一般最小二乘法中f(x)的展开多项式可以为正交化的函数系，也可以为非正交化的函数系。常用正交化的函数系有，Hermite 多项式，拉盖尔多项式和勒让德多项式等，也可以用正交三角函数系。对于非正交化的矢量，可以进行人为正交化处理。
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)()1()(x n n
x n n e dx d e x H -⋅-= )()(x n n n
x
n e x dx d e x L -⋅⋅= n n n
n n x dx
d x P )1(!21)(2-⋅=
Tn(x)=cos(narccosx)
施密特正交化方法：
已知有一组矢量集b i (i=1,----,n)，且无法找到这样一组常系数使得下式为0(实际含义为b i 矢量组可展开成n 维空间). 请用b i 矢量集构建一个正交化的n 维矢量集U i (i=1,----,n)。 01=∑=n i i i b
c
解：在求解之前，先说明一下行矢量点积的含义：两个行矢量点积为一个行矢量乘以另外一个行矢量的转置矢量(即变为列矢量)。
[]
[]
[]⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡====0 0 11 0 1),(0 0 11 0 1212121T b b b b b b 令b 1=U 1
则U 2应有如下表达式：
1111222U U U U b b U T T
-=
此时，可保证U 1和U 2正交，证明过程如下：
0),(11111
2121212=-==T T T
T T U U U U U b U b U U U U 同理，U3表达式如下：
222231111333U U U U b U U U U b b U T T T T
--=
∑-
=-=1
13i i i
T i
i T
i
i i U U U U b b U
通过以上步骤就依次构造了系列正交矢量U 1,---,Ui.
已知下式应变量被一组非正交基矢量进行展开，请将下列非正交基矢量修正成正交基矢量，并重新写出应变量在正交基矢量下的表达式。
(12) 0
∑=='n
k k k x a y
解：设第一个基矢量的k 为1，系数也为a k = 1
(13) 11x U =
(13)
41 432
22111
22
11112221x x x x dx x x dx x x x U dx U U dx
U x x U =-≠-=-=⎰⎰⎰⎰
证明(注意，以上积分有积分区间(而非不定积分)，积分后为一常数而非一变量(不定积分后任然为一变量)。即如不等号后边所示)：
(13) 0)(1
111
22121=-=⎰⎰⎰⎰dx x dx x x dx
x x x x dx U U
因此，二者正交，证毕！
(13)
-)())(()( -)())(()(- 1
1
11
3111221112211122111
22331
1
11
3111221112211122111
22331
1
113
22223
331111
1111
x dx
x x dx x x x dx x x dx x x x dx x dx x x dx x x x x dx x x dx x x x dx
x dx x x dx x x x x x x
dx
x x dx x x x dx x x dx x x x dx x dx x x dx x x x x dx x x dx x x x dx x dx x x dx x x x x x U dx U U dx
U x U dx U U dx
U x x U ⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-----=-----=-=
那么，如何证明U3与U2正交呢？
)- (2
1111
3222223232111132222232321111322223323=--=--=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰dx U U dx U U dx U x dx U U dx U U dx U x dx U x dx U U dx U U dx U x dx U U dx U U dx U x dx U x dx
U U dx
U U dx U x U dx U U dx
U x x dx U U
上式积分均为有积分上下限的定积分，否则会出问题！
