泰勒公式及其应用(数学考研)

考研数学二（一元函数的泰勒公式及其应用）模拟试卷1(题后含答案及解析)全部题型 3. 解答题解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

1．求cosχ的带皮亚诺余项的三阶麦克劳林公式．正确答案：涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用2．求带皮亚诺余项的麦克劳林公式．正确答案：把t＝－χ2代入et＝1＋t＋＋o(tn) (t→0)即得涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用3．求arctanχ带皮亚诺余项的5阶麦克劳林公式．正确答案：由于(arctanχ)′＝，又＝1－χ2＋χ4＋o(χ5)，由该式逐项积分即得涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用4．求极限ω＝正确答案：又sinχ2～χ2(χ→0)，所以ω＝涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用5．确定常数a和b的值，使f(χ)＝χ－(a＋b)sinχ当χ→0时是χ的5阶无穷小量．正确答案：不难看出当1－a－b＝0与－b＝0同时成立f(χ)才能满足题设条件．由此可解得常数a＝，b＝，并且得到f(χ)＝－χ5＋o(χ5)，f(χ)是戈的5阶无穷小(χ→0)．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用6．设f(χ)在χ＝0处n(n≥2)阶可导且＝e4，求f(0)，f′(0)，…，f(n)(0)．正确答案：1)先转化已知条件．由＝e4知再用当χ→0时的等价无穷小因子替换ln[1＋f(χ)]－f(χ)，可得＝4．2)用o(1)表示当χ→0时的无穷小量，由当χ→0时的极限与无穷小的关系＝4＋o(1)，并利用χn(1)＝o(χn)可得f(χ)＝4χn＋o(χn)．从而由泰勒公式的唯一性即知f(0)＝0，f′(0)＝0，f′(0)＝0，…f(n-1)＝0，＝4，故f(n)(0)＝4n! 涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用7．设0＜χ＜，证明．正确答案：由带拉格朗日余项的泰勒公式cosχ＝1－χ4cos(θχ)，0＜θ＜1，可得1－cosχ＝χ2．注意当，故涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用8．设f(χ)在[0，1]二阶可导，｜f(0)｜≤a，｜f(1)｜≤a，｜f〞(χ)｜≤b，a，b为非负数，求证：c∈(0，1)，有｜f′(c)｜≤2a＋b．正确答案：考察带拉格朗日余项的一阶泰勒公式：χ∈[0，1]，c∈(0，1)，有f(χ)＝f(c)＋f′(c)(χ－c)＋f〞(ξ)(χ－c)2，(*) 其中ξ＝c＋θ(χ－c)，0＜θ＜1．在(*)式中，令χ＝0，得f(0)＝f(c)＋f′(c)(－c)＋f〞(ξ1)c2，0＜ξ1＜c＜1；在(*)式中，令χ＝1，得f(1)＝f(c)＋f′(c)(1－c)＋〞(ξ2)(1－c)2，0＜c＜ξ2＜1．上面两式相减得f(1)－f(0)＝f′(c)＋f〞(ξ2)(1－c)2－f〞(ξ1)c2]．从而f′(c)＝f(1)－f(0)＋[f〞(ξ1)c2－f〞(ξ2)(1－c)2]，两端取绝对值并放大即得｜f′(c)｜≤2a＋b[(1－c)2＋c2]≤2a＋b(1－c＋c)＝2a＋b．其中利用了对任何c∈(0，1)有(1－c)2≤1－c，c2≤c，于是(1－c)2＋c2≤1．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用9．设f(χ)在[a，b]三次可微，证明：∈(a，b)，使得正确答案：将f(χ)在χ0＝展成二阶泰勒公式并分别令χ＝b与χ＝a得其中ξ1，ξ2∈(a，b)．上面两式相减得注意：介于f″′(ξ1)与f″′(ξ2)之间，由导函数取中间值定理，可得ξ∈(a，b)，使得f″′(ξ)＝因此得证．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用10．在χ＝0处展开下列函数至括号内的指定阶数：(Ⅰ)f(χ)＝tanχ(χ3)；(Ⅱ)f(χ)＝sin(sinχ)(χ3)．正确答案：即tanχ＝χ＋χ3＋o(χ3) (Ⅱ)已知sinu＝u－u3＋o(u3)(u→0)，令u＝sinχsin(sinχ)＝sinχ－sin3χ＋o(sin3χ)．再将sin χ＝χ－χ3＋o(χ3)．代入得涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用11．求下列函数f(χ)在χ＝0处带拉格朗日余项的n阶泰勒公式：(Ⅰ)f(χ)＝；(Ⅱ)f(χ)＝eχsinχ．正确答案：(Ⅰ)由f(χ)＝，可得对m＝1，2，3，…有f(m)(χ)＝2(－1)mm!f(m)(0)＝2(－1)mm!．故f(χ)＝1－2χ＋2χ2－…＋2(－1)nχn＋2(－1)n+1．(Ⅱ)用归纳法求出f(n)(χ)的统一公式．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用12．用泰勒公式求下列极限：正确答案：(Ⅰ)用et，ln(1＋t)，cost，sint的泰勒公式，将分子、分母中的函数在χ＝0展开．由于因此，χcosχ－sinχ＝χ3＋o(χ3)．再求分子的泰勒公式．由χ2e2χ＝χ2[1＋(2χ)＋o(χ)]＝χ2＋2χ3＋o(χ3)，ln(1－χ2)＝－χ2＋o(χ3)，χ2e2χ＋ln(1－χ2)＝2χ3＋o(χ3)．因此(Ⅱ)由ln(1＋χ)＝χ－χ＋o(χ)(χ→0)，令χ＝，即得涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用13．用泰勒公式确定下列无穷小量当χ→0时关于χ的无穷小阶数：(Ⅰ) (Ⅱ)∫0χ(et－1－t)2dt．正确答案：因此当χ→0时是χ的二阶无穷小量．(Ⅱ)因et－1－t ＝t2＋o(t2)，从而(et－1－t)2＝t4＝o(t4)，代入得∫0χ(et－1－t)2dt＝χ5＋o(χ5)，因此χ→0时∫0χ(et－1－t)2dt是χ的五阶无穷小量．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用14．设f(χ)在(0，＋∞)三次可导，且当χ∈(0，＋∞)时｜f(χ)｜≤M0，｜f″′(χ)｜≤M3，其中M0，M3为非负常数，求证f〞(χ)在(0，＋∞)上有界．正确答案：分别讨论χ＞1与0＜χ≤1两种情形．1)当χ＞1时考察二阶泰勒公式两式相加并移项即得f〞(χ)＝f(χ＋1)＋f(χ－1)－2f(χ)＋[f″′(η)－f″′(ξ)]，则当χ＞1时有｜f〞(χ)｜≤4M0＋M3．2)当0＜χ≤1时对f〞(χ)用拉格朗日中值定理，有f〞(χ)＝f〞(χ)－f〞(1)＋f〞(1)＝f″′(ξ)(χ－1)＋f〞(1)，其中ξ∈(χ，1)．｜f〞(χ)｜≤｜f″′(χ)｜≤｜χ－1｜＋｜f〞(1)｜≤M3＋｜f〞(1)｜(χ∈(0，1])．综合即知f〞(χ)在(0，＋∞)上有界．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用15．设函数f(χ)在[0，1]二阶可导，且f(0)＝f′(0)＝f′(1)＝0，f(1)＝1．求证：存在ξ∈(0，1)，使｜f〞(ξ)｜≥4．正确答案：把函数f(χ)在χ＝0与χ＝1分别展开成带拉格朗日余项的一阶泰勒公式，得f(χ)＝f0)＋f′(0)χ＋f〞(ξ1)χ2 (0＜ξ1＜χ)，f(χ)＝f(1)＋f′(1)(χ－1)＋f〞(ξ2)(χ－1)2 (χ＜ξ2＜1)．在公式中取χ＝并利用题设可得两式相减消去未知的函数值f()即得f〞(ξ1)－f〞(ξ2)＝8｜f〞(ξ1)｜＋｜f〞(ξ2)｜≥8．故在ξ1与ξ2中至少有一个使得在该点的二阶导数的绝对值不小于4，把该点取为ξ，就有ξ∈(0，1)使｜f〞(ξ)｜≥4．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用16．设f(χ)在(χ0－δ，χ0＋δ)有n阶连续导数，且f(k)(χ0)＝0，k＝2，3，…，n－1；f(n)(χ0)≠0．当0＜｜h｜＜δ时，f(χ0＋h)－f(χ0)＝hf′(χ0＋θh)，(0＜θ＜1)．求证：．正确答案：这里m＝1，求的是f(χ0＋h)－f(χ0)＝hf′(χ0＋θh)(0＜θ＜1)当h→0时中值θ的极限．为解出θ，按题中条件，将f′(χ0＋θh)在χ＝χ0展成带皮亚诺余项的n－1阶泰勒公式得代入原式得f(χ0＋h)－f(χ0)＝hf′(χ0)＋f(n)(χ0)θn-1hn＋o(hn) ①再将f(χ0＋h)在χ＝χ0展成带皮亚诺余项的n阶泰勒公式f(χ0＋h)－f(χ0)＝f′(χ0)h＋…＋f(n)(χ)hn ＋o(hn) ＝f′(χ0)h＋f(n)(χ0)hn＋o(hn)(h→0) ②将②代入①后两边除以hh得涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用17．求下列函数的带皮亚诺余项至括号内所示阶数的麦克劳林公式：(Ⅰ)f(χ)＝eχcosχ(χ3)；(Ⅱ)f(χ)＝(χ3)；(Ⅲ)f(χ)＝，其中a＞0 (χ2)．正确答案：(Ⅰ)eχ＝1＋χ＋＋o(χ3)，cosχ＝1－χ2＋o(χ3)，相乘得eχcosχ＝1＋χ＋＋o(χ3)＝1＋χ－＋o(χ3)．(Ⅱ)f(χ)＝f(χ)＝[1－χ＋χ2－χ3－(1＋2χ＋(2χ)2＋(2χ)3)＋o(χ3)] ＝(－3χ－3χ2－9χ3)＋o(χ3)＝－χ－χ2－3χ3＋o(χ3)．(Ⅲ) 涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用18．求下列函数的带皮亚诺余项的麦克劳林公式：(Ⅰ)f(χ)＝sin3χ；(Ⅱ)f(χ)＝χln(1－χ2)．正确答案：涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用19．确定下列无穷小量当χ→0时关于χ的阶数：(Ⅰ)f(χ)＝eχ－1－χ－χsinχ；(Ⅱ)f(χ)＝(1＋)cosχ－1．正确答案：用待定阶数法(洛必达法则)确定无穷小的阶．确定n使得下面的极限而不为零：得eχ－1－χ－χsinχ是χ的3阶无穷小．(Ⅱ)用待定阶数法(洛必达法则)确定无穷小的阶．确定n使得下面的极限且不为零因此，cosχ＋cosχ－1是χ的4阶无穷小．涉及知识点：一元函数的泰勒公式及其应用20．求下列极限：正确答案：(Ⅰ)用洛必达法则(Ⅱ)由于f(χ)＝aretanχ在点χ＝0有如下导数因此当χ→0时f(χ)＝f(0)＋f′(0)χ＋χ3＋o(χ3)，arctanχ＝χ－χ3＋o(χ3)，arctanχ－sinχ＝－χ3＋o(χ3)。

泰勒公式在考研数学的常见应用泰勒公式在解题中的妙用——从几道数学考研题说起泰勒公式是数学分析中的重要工具之一，它反映了函数在某一点处的局部行为。

在很多数学问题中，泰勒公式的应用可以帮助我们更好地理解问题的本质，从而找到更简洁高效的解题方法。

本文将从几道数学考研题入手，详细阐述泰勒公式在解题中的应用，同时介绍一些应用技巧和注意事项，并进一步拓展泰勒公式在更高维度和更复杂问题中的应用。

求limx→0⁡(1+x+x2/2−−−−−−−√)−1x−−−−−−−−−−−−−−−√ex−1ex−1这道考研题中，我们可以将函数f(x)=(1+x+x2/2)−−−−−−−−−−−−−−−√ex −1在x=0处展开成泰勒级数，然后利用级数求和的方法得到答案。

具体步骤如下：f(x)=ex−1+xex−1+x22ex−1=(x+1)+x22+O(x3)因此，limx→0⁡f(x)=limx→0⁡(x+1)+limx→0⁡x22+O(x3)=12+1+0=32这道考研题可以利用泰勒公式将sin⁡xx展开成幂级数，然后求导n 次得到答案。

具体步骤如下：y=sin⁡xx=∑k=0∞(−1)k×x2k+O(x3)y(n)=∑k=n∞(−1)k×2k×x2k−n+O(x3)因此，y(n)(0)=∑k=n∞(−1)k×2k×1=(−1)n×2n×1=2n×(−1)n证明：(1+x)ln⁡(1+x)−xx=O(x3)这道考研题可以利用泰勒公式将等式中的函数展开成幂级数，然后进行恒等变形得到答案。

具体步骤如下：f(x)=(1+x)ln⁡(1+x)−xx=(1+x)(ln⁡1+ln⁡(1+x))−xx=x+x2+O(x3)−ln⁡(1+x)+O(x3)=O(x3)因此，f(x)(0)=0+0+…=0，即(1+x)ln⁡(1+x)−xx=O(x3)成立。

泰勒公式在很多数学问题中都有着广泛的应用，例如在微积分、线性代数、概率论等领域。

2024考研数学常见泰勒公式展开式泰勒公式是数学分析中的一个重要定理，它给出了一个函数在其中一点附近的多项式逼近。

它的形式如下：设函数f在点x=a处n+1次可导，则它在点x=a处的泰勒展开式为：\[f(x)=f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+R_n(x)\]其中，Rn(x)为泰勒余项，余项有以下形式：\[R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}\]其中a<c<x为函数f在区间[a,x]上的其中一点。

常见的泰勒公式展开式如下：1.指数函数的泰勒展开式：\[e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{x^n}{n! }+R_n(x)\]其中\[R_n(x)=\frac{e^c}{(n+1)!}x^{n+1}\]2.正弦函数的泰勒展开式：\[\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+R_n(x)\]其中\[R_n(x)=(-1)^n\frac{\cos c}{(2n+2)!}x^{2n+2}\]3.余弦函数的泰勒展开式：\[\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+R_n(x)\]其中\[R_n(x)=(-1)^n\frac{\sin c}{(2n+1)!}x^{2n+1}\]4.自然对数函数的泰勒展开式：\[\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+R_n(x)\]其中\[R_n(x)=(-1)^n\frac{(1+c)^{-n}}{n+1}x^{n+1}\]5.三角函数的泰勒展开式：\[\begin{align*} \sin x &= x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots+\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1} \quad \text{(奇次项展开式)} \\ \cos x &= 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots+\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n} \quad \text{(偶次项展开式)} \end{align*}\]除了上述常见的泰勒展开式之外，还有一些其他函数的泰勒展开式，如二次函数、指数对数混合形式等，这些展开式在不同的数学问题中有着重要的应用。

数学分析泰勒公式泰勒公式是数学分析中的重要定理之一，它描述了一个函数在特定点附近的局部行为。

泰勒公式的内容非常丰富，有多个版本，包括泰勒级数展开、拉格朗日余项等等。

本文将主要介绍泰勒公式的一般形式及其应用。

泰勒公式的一般形式如下：设函数f(x)在区间[a,b]上具有n+1阶连续导数，在(a,b)内存在一点c，那么对于(a,b)内的任意x，都存在一个介于x和c之间的点ξ，使得f(x)=f(c)+f'(c)(x-c)/1!+f''(c)(x-c)²/2!+...+f⁽ⁿ⁾(c)(x-c)ⁿ/n!+R⁽ⁿ⁺¹⁾(x)其中f'(c)表示f(x)在点c处的一阶导数，f''(c)表示f(x)在点c处的二阶导数，依此类推，f⁽ⁿ⁾(c)表示f(x)在点c处的n阶导数。

R⁽ⁿ⁺¹⁾(x)是泰勒公式的余项，用于估计f(x)与泰勒级数展开之间的误差。

其具体形式为：R⁽ⁿ⁺¹⁾(x)=(x-c)ⁿ⁺¹/(n+1)!*f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)其中ξ位于x和c之间。

泰勒公式的一般形式给出了一个函数在特定点附近的局部近似表示。

当x靠近c的时候，余项R⁽ⁿ⁺¹⁾(x)往往趋近于0，这意味着f(x)可以很好地由前面几项和来近似表示。

特别地，当n较大时，泰勒公式给出了一个无穷级数展开，称为泰勒级数展开。

泰勒级数展开形式如下：f(x)=f(c)+f'(c)(x-c)/1!+f''(c)(x-c)²/2!+...+f⁽ⁿ⁾(c)(x-c)ⁿ/n!+...通常将f(x)在c处展开的泰勒级数称为f(x)的泰勒级数展开式，并记作：f(x)=Σf⁽ⁿ⁾(c)(x-c)ⁿ/n!泰勒级数展开具有很好的性质，例如，它可以用于计算函数在特定点的值、求函数在特定点附近的最值、近似求解方程等等。

例如，对于常见的指数函数、三角函数、对数函数等，它们可以通过泰勒级数展开来进行计算和近似。

第2章 预备知识前面一章我们介绍了一下泰勒和他的成就，那他的主要杰作泰勒公式究竟在数学中有多大的用处呢？那么从这一章开始我们就要来学习一下所谓的泰勒公式，首先来了解一下它是在什么样的背景下产生的．给定一个函数)(x f 在点0x 处可微，则有：)()()()(000x x x f x f x x f ∆+∆'+=∆+ο这样当1<<∆x 时可得近似公式x x f x f x x f ∆'+≈∆+)()()(000或))(()()(000x x x f x f x f -'+=，10<<-x x即在0x 点附近，可以用一个x 的线形函数（一次多项式）去逼近函数f ，但这时有两个问题没有解决：（1） 近似的程度不好，精确度不高．因为我们只是用一个简单的函数—一次多项式去替代可能是十分复杂的函数f ．（2）近似所产生的误差不能具体估计，只知道舍掉的是一个高阶无穷小量)(0x x -ο，如果要求误差不得超过410-，用))(()(000x x x f x f -'+去替代)(x f 行吗？因此就需要用新的逼近方法去替代函数．在下面这一节我们就来设法解决这两个问题．2.1 Taylor 公式首先看第一个问题，为了提高近似的精确程度，我们可以设想用一个x 的n 次多项式在0x 附近去逼近f ，即令n n x x a x x a a x f )(...)()(0010-++-+= （2.1）从几何上看，这表示不满足在0x 附近用一条直线（曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 的切线）去替代)(x f y =，而是想用一条n 次抛物线n n x x a x x a a x f )(...)()(0010-++-+=去替代它．我们猜想在点))(,(00x f x 附近这两条曲线可能会拟合的更好些．那么系数0a ，1a …n a 如何确定呢？假设f 本身就是一个n 次多项式，显然，要用一个n 次多项式去替代它，最好莫过它自身了，因此应当有n n x x a x x a a x f )(...)()(0010-++-+=于是得：)(00x f a =第2章 预备知识2求一次导数可得：)(01x f a '= 又求一次导数可得：!2)(02x f a ''= 这样进行下去可得：!3)(03x f a '''=，!4)(0)4(4x f a =，… ，!)(0)(n x f a n n = 因此当f 是一个n 次多项式时，它就可以表成：k nk k nn x x k x f x x n x fx x x f x f x f )(!)()(!)(...))(()()(000)(00)(000-=-++-'+=∑= （2.2） 即0x 附近的点x 处的函数值)(x f 可以通过0x 点的函数值和各级导数值去计算．通过这个特殊的情形，我们得到一个启示，对于一般的函数f ，只要它在0x 点存在直到n 阶的导数，由这些导数构成一个n 次多项式n n n x x n x f x x x f x x x f x f x T )(!)(...)(!2)())(()()(00)(200000-++-''+-'+=称为函数)(x f 在点0x 处的泰勒多项式，)(x T n 的各项系数!)(0)(k x fk ),...,3,2,1(n k = ，称为泰勒系数．因而n 次多项式的n 次泰勒多项式就是它本身．2.2 Taylor 公式的各种余项对于一般的函数，其n 次Taylor 多项式与函数本身又有什么关系呢？函数在某点0x 附近能近似地用它在0x 点的n 次泰勒多项式去替代吗？如果可以，那怎样估计误差呢？下面的Taylor 定理就是回答这个问题的．定理1]10[ (带拉格朗日型余项的Taylor 公式)假设函数)(x f 在h x x ≤-||0上存在直至1+n 阶的连续导函数，则对任一],[00h x h x x +-∈,泰勒公式的余项为10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ其中)(00x x x -+=θξ为0x 与x 间的一个值.即有10)1(00)(000)()!1()()(!)(...))(()()(++-++-++-'+=n n nn x x n f x x n x fx x x f x f x f ξ (2.3) 推论1]10[ 当0=n ，（2.3）式即为拉格朗日中值公式：))(()()(00x x f x f x f -'=-ξ所以，泰勒定理也可以看作是拉格朗日中值定理的推广． 推论2]10[ 在定理1中,若令)0()()1(!)()(101)1(>--⋅=+-++p x x n p fx R n p n n n θξ则称)(x R n 为一般形式的余项公式, 其中0x x x --=ξθ．在上式中，1+=n p 即为拉格朗日型余项．若令1=p ，则得)0()()1(!)()(10)1(>--=++p x x n f x R n n n n θξ,此式称为柯西余项公式．当00=x ，得到泰勒公式：11)(2)!1()(!)0(...!2)0()0()0()(++++++''+'+=n n n n x n x f x n f x f x f f x f θ）（，)10(<<θ （2.4）则（2.4）式称为带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式．定理２]10[ （带皮亚诺型的余项的Taylor 公式） 若函数f 在点0x 处存在直至n 阶导数，则有∑=-=nk k k n x x k x fx P 000)()(!)()(， )()()(x P x f x R n n -=．则当0x x →时，))(()(0n n x x x R -=ο．即有))(()(!)(...))(()()(000)(000n n n x x x x n x f x x x f x f x f -+-++-'+=ο （2.5）定理3所证的（2.5）公式称为函数)(x f 在点0x 处的泰勒公式，)()()(x P x f x R n n -=， 称为泰勒公式的余项的，形如))((0n x x -ο的余项称为皮亚诺型余项，所以（2.5）式又称为带有皮亚诺型余项的泰勒公式当（2.5）式中00=x 时，可得到)(!)0(...!2)0()0()0()()(2n nn x x n f x f x f f x f ο+++''+'+= （2.6）（2.6）式称为带有皮亚诺型余项的麦克劳林公式，此展开式在一些求极限的题目中有重要应用．由于))(()(0n n x x x R -=ο，函数的各阶泰勒公式事实上是函数无穷小的一种精细分析，也是在无穷小领域将超越运算转化为整幂运算的手段．这一手段使得我们可能将无理的或超越函数的极限，转化为有理式的极限，从而使得由超越函数所带来的极限式的奇性或不定性，得以有效的约除，这就极大的简化了极限的运算．这在后面的应用中给以介绍．第2章 预备知识4定理３ 设0>h ，函数)(x f 在);(0h x U 内具有2+n 阶连续导数，且0)(0)2(≠+x f n ，)(x f 在);(0h x U 内的泰勒公式为10,)!1()(!)(...)()()(10)1(0)(000<<+++++'+=+++θθn n n n h n h x fh n x fh x f x f h x f （2.7）则21lim 0+=→n h θ． 证明：)(x f 在);(0h x U 内的带皮亚诺型余项的泰勒公式：)()!2()()!1()(!)(...)()()(220)2(10)1(0)(000++++++++++++'+=+n n n n n n n h h n x f h n x f h n x f h x f x f h x f ο将上式与（2.7）式两边分别相减，可得出)()!2()()!1()(-)(220)2(10)1(0)1(++++++++=++n n n n n n h h n x fhn x fh x fοθ，从而220)2(0)1(0)1()()!2()()()()!1(+++++++=-+⋅+n n n n n h h n x f h x f h x fn οθθθ，令0→h ，得)!2()()(lim )!1(10)2(0)2(0+=⋅⋅+++→n x fx f n n n h θ，故21lim 0+=→n h θ． 由上面的证明我们可以看得出，当n 趋近于无穷大时，泰勒公式的近似效果越好，拟合程度也越好．第3章 泰勒公式的应用由于泰勒公式涉及到的是某一定点0x 及0x 处函数)(0x f 及n 阶导数值：)(0x f '，)(0x f ''，…，)(0)(x fn ，以及用这些值表示动点x 处的函数值)(x f ，本章研究泰勒公式的具体应用，比如近似计算，证明中值公式，求极限等中的应用．3.1 应用Taylor 公式证明等式例3.1.1 设)(x f 在[]b a ,上三次可导，试证： ),(b a c ∈∃，使得3))((241))(2()()(a b c f a b b a f a f b f -'''+-+'+= 证明： (利用待定系数法)设k 为使下列式子成立的实数：0)(241))(2()()(3=---+'--a b k a b b a f a f b f （3.1） 这时，我们的问题归为证明：),(b a c ∈∃，使得：)(c f k '''=令3)(241))(2()()()(a x k a x x a f a f x f x g ---+'--=，则0)()(==b g a g ． 根据罗尔定理，),(b a ∈∃ξ，使得0)(='ξg ，即：0)(82)()2()2()(2=---+''-+'-'a k a a f a f f ξξξξξ 这是关于k 的方程，注意到)(ξf '在点2ξ+a 处的泰勒公式：2))((812)()2()2()(a c f a a f a f f -'''+-+''++'='ξξξξξ 其中),(b a c ∈∃，比较可得原命题成立．例3.1.2 设)(x f 在[]b a ,上有二阶导数，试证：),(b a c ∈∃，使得3))((241)2()()(a b c f b a f a b dx x f ba-''++-=⎰． （3.2） 证明：记20ba x +=，则)(x f 在0x 处泰勒公式展开式为： 20000)(2)())(()()(x x f x x x f x f x f -''+-'+=ξ （3.3）对（3.3）式两端同时取[]b a ,上的积分，注意右端第二项积分为0，对于第三项的积分，由于导数有介值性，第一积分中值定理成立：),(b a c ∈∃，使得第3章 泰勒公式的应用632020))((121)()())((a b c f dx x x c f dx x x f baba-''=-''=-''⎰⎰ξ 因此原命题式成立．因此可以从上述两个例子中得出泰勒公式可以用来证明一些恒等式，既可以证明微分中值等式，也可以证明积分中值等式．以后在遇到一些等式的证明时，不妨可以尝试用泰勒公式来证明．证明等式后我们在思考，它能否用来证明不等式呢？经研究是可以的，下面我们通过几个例子来说明一下．3.2 应用Taylor 公式证明不等式例3.4设)(x f 在[]b a ,上二次可微，0)(<''x f ，试证：b x x x a n ≤<<≤≤∀...21，0≥i k ，11=∑=n i i k ，∑∑==>ni i i n i i i x f k x k f 11)()(．证明：取∑==ni i i x k x 10，将)(i x f 在0x x =处展开))(()()(2)())(()()(00020000x x x f x f x x f x x x f x f x f i i i i i -'+<-''+-'+=ξ 其中()n i ,...,3,2,1=．以i k 乘此式两端，然后n 个不等式相加，注意11=∑=ni i k()00110=-=-∑∑==x x k x xk ni i i ni ii得：)()()(101∑∑===<ni i i ni i ix k f x f x f k．例3.2.2 设)(x f 在[]1,0上有二阶导数，当10≤≤x 时，1)(≤x f ，2)(<''x f ．试证：当10≤≤x 时，3)(≤'x f ．证明：)(t f 在x 处的泰勒展开式为：2)(!2)())(()()(x t f x t a f x f t f -''+-'+=ξ 其中将t 分别换为1=t ，0=t 可得：2)1(!2)()1)(()()1(x f x x f x f f -''+-'+=ξ （3.4） 2)(!2)())(()()0(x f x x f x f f -''+-'+=η （3.5）所以（3.4）式减（3.5）式得：22!2)()1(!2)()()0()1(x f x f x f f f ηξ''--''+'=- 从而，312)1(2)(21)1()(21)0()1()(2222=+≤+-+≤''+-''++≤'x x x f x f f f x f ηξ 例3.2.3 设)(x f 在[]b a ,上二阶可导，0)()(='='b f a f ，证明：),(b a ∈∃ξ，有|)()(|)(4|)(|2a fb f a b f --≥''ξ．证明：)(x f 在a x =，b x =处的泰勒展开式分别为：21)(!2)())(()()(a x f a x a f a f x f -''+-'+=ξ，),(1x a ∈ξ 22)(!2)())(()()(b x f b x b f b f x f -''+-'+=ξ，),(2b x ∈ξ令2ba x +=，则有 4)(!2)()()2(21a b f a f b a f -''+=+ξ，)2,(1ba a +∈ξ （3.6）4)(!2)()()2(22a b f b f b a f -''+=+ξ，),2(2b b a +∈ξ （3.7） （3.7）－（3.6）得：[]0)()(8)()()(122=''-''-+-ξξf f a b a f b f 则有[])()(8)()()(8)()()(122122ξξξξf f a b f f a b a f b f ''+''-≤''-''-=- 令{})(,)(max )(21ξξξf f f ''''=''，即有|)()(|)(4|)(|2a fb f a b f --≥''ξ． 例3.2.4 设)(x f 二次可微，0)1()0(==f f ，2)(max 10=≤≤x f x ，试证：16)(min 10-≤''≤≤x f x ．证明：因)(x f 在[]1,0上连续，故有最大值，最小值．又因2)(max 10=≤≤x f x ，0)1()0(==f f ，故最大值在()1,0内部达到，所以()1,00∈∃x 使得)(max )(100x f x f x ≤≤=于是)(0x f 为极大值，由费马定理有：0)(0='x f ，在0x x =处按Taylor 公式展开：)1,0(,∈∃ηξ使得：第3章 泰勒公式的应用82002)()()0(0x f x f f ξ''+==， （3.8） 200)1(2)()()1(0x f x f f -''+==η． （3.9）因此{}⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧---=''''≤''≤≤202010)1(4,4min )(),(min )(min x x f f x f x ηξ 而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,210x 时，16)1(4)1(4,4min 202020-≤--=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧---x x x ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,00x 时，164)1(4,4min 202020-≤-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧---x x x ． 所以，16)(min 10-≤''≤≤x f x ．由上述几个例题可以看出泰勒公式还可以用来证明不等式，例3.2.1说明泰勒公式可以根据题目的条件来证明函数的凹凸性，例3.2.2说明可以对某些函数在一定范围内的界进行估计，例3.2.3是用泰勒公式证明中值不等式，例3.2.4与例3.2.2很相似，只不过前者是界的估计，后者是对导数的中值估计．证明不等式有很多种方法，而学习了泰勒公式后，又增添了一种方法，在以后的学习中我们要会灵活应用．但前提是要满足应用的条件，那就是泰勒公式成立的条件．3.3 应用Taylor 公式求极限例3.3.1求422cos limxex x x -→-．解：在这里我们用泰勒公式求解，考虑到极限，用带皮亚诺型余项的麦克劳林公式展开，则有)(2421cos 542x x x x ο++-=)(82154222x x x ex ο++-=-)(12cos 5422x x ex x ο+-=--所以，121)(12lim cos lim4540242-=+-=-→-→xx x xex x x x ο． 像这类函数用泰勒公式求极限就比较简单，因为使用洛毕达法则比较麻烦和复杂．例 3.3.2 设函数)(x ϕ在[)+∞,0上二次连续可微，如果)(lim x x ϕ+∞→存在，且)(x ϕ''在[)+∞,0上有界，试证：0)(lim ='+∞→x x ϕ．证明：要证明0)(lim ='+∞→x x ϕ，即要证明：0>∀ε，0>∃δ．当M x >时()εϕ<'x ． 利用Taylor 公式，0>∀h ，2)(21)()()(h h x x h x ξϕϕϕϕ''+'+=+ （3.10）即[]h x h x h x )(21)()(1)(ξϕϕϕϕ''--+=' （3.11） 记)(lim x A x ϕ+∞→=，因)(x ϕ''有界，所以0>∃M ，使得M x ≤'')(ϕ， )0(≥∀x故由（3.11）知[]h x A A h x h x |)(|21)()(1)(ξϕϕϕϕ''+-+-+≤' （3.12） 0>∀ε，首先可取0>h 充分小，使得221ε<Mh ， 然后将h 固定，因)(lim x A x ϕ+∞→=， 所以0>∃δ，当δ>x 时[]2)()(1εϕϕ<-+-+x A A h x h 从而由（3.12）式即得：εεεϕ=+<'22)(x ．即0)(lim ='+∞→x x ϕ例3.3.3 判断下列函数的曲线是否存在渐近线，若存在的话，求出渐近线方程． （1）32)1)(2(+-=x x y ；（2）)1(cos 2215x e xx y --=．解：（1）首先设所求的渐近线为 b ax y +=，并令 xu 1=，则有：第3章 泰勒公式的应用100)(1lim )()321)(321(lim )1()21(lim])1)(2([lim 003231032=+--=+--+-=--+-=--+-→→→∞→uu bu a u u bu a u u ubu a u u b ax x x u u u x οο从中解出：1=a ，0=b ．所以有渐近线：x y =．（2）设b ax y +=，xu 1=，则有 0)()4221)(2421(lim cos lim ])1(cos [lim 554424205542021522=+--⋅+-+-=---=---→-→-∞→u u bu au u u u u u bu au e u b ax e x x u u u xx ο从中解出：121-=a ，0,1==b a ． 所以有渐近线：x y 121-=．从上面的例子中我们可以看得出泰勒公式在判断函数渐近线时的作用，因而我们在判断函数形态时可以考虑这个方法，通过求极限来求函数的渐进线．上述三个例子都是泰勒公式在求极限的题目上的应用，例3.3.1是在具体点或者是特殊点的极限，而第二个例子是求无穷远处的极限，第三个是利用极限来求函数的渐近线，学习了数学分析，我们知道求极限的方法多种多样，但对于有些复杂的题目我们用洛必达法则或其他方法是很难求出，或者是比较复杂的，我们不妨用泰勒公式来解决．3.4 应用Taylor 公式求中值点的极限例3.4.1]4[ 设(1))(x f 在),(00δδ+-x x 内是n 阶连续可微函数，此处0>δ； (2)当)1(,...,3,2-=n k 时，有0)(0)(=x f k ，但是0)(0)(≠x f n ；(3)当δ<≠h 0时有))(()()(000h h x f hx f h x f θ+'=-+． （3.13）其中1)(0<<h θ，证明：101)(lim -→=n h nh θ． 证明：要求出)(h θ的极限必须设法解出)(h θ，因此将（3.13）式左边的)(0h x f +及右端的))((0h h x f θ+'在0x 处展开，注意条件(2)，知)1,0(,21∈∃θθ使得())(!)()()(10000h x f n h x f h x f h x f n n θ++'+=+， （3.14） ))(()!1())(()())((20)(1100h h x f n h h x f h h x f n n n θθθθ+-+'=+'--， （3.15）于是（3.13）式变为=++'-)(!)(10)(10h x f n h x f n n θ))(()!1())(()(20)(110h h x f n h h x f n n n θθθ+-+'--从而120)(10)())(()()(-++=n n n h h x nf h x f h θθθθ． 因)1,0()(,,21∈h θθθ，利用)()(x f n 的连续性，由此可得101)(lim -→=n h nh θ． 这个例子可以作为定理来使用，但前提是要满足条件．以后只要遇到相关的题目就可以简单应用．3.5 应用Taylor 公式近似计算由于泰勒公式主要是用一个多项式去逼近函数，因而可用于求某些函数的近似值，或根据误差确定变量范围．特别是计算机编程上的计算．例3.5.1 求：（1）计算e 的值，使其误差不超过610-；（2）用泰勒多项式逼近正弦函数x sin ，要求误差不超过310-，以2=m 的情形讨论x 的取值范围．解：(1) 由于x e 的麦克劳林的泰勒展开式为： 10,)!1(!...!2112<<++++++=+θθn xn x x n e n x x x e 当1=x 时，有)!1(!1...!2111++++++=n e n e θ故)!1(3)!1()1(+<+=n n e R n θ． 当9=n 时，有第3章 泰勒公式的应用 12691036288003!103)1(-<<=R 从而省略)1(9R 而求得e 的近似值为： 718285.2!91...!31!2111≈+++++≈e (2) 当2=m 时， 6sin 3x x x -≈，使其误差满足： 355410!5!5cos )(-<≤=x x x x R θ 只需6543.0<x （弧度），即大约在原点左右37°29′38″范围内，上述三次多项式逼近的误差不超过310-．3.6 应用Taylor 公式求极值定理3.1 ]12[ 设f 在0x 附近有1+n 阶连续导数，且)(0x f ')(0x f ''=0)(...0)(===x f n ， 0)(0)1(≠+x f n（1）如果n 为偶数，则0x 不是f 的极值点．（2）如果n 为奇数，则0x 是f 的严格极值点，且当0)(0)1(>+x fn 时，0x 是f 的严格极小值点；当0)(0)1(<+x f n 时，0x 是f 的严格极大值点．证明：将f 在0x 点处作带皮亚诺型余项的Taylor 展开，即：))(()()!1()()()(10100)1(0+++-+-++=n n n x x x x n x f x f x f ο 于是1010100)1(0)()())(()!1()()()(++++-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++=-n n n n x x x x x x n x f x f x f ο 由于)!1()()())(()!1()(lim 0)1(10100)1(0+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++++++→n x f x x x x n x f n n n n x x ο 故0>∃δ，),(00δδ+-x x 中，10100)1()())(()!1()(+++--++n n n x x x x n x f ο与)!1()(0)1(++n x f n 同号． （1）如果n 为偶数，则由10)(+-n x x 在0x 附近变号知，)()(0x f x f -也变号，故0x 不是f 的极值点．（2）如果n 为奇数，则1+n 为偶数，于是，10)(+-n x x 在0x 附近不变号，故)()(0x f x f -与)!1()(0)1(++n x f n 同号． 若0)(0)1(>+x f n ，则)()(0x f x f >，)(),(0,000δδ+-∈∀x x x x x ，0x 为f 的严格极小值点． 若0)(0)1(<+x f n ，则)()(0x f x f <，)(),(0,000δδ+-∈∀x x x x x ，0x 为f 的严格极大值点．例3.6.1 试求函数34)1(-x x 的极值．解：设34)1()(-=x x x f ，由于)47()1()(23--='x x x x f ，因此74,1,0=x 是函数的三个稳定点．f 的二阶导数为)287)(1(6)(22+--=''x x x x x f ，由此得，0)1()0(=''=''f f 及0)74(>''f ．所以)(x f 在74=x 时取得极小值． 求三阶导数)4306035(6)(23-+-='''x x x x x f ，有0)0(='''f ，0)1(>'''f ．由于31=+n ，则2=n 为偶数，由定理3.1知f 在1=x 不取极值.再求f 的四阶导数)1154535(24)(23)4(-+-=x x x x f ，有0)0()4(<f ．因为41=+n ，则3=n 为奇数，由定理3.1知f 在0=x 处取得极大值．综上所述，0)0(=f 为极大值，82354369127374)74(34-=-=）（）（f 为极小值． 由上面的例题我们可以了解到定理3.1也是判断极值的充分条件．3.7 应用Taylor 公式研究函数图形的局部形态定理3.2]12[ 设R X ∈为任一非空集合，X x ∈0，函数R X f →:在0x 处n 阶可导，且满足条件：)(0x f ''0)(...)(0)1(0==='''=-x f x f n ，0)(0)(≠x f n ．（1）n 为偶数，如果)0(0)(0)(<>x f n ，则曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 的邻近位于曲线过此点的切线的上（下）方．（2）n 为奇数，则曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 的邻近位于该点切线的两侧，此时称曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处与该点的切线横截相交．证明：因为f 在0x 处n 阶可导，并且)(0x f ''0)(...)(0)1(0==='''=-x f x f n ，0)(0)(≠x f n ，所以f 在0x 的开邻域 ),(0δx B 内的n 阶Taylor 公式为第3章 泰勒公式的应用 14))(()(!)())(()()(000)(000n n n x x x x n x f x x x f x f x f -+-+-'+=ο )(0x x → 于是[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-=-'+-n n n nx x x x n x f x x x x x f x f x f )())((!)()())(()()(000)(0000ο 由于!)()())((!)(lim 0)(000)(0n x f x x x x n x f n n n n x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+→ο 由此可见：0>∃δ，),(0δx B X x ∈∀，有：[]))(()()(000x x x f x f x f -'+-与n n x x n x f )(!)(00)(-同号． （1）当n 为偶数，如果0)(0)(>x f n ，则[]0))(()()(000>-'+-x x x f x f x f ，),(0δx B X x ∈∀这就表明在点))(,(00x f x 邻近，曲线)(x f y =位于切线))(()(000x x x f x f y -'+=的上方；如果0)(0)(<x f n ，则有[]0))(()()(000<-'+-x x x f x f x f ，),(0δx B X x ∈∀因此，在点))(,(00x f x 邻近，曲线)(x f y =位于切线))(()(000x x x f x f y -'+=的下方．（2）当n 为奇数，这时若)0(0)(0)(<>x f n ，则[])0(0))(()()(000<>-'+-x x x f x f x f ， ),(0δx B X x+∈∀ [])0(0))(()()(000><-'+-x x x f x f x f ， ),(0δx B X x-∈∀ 由此知，在0x 的右侧，曲线)(x f y =位于切线))(()(000x x x f x f y -'+=的上（下）方；而在0x 的左侧，曲线)(x f y =位于切线))(()(000x x x f x f y -'+=的下（上）方．因此，曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处与该点的切线横截相交．3.8 应用Taylor 公式研究线形插值例 3.8.1（线形插值的误差公式） 设R b a f →],[:为实一元函数，l 为两点))(,(a f a 与))(,(b f b 所决定的线形函数，即)()()(b f a b a x a f a b x b x l --+--=，l 称为f 在区间],[b a 上的线形插值．如果f 在区间],[b a 上二阶可导，f 在],[b a 上连续，那么，我们可以对这种插值法带来的误差作出估计．应用带Lagrange 型余项Taylor 公式：),(x a ∈∃ξ，),(b x ∈∃η，使得 [][])(2))(()()(2))(()()(21)()()()(21)()()()()()()()(22ζηξηξf a x x b f a b x b f a b a x a x x b f x b x f x b a b a x f x a x f x a a b x b x f b f ab a x x f a f a b x b x f x l ''--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡''--+''----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡''-+'---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡''-+'---=---+---=-其中，),(b a ∈ζ，最后一个式子是由于0>--a b x b ，0>--ab a x ． )}(),(max{)()())}((),(min{)}(),(min{ηξηξηξηξf f f ab x b f a b a x ab x b a b a x f f f f ''''≤''--+''--≤--+--''''='''' 以及Darboux 定理推得．如果M 为)(x f ''的上界（特别当)(x f ''在],[b a 上连续时，根据最值定理，取)(max ],[x f M b a x ''=∈），则误差估计为 M a b f a x x b x f x l 2)(|)(|2))(()()(2-≤''--≤-ζ，],[b a x ∈∀ 这表明，M 愈小线性插值的逼近效果就会愈好，当M 很小时，曲线)(x f y =的切线改变得不剧烈，这也是符合几何直观的．3.9 应用Taylor 公式研究函数表达式例3.9.1]4[ 设在内有连续三阶导数，且满足方程：)()()(h x f h x f h x f θ+'+=+，10<<θ．(θ与h 无关) （3.16）试证：)(x f 是一次或二次函数．证明：要证)(x f 是一次或二次函数，就是要证0)(≡''x f 或0)(≡'''x f ．因此要将（3.16）式对h 求导，注意θ与h 无关，我们有)()()(h x f h h x f h x f θθθ+''++'=+' （3.17）从而)()()()()(h x f hh x f x f x f h x f θθθ+''=+'-'+'-+' （3.18） 令0→h ，对（3.17）式两边取极限得：)()()(x f x f x f ''=''-''θθ，即第3章 泰勒公式的应用16 )(2)(x f x f ''=''θ 若21≠θ，由此知0)(≡''x f ，)(x f 为一次函数； 若21=θ，则（3.17）式变成：)21(21)21()(h x f h h x f h x f +''++'=+'．此式两端同时对h 求导，减去)(x f ''，除以h ，然后令0→h 取极限，即得0)(≡'''x f ，即)(x f 为二次函数．实际上在一定条件下证明某函数0)(≡x f 的问题，我们称之为归零问题， 因此上例实际上也是)(x f ''，)(x f '''的归零。

考研数学一（一元函数的泰勒公式及其应用、常微分方程）模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有：1.jpg />=C1e3x+C2e4x，其中C1与C2是两个任意常数．由于0不是特征根，所以非齐次微分方程的特解应具有形式y*(x)=Ax+B．代入方程可得A=所以，原方程的通解为代入初始条件，则得因此所求的特解为(Ⅱ)由于对应齐次微分方程的特征根为±ai，所以其通解为y(x)=C1cosax+C2sinax．求原非齐次微分方程的特解，需分两种情况讨论：①当a≠b时，特解的形式应为Acosbx+Bsinbx，将其代入原方程可得所以，通解为+C1cosax+C2sinax，其中C1，C2是两个任意常数．②当a=b时，特解的形式应为Axcosax+Bxsinax，代入原方程可得原方程的通解为y(x)=+C1cosax+C2sinax，其中C1，C2是两个任意常数．(Ⅲ)这是一个三阶常系数线性齐次方程，其相应的特征方程为λ3+λ2+λ+1=0，分解得(λ+1)(λ2+1)=0，其特征根为λ1=一1，λ2,3=±i，所以方程的通解为y(x)=C1e-x+C2cosx+C3sinx，其中C1，C2，C3为任意常数．涉及知识点：常微分方程32．求微分方程xy”一y’=x2的通解．正确答案：方程两端同乘x，使之变为欧拉方程x2y”一xy’=x3．令x=±et，则代入原方程，则有这是一个二阶常系数线性非齐次方程，其通解为．其中C1，C2是两个任意常数．涉及知识点：常微分方程33．利用代换u=ycosx将微分方程y”cosx一2y’sinx+3ycosx=ex化简，并求出原方程的通解．正确答案：令ycosx=u，则y=usecx，从而y’=u’secx+usecxtanx，y”=u”seex+2u’secxtanx+usecxtan2x+usex3x．代入原方程，则得u”+4u=ex．这是一个二阶常系数线性非齐次方程，其通解为代回到原未知函数，则有其中C1，C2是两个任意常数．涉及知识点：常微分方程34．设f(x)=xsinx一∫0x(x一t)f(t)dt，其中f(x)连续，求f(x)·正确答案：将原方程改写为f(x)=xsinx—x∫0xf(t)dt+∫0xtf(t)dt．因为f(x)连续，所以方程的右端是可微的，因而左端的函数f(x)也可微．两端对x求导，又原式中令x=0，则原方程等价于f’(x)=xcosx+sinx—∫0xf(t)dt，f(0)=0．①同理，方程右端仍可微，所以f(x)存在二阶导数，再将①中的方程两边求导并令x=0，则得①等价于f”(x)=一xsinx+2cosx一f(x)，f’(0)=0，f(0)=0．即y=f(x)满足微分方程的初值问题y”+y=一xsinx+2cosx，y(0)=0，y’(0)=0．②由于此方程的特征根为±i，所以其特解应具形式y*(x)=x(Ax+B)cosx+x(Cx+D)sinx．代入方程，求出系数A，B，C，D，则得其特解为进而方程的通解为由f(0)=0可知C1=0，而由f’(0)=0又可推出C2=0，所以f(x)= 涉及知识点：常微分方程35．设有二阶线性微分方程(I)作自变量替换x=，把方程变换成y关于t的微分方程．(Ⅱ)求原方程的通解．正确答案：(I)先求再将①求导，得将②，③代入原方程得(Ⅱ)题(I)已把原方程转化为④，故只需求解这个二阶线性常系数非齐次方程，它的相应特征方程λ2+2λ+1=0，有重根λ=一1．非齐次方程可设特解y*=Asint+Bcost，代入④得一(Asint+Bcost)+2(Acost—Bsint)+(Asint+Bcost)=2sint即Acost—Bsint=sint比较系数得A=0，B=一1，即y*(t)=一cost．因此④的通解为y=(c1+c2t)e-t一cost原方程的通解为涉及知识点：常微分方程36．设f(x)是以ω为周期的连续函数，证明：一阶线性微分方程y’+ky=f(x)存在唯一的以ω为周期的特解，并求此特解，其中k≠0为常数．正确答案：此线性方程的通解即所有解可表示为y(x)=e-kx[C+∫0xf(t)ektdt]?y(x)以ω为周期，即y(x)=y(x+ω)，亦即e-kx[C+∫0xf(t)ektdt]=e-kx-k ω[C+∫0x+ωf(t)ektdt]．C+∫0xf(t)ektdt=e-kω[C+∫0x+ωf(t)ektdte-kω[C+∫-ωxf(s+ω)eks+kωds] =Ce-kω+∫-ω0f(s)eksds+∫0xf(s)eksds．对应于这个C的特解就是以ω为周期的函数，而且这样的常数只有一个，所以周期解也只有一个．涉及知识点：常微分方程。

泰勒公式在考研数学的常见应用泰勒公式是高等数学的重要公式，也是考研数学的重要考点，在求极限，中值定理的证明题等方面有着广泛的应用，熟练掌握泰勒公式的几种常见应用对于考研复习是至关重要的，本人结合多年教学经验和考研数学的研究，系统总结了泰勒公式的一些常见应用和解题技巧。

泰勒中值定理：若f(x)在含有x0的某个开区间(a,b)内具有n+1阶导数，则对任一x∈(a,b)，有f(x)=f(x0)+f′(x0)(x-x0)+f″(x0)(x-x0)2+…+f(n)(x0)(x-x0)n+f(n+1)(ξ)(x-x0)n+1(1)这里ξ是x0与x之间的某个值。

公式(1)称为f(x)的带有拉格朗日余项的n阶泰勒公式。

若f(x)在x0具有n阶导数，则对任一x∈U(x0,δ)，有(2)公式(2)称为f(x)的带有佩亚诺余项的n阶泰勒公式。

泰勒中值定理是讨论函数和各级高阶导数之间关系的中值定理，带有拉格朗日余项的泰勒公式具有区间的性质，因此一般用于证明等式或者不等式，带有佩亚诺余项的泰勒公式具有局部的性质，一般用于求极限。

1 利用泰勒公式求极限若分子、分母是多个同阶无穷小量的代数和，且洛必达法则求解过程复杂时，用泰勒公式求极限。

解题方法和步骤：①展开分母各项，直到合并同类项首次出现不为零的项。

②将分子的各项展开至分母的最低阶次。

③代入后求极限。

例1：计算分析：“”用洛必达法则计算复杂，考虑用泰勒公式求解。

解：由于原式2 利用泰勒公式证明等式或不等式利用泰勒公式证明问题要全力分析三个问题：(1)展开几阶泰勒公式。

由泰勒公式知，条件给出n+1阶可导，展开至n阶。

(2)在何处展开(展开点x0)。

展开点x0通常选取导数为零的点，区间的中点，函数的极值点。

(3)展开后x取何值。

通常选取x为区间的端点。

例2：设函数f(x)在闭区间[-1,1]上具有三阶连续的导数，且f(-1)=0,f(1)=1。

f′(0)=0,证明在(-1,1)内至少存在一点[-1,1]，使得f″(ξ)=3。

考研泰勒公式大全考研泰勒公式是考研数学中的一个重要知识点，也是数学分析中的经典内容。

它是基于函数的无数阶导数和函数值之间的关系，可以用来近似计算函数的值。

由于涉及到较多的公式推导和应用场景，下面将详细介绍泰勒公式的推导过程和一些常见的应用。

1.雅可比泰勒公式泰勒公式的最基本形式是雅可比泰勒公式，它可以通过有限次的求导得到。

假设函数f(x)在x=a处具有无限次可导，那么在x=a处，f(x)的泰勒展开式可以写作：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+...+f^n(a)(x-a)^n/n!+Rn(x)（1）其中，f'(a)表示f(x)在x=a处的一阶导数，f''(a)表示f(x)在x=a 处的二阶导数，f^n(a)表示f(x)在x=a处的n阶导数，(x-a)^n表示(x-a)的n次幂，n!表示n的阶乘。

公式（1）中的最后一项Rn(x)表示余项，用来衡量泰勒展开式与原函数之间的误差。

当n趋向于无穷大时，如果余项Rn(x)趋于0，则泰勒展开式可以无限逼近原函数f(x)，也就是可以用泰勒展开式来近似计算f(x)的值。

2.泰勒公式的推导泰勒公式的推导步骤可以通过数学归纳法来进行证明。

首先，我们有泰勒公式的一阶导数形式：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+R1(x)其中，R1(x)为余项，我们将其化简为：R1(x)=f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)然后，我们对R1(x)进行第一次求导：R1'(x)=f'(x)-f'(a)接着，将R1(x)和R1'(x)带入泰勒公式的形式中，我们可以得到泰勒公式的二阶导数形式：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+R2(x)其中，R2(x)为二阶导数形式的余项，其化简步骤为：R2(x)=f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)-f''(a)(x-a)^2/2!通过类似的推导方式，我们可以继续得到更高阶导数形式的泰勒公式，即得到公式（1）的形式。

考研数学讲解之泰勒公式的应用泰勒公式是高等数学中的重要内容，也是应用广泛的数学工具之一、它通过对任意一阶、二阶、三阶等导数的展开近似，将一个函数在其中一点附近展开为无穷项的多项式，从而可以用多项式来近似表示一些复杂的函数。

泰勒公式的应用主要集中在以下几个方面：1.函数的近似计算泰勒公式的最基本的应用就是对函数在一些点的近似计算。

通过取泰勒公式的前几项，可以将复杂的函数简化为多项式函数进行计算，从而大大简化了计算过程。

比如，利用泰勒公式可以计算各种三角函数和指数函数在一些特定点的近似值。

2.函数的极值与拐点通过泰勒公式，可以计算函数在一些点附近的近似表达式。

利用这个近似表达式，可以判断函数在该点附近的变化趋势，从而判断函数是否有极值或拐点。

通过求解近似表达式的导数，可以得到极值点和拐点的位置。

3.函数的收敛性分析泰勒公式还可以用来分析函数的收敛性。

通过对函数在一些点附近进行泰勒展开，可以得出一个多项式序列。

只要该多项式序列收敛，则可以得出函数在该点附近的收敛性。

这对于数值计算和数值分析非常重要。

4.函数的曲线拟合在实际应用中，很多函数并不能用已知的基本函数来表示，但我们可以通过泰勒公式的展开来将其近似表示为多项式函数，从而进行曲线拟合。

通过选择合适的展开点和展开阶数，可以得到较高的拟合精度，使得函数的曲线与真实数据点较为吻合。

5.常微分方程的求解泰勒公式在常微分方程的求解中是一个非常重要的工具。

通过对微分方程进行泰勒展开，可以将微分方程转化为一个多项式方程，从而简化求解过程。

通过取不同阶数的展开，可以得到微分方程的近似解，进一步帮助我们理解微分方程的性质。

总之，泰勒公式作为一种近似计算和函数分析的方法，广泛应用于数学的各个领域。

通过泰勒公式的运用，我们可以对复杂的函数进行简化和分析，从而更好地解决实际问题。

因此，在数学的学习和应用过程中，掌握泰勒公式的原理和应用是非常重要的。

考研泰勒公式大全泰勒公式是指对于可导函数在一些点附近进行近似展开的一种方法，泰勒公式包括一阶泰勒公式、二阶泰勒公式、高阶泰勒公式等。

下面将详细介绍泰勒公式的各种形式以及应用。

1.一阶泰勒公式：一阶泰勒公式也称为线性近似公式，其形式如下：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)其中，f(x)表示可导函数在点x处的函数值，f(a)表示可导函数在点a处的函数值，f'(a)表示可导函数在点a处的导数的值。

一阶泰勒公式的应用：一阶泰勒公式可以用来进行函数曲线的直线近似，特别是在计算中的一些复杂函数值时，可以通过一阶泰勒公式进行近似计算。

同时，一阶泰勒公式也可以用来求函数在一些点处的导数值。

2.二阶泰勒公式：二阶泰勒公式也称为二次近似公式，其形式如下：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+(x-a)^2/2!*f''(a)其中，f(x)表示可导函数在点x处的函数值，f(a)表示可导函数在点a处的函数值，f'(a)表示可导函数在点a处的导数的值，f''(a)表示可导函数在点a处的二阶导数的值。

二阶泰勒公式的应用：二阶泰勒公式可以用来进行函数曲线的二次近似，尤其是在计算中的一些复杂函数值时，可以通过二阶泰勒公式进行近似计算。

二阶泰勒公式还可以用来求函数在一些点处的导数值和二阶导数值。

3.高阶泰勒公式：高阶泰勒公式是指泰勒公式的更一般形式，其表达式为：f(x)=f(a)+(x-a)f'(a)+(x-a)^2/2!*f''(a)+...+(x-a)^n/n!*f^n(a)其中，n为正整数，f^n(a)表示可导函数在点a处的n阶导数，n!表示n的阶乘。

高阶泰勒公式的应用：高阶泰勒公式可以用来进行函数曲线的更高阶近似，特别是在计算中的一些复杂函数值时，可以通过高阶泰勒公式进行近似计算。

高阶泰勒公式还可以用来求函数在一些点处的导数值和各阶导数值。