排队论公式
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排队论公式
构成排队模型的三个主要特征指标
(1) 相继顾客到达间隔时间的分布；
(2) 服务时间的分布；
(3) 服务台的个数。
根据这三个特征对排队模型进行分类的Kendall 记号：
X/Y/Z
X ：表示相继到达间隔时间的分布；
Y ：表示服务时间的分布；
Z ：并列的服务台的数目。
表示相继到达间隔时间和服务时间的各种分布符号
M——负指数分布(M 是Markov 的字头，因为负指数分布具有无记忆性，即Markov 性) D——确定型(deterministic)
E k ——k 阶爱尔朗(erlang)分布
G—— 一般(general)服务时间的分布
Kendall 符号的扩充
X/Y/Z/A/B/C
其中前三项的意义不变，后三项的意义分别是：
A ：系统容量限制N ，或称等待空间容量。
B ：顾客源数目m 。
分有限与无限两种，∞表示顾客源无限，此时一般∞也可省略不写。
C ：服务规则，如先到先服务(FCFS)，后到后服务(LCFS)，优先权服务(PR)等。
（例如某排队问题为M/M/1/∞/∞/FCFS ，则表示顾客到达间隔时间为负指数分布(即泊松流)；服务时间为负指数分布；有1个服务台，系统等待空间容量无限(等待制)；顾客源无限，采用先到先服务规则。
）
一、M/M/1/∞/∞ 设1λρμ
=<， 则： 01P ρ=-；
s L λ
μλ=-，q L ρλμλ=-；1s W μλ
=-，q W ρμλ=- 故而：s s L W λ=，q q L W λ=；1s q W W μ=+，s q L L λμ=+ 二、M/M/1/N/∞（系统容量有限） 设λρμ
=，则：
2 12011,111,11N P P N P ρρρρ+⎧====⎪+⎪=⎨-⎪≠-⎪⎩
； 101,12(1),111N s n N n N N L nP N ρρρρρρ+=+⎧=⎪⎪==⎨+⎪-≠--⎪⎩
∑； 01(1)(1)N
q n s n L n P L P ==-=--∑；
有效到达率0(1)e P λμ=-；
s
s e L W λ=，1q s W W μ=- 三、M/M/1/∞/m （顾客源有限）
001
!()!i m i P m m i λμ==⎛⎫ ⎪-⎝⎭∑；
0(1)s L m P μλ
=--，有效到达率0()(1)e s m L P λλμ=-=- 0(1)q s L L P =--；
1=s s e e m L W λλλ=-，1q s W W μ=-
四、M/M/c/∞/∞
设1c λρμ
=<，则： 0101
111!!1k c c k P k c λλμρμ-==
⎛⎫⎛⎫+⋅⋅ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭∑
02()!(1)c q c L P c ρρρ=-，s q L L λμ
=+； s s L W λ=
，q q L W λ=
3
五、一般服务时间M/G/1
T 表示服务时间，当T 服从负指数分布时，1()E T μ=，而在M/G/1模型中，T 的分布是一
般的。
设()1E T ρλ=<，则： 22()2(1)
s Var T L ρλρρ+=+-，此为P-K 公式。
q s L L ρ=-；s
s L W λ=，q q L W λ=；()s q W W E T =+
六、定长服务时间M/D/1 此时1
()E T μ=，()0Var T =；
2
2(1)s L ρρρ=+-，q s L L ρ=-；s
s L W λ=，q q L W λ=
七、爱尔朗服务时间M/E k /1 此时1
()E T μ=，21
()Var T k μ=；
2
2
22(1)s k L λρμρρ+=+-，q s L L ρ=-；s s L W λ=，q q L W λ= 爱尔朗分布是独立同分布的负指数分布的叠加。
