群论-1 群论基础

群论及其在密码学中的应用密码学作为一门研究信息加密和解密的学科，近年来受到了越来越多的关注。

在密码学中，群论是一种重要的数学工具，被广泛应用于密码算法的设计和分析。

本文将介绍群论的基本概念和特性，以及它在密码学中的应用。

一、群论基础知识群论是研究代数结构的一个分支，主要研究集合和运算之间的关系。

在群论中，一个群是一个集合G和一个二元运算*的组合，满足以下四个条件：1. 闭合性：对于任意的a、b∈G，a*b∈G。

2. 结合性：对于任意的a、b、c∈G，(a*b)*c=a*(b*c)。

3. 存在单位元：存在一个元素e∈G，对于任意的a∈G，a*e=e*a=a。

4. 存在逆元：对于任意的a∈G，存在一个元素b∈G，使得a*b=b*a=e。

群论中还有许多重要的概念和定理，如阶(order)、循环群(cyclic group)、同态(homomorphism)等，这些概念和定理为密码学提供了强大的分析工具。

二、群论在密码学中的应用1. 公钥密码算法公钥密码算法是现代密码学中常用的加密算法，其安全性基于数学难题的复杂性，如大整数因子分解和离散对数。

其中，离散对数问题是基于有限域上的群运算进行定义的。

通过选择适当的群结构和运算规则，可以构造出具有高度安全性和效率的公钥密码算法。

2. 密码协议密码协议用于实现通信中的安全性和认证机制。

许多密码协议的设计和安全性分析都依赖于群论的相关理论。

例如，Diffie-Hellman密钥交换协议利用有限域上的离散对数问题，通过交换指数的方式协商密钥；ElGamal加密算法利用循环群的离散对数问题，实现了公钥加密。

3. 数字签名数字签名用于验证信息的完整性和身份的真实性。

群论中的椭圆曲线密码算法可以用于构造高强度的数字签名方案。

椭圆曲线群的运算规则可以保证不可逆性和无法伪造性，从而保证数字签名的安全性。

4. 密码分析密码分析是破译密码算法的过程，群论提供了一些有效的分析方法。

群论基本知识及⼀些重要定理群论⼀.基本定义群：给定⼀个集合G={a,b,c...}和集合上的⼆元运算"·"，要求满⾜下⾯四个条件①.封闭性：对于任意a,b\in G，⼀定存在c\in G，使得a·b=c②.结合律：对于任意a,b,c\in G,有(a·b)·c=a·(b·c)③.单位元：存在e\in G，使得对任意a\in G,有a·e=e·a=a④.逆元：对任意a\in G，均存在b\in G,使得a·b=e，其中b称作a的逆元，记作a^{-1}=b如果⼀个集合满⾜这个条件，那么就称这个集合是在运算·下的⼀个群⼦群：设G是⼀个群，H是G的⼀个⼦集，且H在相同意义下仍然构成⼀个群，那么称H是G的⼀个⼦群接下来将运算a·b简记为ab⼆.基本性质：①.⼀个群的单位元是唯⼀的②.群中任意元素的逆元是唯⼀的③.对a,b,c\in G，若ab=ac，则b=c④.(abcd...m)^{-1}=m^{-1}l^{-1}...a^{-1}（这⾥做⼀个说明：群的定义及性质中均没有要求交换律，因此不要想当然地在群运算中进⾏交换操作！）三.置换群：（接下来的内容有个⼈理解成分在内，如果有不准确的部分请及时指出，谢谢！）1.置换的定义：记⼀个序列{a_{n}}={a_{1},a_{2}...a_{n}}是1~n的⼀个排列定义⼀个置换p=\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\a_{1}&a_{2}&...&a_{n} \end{pmatrix}其含义是⽤a_{1}取代原来的元素1，⽤a_{2}取代原来的元素2...⽤a_{n}取代原来的元素n置换的运算定义如下：设两个元素p_{1}=\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\a_{1}&a_{2}&...&a_{n} \end{pmatrix},p_{2}=\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\b_{1}&b_{2}&...&b_{n} \end{pmatrix}，则运算p_{1}p_{2}过程如下：p_{1}p_{2}=\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\a_{1}&a_{2}&...&a_{n} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\b_{1}&b_{2}&...&b_{n}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\a_{1}&a_{2}&...&a_{n} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&...&a_{n}\\b_{a_{1}}&b_{a_{2}}&...&b_{a_{n}} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\b_{a_{1}}&b_{a_{2}}&...&b_{a_{n}}\end{pmatrix}同理可以看出：如果我们计算p_{2}p_{1}，则得到的结果应当是\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\a_{b_{1}}&a_{b_{2}}&...&a_{b_{n}} \end{pmatrix} 2.置换群的定义：那么定义置换群G={p_{1},p_{2}...p_{m}}不难发现，n个元素的⼀个置换与1~n的⼀个排列相对应，因此由1~n的全排列所对应的n!个置换可以构成⼀个群，记作S_{n}，称S_{n}为n 个⽂字的对称群（|S_{n}|=n!）3.循环的定义：但是我们发现，每次写⼀个置换太复杂了，因此我们给出⼀个简单记法：记(a_{1},a_{2}...a_{m})=\begin{pmatrix} a_{1}&a_{2}&...&a_{m}\\a_{2}&a_{3}&...&a_{1} \end{pmatrix}稍微解释⼀下：原本的⼀个置换可以写作\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\a_{1}&a_{2}&...&a_{n} \end{pmatrix}，那么我们可以把这个置换群写成这个形式：\begin{pmatrix} 1&a_{1}&...&n\\a_{1}&a_{p}&...&a_{q} \end{pmatrix}也就是说我们直接把⼀个置换连续相接，就能得出⼀个循环，这样得出的循环就是上⾯那个形式但是，⼀个循环中不⼀定会出现所有n个元素，⽽且⼀个置换可能需要由⼤量这种循环来构成举个例⼦：S_{3}={(1)(2)(3),(2 3),(1 2),(1 3),(1 2 3),(1 3 2)}可以发现，每个元素不⼀定会出现在每个循环之中，原因是如果⼀个元素i满⾜i=a_{i}，那么这个元素就不必（也⽆法）写⼊循环了⽽且，如果对于每个i都有a_{i}=i，那么肯定不能全都省略，因此对于这种由多个循环组成的置换我们⼀般把它写成⼀个循环乘积的形式。

群论的基本概念与应用在现代数学中，群论是一门重要的研究对象。

它是数学中的一个分支领域，研究代数结构的深刻性质，以及在物理、化学、计算机科学等领域的应用。

本文将针对群论的基本概念和应用进行探讨。

一、群的定义和基本概念群是一种代数结构，具有以下特性：1. 封闭性：对于群中的任意两个元素，其运算结果仍然属于该群。

2. 结合性：群运算是一个可结合的运算。

3. 单位元素：群中存在一个单独的元素，对于该群中的任意元素，它与单位元素的运算结果等于其本身。

4. 逆元素：群中的每个元素都有一个逆元素，在该元素与其逆元素运算后等于单位元素。

5. 可交换性：在群运算中，交换任意两个元素的位置不会影响整个运算的结果。

此外，群还有两个重要的概念：群的阶和子群。

群的阶是指群中元素的个数，记为|G|。

对于一个有限群G，其阶等于元素个数。

而对于无限群G，其阶可以用“无穷大”来表示。

子群指一个群G的子集，它包含G中的所有单位元素和逆元素，并且对于G中的任意两个元素之间的运算，在该子群中仍然成立。

二、常见的群类型常见的群类型包括置换群、加法群和乘法群。

置换群是由一组置换组成的群，其中每个置换都是将集合中的元素重新排列的函数。

这种群在密码学、组合学和物理学中都有应用。

加法群是指一个按照加法运算组成的群，例如整数集上的加法和向量空间的加法。

这种群在物理、化学和工程学中得到广泛应用。

乘法群是指一个按照乘法运算组成的群，例如复数集合上的乘法和单位圆上的乘法。

这种群在数论、几何学和代数学的许多领域中都有应用。

三、群论在数论中的应用群论在数论中的应用非常广泛。

其中一项重要的应用是解决费马大定理（Fermat's last theorem）。

费马大定理是由法国数学家皮埃尔·费马于17世纪提出的。

它的表述是：当n大于2时，关于x、y和z的方程x^n + y^n = z^n没有正整数解。

这个问题一直是数学家们的难题，直到1994年，英国数学家安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）通过运用群论的方法，完美地解决了费马大定理。

第一章抽象群基础§1.1 群【定义1.1】G是一个非空集合，G =｛…，g，…｝，“·”为定义在任意两个元素之间的二元代数运算(乘法运算)，若G及其运算满足以下四个条件：（1）封闭性：∀f,g ∈G, f·g=h, 则h∈G;（2）结合律：∀f, g, h∈G，（f·g）·h＝f·(g·h);（3）有单位元：∃e ∈G, ∀f ∈G, f·e＝e·f＝f;（4）有逆元素：∀f ∈G，∃f -1∈G, 使f·f -1= f -1·f = e;则称G为一个群，e为群G的单位元，f--1为f的逆元。

·系1. e是唯一的。

若e、e´皆为G的单位元，则e·e´= e´，e·e´= e，故e´= e。

·系2. 逆元是唯一的。

若存在f的两个逆元f´=f"，则f'=⋅⋅=⋅=⋅=, 即''f⋅=⋅f'=f''ef''f''f)(f'ef'(ff'f'')·系3 e –1 = ee –1 = e -1·e = e, 即：e –1 = e。

·系4 若群G的运算还满足交换律，∀f，g∈G,有f·g=g·f, 则称G为交换群，或阿贝尔群。

群是我们定义的一种抽象结构，具有一般性，它象一个空筐子，可以装入各种具有相同抽象结构的实际对象。

通过研究抽象结构的一般性质，就可以掌握各种实际对象的性质。

例1.1 整数集{z}及其上的加法+单位元为0, 逆元z-1= -z,构成整数加法群。

例1.2 实数集R，运算为加法：单位元e = 0, 逆元：∀a∈R，a –1 = -a，构成加群。