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偏微分方程数值解之偏微分方程的定解问题偏微分方程数值解之偏微分方程的定解问题自然科学与工程技术中种种运动发展过程与平衡现象各自遵守一定的规律。
这些规律的定量表述一般地呈现为关于含有未知函数及其导数的方程。
我们将只含有未知多元函数及其偏导数的方程，称之为偏微分方程。
方程中出现的未知函数偏导数的最高阶数称为偏微分方程的阶。
如果方程中对于未知函数和它的所有偏导数都是线性的，这样的方程称为线性偏微分方程，否则称它为非线性偏微分方程。
初始条件和边界条件称为定解条件，未附加定解条件的偏微分方程称为泛定方程。
对于一个具体的问题，定解条件与泛定方程总是同时提出。
定解条件与泛定方程作为一个整体，称为定解问题。
偏微分方程的定解问题各种物理性质的定常（即不随时间变化）过程，都可用椭圆型方程来描述。
其最典型、最简单的形式是泊松(Poisson)方程特别地，当f (x, y) ≡0 时，即为拉普拉斯(Laplace)方程，又称为调和方程带有稳定热源或内部无热源的稳定温度场的温度分布，不可压缩流体的稳定无旋流动及静电场的电势等均满足这类方程。
Poisson 方程的第一边值问题为其中Ω为以Γ为边界的有界区域，Γ为分段光滑曲线，ΩU Γ称为定解区域， f (x, y),?(x, y) 分别为Ω,Γ上的已知连续函数。
第二类和第三类边界条件可统一表示成其中n 为边界Γ的外法线方向。
当α= 0 时为第二类边界条件，α≠0时为第三类边界条件。
在研究热传导过程，气体扩散现象及电磁场的传播等随时间变化的非定常物理问题时，常常会遇到抛物型方程。
其最简单的形式为一维热传导方程。
方程（5）可以有两种不同类型的定解问题：初值问题（也称为Cauchy 问题）其中?(x), g1 (t), g2 (t)为已知函数，且满足连接条件问题（7）中的边界条件称为第一类边界条件。
第二类和第三类边界条件为其中为第二类边界条件，否则称为第三类边界条件。
双曲型方程的最简单形式为一阶双曲型方程物理中常见的一维振动与波动问题可用二阶波动方程描述，它是双曲型方程的典型形式。
第十四章 偏微分方程物理、力学、工程技术和其他自然科学经常提出大量的偏微分方程问题.由于实践的需要和一些数学学科（如泛函分析，计算技术）的发展，促进了偏微分方程理论的发展，使它形成一门内容十分丰富的数学学科.本章主要介绍一阶偏微分方程、线性方程组及二阶线性偏微分方程的理论.在二阶方程中，叙述了极值原理、能量积分及惟一性定理.阐明了一些解的性质和物理意义，介绍典型椭圆型、双曲型、抛物型方程的常用解法：分离变量法，基本解，格林方法,黎曼方法,势位方法及积分变换法.最后，扼要地介绍了有实用意义的数值解法：差分方法和变分方法.§1 偏微分方程的一般概念与定解问题[偏微分方程及其阶数] 一个包含未知函数的偏导数的等式称为偏微分方程.如果等式不止一个，就称为偏微分方程组.出现在方程或方程组中的最高阶偏导数的阶数称为方程或方程组的阶数.[方程的解与积分曲面] 设函数u 在区域D 内具有方程中所出现的各阶的连续偏导数，如果将u 代入方程后，能使它在区域D 内成为恒等式，就称u 为方程在区域D 中的解，或称正规解. ),,,(21n x x x u u = 在n +1维空间),,,,(21n x x x u 中是一曲面，称它为方程的积分曲面.[齐次线性偏微分方程与非齐次线性偏微分方程] 对于未知函数和它的各阶偏导数都是线性的方程称为线性偏微分方程.如()()()()y x f u y x c yu y x b x u y x a ,,,,=+∂∂+∂∂ 就是线性方程.在线性方程中，不含未知函数及其偏导数的项称为自由项，如上式的f (x,y ).若自由项不为零，称方程为非齐次的.若自由项为零，则称方程为齐次的.[拟线性方程与半线性方程] 如果一个方程，对于未知函数的最高阶偏导数是线性的，称它为拟线性方程.如()()()()()()0,,,,,,,,,,,,22222122211=+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂u y x c y u u y x b x u u y x a yu u y x a y x u u y x a x u u y x a 就是拟线性方程，在拟线性方程中，由最高阶偏导数所组成的部分称为方程的主部.上面方程的主部为()()()22222122211,,,,,,yu u y x a y x u u y x a x u u y x a ∂∂+∂∂∂+∂∂ 如果方程的主部的各项系数不含未知函数，就称它为半线性方程.如()()()()0,,,,,,2222=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂y y u y x d x y u y x c yu y x b x u y x a 就是半线性方程.[非线性方程] 不是线性也不是拟线性的方程称为非线性方程.如1)()1(222=∂∂+∂∂+yu x u u 就是一阶非线性偏微分方程.[定解条件] 给定一个方程，一般只能描写某种运动的一般规律，还不能确定具体的运动状态，所以把这个方程称为泛定方程.如果附加一些条件（如已知开始运动的情况或在边界上受到外界的约束）后，就能完全确定具体运动状态，称这样的条件为定解条件.表示开始情况的附加条件称为初始条件，表示在边界上受到约束的条件称为边界条件.[定解问题] 给定了泛定方程（在区域D内）和相应的定解条件的数学物理问题称为定解问题.根据不同定解条件，定解问题分为三类.1︒初值问题只有初始条件而没有边界条件的定解问题称为初值问题或柯西问题.2︒边值问题只有边值条件而没有初始条件的定解问题称为边值问题.3︒混合问题既有边界条件也有初始条件的定解问题称为混合问题（有时也称为边值问题）.[定解问题的解] 设函数u在区域D内满足泛定方程，当点从区域D内趋于给出初值的超平面或趋于给出边界条件的边界曲面时，定解条件中所要求的u及它的导数的极限处处存在而且满足相应的定解条件，就称u为定解问题的解.[解的稳定性] 如果定解条件的微小变化只引起定解问题的解在整个定义域中的微小变化，也就是解对定解条件存在着连续依赖关系，那末称定解问题的解是稳定的.[定解问题的适定性] 如果定解问题的解存在与惟一并且关于定解条件是稳定的，就说定解问题的提法是适定的.。
第二节定解条件与定解问题数学院朱郁森常见的定解条件有初始条件和边界条件。
初始条件：用来说明初始状态的条件边界条件：用来说明边界约束情况的条件湖南大学数学院朱郁森一、弦振动方程的定解条件2,tt xx u a u =0,0.x l t <<>1、初始条件0(),t u x ϕ==0(),t t u x ψ==2、边界条件第一类可控制端点即端点的位移按已知规律变化。
则1(),x ug t ==2().x lug t ==特别地固定端边界条件第二类在边界上给定力设弦两端所受的横向外力分别为1(),G t 2().G t 而弦两端所受张力的横向分量分别为(0,),(,).x x Tu t Tu l t −又因弦的两端在横向方向受力平衡，所以有1(0,)()0,x Tu t G t +=2(,)()0,x Tu l t G t −+=12(0,)(),(,)(),x x u t g t u l t g t ==则相应的边界条件为其中1212()()(),(),G t G t g t g t T T=−=湖南大学数学院朱郁森特别地(0,)0,(,)0,x x u t u l t ==自由端边界条件第三类在边界上作弹性联结张力的横向分量弹性恢复力0x =x l=(0,)x Tu t (,)x Tu l t −11[(0,)()]k u t t θ−−22[(,)()]k u l t t θ−−于是有11(0,)[(0,)()]0,x Tu t k u t t θ−−=22(,)[(,)()]0,x Tu l t k u l t t θ−−−=11(0,)(0,)(),x u t u t g t σ−=22(,)(,)(),x u l t u l t g t σ+=其中1212112212,,()()(),().k k T Tk t k t g t g t T Tσσθθ===−=则相应的边界条件为例1长为l 的弦两端固定，开始时把弦在距O点处拉起来，拉起的高度为h （适当地小），然后轻轻放开让它振动，试写出描述其振动的方程与定解条件。
第一章 偏微分方程定解问题引言：在研究、探索自然科学和工程技术中，经常遇到各种微分方程。
如牛顿定律22d x dtm g = ------(1) 波动方程 222222222(,,,)f t x y z u u u u a t x y z ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭+∂∂∂∂=++∂∂∂∂------(2) 热传导方程 2222222(,,,)f t x y z u u u u a t x y z ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭+∂∂∂∂=++∂∂∂∂ ------(3)静电场位方程 2222222(,,)f x y z u u u a x y z ⎛⎫⎪=- ⎪⎝⎭∂∂∂++∂∂∂ ------(4) 激波方程 0u uu t x∂∂+=∂∂ ------(5) 等等。
其中(1)为一维常微分方程；(2)----(4)为三维偏微分方程；(5)为一维偏微分方程。
这些数学中的微分方程均来自物理问题，有着各自的物理背景，从数量关系上反映着相应的物理规律，称为数学物理方程，简称数理方程。
数学物理方程是数学与物理学的交叉分支学科。
从物理上讲它是理论物理的基本工具；在数学上属于应用数学的(偏)微分方程分支。
本课程主要研究和讨论三类数理方程(2)，(3)，(4)的建立(导出)以及几种常用的典型的求解方法。
为了下面研究和讨论的方便，先引入有关微分方程的几个基本概念(术语)。
1. 常，偏微分方程只含一个自变量，关于该变量的未知函数，以及未知函数对该变量的导数的微分方程为常微分方程，如(1)。
含有多个自变量，关于这些变量的未知函数，以及未知函数对这些变量的偏导数的微分方程为偏微分方程，如(2)----(5)。
2. 阶上述(1)----(5)均可改写成如下形式220d x m g dt-= ------(1’) 22230u ta u f -∂∂∆-= -------(2’) 230u ta u f -∂∂∆-= ------(3’) 230a u f ∆+= ------(4’)0u u t xu +∂∂∂∂= ------(5’) 其中 2223222x y z∂∂∂∆=++∂∂∂，x=x(t)，u=u(t,x,y,z)或u(x,y,z)，f=f(t,x,y,z)或f(x,y,z)。
第一章．偏微分方程定解问题偏微分方程：是指含有多元的未知函数u u(x) , ( , , , )x 及其若干阶偏导数的关式x1 x x n2u u u u 。
（1）F(x,u, , ,..., ,..., ) 0mx x x n x x x1 2 1 2m m mn1 2 n其中，最高阶导数的阶数m 1 为方程的阶。
我们把从物理问题中导出的偏微分m m m2 n方程、常微分方程、积分方程称为数学物理方程。
如果（1）式中与u(x) 有关的部分是u 及u 的偏导数的线性组合，则称方程（1）是线性偏微分方程。
偏微分方程的解：如果多元函数u( , ,, ) 在空间区域V 内具有方程中出现的各阶连x1 x x n Rn2续偏导数，并使（1）式成为恒等式，则称此函数为方程（1）在区域V 内的解或称古典解。
1.1 数理方程中的三个典型方程1.1.1 数理方程中的三个典型方程：2ua u f (t, x) （波动方程）2t2发展方程ua u f (t, x) （热传导方程）2t x ),nn1,2,3稳态方程: x ,u f ( ) （场位方程）x (x ,x ,1 21.2 定解问题及其适定性：1.2.1 通解和特解偏微分方程的解族很大，可以包含任意函数，例如：例1.2.1：求解二阶偏微分方程 2 0u ，u u(,) 。
解：两边依次对，积分，得u ，f () g()对于任意C ( )函数f 和g ，都是方程在全平面的解。
1 R#称m 阶偏微分方程的含有m 个任意函数的解为方程的通解，不含任意函数或某些任意函数为常数的解为方程的一个特解。
通解中的任意函数一旦确定，通解就成了特解。
对于一般的偏微分方程，找出通解非常困难。
但我们可以根据方程的物理背景或数学特点，找出某些特定形式的特解来满足实际需要。
例如，根据解析函数的实、虚部是调和函数，即可得到二维Lapl a ce 方程0 u ，周期解u e y ，多项式解u 的中心对称解 ln 1 (r 0)x sin2ru 等。
x2 y 21.2.2 定解条件方程的解中可以出现任意函数，不能确定一个真实的运动，这是因为在建立方程的过程中，仅仅考虑了系统内部的各部分之间的相互作用，以及外界对系统内部的作用。
而一个确定的物理过程还要受到历史情况的影响和周围环境通过边界对系统内部运动的制约。
通常把反映系统内部作用导出的偏微分方程称为泛定方程，把确定运动的制约条件称为定解条件。
泛定方程配以适当的定解条件构成一个偏微分方程的定解问题。
常见的定解条件有：1.初始条件：如果方程中关于时间自变量t 的最高阶导数是m 阶的，则u um 1u 为泛定方程的初始条件。
0 , ,...,t tt0 t 0m 1tu2.边界条件：( u) (t)Vn第Ⅰ类边界条件：=0。
例如：( )u x 1 ,, tx y y z z1 1u第Ⅱ类边界条件：=0。
例如：( )tx fxx1u第Ⅲ类边界条件： 0, 0。
例如：( 2 ) ( )ux 3 tx1.2.3 定解问题及其适定性常见的定解问题类型：初值问题：泛定方程+ 初始条件；边值问题：泛定方程+ 边界条件；混合问题：泛定方程+ 初始条件+ 边界条件。
如果泛定方程在区域V 内的解及其在定解条件中出现的偏导数都连续到V 的边界，并且在边界上满足定解条件，则称此解为定解问题的解（古典解）。
当定解条件的偏差在一定的小范围时，相应的定解问题的古典解的偏差可以控制在任意事先给定的小范围内，则称该解是稳定的。
古典解的稳定性很重要，因为实际测量得到的定解条件存在一定的误差。
如果一个定解问题的古典解存在、唯一和稳定，则称此定解问题是适定的。
调和方程的混合问题是不适定的。
1917 年阿达玛（Hadamard）曾给出著名例子：定解问题u u2 2x y2 2u ux0xu 0,y0 0,0,uyy01nx,nx,siny 0,n为整数有唯一解：( , ) 1 sin sinh .u 2 nx nyx yn当n 时，初始条件一致趋于0，但对任意固定的y，当n 时，解u(x, y) 无界，因而解不稳定。
这说明调和方程的混合问题是不适定的。
1.3 一阶线性（拟线性）偏微分方程的通解法和特征线法1.3.1 两个自变量的一阶线性偏微分方程的解法：通解法求两个自变量的一阶线性偏微分方程：今有两个自变量的一阶线性偏微分方程：(*)u ua(x, y ) b(x, y ) c(x, y)u f (x, y )x yD 上的连续函数，且a(x, y), b(x, y)不同时为其中，系数a(x, y), b(x, y), c(x, y) 是平面区域R20。
f (x, y) 在D 上连续，称为方程的非齐次项。
若f (x, y ) 0, 则方程是齐次的。
情况1：如果在D 上，a(x, y ) 0 ，b(x, y ) 0 ，方程(*) 改写为( y) ，(1)u c(x, y) f x,uy b(x, y) b(x, y)利用一阶线性常微分方程的求解方法得其通解：u(x, y ) yx ,c(x,s)c( )f (x ,)(d) ds0 b(x ,b(x,s)) yy 0e y edyb(x ,)g(x )，其中g(x) 是任意的1C 函数。
情况2：如果在D 上，a(x, y)b(x, y ) 0 ，方程(*)不能直接积分求解，试作待定的自变量代换(x ,( x, y) y)，要求其雅可比（Jacobi）行列式(,) x yJ( ,) 0，(x, y )x y以保证新变量，与旧变量x，y 之间的双向映射。
利用链式法则u u u u uu，,x x x yy yu 的方程变为u u (,) 的新方程u(x, y )u u( . (2)a b ) (a b ) cu fx y x y若取为齐次一阶线性偏微分方程(3) a(x, y ) b(x, y ) 0x y的解，则新方程(2) 成为(1) 型的方程u( ，(*”)a b ) cu fx y对积分便可求出通解。
的特解就行了（引入的目的仅仅是为了让由于对只要求它是( , ) ( , ) 0a x yb x yx y成立），因此可以用一种比较方便的方法求一个符合要求的。
a(x, y ) b(x, y ) 0x y，它的解与相应的常微分方程以下求解( , ) ( , ) 0a x yb x yx y特征方程：a(x, y)dy b(x, y)dy 0 或dx dy (4)a(x, y) b(x, y)的解的关系为：定理1：若(x, y ) h（常数）是一阶常微分方程(4)在区域D 内的隐式通解（积分曲线族），则(x, y)是一阶线性偏微分方程(3)在区域D 上的一个特解。
证：若满足a bx y，对于dx dyh 两边微分dx 0 。
反之亦成立。
x y a b通过以上的铺垫，下面总结性地讨论情况2 下对(*)的求解方法：一般：由常微分方程理论，一阶常微分方程(4) 在区域D 内存在且仅存在一族独立的积分曲线。
如果求出了(4) 的积分曲线族(x, y ) h ，再任取函数(x, y)，使得在D 上J (,) 0，以此和代换原变量x, y ，则一阶线性偏微分方程(*)可化为可以积分求通解的方程(*”)。
如果再给定定解条件，则可以求出通解中的任意函数。
特殊：当c(x, y) f (x, y) 0时，方程(*)即为方程(3) （我们对于方程(3)只想求其一个特解，但u ，其通解为u g() 。
g()为任意C 函对原方程(*) 则是要求其通解），相应的方程(*”)为 0数。
故原方程(*)的通解为g((x, y)) 。
常微分方程(3)成为一阶线性偏微分方程(*) 的特征方程，其积分曲线称为特征曲线。
例1.3.1 求解右行单波方程的初值问题uuat xu t 0 (x )0, t 0, x其中，a 0 为常数。
dt 解：特征方程为1d xa，特征线族为x at h 。
令x at ，x ，有J 0，则方程化u为 0。
于是泛定方程的通解为u g () g(x at) ，其中g ()是任意C 函数。
由初始条件1u t 0 g(x )(x)得该初值问题的解为u(t, x ) (x at) 。
# 1.3.2 n个自变量的一阶线性偏微分方程(n 2）通解法求n 个自变量的一阶线性偏微分方程：n 个自变量的一阶线性偏微分方程的一般形式为nubj cuxj j1 f，(9)其中，b ( , ,, ), 1,2,, ; ( , ,, ), ( , ,, ) 是已知的区域D 上j b x x x j n c c x x x f f x x x R j 1 2 n 1 2 n 1 2 nn 的连续函数。
与n=2 时一样，先求解相应的齐次方程n ub . (10)j xj j1为此，引入特征方程组dx dx dx1 (11)2 nb b b1 2 n它相当于n 1个一阶常微分方程，从中解出n 1个隐函数j(x1 x x h ( j 1, 2, ,n 1), , , )2 n j称为常微分方程组的n 1个首次积分。
方程(10) 与方程(11) 的首次积分之间有确定的关系：定理2 ：若x x x h 是特征方程组(11) 在D 内的一个首次积分，则是一阶线( 1, , n ), Rn2性偏微分方程(10) 在D 上的一个解。
其证明方式同两个自变量的的情况。
现在归纳求解一阶线性偏微分方程(9) 的方法：由定理2，如果找到特征方程组(11) 的n 1个独立的首次积分，j (x ,1, x , x ) h ( j 1, 2, ,n 1)2 n j作自变量的变量代换(首次积分)j x x x j n( , , , ) ( 1, 2, , 1)j 1 2 n(任取的函数)n使得在D 上1 1 1x x x1 2 n,(, ,) 2 22J( 1,,,)1 2 nx x x2 n(x , x ,, x )1 2 n1 n2n n nx x x1 2 n将新变量( , ,, )代入方程(9) ，由链式法则得1 n2.nuu n n u n nb b k) ( b )( kj j jx x xj j k jk k1 1 1kj j 1 j 1由定理2 知，当k 1,2,,n 1时，有nb kj xj 1ju 的方程(9) 变成u ( ,,,) 的方程u(x1, x x n ), , u2 1 2 nnu(12)( b j n cu) f .j 1xj n对积分，可得(12) 的通解u ( ,,,) ，再代回原来的自变量，便得原方程(9) 的通解。
n 1 2 n特殊情况：当c( , ,, ) ( , ,, ) 0 时，方程(12) 变为x1 x x n f x x x n2 1 2un其通解为( , , , )ug1 2 n 1其中，g 为任意n 1元C 函数。
