排队论概述：
排队是日常生活中的常见现象。
比如上下班搭乘公交车，到商店购买商品，到医院看病等等，都可能会出现排队的现象。
1、典型的排队系统
1.1商业服务系统
商业服务系统（commercial service system）是我们日常生活中经常遇到的典型的排队系统。
这类排队系统中，外部顾客接受商业机构的服务。
比如理发店，银行出纳服务，ATM机服务，商店收银台等等。
这些都是顾客到一个固定位置的服务台接受服务。
如果顾客需要等待，这就形成一个物理队列。
当然，也有类似于像屋顶修建，上门维修等这类排队，这种排队是服务人员到顾客那里去，所以排队的顾客在物理上是分散的。
1.2内部服务系统
某些组织拥有自己的内部服务系统（transportation service system），即顾客在组织的内部接受服务，比如秘书服务，计算机编程服务等。
这类系统，顾客可能是组织的雇员，也可能是需要搬运的货物，等待进行的工作等等。
1.3
运输服务系统（transportation service system）也是一类重要的排队系统。
比如公路收费站，港口卸货区等等。
这类系统，设计的顾客可能是运输工具，设计的服务台也可能是运输工具。
2、排队系统的基本特征
第一，均有请求服务的人或物；第二，均有为顾客服务的人或物；第三，顾客到达系统的时刻是随机的。
基于上面所说的三大特征，我们可以用下图进行表示。
各个顾客由顾客源出发，到达服务机构前排队等候接受服务，服务完后就离开。
在排队系统中，一般需要描述排队结构，设定规则和服务规则。
在这里，排队接口指的是队列的数目和排队纺织；排队规则和服务规则是说明顾客在排队系统中按怎样的规则、次序接受服务的。
3、排队系统的基本要素
排队系统一般有三个基本要素，输入过程、排队规则和服务机构
3.1 输入过程
输入过程我们可以从五方面描述，即顾客源、顾客的到达方式、顾客到达之间的相关性、顾客相继到达的间隔时间以及输入过程的平稳性。
3.2 排队规则
常见的排队规则有三种，即损失制、等待致和混合制。
银行的排队问题就是典型的混合制。
这种制度有三个特征，即队长有限，等待时间有限，逗留时间有限。
3.3 服务机构
从构成上，服务台有如下一些方式：单队——单服务台式、单队——多服务台并联式、多队——多服务台并联式、单队——多服务台串联式、单队——多服务台并串联混合式、多队多服务台并串联混合式。
这里，只简单介绍银行中最常见的服务台形式（包
括五山支行），即单队多服务台并联式排队系统。
可以形象的用下图进行表示。
服务完成后离去顾客到达服务完成后离去
…
服务完成后离去
4、相关概率分布
解决排队问题首先需要根据原始资料做出顾客相继到达间隔时间和服务时间的经验分布，然后按照统计学的方法以确定适合于哪种理论分布，并估计其参数值。
这里，介绍几种与本文研究问题相关的概率分布。
4.1 Poisson过程
Poisson过程是排队论中一种常用来描述顾客到达规律的随机过程。
现在，我们详细介绍一下该随机过程。
设N(t)为在时间区间[0,t)内到达排队系统的顾客数（这里t>0）。
令Pk(t1,t2)表示在时间区间[t1,t2)内有k(≥0)个顾客到达的概率，即
P k(t1,t2)=P{N(t2)−N(t1)=k}
这里，t1≤t2。
当Pk(t1,t2)满足如下三个条件时，我们就称顾客的到达形成Poisson过程。
这三个条件分别是：
a、无后效性。
即在不相交的时间区间内，顾客的到达数是相互独立的。
这表明在
时间区间[t1,t2)内到达k(≥0)个顾客的概率与t1之前到达的顾客数无关。
b、平稳性。
即顾客到达数只与时间区间长度有关，而与时间区间的起点无关，也
就是说，对于充分小的∆t，在时间区间[t,t+∆t)内有一个顾客到达的概率与t无
关，而是与时间长度∆t成正比，即有
P1(t,t+∆t)=P{N(t+∆t)−N(t)=1}=λ∆t+o(∆t)
其中，当∆t→0时，o(∆t)是关于∆t的高阶无穷小，λ>0为常数，我们称为概率
强度。
它表示单位时间内有一个顾客到达的概率。
c、普通性。
在一充分短的时间内至多只能有一个顾客到达。
也就是说对于充分小
的∆t，在时间区间[t,t+∆t)内有两个或两个以上顾客到达的概率极小，以至于可
以忽略，即
∑P k(t,t+∆t)=
∞
k=2
o(∆t)
在上述的三个条件中，我们研究顾客到达数k的概率分布。
由无后效性条件，我们可以取时间从0算起，并简记P k(0,t)=P(t)。
由平稳性条件与普通性条件，我们可以得出P0(t,t+∆t)=1−P{N(t+∆t)−N(t)=1}=1−λ∆t+o(∆t)
对于时间区间[0,t+∆t),可以分为两个不相交的区间[0,t)和[t, t+∆t)。
现在，如果顾客到达总数k，分别出现在以上的两个区间上，那么不外乎一下的三种情况，表示为A、
B、C。
各种情况见下表：
在时间区间[0,t+∆t)内到达k个顾客应是上表中（A）（B）（C）这三种互不相容的情况之一，所以有
P k(t+∆t)=P k(t)( 1−λ∆t)+P k−1(t)λ∆t+o(∆t)
进而存在
P k(t+∆t)−P k(t)
∆t =−λP k(t)+λP k−1(t)+
o(∆t)
∆t
令∆t→0，并加入初始条件，可得如下微分方程：
dP k(t)
dt
=−λP k(t)+λP k−1(t)，k≥1
P k(0)=0
当k=0时，不会出现（B）（C）的情况，所以得微分方程：
dP0(t)
dt
=−λP0(t)
P0(0)=1
现在，我们求解以上两个微分方程组，解得：
P0(t)=e−λt
eλt P k(t)=λ∫eλωP k−1(ω)dω
t
对上面的式子，一次带入k=1,2,…，可得
P k(t)=(λt)k
k!
e−λt t>0， k=0,1,2,…
在这里，P k(t)表示长度为t的时间区间内顾客到达数为k的概率。
即对任意s＞0，随机变量{N(t)=N(s+t)-N(s)}服从上式的概率分布，我们称之为Pooisson分布。
它的期望和方差分别为：
E(N(t))=λt
var(N(t))=λt
4.2 负指数分布
负指数分布常用于描述元件的使用寿命，随机服务系统的服务时间等。
随机变量T的分布函数如果是
1-e-λt，t≥0
F(t)=
0，t＜0
数学期望，方差为
E(T)=1
λ，var
(T)=
1
λ2
在这里，指出一个性质：当顾客到达过程是参数为λ的的Poisson过程时，则顾客相继到达的时间T必然服从负指数分布。
5、排队系统的符号描述与绩效测度。
5.1 排队系统的符号。
为了区别各种排队系统和方便对众多排队模型进行描述，肯道尔（D.G.Kendall）在1853年提出了一种三参数符号系统，被称为“Kendall记号”。
其后，在1971年一次关于排队论符号标准化会议上决定，将“Kendall记号”扩充为六参数符号系统。
所以，目前在排队论中呗广泛采用的“Kendall记号”，完整的表达方式通常用到六个符号并取用一下固定的符号：
A\B\C\D\E\F
其中，各符号的意义分别为：
A:表示顾客相继到达间隔时间的概率分布。
B:表示服务时间的概率分布。
C:表示并列的服务台个数，其中，“1”表示单个服务台，“s”表示有多个服务台。
D:表示排队系统中的顾客容量限额。
如果系统包括接受服务和等待共有k个位置，那么当k=s 时，说明系统不允许等待，即为损失制；当k=∞时，表示系统为等待制系统；当k为有限整数时，表示系统为混合制系统。
E:表示顾客源限额，分有限与无限两种，其中∞表示顾客源无限。
F：表示服务规则，常用下列符号有FCFS、LCFS和PR，分别表示先到先服务的排队规则和后到先服务的排队规则以及优先权服务排队规则。
根据前面的叙述：
M:表示负指数分布。
D:表示定长分布。
根据以上符号说明，举例如下，M\M\s\∞\∞\FCFS，表示顾客相继到达间隔时间服从负指数分布；服务时间为负指数分布；有s个服务台；系统等待空间容量无限；顾客源无限；采用先到先服务规则。
某些情况下，排队问题仅用上述表达形式中的前三个、前四个、前五个符号。
如不特别说明则均理解为系统等待空间容量无限；顾客源无限；先到先服务的等待制排队系统。
5.2 排队系统的主要绩效测度指标
这里仅对像银行排队系统这类的商业系统的绩效测度指标做简单的介绍。
对于商业服务系统来讲，一个重要的目标是保持顾客满意，使得他们会再次光临。
比起处于等待状态的顾客数量来说，顾客更关心的是自己在排队系统中的等待时间的长度。
实际上，使顾客在排队系统中等待时间过长是会导致企业的未来利润受损失的。
所以，对于商业服务系统这一大类排队系统来讲，顾客在排队系统中等待是时间更为重要。
