煤层储量的计算方法
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煤炭储量计算方法(二)煤层最低可采厚度边界线及其确定煤层有厚薄,开采的煤层点要有个厚度指标,将煤层厚度的可采边界点连起来,即成为某煤层的可采边界线。
线内的煤层可采,线外的煤层不可采。
可采见煤点之外工程见煤情况有两种,一是无煤,一是有煤但不可采。
确定最低可采见煤点的方法综合起来有如下几种。
1.在有条件的情况下如在巷道内可直接观察2.内插法《煤层最低可采厚度边界线及其确定之内插法》3.有限推断法《煤层最低可采厚度边界线及其确定之有限推断法》4.无限推断法《煤层最低可采厚度边界线及其确定之无限推断法》煤层最低可采厚度边界线及其确定之内插法标签:矿产资源煤炭煤炭资源煤炭储量计算内插法煤层最低可采厚度边界线及其确定2.内插法在一个见煤点可采,一个见煤点不可采时可采用此方法。
1)解析法图2-8-7解析法确定煤层最低可采厚度边界线示意图1 一见可采煤层钻孔;2—见不可采煤层钻孔;3—欲求的最低可采厚度值的点;4一见可采煤层钻孔的连线;5—最低可采厚度边界线假设钻孔1见煤厚度为m1大于最低可采厚度,钻孔3见煤厚度m’小于最低可采厚度。
要求在钻孔1、3之间求出煤层最低可采厚度m#的位置,求出钻孔1与最低可采厚度点之间的距离(I的长)。
如图2-8-7所示。
式中,l为见可采煤层钻孔到最低可采厚度点之间的距离;L为见可采煤层钻孔到见不可采煤层钻孔之间的距离;m1为可采煤层钻孔煤厚;m3为不可采见煤钻孔煤厚;m2为最低可采厚度。
用此法可以求出许多最低可采见煤点的位置,用平滑曲线将其联接起来,就可得到煤层的最低可采厚度边界线。
(2)图解法(图2-8-8)图2-8-8 图解法有两个钻孔见煤,A钻孔可采,B钻孔不可采,求两钻孔间最低可采见煤点的位置。
先选用一定的比例尺将AB两点联起来,从A点垂直向上作直线AC,并以相同比例尺使AC的长度等于A点见煤厚度与最低可采厚度之差。
同样从B 点垂直向下作直线BD,也用相同的比例尺使BD的长度等于最低可采厚度与B点见煤厚度之差。
煤炭储量计算方法(二)煤层最低可采厚度边界线及其确定煤层有厚薄,开采的煤层点要有个厚度指标,将煤层厚度的可采边界点连起来,即成为某煤层的可采边界线。
线内的煤层可采,线外的煤层不可采。
可采见煤点之外工程见煤情况有两种,一是无煤,一是有煤但不可采。
确定最低可采见煤点的方法综合起来有如下几种。
1.在有条件的情况下如在巷道内可直接观察2.内插法《煤层最低可采厚度边界线及其确定之内插法》3.有限推断法《煤层最低可采厚度边界线及其确定之有限推断法》4.无限推断法《煤层最低可采厚度边界线及其确定之无限推断法》煤层最低可采厚度边界线及其确定之内插法标签:矿产资源煤炭煤炭资源煤炭储量计算内插法煤层最低可采厚度边界线及其确定2.内插法在一个见煤点可采,一个见煤点不可采时可采用此方法。
1)解析法图2-8-7解析法确定煤层最低可采厚度边界线示意图1 一见可采煤层钻孔;2—见不可采煤层钻孔;3—欲求的最低可采厚度值的点;4一见可采煤层钻孔的连线;5—最低可采厚度边界线假设钻孔1见煤厚度为m1大于最低可采厚度,钻孔3见煤厚度m’小于最低可采厚度。
要求在钻孔1、3之间求出煤层最低可采厚度m#的位置,求出钻孔1与最低可采厚度点之间的距离(I的长)。
如图2-8-7所示。
式中,l为见可采煤层钻孔到最低可采厚度点之间的距离;L为见可采煤层钻孔到见不可采煤层钻孔之间的距离;m1为可采煤层钻孔煤厚;m3为不可采见煤钻孔煤厚;m2为最低可采厚度。
用此法可以求出许多最低可采见煤点的位置,用平滑曲线将其联接起来,就可得到煤层的最低可采厚度边界线。
(2)图解法(图2-8-8)图2-8-8 图解法有两个钻孔见煤,A钻孔可采,B钻孔不可采,求两钻孔间最低可采见煤点的位置。
先选用一定的比例尺将AB两点联起来,从A点垂直向上作直线AC,并以相同比例尺使AC的长度等于A点见煤厚度与最低可采厚度之差。
同样从B 点垂直向下作直线BD,也用相同的比例尺使BD的长度等于最低可采厚度与B点见煤厚度之差。
煤炭储量可开采量计算公式煤炭是世界上最重要的能源资源之一,它在工业生产、生活和交通运输中起着重要作用。
煤炭的储量和可开采量是煤炭资源开发利用的重要指标,对于煤炭资源的合理开发和利用具有重要意义。
在煤炭资源的评价和规划中,需要对煤炭储量和可开采量进行科学的评估和计算。
煤炭储量和可开采量的计算是一个复杂的过程,需要考虑到许多因素,包括地质条件、矿床类型、矿床规模、采矿技术和经济条件等。
在这些因素的影响下,煤炭储量和可开采量的计算公式也会有所不同。
下面我们将介绍一种常用的煤炭储量可开采量计算公式。
煤炭储量可开采量计算公式一般可以分为两个部分,煤炭储量的计算和可开采量的计算。
首先,我们来看一下煤炭储量的计算公式。
煤炭储量一般通过勘探和测量来确定,其计算公式为:煤炭储量 = 煤层面积×煤层厚度×煤层平均密度。
其中,煤层面积是指煤矿的面积,煤层厚度是指煤层的厚度,煤层平均密度是指煤层的平均密度。
这个公式是一个简化的计算公式,实际的煤炭储量计算可能会考虑到更多的因素,比如煤层的倾角、断层和构造等。
接下来,我们来看一下煤炭可开采量的计算公式。
煤炭可开采量是指在煤炭储量中可以被开采出来的部分,其计算公式为:煤炭可开采量 = 煤炭储量×开采率。
其中,开采率是指在煤炭储量中可以被开采出来的比例,其数值一般在0.5-0.8之间。
开采率的大小受到煤炭的品位、矿床的地质条件和采矿技术等因素的影响。
除了上述的计算公式外,还有一些其他的因素也会对煤炭储量和可开采量的计算产生影响,比如煤层的赋存形式、煤的品位、矿床的地质构造、采矿技术和经济条件等。
因此,在实际的煤炭资源评价和规划中,需要综合考虑这些因素,采用适当的方法和模型进行煤炭储量和可开采量的计算。
总之,煤炭储量和可开采量的计算是一个复杂的过程,需要充分考虑到煤炭资源的地质特征、矿床规模、采矿技术和经济条件等因素。
只有通过科学的评估和计算,才能更好地指导煤炭资源的合理开发和利用,为社会经济的可持续发展做出贡献。
煤炭储量计算
矿井总储量=能利用储量+暂不能利用储量
能利用储量=工业储量+远景储量工业储量=可采储量+设计损失量
1.矿井总储量是指:井田技术边界范围内经过钻探、巷探、物探及地质填图等手段,查明符合煤炭储量计算标准要求的全部储量。
2.工业储量是指:在能利用储量中,可以作为矿井设计和投资依据的那部分储量。
3.可采储量是指:在工业储量中,预计可以开采出来的那部分储量。
工业储量减去设计损失量即为可采储量。
4. 设计损失量是指:根据煤层的赋存条件,选用不同的开拓方式和不同的采煤方法,以及为保证开采安全等因素,在煤矿开采设计中规定允许永远留在地下的那部分储量。
包含永久煤柱储量、预计地质及水文地质损失量及开采损失量之和。
5. 远景储量是指;在能利用储量中,由于地质研究程度不足,只能作为地质勘探设计和矿井发展远景规划依据的储量。
6. 暂不能利用储量是指:煤层的厚度、质量不能满足当前煤矿开采经济技术条件的要求,或因水文地质条件及开采技术条件特别复杂等原因,目前开采很困难,经济效益特别差的暂时尚不能开采利用,但在将来可能开采利用的储量。
可采储量:Q采=Q工- q s 或Q采=( Q工-P)(1-n)K
Q采—可采储量;Q工—工业储量;q s —设计损失量;
P—永久煤柱储量;n-地质及水文地质损失系数,K-设计采区回采率。
书山有路勤为径,学海无涯苦作舟
煤炭储量计算方法之等高线法
储量计算方法
(二)等高线法
这种方法是在煤层底板等高线图上求出两相邻等高线间的面积,再计算储量的方法,根据求面积方法不同,又分两种情况:
1.直接计算法(如图2-8-13)
图2-8-13 等高线法计算储量示意图
即根据已知数据,直接计算储量,其公式如下:
式中,Q 为两等高线间煤炭储量,I 为两等高线间中线长度,可用曲线仪或
曲线尺测得;b 为两等高线间的水平投影长度(平距);h 为等高距;m 为煤层平均厚度;d 为煤层平均容重。
这一方法因其按等高线分水平计算和统计储量,也就可以最大限度地满足矿井设计和开采部门的需要,计算方法也较简单,精度较高。
适宜于稳定或较稳定煤层而且构造有明显变化的地区。
2.平均倾角法
该方法主要是想弥补直接计算法中对煤层面积的测定和计算工作比较繁杂的缺陷。
相邻两等高线间煤层的真面积等于该面积的水平投影与两等高线间煤层平均倾角的正割的乘积是这一方法的实质。
推导后的计算公式为:
Q = B x secα x M x d
式中,Q 为欲求两等高线间煤炭储量;B 为两等高线间煤层的水平投影面积; α为计算块段内煤层的平均倾角;M 为计算块段内煤层的平均厚度;d 为计算块段内煤的平均容重。
对于倾角大于60。
的急倾斜煤层,储量计算必须在煤层立面投影图上进。
煤矿“四量”的的划分、含义及计算一、开拓煤量在矿井可采储量范围内已完成设计规定的主井、副井、风井、井底车场、主要石门、集中运输大巷、集中下山、主要溜煤眼和必要的总回风巷等开拓掘进工程所构成的煤储量,并减去开拓区内地质及水文地质损失、设计损失量和开拓煤量可采期内不能回采的临时煤柱及其它开采量,即为开拓煤量。
计算公式:Q开=(LhMD-Q地损 -Q呆滞)K式中:Q开——开拓煤量,t;L——煤层两翼已开拓的走向长度,m;h——采区平均倾斜长,m;M——开拓区煤层平均厚度,m;D——煤的视密度,t/m3Q地损——地质及水文地质损失,t;Q呆滞——呆滞煤量,包括永久煤柱的可回采部分和开拓煤量可采期内不能开采的临时煤柱及其它煤量,t;K——采区采出率。
二、准备煤量在开拓煤量范围内已完成了设计规定所必须的采区运输巷、采区回风巷及采区上(下)山等掘进工程所构成的煤储量,并减去采区内地质及水文地质损失、开采损失及准备煤量可采期内不能开采的煤量后,即为准备煤量。
计算公式:Q准=(LhMD-Q地损 -Q呆滞)K式中Q准——准备煤量,t;L——采区走向长度,m;h——采区倾斜长度,m;M——采区煤层平均厚度,m。
在一个采区内,必须掘进的准备巷道尚未掘成之前,该采区的储量不应算作准备煤量。
三、回采煤量在准备煤量范围内,按设计完成了采区中间巷道(工作面运输巷、回风巷)和回采工作面开切眼等巷道掘进工程后所构成的煤储量,即只要安装设备后,便可进行正式回采的煤量。
计算公式为:Q回=LhMDK式中:Q回——回采煤量,t;L——工作面走向可采长度,m;h——工作面倾斜开采长度,m;M——设计采高或采厚,m;K——工作面回采率。
上述各煤量的计算公式,仅适用于较稳定煤层。
若煤层不稳定,厚度变化较大时,应依具体情况划分块段分别计算煤储量后求和。
四、三量开采期(一)三量可采期的规定为了使资源准备在时间上可靠,经济上合理,煤炭工业技术政策对大、中型矿井原则规定的三量合理开采期为:开拓煤量可采期3-5a以上;准备煤量可采期1a以上;回采煤量可采期4-6个月以上。
煤炭储量计算方法之储量计算的基本参数煤炭储量计算方法二、储量计算的基本参数(一)计算面积的确定根据储量计算一般要求及通用公式,计算储量时所使用的面积有如下几种:(1)当煤层倾角小于15。
时,可以直接采用在煤层底板等高线图上测定的水平面积;⑵当煤层倾角在15。
~60。
时,就需要将煤层底板等高线图上所测定的水平面积换算成真面积,换算公式为S = S ' /cosa式中,S为真面积;S '为在煤层底板等高线图上测定的水平面积;a为煤层倾角。
(3)当煤层倾角大于60。
时就需要将煤层立面图(即立面投影图)上量得的立面面积换算成真面积,换算公式为:S = S ” / sina式中,S为真面积;S”为在煤层立面投影图上测定的立面面积;a为煤层倾角。
(4)急倾斜煤层,其产状沿走向、倾向变化很大,直立倒转频繁,这就需要编制煤层立面展开图,在其上测定的面积,可直接用于储量计算。
以上种种方法均需要从图纸上测定面积,如何测定,以下介绍几种常用的方法。
(1)求积仪法利用求积仪测定面积是煤炭储量计算中最常用的一种方法。
过去经常使用的求积仪一种是带有可变臂杆的定极求积仪,一种是固定臂杆的定极求积仪。
而现在又有了精度更高,使用更为方便的求积仪。
每一种求积仪都带有详细的说明书,对其原理和使用说明不再赘述。
⑵透明纸格法。
先将绘有间隔1cm平行线的透明纸蒙在待测的平面图形上,如图2-8-5,整个欲测图形的面积即等于若干小梯形面积之和,每一条被欲测图形所截的横线长度,为梯形的横中线,其高为1。
整个欲测图形面积实际等于被截的每一横线长度之和。
被截的每一横线的长度,可用尺子直接量得,也可用曲线仪测得。
这样求得的面积,再根据平面图的比例尺换算成实际面积。
图2-8-5用曲线仪和透明方格纸测量面积图2-8-5 用曲线仪和透明方格纸测量面积使用本方法要注意两个问题:其一,在用透明格纸蒙欲测图形时,必须注意使图形两端的条带宽度接近或等于0.5cm;其二,为了检查测定结果,可变换透明格纸的位置,再测定一次,两次测定值的误差不超过2%寸,取两次测定结果的平均值。
煤矿常用计算公式汇总煤矿是煤炭资源的开发和利用下游产业的重要组成部分。
煤矿的计算公式是煤矿经营管理的基础,能够帮助煤矿进行生产管理和经济决策。
下面将介绍煤矿常用计算公式。
1.煤炭资源量计算公式:煤炭资源量(万吨)=储量(万吨)×回收率其中,储量是指煤炭地质储量,回收率是矿藏利用率。
2.煤炭储量计算公式:储量(万吨)=赋存体积(万立方米)×含煤率(%)×容重(t/m³)3.煤炭产量计算公式:产量(万吨)=出矿量(万吨)-损耗量(万吨)其中,出矿量是指煤炭从矿井或采场运出的数量;损耗量是指煤炭在生产、运输等过程中的损耗。
4.煤炭运输费用计算公式:其中,运输距离是指煤炭从矿井或采场到目的地的距离;运输单价是指单位煤炭运输距离的费用;运输量是指具体的运输数量。
5.煤炭销售收入计算公式:销售收入(万元)=销售量(万吨)×价格(元/吨)其中,销售量是指实际销售数量;价格是指单位煤炭的价格。
6.煤炭成本计算公式:成本(万元)=采掘成本(万元)+运输成本(万元)+其他成本(万元)其中,采掘成本是指矿井或采场的采掘成本;运输成本是指煤炭从矿井或采场到目的地的运输成本;其他成本是指除采掘和运输外的其他费用。
7.煤炭生产效率计算公式:生产效率(吨/人·年)=产量(万吨)/员工数(人)/年工作小时数其中,员工数是指从事煤矿生产的员工数量;年工作小时数是指一年中员工实际工作的小时数。
8.矿井或采场产能计算公式:产能(万吨)=可采薄煤层厚度(米)×采煤工作面长度(米)×采煤工作面工作时间(年)×日产量(吨/米/m²)×采面数其中,可采薄煤层厚度是指矿井或采场所在地的煤层厚度;采煤工作面长度是指采煤工作面的长度;采煤工作面工作时间是指矿井或采场每年可开采的时间;日产量是指采煤工作面每天单位面积可开采的煤炭数量;采面数是指煤矿现有的采煤工作面数量。
在储量计算中,面积以平方米(m2)、厚度以米(m )、容重以立方米吨(t/m3)、含量以吨(t )为单位。
储量汇总时以万吨为单位,取小数点后一位。
小数点后第二位四舍五入。
第21条 储量计算结果必须经验丰富检查。
检查应在原计算图上以相同的计算方法进行。
检查结果若在允许范围内,应以原计算结果为依据如果超过允许误差,应查找原因予以更正。
储量块段面积的量测,需由他人抽查。
抽查的比例应大于总块段个数的10%。
每个块段两次面积之差,不得超过求积仪的允许误差。
在抽查的块段个数中,有30%以上超过允许误码差时,应全部重算。
实际工作面损失率的计算公式为:100% 工作面损失量工作面损失率(%)=工作面采出量+工作面损失量计算公式中各项的含义:1、工作面采出量。
即回采工作面内根据实测结果计算出来的采出煤量。
计算化工是:Q 面=S 面·h ·d -R式中:Q 面――工作面采出量;S 面――工作面实际采空面积(即工作面运输机巷内侧到回风巷的内侧,开切眼内侧到工作面煤壁这个区域的面积);h ―――平均实际采高。
如其变化较大,应按分块、分段的不同采高计算。
平均实际采高,不包括大于0.05m 夹石的厚度;d ―――煤的容重;R ―――工作面内实际发生的落煤损失。
2、工作面损失量即实际工作面损失(解释见本章第二节第32条)。
一、公式使用范围:本式是计算报告期内单个采区 损失率的公式。
1、当计算从开采到报告期未(或结束)累计采区回采率时,式中的“损失量”应是采区从开采到报告期未(或结束)的全部损失量,式中的“采了量”应是采区从开采到报告期未(或结束)的全部采出量2、计算全矿井平均采区损失率时,式中的损失量应是全矿井各个采区(包括报告期内正在开采的和已经结束的采区)的损失量之和;式中的采出量亦应是全矿井各个采区(包括报告期内正在开采的和已经结束的采区)的采区量之和。
二、采区损失率计算公式中各项的含义:1、采区采出量。
煤矿工业储量计算方法煤矿资源/储量计算根据详查报告总结,勘探区共获得控制的内蕴经济资源量(332)+推断的内蕴经济资源量(333)+预测的资源量(334)321345万t。
其中控制的内蕴经济资源量(332)90512万t,推断的内蕴经济资源量(333)201836万t,预测的资源量(334)28997万t。
控制的内蕴经济资源量(332)占总资源量的28.2%;推断的内蕴经济资源量占总资源量的62.8%,详见表44。
2、资源/储量评价和分类根据煤层查明程度、煤层赋存条件、开采条件和开采的经济性进行评价。
(1)矿井控制的资源量90512万t。
由于本地区煤层开采技术条件较好,地质构造和水文地质简单,各煤层的开采受不利因素限制极少,无孤立不可采块段,开采效益显著,因此设计把控制的资源量作为控制的经济预可采基础储量,即矿井获得控制的经济预可采基础储量(122b)90512万t。
(2)获得推断内蕴经济资源量(333)201836万t。
矿权范围内共获煤炭资源/储量321345万t。
表44 矿井资源/储量分析表3根据《煤矿工业矿井设计规范》,矿井工业资源/储量是指地质资源量经可行性评价后,其经济意义在边际经济及以上的基础储量及推断的内蕴经济的资源量乘以可信度系数之和。
可信度系数值取0.7~0.9。
地质构造简单、煤层赋存稳定的矿井,333的可信度系数取0.9,地质构造复杂、煤层赋存不稳定的矿井取0.7,根据本矿井各主采煤层均为较稳定煤层、地质构造简单的赋存情况,取0.85的可信度系数。
按此计算矿井工业资源/储量为262072.6万t,见表45。
4、矿井探矿权范围设计资源/储量设计资源/储量=工业资源/储量-永久煤柱损失全矿井各类煤柱留设共计2210.2万t,留设方法如下:(1)井田边界煤柱根据有关规程规范的要求,在井田范围内留设井田边界安全煤柱,煤柱宽度为50m,共留设2210.2万t。
煤矿勘查建设中煤炭储量的计算方法魏亮【摘要】对煤矿在建设以及生产各阶段煤炭储量的计算方法进行了分析介绍,主要包括地质地段法、剖面法、水平切面法、简单统计法四种计算方法,阐述了各种方法在计算时的注意事项及适用阶段,以提高煤炭储量计算的准确性.【期刊名称】《山西建筑》【年(卷),期】2014(040)016【总页数】2页(P75-76)【关键词】煤炭储量;计算;阶段;方法【作者】魏亮【作者单位】山西省煤炭地质水文勘查研究院,山西太原030006【正文语种】中文【中图分类】TD1630 引言煤炭储量计算方法很多,大约有二三十种,但在煤田地质勘查中常用的只有十多种,最常用的不过两三种。
固体矿产资源储量估算方法总的来说可概括为两类:几何图形法和地质统计学法。
其中几何图形法包括:算术平均法、地质地段法、等高线法、剖面法、水平面切面法、多角形法、三角形法和等值法。
其中,地质地段法和断面法(剖面法和水平面切面法),在实际矿井建设生产中应用较多,其他估算方法应用相对较少,主要用于资源储量的概略估算,常用于地质勘探程度不高,工程分布有限,研究程度不足,只能用于供远景规划的资源量计算。
论文主要介绍地质地段法、断面法和地质统计学法。
1 地质地段法这是目前在煤炭储量计算中使用的最广的一种方法,见图1。
地质地段法是把一层煤利用各种要素分割成若干形状不同、大小不一的小块,分别计算每一块段的储量。
划分块段的主要因素有煤层的地质研究程度(如不同级别的划分)、煤层的厚度、构造因素(如断层、背向斜轴、煤层倾角大小,不同构造复杂程度等)、煤质特征(如按煤的不同牌号、灰分、硫分等)、开采技术条件(如地温、水文条件、含量、不同剥采比等)、开拓方式(如不同开采水平、分上下山等)。
图1 地质块段法计算储量时,把矿体当作一组密集的、大小不等的块体划分块段的原则就是各小块段内的指标一致或近似。
块段的多少是大不相同的,多则上百块,少则几块,它与勘查区范围的大小等许多因素有关。
煤层储量的计算方法小结- [笔记]
目前我实现过三种方法:
1,根据等值线数据,用每条等值线的“走势”区分其所在柱体的体积的正负。
所谓趋势是指柱体位于“谷”还是“峰”上。
这种方法不能处理煤体中有空洞的情况,比如同一标高有数条等值线,有的勾勒的是煤体轮廓,有的勾勒的是煤体内部的岩体的轮廓。
2,根据等值线数据,用等值线面积的正负剔除每一梯级的无效面积。
对每一梯级按台体模型计算体积。
等值线的面积正负由其被包围圈数决定:偶数为正,奇数为负。
这种方法能处理空洞,但目前的实现的效率不高,判断两个等值线的包含关系很费时,一条等值线很容易有近千个顶点。
利用等值线数据计算体积的一个致命缺点是:没法处理边界上的未闭合等值线。
看过国外一个人的做法是人为在原始数据点周围增加一圈伪数据点。
3,根据三角网数据,把上表面为三角网、下表面为水平面的实体分解为一系列三角柱体(顶部一般是斜的)。
这种方法既快又好。
以上方法都受限于数据源:离散点坐标->三角网->等值线。
4,商业软件Surfer是先把数据点网格化,在网格数据的基础上进行包括体积在内各种统计。
网格数据有很多好处:
1,可以生成相对平滑的等值线。
从三角网得用等值线是大尺度的折线,要拟合成平滑的曲线并不是件容易的事。
从网格数据得到的等值线最然也是折线,但尺度要小得多。
2,可以计算上下两个表面都是曲面的实体的体积。
如果用三角网,不易处理上下两个表面相交的情况。
3,生成剖面很容易。
§2 矿藏储量计算
1.Бауман方法
假定有一张矿藏的等高线图,高程差是h,地图上所表示的一圈,实际上便是一定高程的矿体的截面积.我们来估计两张这样的平面之间的矿藏的体积.这两张平面之间的距离便是高程差h.我们以A,B各表示下、上两个等高线圈所包围的截面(见图1,它们的面积亦记为A,B).Бауман建议用
来估算这两个高程间的一片的体积υ,此处T(A,B)是用以下方法所画出的图形的面积,称它为Бауман改正数.
如图2中,从制高点O出发,作放射线OP,这放射线在地图上A,B之间的长度是l.另作图3,取一点O′,与OP同方向取O′P′=l.当P 延着A的周界走一圈时,P′也得一图形,这图形的面积就称为Бауман改正数.因为它依赖于两截面A与B,所以我们用T(A,B)来表示它.
把算出来的矿体体积一片一片地加起来,就得到矿藏的体积V.换言之,设矿体的等高线图的n+1条等高线所围成的面积依次为S0,S1,…,S n,则矿体的体积V由下式来近似计算:
此处h为高程差(图4).
定理①(Бауман)已知物体的下底A与上底B 其面积亦记为A,B)均为平面,且A平行于B,h为它们之间的高,O为B上一点,若用任意通过O而垂直于B的平面来截物体,所得的截面都是四边形,则物体的体积υ恰如(1)式所示.
证以O为中心,引进极坐标(见图5).命高度为z的等高线的极坐标方程为
ρ=ρ(z,θ)(O≤θ≤2π),
其中,ρ(z,O)=ρ(z,2π).今后我们常假定ρ(z,θ)(O≤θ≤2π,O≤z≤h)是连续的,我们不妨假定A,B的高程各为O及h.并且记
ρ1(θ)=ρ(O,θ),ρ2(θ)=ρ(h,θ).
由假定可知
因此物体的体积为,.
定理证完.
2.Бауман公式,截锥公式与梯形公式的关系
假定物体的下底A与上底B均为平面,且A平行于B,h为它们之间的高,O为B上一点,除Бауман公式外,常用下面两公式来近似计算物体的体积:
式(4).
定理1 不等式
υ≤υ1≤υ2(5)
恒成立,当且仅当物体为截锥,且此锥体的顶点至底面A的垂线通过点O时,υ=υ1,当且仅当A=B时,υ1=υ2.
证如Бауман定理中的假定.由Бауман公式及Буняков-cкий-Schwarz不等式可知
当且仅当ρ1(θ)=cρ2(θ)(0≤θ≤2π,c为常数)时,即当这物体为一截头锥体,而此锥体的顶点至底面A的垂线通过点O时,才会取等号(图6).
又由于
所以,υ1≤υ2
当且仅当A=B时取等值,定理证完.
关于这三个公式的比较问题,我们认为主要应该从量纲来看,面的量纲为2.所以把面的量纲考虑为1所得出的公式,局限性往往是比较大的.
梯形公式是把中间截面看成上底与下底的算术平均而得到的,所以把面的量纲当作1.
Бауман公式则是将中间截面作为量纲2来考虑的.详言之它假定了ρ(z,θ),为ρ(0,θ),与ρ(h,θ)关于z的线性_到的(见1).
截锥公式亦是将中间截面的量纲考虑为2.但比Бауман公式还多假定了ρ(0,θ)=cρ(h,θ)(0≤θ≤2π),此处c为一常数.
因此我们认为Бауман公式更具有普遍性,所以用它来近似计算物体的体积,一般说来,应该比较精确,但这并不排斥对于某些个别物体,用其他两个公式更恰当些的可能性.例如有一梯形,其上底与下底的宽度相等(如图7所示).用梯形公式反而能获得它的真正体积,而用Бауман公式与截锥公式来计算,结果就偏低了.不过,我们注意此时这梯形的截面的量纲为1(由于沿y轴未变).
相对于Бауман公式,我们还可以估计用梯形公式与截锥公的相对偏差.
对于Бауман公式算出的结果的相对偏差为_
因为T(A,B)≤A-B 即
此不等式显然成立),所以
3.建议一个计算矿藏储量的公式
Бауман公式是假定ρ(z,θ)为ρ(0,θ)与ρ(h,θ)关于z的线性关系而得到的.如果我们将两相邻分层放在一起估计,即已知相邻三等高线ρ(0,θ),ρ(h,θ)与ρ(2h,θ).我们用通过ρ(0,θ),ρ(h,θ)与ρ(2h,θ)的抛物线所形成的曲面ρ=ρ(z,θ)来逼近矿体这两分层的表面,因此我们建议用如下的计算方法.
命A,B,C分别表示连续三等高线所围成的截面(面积亦记为A,B,C),A与B及B与C之间的距离都是h,则这两片在一起的体积可用以下公式来近似计算
+2T(B,C)-T(A,C)).(6)
如果不计(6)式中的第二项,就是熟知的(Соболевский公式.把二片二片的体积总加起来,就得到矿藏的总体积V的近似公式.
换言之,设矿藏的等高线图的2n+1条等高线所围成的面积依次为
S0,S1,…,S2n,而高程差为h,则矿藏的体积V由下式来近似计算
注意:如果等高线图含有偶数条等高线,则最上面一片可以单独估计,其余的用公式(7).
定理2 已知物体的上底C与下底A均为平面,B为中间截面(面积亦分别记为C,A,B),且A,C都与B平行,A与B之间及B与C间的
距离都是h,O为C上一点(图8).若用任意通过O而垂直于C的平面截物体,所得的截面的周界均由两条直线及两条抛物线所构成,则物体的体积υ3恰如(6)式所示.
证以O为中心,引进极坐标,命高度为z的等高线的极坐标方程为
ρ=ρ(z,θ)(O≤θ≤2π,ρ(z,O)=ρ(z,2π)).
不妨假定A,B,C的高程分别为0,h,2h,并且记
ρ1(θ)=ρ(O,θ),ρ2(θ)=ρ(h,θ),ρ3(θ)=ρ(2h,θ)
由假定可知
因此物体的体积υ3为
定理证完.。