利用C程序编写格拉姆-施密特正交化的过程

格拉姆施密特正交化证明过程嘿，咱今儿个就来聊聊格拉姆施密特正交化证明过程这档子事儿。

你说这格拉姆施密特正交化，就像是一个神奇的魔法，能把一堆杂乱无章的向量变得整整齐齐、相互正交。

这可太有意思啦！想象一下，那些向量就像是一群调皮的孩子，在那里跑来跑去，没个规矩。

而格拉姆施密特正交化呢，就像是一位厉害的老师，把这些孩子一个个地拉过来，教导他们要站直了，别歪七扭八的，要相互尊重，保持垂直。

咱先从第一个向量开始，把它当作基准，让其他向量都向它看齐。

这就好比是在一群人中先找出一个带头的，其他人都跟着他走。

然后呢，对于第二个向量，咱就把它投影到第一个向量上，把这个投影的部分去掉，剩下的不就是和第一个向量正交的部分啦？这多巧妙啊！就好像把一个东西拆分成两个不同的部分，一个是和别人有关系的，一个是独特的自己。

接着，对于第三个向量，咱又得把它分别投影到前面两个向量上，把那些重叠的部分去掉，留下那独一无二的正交部分。

这就跟搭积木似的，一层一层地往上搭，每一层都有自己的特点，但又和下面的层相互配合。

这样一步一步地进行下去，那些向量就变得越来越规矩，越来越正交啦！这证明过程不就像是一场奇妙的冒险嘛！在这个过程中，咱们得仔细地计算，不能有一点儿马虎。

你说这数学咋就这么神奇呢？能想出这么厉害的方法来让这些向量乖乖听话。

而且啊，这格拉姆施密特正交化在好多领域都有用呢，比如在信号处理啦，图像处理啦，都能看到它的身影。

咱普通人可能觉得这玩意儿高深莫测，但其实只要咱静下心来，好好琢磨琢磨，也能明白个大概。

就像爬山一样，一开始觉得那山好高好难爬，但只要一步一步地往上走，总能爬到山顶，看到那美丽的风景。

所以啊，别被这格拉姆施密特正交化证明过程给吓住啦！大胆地去探索，去发现，你会发现其中的乐趣和奥秘的。

相信我，等你真的搞懂了，你肯定会感叹：哇塞，原来这么神奇啊！这不就像是打开了一扇通往新世界的大门嘛！怎么样，准备好和我一起去探索这个神奇的数学世界了吗？。

施密特正交化计算的步骤1. 引言嘿，大家好！今天我们来聊聊施密特正交化，这可是个数学界的小英雄，让我们在高维空间里轻松自如！听上去有点复杂，但其实就像做菜，只要掌握了步骤，轻松搞定不在话下。

要不，我们一起来“下厨房”，看看这道数学大餐该怎么做吧！2. 施密特正交化的基本概念首先，施密特正交化的目标就是把一组线性无关的向量，变成一组正交的向量。

哎呀，正交就是彼此垂直的意思，你想想，像两个小朋友玩“捉迷藏”，总得分开藏才行嘛！这不仅好看，而且在后续计算中可谓是事半功倍。

你只需拿出几根向量，就能创造出一片正交的天地，真是太酷了！2.1 向量的准备好的，我们先准备一些向量，假设有三个小伙伴，向量A、B、C。

哇，它们在一起真是热闹，但没经过施密特的洗礼，它们的关系有点“乱”，不太好相处。

我们要把它们理顺一下，先让A登场，大家伙准备好接招了吗？2.2 开始正交化首先，咱们把A向量给定为“第一位”，然后让它保持不变。

接着，B向量要向A的方向靠拢，先把它的“影子”投影到A上，记住，投影就像给B戴上了A的“面具”。

所以我们要从B中减去这个“面具”，这样B就变得更清晰，更好相处了。

接下来，C向量也不甘示弱，照样要经过A和B的考验。

就这么一来二去，向量们一个个都被正交化了，活脱脱像一群舞者在舞台上翩翩起舞。

3. 正交化的公式行了，数学公式也不能缺席。

施密特正交化的核心公式其实不复杂，记住几个简单的步骤就行。

首先，对于任意的向量，记得计算投影：。

projA(B) = frac{B cdot A{A cdot A A 。

这就像是在给B量身定制一件“A”的外套，太合身了。

然后，像刚才那样，用B减去这个投影。

接下来，我们来个“减法”运算，形成新的正交向量，记得这个过程可别偷懒哦！3.1 逐步推进随着我们的向量逐步正交化，大家是不是觉得越来越顺手了？每当你完成一个步骤，就像是完成了一道菜肴，总有种成就感油然而生。

最后的结果就是一组完全正交的向量，它们在空间中各自占据一席之地，再也不会“争风吃醋”了。

如何在MATLAB 中用9行代码实现Gram-Schmidt 正交化Gram-Schmidt 方法利用n 个独立的向量a 1,…,a n (A 的列向量产生n 个正交的向量q 1,…,q n (Q 的列向量。

求得q j 首先要从a j 中去其在前面的q 的投影,然后除以向量的长度,得到一个单位矩阵。

内积q i T a j 产生一个满足A=QR 的方阵R 。

因为当i 大于j 时q i T a j =0,所以R 是上三角形阵(后面的q 正交于以前的a ,这就是这个方法的要点。

下面是由A 产生Q 和R 的只有9行的MATLAB 的代码。

首先执行[m,n]=size (A;Q=zeros (m,n;R=zeros (n,m;以使矩阵具有正确的大小。

for j=1:n %Gram-Schmidt 正交化v=A(:,j; %v 初始化为A 的第j 列for i=1:j-1R(i,j=Q(:,i’*A(:,j; %为提高精确度用A(:,j代替vv=v-R(i,j*Q(:,i; %减去投影 q i T a j q i =(q i T vq iend %v 现在和q 1,…,q j −1正交R(j,j=norm(v;Q(:,j=v/R(j,j; %将v 规范化使之成为单位向量q j end如果你重复最后的步骤和中间的步骤你会发现:R(j,j q j =(v 减去它的投影=(A 的第j 列- R(i,jq i j −1i=1将和移到左侧就是乘积A=QR 的第j 列。

第4行的“改进的Gram-Schmidt ”在从a j 转换到v 中作了关键的调整。

由运算可知R(i.j= q i T a j 和q i T v 相等。

(现在v 已经从a j 中减去了在q 1,…,q i −1的投影,但是新的q i 要和这些方向都正交。

实际上这种正交状态并不完全正确,计算时便会在Q 中产生一点误差。

多数情况下在代码中的那一步使用v 。

例A 是2阶方阵。

施密特正交化详细计算施密特正交化是一种方法，用于将一个向量集转化为一个正交的向量集。

这个过程创建了一个正交基，可以更轻松地处理向量集。

在本文中，我们将详细介绍施密特正交化的计算步骤。

步骤1：给定向量集首先，我们需要有一个向量集，我们将其表示为 {v1, v2, ..., vn}，其中vi是向量集中的第i个向量。

步骤2：计算第一个正交向量我们将求解向量集中的第一个正交向量。

我们选择 v1 作为我们正交基的第一个向量，因为它是向量集中的第一个向量。

步骤3：计算第二个正交向量为了计算第二个正交向量，我们需要将向量 v2 投影到基 v1 上。

投影的计算公式如下所示：projv1(v2) = ( v2 • v1 / ||v1||^2 ) * v1其中，• 表示向量的点积运算，||v1|| 表示向量v1 的范数（长度）。

然后，我们从 v2 中减去投影，以得到第二个正交向量：u2 = v2 - projv1(v2)步骤4：计算第三个正交向量为了计算第三个正交向量，我们将向量 v3 投影到基 v1 和 v2 上，然后从 v3 中减去这两个投影。

首先，计算 v3 在 v1 上的投影：projv1(v3) = ( v3 • v1 / ||v1||^2 ) * v1然后，计算 v3 在 v2 上的投影：projv2(v3) = ( v3 • v2 / ||v2||^2 ) * v2最后，我们可以计算第三个正交向量：u3 = v3 - projv1(v3) - projv2(v3)步骤5：重复步骤4直到所有向量都被处理完对于具有 n 个向量的向量集，我们可以重复步骤4的过程 n - 1 次，直到我们得到所有的正交向量。

总结：总而言之，施密特正交化是一种将向量集转化为正交向量集的方法。

该方法的计算步骤包括：1. 给定一个向量集。

2. 计算第一个正交向量，将其作为正交基的第一个向量。

3. 计算每个向量在前面的正交向量（基）上的投影，并从原向量中减去这些投影，得到下一个正交向量。

施密特正交化GramSchmidt施密特正交化 GramSchmidt施密特正交化的原名是 Gram–Schmidt process，是由Gram和schmidt两个⼈⼀起发明的，但是后来因为施密特名⽓更⼤，所以该⽅法被简记为施密特正交化。

借⽤《线性代数》P117-例2 的例⼦来运⾏代码。

a1=(1,2,−1)T a2=(−1,3,1)T a3=(4,−1,0)T正交化后：a1=(1,2,−1)T a2=53(−1,1,1)T a3=2(1,0,1)T单位化后：a1=1√6(1,2,−1)T a2=1√3(−1,3,1)T a3=1√2(4,−1,0)T代码实现python3 的 sympy 包实现了 GramSchmidt ⽅法。

from sympy.matrices import Matrix, GramSchmidtl = [Matrix([1,2,-1]), Matrix([-1,3,1]), Matrix([4,1,0])]o = GramSchmidt(l)计算结果如下：[Matrix([[ 1],[ 2],[-1]]),Matrix([[-5/3],[ 5/3],[ 5/3]]),Matrix([[2],[0],[2]])]单位化也就是在调⽤函数的时候传⼊参数。

from sympy.matrices import Matrix, GramSchmidtl = [Matrix([1,2,-1]), Matrix([-1,3,1]), Matrix([4,1,0])]o = GramSchmidt(l, True)计算结果如下：[Matrix([[ sqrt(6)/6],[ sqrt(6)/3],[-sqrt(6)/6]]),Matrix([[-sqrt(3)/3],[ sqrt(3)/3],[ sqrt(3)/3]]),Matrix([[sqrt(2)/2],[ 0],[sqrt(2)/2]])]sympy.Matrix 与 Numpy 的互操作Matrix 转 Numpy.arrayimport numpy as npfrom sympy.matrices import Matrix, GramSchmidtl = [Matrix([1,2,-1]), Matrix([-1,3,1]), Matrix([4,1,0])]o = GramSchmidt(l, True)m = np.array(o)内积计算(m[0] * m[1]).sum() References Processing math: 100%。

Gram-Schmidt 正交化方法 正射影设欧式空间V 中向量s ααα ,,21线性无关,令;11αβ= 111122,,ββββααβ-=; (1)222231111333,,,,ββββαββββααβ--=;……111122221111,,,,,,--------=s s s s s s s s s ββββαββββαββββααβ .则s βββ,,,21 均非零向量,且两两正交.再令,1i ii ββγ= s i ,.2,1 =则},,,{21s γγγ 为规范正交组.将(1)重新写成i i i i i i t t βββα+++=--11,11, , s i ,,2,1 = 其中kk k i ik t βββα,,=,,,,2,1s i = .1,,2,1-=i k{},,,2,1,s j i ∈∀有∑∑-=-=++=1111,,j k jk jk i k i k ikji t tββββαα()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-001,000,000,0,,0,1,,,1112222111,21j j j i i i i t t t t t t ββββββ 令⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=---101001011,2,2,11,1,121s s s s s s t t t t t t T则TTssssssssssssss⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----ββββββββαααααααααααααααααααααααα,,,,,,,,,,,,,,,,112211/21121112221212111上式左端的实方阵是sααα,,,21的格兰母矩阵，记为：()sGααα,,,21，上式右端中间的对角阵是sβββ,,,21的Gram矩阵.即有:()()TGTGssβββααα,,,,,,21/21=因此()()ssssGGβββββββββααα,,,,,,det,,,det22112121==注意：对任意一个向量组，无论它是线性相关，还是线性无关，它总有Gram矩阵（或者事先给出定义）.例1 设sααα,,,21欧式空间V中向量，则（1）()⇔≠0,,,det21sGαααsααα,,,21线性无关;（2）()⇔=0,,,det21sGαααsααα,,,21线性相关.证明:只证（2）)⇐设sααα,,,21线性相关，则存在一个向量，不妨设为1α,可由其余向量线性表示:sskkααα++=221给s阶的行列式()sGααα,,,det21的第i行乘数()i k-加到第1行，si,,3,2=得()ssssssisiissiiisiiiskkkGααααααααααααααααααααααααααα,,,,,,,,,,,,,,,det2122212212221211121∑∑∑===---==)⇒法一：由上页证明推理过程立即得证。

施密特正交化推导过程
高斯-施密特正交化（Gram-Schmidt Orthogonalization）是一种向量正交化方法，是有效正交化基底（orthonormal basis）状态的一种方法。

它是定义在实数向量空间上且有限维的。

它的目标是对给定的v1,v2,…,vn基向量族生成一组正交和成比例的替换向量基向量w1,w2,…,wn，从而得到一个正交且比例的基底。

它的推导公式很简单，首先把原来的基向量定义为V1,…,Vn，然后将第一个基向量标准化为Wi，同时Wi是一个和V1正交的基向量，以此类推，后面的基向量Wi，为了使它和前面的基向量正交，通过把它们分别减去与Wi，Wi−1相关的实际上是该线性组合，最后获得Wi。

它的实现算法如下：
(1)第一步：计算Wi=V1/||V1||（| |表示V1的范德蒙范数）；
(2)第二步：计算Wi+1=V2−(V2· Wi)Wi/ ||V2−(V2· Wi)Wi||；
(3)第三步：对于第n个基向量Vn，计算
Wn=Vn−(Vn· W1)W1−(Vn·W2)W2−…−(Vn · Wn−1)Wn−1/||Vn−(Vn·W1)W1−(Vn·W2 )W2−…−(Vn· Wn−1)Wn−1||
上述就是高斯-施密特正交化的推导过程，可以使任意多维向量空间的基向量被唯一的正交化。

它的算法比较简单，算法的复杂度只有O(n2)，所以，在线性代数运算中很常用。

利用C程序编写格拉姆-施密特正交化的过程格拉姆-施密特正交化在线性代数中，如果内积空间上的一组向量能够组成一个子空间，那么这一组向量就称为这个子空间的一个基。

Gram－Schmidt正交化提供了一种方法，能够通过这一子空间上的一个基得出子空间的一个正交基，并可进一步求出对应的标准正交基。

这种正交化方法以Jørgen Pedersen Gram和Erhard Schmidt命名，然而比他们更早的拉普拉斯（Laplace）和柯西（Cauchy）已经发现了这一方法。

在李群分解中，这种方法被推广为岩泽分解（Iwasawa decomposition）。

在数值计算中，Gram－Schmidt正交化是数值不稳定的，计算中累积的舍入误差会使最终结果的正交性变得很差。

因此在实际应用中通常使用豪斯霍尔德变换或Givens旋转进行正交化。

记法•：维数为n的内积空间•：中的元素，可以是向量、函数，等等•：与的内积•：、……张成的子空间•：在上的投影基本思想Gram-Schmidt正交化的基本想法，是利用投影原理在已有正交基的基础上构造一个新的正交基。

设。

是上的维子空间，其标准正交基为，且不在上。

由投影原理知，与其在上的投影之差是正交于子空间的，亦即正交于的正交基。

因此只要将单位化，即那么就是在上扩展的子空间的标准正交基。

根据上述分析，对于向量组张成的空间 ()，只要从其中一个向量（不妨设为）所张成的一维子空间开始（注意到就是的正交基），重复上述扩展构造正交基的过程，就能够得到的一组正交基。

这就是Gram-Schmidt正交化。

算法首先需要确定已有基底向量的顺序，不妨设为。

Gram-Schmidt正交化的过程如下：这样就得到上的一组正交基，以及相应的标准正交基。

例考察如下欧几里得空间R n中向量的集合，欧氏空间上内积的定义为<a, b> = b T a：下面作Gram－Schmidt正交化，以得到一组正交向量：下面验证向量与的正交性：将这些向量单位化：于是就是的一组标准正交基底。

Gram-Schmidt 正交化方法 正射影设欧式空间V 中向量s ααα ,,21线性无关,令;11αβ= 111122,,ββββααβ-=; (1)222231111333,,,,ββββαββββααβ--=;……111122221111,,,,,,--------=s s s s s s s s s ββββαββββαββββααβ .则s βββ,,,21 均非零向量,且两两正交.再令,1i ii ββγ= s i ,.2,1 =则},,,{21s γγγ 为规范正交组.将(1)重新写成i i i i i i t t βββα+++=--11,11, , s i ,,2,1 = 其中kk k i ik t βββα,,=,,,,2,1s i = .1,,2,1-=i k{},,,2,1,s j i ∈∀有∑∑-=-=++=1111,,j k jk jk i k i k ikji t tββββαα()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-001,000,000,0,,0,1,,,1112222111,21j j j i i i i t t t t t t ββββββ 令⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=---101001011,2,2,11,1,121s s s s s s t t t t t t T则TTssssssssssssss⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----ββββββββαααααααααααααααααααααααα,,,,,,,,,,,,,,,,112211/21121112221212111上式左端的实方阵是sααα,,,21的格兰母矩阵，记为：()sGααα,,,21，上式右端中间的对角阵是sβββ,,,21的Gram矩阵.即有:()()TGTGssβββααα,,,,,,21/21=因此()()ssssGGβββββββββααα,,,,,,det,,,det22112121==注意：对任意一个向量组，无论它是线性相关，还是线性无关，它总有Gram矩阵（或者事先给出定义）.例1 设sααα,,,21欧式空间V中向量，则（1）()⇔≠0,,,det21sGαααsααα,,,21线性无关;（2）()⇔=0,,,det21sGαααsααα,,,21线性相关.证明:只证（2）)⇐设sααα,,,21线性相关，则存在一个向量，不妨设为1α,可由其余向量线性表示:sskkααα++=221给s阶的行列式()sGααα,,,det21的第i行乘数()i k-加到第1行，si,,3,2=得()ssssssisiissiiisiiiskkkGααααααααααααααααααααααααααα,,,,,,,,,,,,,,,det2122212212221211121∑∑∑===---==)⇒法一：由上页证明推理过程立即得证。

施密特正交化的具体运算过程嘿，朋友！咱今天来聊聊施密特正交化这个听起来有点高大上的东西，其实啊，它没那么可怕，就像你学会骑自行车，一旦掌握窍门，那就是小菜一碟！施密特正交化到底是啥呢？简单说，就是把一组线性无关的向量，变成一组两两正交的向量。

这就好比把一堆乱麻似的线，一根根整理得规规矩矩、互不干扰。

咱先找一组线性无关的向量，比如说α1、α2、α3。

然后呢，咱先把β1设成α1，这就像是打下了第一块基石。

接下来，β2就等于α2减去α2在β1上的投影。

这就好像α2要避开β1的“势力范围”，找到属于自己的独特空间。

你想想，这是不是有点像两个人要保持一定的距离，不互相干扰？那这个投影咋算呢？别慌，就是（α2·β1）/（β1·β1）乘以β1。

再看β3，它等于α3减去α3在β1上的投影，再减去α3在β2上的投影。

这就像是α3要努力躲开β1和β2的“地盘”，给自己找个安身之所。

算完这些β向量，还没完呢！咱还得把它们单位化。

怎么单位化？就是用β向量除以它自己的模长。

这就好比把一根长短不一的棍子，变成长度都为 1 的标准小棒。

你说这过程复杂不？其实只要一步步来，就像走台阶，一步一个脚印，肯定能搞定！比如说，给你一组向量（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1）。

咱就按照刚才说的步骤来施密特正交化。

先算β1，就是（1，1，0）。

然后算β2，α2在β1上的投影是（（1，0，1）·（1，1，0））/（（1，1，0）·（1，1，0））乘以（1，1，0），算出来是（1/2，1/2，0），那β2就是（1，0，1） - （1/2，1/2，0） = （1/2， - 1/2，1）。

再算β3，α3在β1上的投影是（（0，1，1）·（1，1，0））/（（1，1，0）·（1，1，0））乘以（1，1，0），算出来是（1/2，1/2，0），α3在β2上的投影是（（0，1，1）·（1/2， - 1/2，1））/（（1/2， -1/2，1）·（1/2， - 1/2，1））乘以（1/2， - 1/2，1），算出来是（1/2，- 1/2，1），那β3就是（0，1，1） - （1/2，1/2，0） - （1/2， - 1/2，1） = （ - 1/2，1/2，1/2）。

施密特正交化证明过程嘿，朋友！咱们今天来聊聊施密特正交化这神奇的证明过程。

你想啊，这施密特正交化就像是搭积木，一块一块地把不整齐的积木堆整得规规矩矩。

先来说说为啥要有这施密特正交化呢？就好比在一个乱糟糟的房间里，东西乱丢乱放，我们得把它们整理得井井有条，这样找起来方便，用起来也顺手。

向量也是这样，原本可能杂乱无章，通过施密特正交化，就能让它们变得有规律、有秩序。

那这施密特正交化到底咋整呢？假设咱有一组线性无关的向量α1，α2，α3，……，αn。

第一步，先把β1设成α1。

这就好比找到了第一个基准，就像盖房子先打下第一根桩子。

接下来，β2就等于α2减去α2在β1上的投影。

这像啥？就像把α2这个“调皮鬼”拽到β1这个基准线上，让它老实点，只留下不在β1方向上的部分。

再然后呢，β3等于α3减去α3在β1和β2上的投影。

这是不是有点像让α3这个“小淘气”摆脱β1和β2的影响，只留下独属于自己的那部分。

如此这般，一直到βn。

你说这过程神奇不神奇？就这么一步步地，把原本没啥规律的向量变得相互正交。

这过程不就跟咱们做手工似的，一点点地雕琢，一点点地修正，最后出来一个精美的作品。

而且啊，施密特正交化在很多领域都大有用处。

比如在解决线性方程组的时候，它能让计算变得简单明了；在处理空间几何问题时，能让咱们更清楚地看到空间中的结构。

你想想，如果没有施密特正交化，那得多乱套啊！计算会变得复杂无比，就像在一团乱麻里找线头，简直让人头疼。

所以说，施密特正交化这个证明过程，那可真是数学世界里的一把神奇钥匙，能打开很多难题的大门，让我们在数学的海洋里畅游得更加顺畅！朋友，你是不是也觉得施密特正交化很有意思呢？。

C语言实现矩阵的LU分解、施密特正交化、Givens分解、Householder分解By Kim.Wang，UCAS#include<stdio.h>#include<math.h>#include<windows.h>#define HS 10#define LS 10int n, m;float a[HS][LS],bc[HS][LS];void givens(){float fm,sc,cos,sin,r[HS][LS],q[HS][LS],swap[HS][LS],p[HS][LS];int ih,jh,i, j,kh,iw;for (i = 0; i < m; i++)for (j = 0; j < n; j++)r[i][j]=a[i][j];for (i = 0; i < m; i++)for (j = 0; j < m; j++){if(i==j)q[i][j]=1;elseq[i][j]=0;}for(j=0;j<n;j++)for (i = j+1; i < m; i++){for (ih = 0; ih < m; ih++)for (jh = 0; jh < m; jh++){if(ih==jh)p[ih][jh]=1;elsep[ih][jh]=0;}fm=sqrt(r[i][j]*r[i][j]+r[j][j]*r[j][j]);cos=r[j][j]/fm;sin=r[i][j]/fm;p[i][i]=p[j][j]=cos;p[i][j]=-sin;p[j][i]=sin;for (ih = 0; ih < m; ih++)for (jh = 0; jh < n; jh++){sc=0;for (kh = 0; kh < m; kh++)sc=sc+p[ih][kh]*r[kh][jh];swap[ih][jh]=sc;}for (ih = 0; ih < m; ih++)for (jh = 0; jh < n; jh++)r[ih][jh]=swap[ih][jh];for (ih = 0; ih < m; ih++)for (jh = 0; jh < m; jh++){sc=0;for (kh = 0; kh < m; kh++)sc=sc+p[ih][kh]*q[kh][jh];swap[ih][jh]=sc;}for (ih = 0; ih < m; ih++)for (jh = 0; jh < m; jh++)q[ih][jh]=swap[ih][jh];}printf("\n Givens约减矩阵Q的结果如下：\n");for (j = 0; j < m; j++){for (i = 0; i < m; i++)printf("%0.5f ", q[i][j]);printf("\n");}printf("\n Givens约减矩阵R的结果如下：\n");for (i = 0; i < m; i++){for (j = 0; j < n; j++)printf("%0.5f ", r[i][j]);printf("\n");}}void householder(){int i, j, k, is,js,ks,iw, ie,je;float udm,sc,em,nj,q[HS][LS],r[HS][LS],u[LS],swap[HS][LS],dw[HS][LS],p[HS][LS];for (i = 0; i < m; i++)for (j = 0; j < n; j++)r[i][j]=a[i][j];for (i = 0; i < m; i++)for (j = 0; j < m; j++){if(i==j)dw[i][j]=q[i][j]=1;elsedw[i][j]=q[i][j]=0;}for(k=0;k<n;k++){for (i = 0; i < m; i++){if(i<k)u[i]=0;else if(i==k){em=0;for(iw=k;iw<m;iw++)em=em+r[iw][k]*r[iw][k];em=sqrt(em);u[i]=r[i][k]-em;}elseu[i]=r[i][k];}for (udm=0,ie = k; ie < m; ie++)udm=udm+u[ie]*u[ie];udm=sqrt(udm);if(udm<0.00001)break;for (ie = 0; ie < m; ie++)u[ie]=u[ie]/udm;for (ie = 0; ie < m; ie++)for (je = 0; je < m; je++)p[ie][je]=dw[ie][je]-2*u[ie]*u[je];for (is = 0; is < m; is++)for (js = 0; js < m; js++){sc=0;for (ks = 0; ks < m; ks++)sc=sc+p[is][ks]*q[ks][js];swap[is][js]=sc;}for (is = 0; is < m; is++)for (js = 0; js < m; js++)q[is][js]=swap[is][js];for (is = 0; is < m; is++)for (js = 0; js < m; js++){sc=0;for (ks = 0; ks < m; ks++)sc=sc+p[is][ks]*r[ks][js];swap[is][js]=sc;}for (is = 0; is < m; is++)for (js = 0; js < m; js++)r[is][js]=swap[is][js];}printf("\n Householder约减矩阵Q的结果如下：\n");for (j = 0; j < m; j++){for (i = 0; i < m; i++)printf("%0.5f ", q[i][j]);printf("\n");}printf("\n Householder矩阵R的结果如下：\n");for (i = 0; i < m; i++){for (j = 0; j < n; j++)printf("%0.5f ", r[i][j]);printf("\n");}}void schmidt(){int i, j, k, l, b, z;float em,nj, r[HS][LS],q[HS][LS];for (i = 0; i < m; i++)for (j = 0; j < n; j++)q[i][j]=a[i][j];for(k=0;k<n;k++){for(l=0;l<k;l++){nj=0;for(i=0;i<m;i++)nj=nj+q[i][l]*a[i][k];r[l][k]=nj;for(i=0;i<m;i++)q[i][k]=q[i][k]-r[l][k]*q[i][l];}em=0;for(i=0;i<m;i++)em=em+q[i][l]*q[i][l];em=sqrt(em);r[l][k]=em;for(i=0;i<m;i++)q[i][k]=q[i][k]/r[l][k];}for(i=0;i<m;i++)for(j=n;j<m;j++)q[i][j]=bc[i][j];printf("\n Schmidt正交化矩阵Q的结果如下：\n");for (i = 0; i < m; i++){for (j = 0; j < m; j++)printf("%0.5f ", q[i][j]);printf("\n");}printf("\n Schmidt正交化矩阵R的结果如下：\n");for (i = 0; i < m; i++){for (j = 0; j < n; j++){if(i>j) r[i][j]=0;printf("%0.5f ", r[i][j]);}printf("\n");}}void lufj(){int i, j, k,mm, z, o, p[HS][LS], w[HS];float x, y,alu[HS][LS], s[HS],l[HS][LS],u[HS][LS]; for (i = 0; i < n; i++)for (j = 0; j < n; j++){alu[i][j]=a[i][j];if (i == j)p[i][j] = 1;elsep[i][j] = 0;}for (j = 0; j < n; j++){i = j; x = alu[i][j]; k = i;for (; i < n - 1; i++){mm = i + 1;if (abs(x) < abs(alu[mm][j])){k = mm;x = alu[mm][j];}}if (k != j)for (o = 0,i = j; o < n; o++){s[o] = alu[i][o];alu[i][o] = alu[k][o];alu[k][o] = s[o];w[o] = p[i][o];p[i][o] = p[k][o];p[k][o] = w[o];}for (z = j + 1; z < n; z++){y = alu[z][j] / alu[j][j];alu[z][j] = y;for (o = j+1; o < n; o++)alu[z][o] = alu[z][o] - y*alu[j][o];}}for (i = 0; i < n; i++)for (j = 0; j < n; j++)if(i>j){l[i][j]=alu[i][j];u[i][j]=0;}else if(i<j){l[i][j]=0;u[i][j]=alu[i][j];}else{l[i][j]=1;u[i][j]=alu[i][j];}printf(" LU分解矩阵L的结果如下：\n");for (i = 0; i < n; i++){for (j = 0; j < n; j++)printf("%0.5f ", l[i][j]);printf("\n");}printf("\n LU分解矩阵U的结果如下：\n");for (i = 0; i < n; i++){for (j = 0; j < n; j++)printf("%0.5f ", u[i][j]);printf("\n");}printf("\n LU分解行交换矩阵P的结果如下：\n");for (i = 0; i < n; i++){for (j = 0; j < n; j++)printf("%d ", p[i][j]);printf("\n");}}int main(){int im,jm,b,z,zl;printf("请输入矩阵行数M(M需为大于1的整数)：\n");scanf("%d",&m);printf("请输入矩阵列数N(N需为大于1的整数)：\n");scanf("%d",&n);for (im = 0; im < m; im++)for (jm = 0; jm < n; jm++){b = im + 1;z = jm + 1;printf("请输入第%d行的第%d个数，以enter键结束输入：\n", b, z);scanf("%f", &a[im][jm]);}float fm,sc,cos,sin,jdz,r[HS][LS],q[HS][LS],swap[HS][LS],p[HS][LS];int ih,jh,i, j,kh,iw;for (i = 0; i < m; i++)for (j = 0; j < n; j++)r[i][j]=a[i][j];for (i = 0; i < m; i++)for (j = 0; j < m; j++){if(i==j)q[i][j]=1;elseq[i][j]=0;}for(j=0;j<n;j++)for (i = j+1; i < m; i++){for (ih = 0; ih < m; ih++)for (jh = 0; jh < m; jh++){if(ih==jh)p[ih][jh]=1;elsep[ih][jh]=0;}fm=sqrt(r[i][j]*r[i][j]+r[j][j]*r[j][j]);cos=r[j][j]/fm;sin=r[i][j]/fm;p[i][i]=p[j][j]=cos;p[i][j]=-sin;p[j][i]=sin;for (ih = 0; ih < m; ih++)for (jh = 0; jh < n; jh++)sc=0;for (kh = 0; kh < m; kh++)sc=sc+p[ih][kh]*r[kh][jh];swap[ih][jh]=sc;}for (ih = 0; ih < m; ih++)for (jh = 0; jh < n; jh++)r[ih][jh]=swap[ih][jh];for (ih = 0; ih < m; ih++)for (jh = 0; jh < m; jh++){sc=0;for (kh = 0; kh < m; kh++)sc=sc+p[ih][kh]*q[kh][jh];swap[ih][jh]=sc;}for (ih = 0; ih < m; ih++)for (jh = 0; jh < m; jh++)bc[jh][ih]=q[ih][jh]=swap[ih][jh];}if(r[n-1][n-1]<0)jdz=-r[n-1][n-1];elsejdz=r[n-1][n-1];if(m<n){printf("\n 该矩阵列向量线性相关，无法进行分解! \n");system("pause");}else if(jdz<0.0001){printf("\n 该矩阵列向量线性相关，无法进行分解! \n");system("pause");}else if(m==n){do{printf("\n");printf("该矩阵可进行四种分解，请输入选项前的数字选择！\n");printf("0：退出程序\n");printf("1：Gram-Schmidt正交化\n");printf("2：Householder分解\n");printf("3：Givens分解\n");printf("4：LU分解\n\n");scanf("%d", &zl);switch(zl){case 0:return 0; break;case 1:schmidt(); break;case 2:householder(); break;case 3:givens(); break;case 4:lufj(); break;}}while(zl!=0);}elsedo{printf("\n");printf("该矩阵可进行除LU分解外的三种分解，请输入选项前的数字选择！\n");printf("0：退出程序\n");printf("1：Gram-Schmidt正交化\n");printf("2：Householder分解\n");printf("3：Givens分解\n\n");scanf("%d", &zl);switch(zl){case 0:return 0; break;case 1:schmidt(); break;case 2:householder(); break;case 3:givens(); break;}}while(zl!=0);}。

#include <iostream.h>#include <math.h>#define N 4float neiji(float a[],float b[]){float s=0,p;int i;for(i=1;i<=N;i++){ p=a[i]*b[i];s=p+s;}return s;}void dwh(float a[],float b[]){static int c=1;float s=0,p;int i;for(i=1;i<=N;i++){s=a[i]*a[i]+s;}p=sqrt(s);cout<<"那么单位化后b"<<c<<"的结果为："<<endl;for(i=1;i<=N;i++){b[i]=a[i]/p;cout<<b[i]<<'\t';}c++;cout<<endl;}void print(float a[]){int i;for(i=1;i<=N;i++){ cout<<a[i]<<'\t';}cout<<endl;}void main(){cout<<"《Schmidt正交法求向量组等价的标准正交向量组程序》"<<endl;cout<<"请根据你的向量的维数更改N值,这里初始为N=4，为三个向量组"<<endl;cout<<"请输入你的向量组a1的各元素"<<endl;float a1[N],a2[N],a3[N],b1[N],b2[N],b3[N],p;int i;for(i=1;i<=N;i++){ cin>>a1[i];}cout<<"请输入你的向量组a2的各元素"<<endl;for(i=1;i<=N;i++){ cin>>a2[i];} cout<<"请输入你的向量组a3的各元素"<<endl;for(i=1;i<=N;i++){ cin>>a3[i];}for(i=1;i<=N;i++){ b1[i]=a1[i];}float s21;s21=neiji(a2,b1);float h1;h1=neiji(b1,b1);for(i=1;i<=N;i++){ b2[i]=a2[i]-s21/h1*b1[i];}float s32;for(i=1;i<=N;i++)s32=neiji(a3,b2);float h2;h2=neiji(b2,b2);float s31;s31=neiji(a3,b1);for(i=1;i<=N;i++){ b3[i]=a3[i]-s32/h2*b2[i]-s31/h1*b1[i];}cout<<"b1="<<'\t';print(b1);cout<<"b2="<<'\t';print(b2);cout<<"b3="<<'\t';print(b3);float r1[N];dwh(b1,r1);float r2[N];dwh(b2,r2);float r3[N];dwh(b3,r3);}。

#include <stdio.h>#include <math.h>double A; //A为平均值double x[20]={0}; //原始数据double y[20]={0}; //残差int n,t; //数据个数，和最大残差数的下标double mean() //求平均值函数{int i;double ave=0;for(i=0;i<n;i++){ave+=x[i];}return ave/n;}double qcc(){int i;double vmax=0;for(i=0;i<n;i++){y[i]=x[i]-A;y[i]=fabs(y[i]);}for(i=0;i<n;i++){if(vmax<y[i]){vmax=y[i];t=i;}}return vmax;}double qbzc(){double bzc=0;int i;for(i=0;i<n;i++){bzc+=pow(y[i],2);}bzc/=(n-1);bzc=sqrt(bzc);return bzc;}void main(){doubleG[2][18]={{1.15,1.46,1.67,1.82,1.94,2.03,2.11,2.18,2.23,2.29,2.33,2.37,2.41,2.44,2.47,2.50,2.53,2 .56},{1.15,1.49,1.75,1.94,2.10,2.22,2.32,2.41,2.48,2.55,2.61,2.66,2.70,2.74,2.78,2.82,2.85,2.85}}; double g;double p;double vmax1,bzc1;int i;printf("输入数据个数\n");scanf("%d",&n);printf("输入数据\n");for(i=0;i<n;i++){scanf("%lf,",&x[i]);}printf("设定置信概率为0.95或0.99\n");scanf("%lf",&p);A=mean();vmax1=qcc();bzc1=qbzc();printf("平均值=%.3lf,实验标准差=%.3lf\n",A,bzc1);if(p==0.95)g=G[0][n-3];if(p==0.99)g=G[1][n-3];while(vmax1>g*bzc1){printf("异常数据为:%.2lf\n",x[t]);for(i=t;i<n-1;i++){x[i]=x[i+1];}n--;A=mean();vmax1=qcc();bzc1=qbzc();if(p==0.95)g=G[0][n-3];if(p==0.99)g=G[1][n-3];printf("平均值=%.3lf,实验标准差=%.3lf\n",A,bzc1); }printf("经处理后数据为:");for(i=0;i<n;i++){printf("%.2lf,",x[i]);}}。