是“有5个人什么组都没参加”。