非线性时间分数阶微分方程的exp(-Φ(ξ))解法新

《非线性时间分数阶方程的两种数值方法》篇一一、引言近年来，非线性时间分数阶方程在许多领域如物理学、金融学、流体力学等都有着广泛的应用。

然而，由于非线性和分数阶的特性，使得这些方程的求解变得非常复杂。

因此，寻找有效的数值方法来解决这类问题显得尤为重要。

本文将介绍两种数值方法，即有限差分法（Finite Difference Method, FDM）和有限元法（Finite Element Method, FEM），来求解非线性时间分数阶方程。

二、非线性时间分数阶方程的描述首先，我们需要定义所要求解的非线性时间分数阶方程。

通常这类方程可以描述为包含非线性项和分数阶导数的微分方程。

我们可以用它来描述某些复杂的物理过程或现象。

三、有限差分法（FDM）有限差分法是一种常用的数值方法，用于求解偏微分方程。

在求解非线性时间分数阶方程时，我们可以将时间分数阶导数用差商近似，空间导数用差分公式近似，从而将原方程转化为一系列的代数方程组。

然后通过迭代法或直接法求解这个代数方程组，得到原方程的解。

有限差分法的优点是算法简单、易于实现，但是求解过程中需要满足一定的步长要求，以保持数值解的稳定性和精度。

此外，对于复杂的几何区域和非线性问题，有限差分法可能会面临较大的困难。

四、有限元法（FEM）有限元法是一种基于变分原理和离散化的数值方法，适用于求解各种复杂的偏微分方程。

在求解非线性时间分数阶方程时，我们可以将求解区域划分为一系列的有限元，然后在每个元素内用多项式插值逼近原方程的解。

通过离散化原方程，我们可以得到一系列的代数方程组，然后通过求解这个代数方程组得到原方程的解。

有限元法的优点是可以处理复杂的几何区域和非线性问题，具有较高的精度和稳定性。

然而，有限元法的计算量相对较大，需要花费较多的时间和计算资源。

五、两种方法的比较有限差分法和有限元法都是求解非线性时间分数阶方程的有效方法。

两种方法各有优缺点，需要根据具体问题选择合适的方法。

非线性分数阶微积分方程的数值解法研究偏微分方程是数学中一个十分重要的分支，而非线性分数阶微积分方程则是其中相对复杂的一类问题之一。

许多实际问题的建模都可以归结于这类问题，而数值解法是解决这类问题的一个重要手段。

一、分数阶导数的定义及性质首先来看分数阶导数的定义。

对于函数$f(t)$，有如下定义：$$D^\alpha f(t)=\frac{1}{\Gamma(n-\alpha)}\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}t^n}\int_0^t\frac{f(\tau)}{(t-\tau)^{\alpha+1-n}}\mathrm{d}\tau$$其中$\alpha$是一个实数，$n=\lfloor\alpha\rfloor+1$，$\Gamma$是欧拉伽马函数。

可以看出，分数阶导数的定义需要进行积分运算，这一点和整数阶导数是有区别的。

分数阶导数也有一些特殊的性质，例如线性性和链式法则等。

这些性质与整数阶导数的性质有一些相似之处，但也存在一些区别。

例如，分数阶导数并不满足幂等性，即$(D^\alpha)^n\neqD^{n\alpha}$。

二、非线性分数阶微积分方程的数值解法对于非线性分数阶微积分方程的数值解法，常用的方法包括有限差分法、有限元法和谱方法等。

这里介绍其中的有限差分法。

有限差分法是一个比较简单而又实用的数值计算方法，基本思路是将连续的函数转化为离散的数值。

对于一个分数阶微积分方程，可以采用有限差分法对其进行离散化求解。

具体来说，有限差分法首先将定义域分为一段段固定长度的小区间，然后在每个小区间内选取若干个节点，用这些节点处的函数值来代替对应的区间上的函数值，从而将分数阶微积分方程转化为一个差分方程。

对于非线性分数阶微积分方程而言，由于其非线性性质，需要通过迭代或其他方法来求解数值解。

三、数值实验与应用为了验证有限差分法对于非线性分数阶微积分方程的求解能力，我们可以通过许多数值实验来进行验证。

《非线性分数阶偏微分方程的高阶紧致差分格式》篇一一、引言非线性分数阶偏微分方程在众多领域中有着广泛的应用，包括物理学、金融学、生物学等。

随着数值计算方法的发展，为了解决这类复杂问题，科研人员一直在寻找更为高效且准确的数值计算方法。

其中，差分格式是处理此类问题的常见方法之一。

本文旨在探讨一种高阶紧致差分格式在非线性分数阶偏微分方程中的应用。

二、问题描述考虑非线性分数阶偏微分方程的初始条件和边界条件，通常以高维形式给出。

其特点是包含了复杂的非线性项和分数阶导数。

这种类型的问题往往涉及到许多难以解析或解耦的部分，使得其解析解通常不易得到。

因此，寻求高效的数值方法至关重要。

三、紧致差分格式概述高阶紧致差分格式作为一种高效的数值方法，能够在空间离散过程中获得高精度的解。

该格式利用了差分方法的优点，通过构建紧致的支持域（即较小的空间范围），提高了数值解的精度和稳定性。

同时，通过选择合适的高阶近似，可以有效地减少离散误差，提高计算效率。

四、高阶紧致差分格式的构建在非线性分数阶偏微分方程的离散化过程中，我们首先需要确定空间离散的网格点。

然后，根据方程的特点和边界条件，构建高阶紧致差分格式。

具体而言，我们采用泰勒级数展开法来逼近偏微分方程中的导数项，同时考虑到非线性项的特殊性，我们需要选择合适的方法进行离散化处理。

此外，我们还需要对分数阶导数进行离散化处理，这通常需要利用一些特殊的数值方法或近似技术。

通过合理的设计和组合这些方法，我们得到了一个适用于非线性分数阶偏微分方程的高阶紧致差分格式。

五、数值实验与结果分析为了验证所提出的高阶紧致差分格式的准确性和有效性，我们进行了大量的数值实验。

通过对比不同方法的计算结果，我们发现该格式在求解非线性分数阶偏微分方程时具有较高的精度和稳定性。

同时，该格式的计算效率也明显优于传统方法，能够在较短的时间内得到满意的数值解。

六、结论本文提出了一种高阶紧致差分格式在非线性分数阶偏微分方程中的应用。

分数阶微分方程解法1、分数阶微积分介绍分数阶微积分是传统微积分的推广和扩展，在这门学科中，函数的导数和积分的阶数可以为分数，有时也可以是负数或复数。

与传统微积分相比，分数阶微积分的应用更加广泛，可以通过它来解释和研究各种复杂的自然现象，例如金融市场的非平稳性、地震的时序性等。

2、分数阶微分方程简介分数阶微分方程是指微分方程的微分阶数为分数，例如阶为1.5或2.7的微分方程。

在实际应用中，分数阶微分方程被广泛地用于描述自然现象的动态行为，例如分形、非线性动力学、力学、电动力学和生物学等。

3、分数阶微分方程的解法分数阶微分方程的解法是与传统微分方程不同的。

下面介绍两种常用的解法。

3.1、分式变换法分式变换法是最常用的解分数阶微分方程的方法之一。

它的基本思想是将分数阶微分方程转化为一些常见的函数或微分方程。

例如，我们考虑一个分数阶微分方程：D^βy(t)=f(t)，其中D^β表示分数阶导数运算符，y(t)是未知函数，f(t)是已知函数。

现在我们把分数阶微分方程改写为下面的形式：y(t)=1/Γ(α)(d/dt)^α∫_0^t f(u)(t-u)^{α-1}du其中α和β之间的关系可以用以下公式表示：α=β-n这里，n是一个正整数，它满足0<n<=β。

通过这个公式，分数阶微分方程就被转化为常数阶微分方程和分式变换的形式。

3.2、拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法也是解分数阶微分方程的有效方法。

它的基本思想是将分数阶微分方程转化为常数阶微分方程，然后通过拉普拉斯变换及其逆变换来得到方程的解。

例如，我们考虑一个分数阶微分方程：D^βy(t)+ay(t)=f(t)，其中a是常数，D^β表示分数阶导数运算符，y(t)是未知函数，f(t)是已知函数。

现在我们把分数阶微分方程改写为下面的形式：L{D^βy(t)}+aL{y(t)}=L{f(t)}其中L表示拉普拉斯变换，而L{D^βy(t)}和L{f(t)}分别是D^βy(t)和f(t)的拉普拉斯变换。

非线性微分方程的周期解和极限环非线性微分方程是数学中的一种重要的研究对象。

在物理学、生物学、经济学等领域中，非线性微分方程也起着不可替代的作用。

其中，周期解和极限环是非线性微分方程的两种重要解法，下面将进行详细介绍。

一、周期解周期解是指在某些非线性微分方程中，存在一种解形式，该解在时间上周期性出现。

周期解的一个经典例子是Van der Pol振荡器模型，该模型描绘了由非线性电感和静电元件组成的电路中的振荡现象。

Van der Pol振荡器的方程可以表示为：$$\frac{d^2x}{dt^2} - \mu (1 - x^2) \frac{dx}{dt} + x = 0$$其中，$x$表示电路中的电荷电流，$\mu$表示系统的某个常数。

该方程的周期解可以表示为：$$x(t) = a \cos(\omega t - \phi)$$其中，$a$、$\omega$和$\phi$为常数。

这种周期解体现了Van der Pol振荡器的周期性特征。

二、极限环不同于周期解的周期性，极限环是指某些非线性微分方程中，解形式不断旋转缩小，最终收敛于一种恒定的形式。

极限环可以解释很多自然现象，例如天体运动、生物进化等。

极限环最早被发现于天体运动中。

开普勒三定律描述了天体间的运动，但是对于多个天体的情况，求解轨道运动并不简单。

在19世纪初，拉普拉斯提出了一个重要的结论，称之为拉普拉斯-杨定理。

该定理认为，只要天体系统具有一些特定的性质，就可以保证其运动形式是稳定的。

这些性质被称为拉普拉斯不变量。

类似地，极限环也可以应用于非线性微分方程的稳定性分析。

对于某些非线性微分方程，如果其极限环是稳定的，那么该方程的解就具有稳定性。

例如，假设存在一个非线性微分方程：$$\frac{d^2x}{dt^2} + \epsilon (1 - x^2) \frac{dx}{dt} + x = 0$$其中，$\epsilon$表示某个常数。

如果该方程的解具有稳定的极限环，那么该方程的解可以表示为：$$x(t) = a \cos(\omega t - \phi) + O(\epsilon^2)$$其中，$a$、$\omega$和$\phi$为常数。

非线性微分方程的数值解算法非线性微分方程（Nonlinear differential equation，简称NDE）是微分方程中最难处理的一类问题。

由于它们的非线性特征，解析解并不常见，通常需要数值解算法来解决。

在这篇文章中，我们将讨论非线性微分方程数值解算法的基本原理和常见方法。

一、非线性微分方程的表达式在数学物理和科学工程中，非线性微分方程的表达式通常为：F(x,y,y',y'',...,y^(n))=0其中，x代表自变量，y是一个关于x的函数，y'、y''。

y^(n)表示y的1到n次导数。

F(x,y,y',y'',...,y^(n))是与y相关的函数，可以是多项式、三角函数等。

二、数值解算法的原理求解非线性微分方程并不容易，因为几乎所有的解析解都是不存在的。

因此，为了得到一个描述这个方程的函数y(x)，我们通常需要使用数值解算法。

这些算法基于连续的函数逼近方法，将一个连续的函数分段近似为一组公式，通过计算非线性微分方程的求解空间来得出关于y(x)的估计值。

更具体地说，通常需要做以下几步：1. 将非线性微分方程转化为一个适当的积分方程为了使非线性微分方程易于处理，很多方法利用了积分方程，例如龙格-库塔方法。

这个方法利用了积分方程y(x+h)=y(x)+∑b_i*f(x+c_i*h,y(x+c_i*h),h)其中b_i、c_i是与权重相关的常量，f表示非线性微分方程右侧的函数。

这个方法会给出y(x+h)的近似值。

2. 迭代法或牛顿方法求解根据积分方程计算y(x+h)的近似值后，使用迭代法或牛顿方法求解方程f(x,y(x+h))=0的精确解。

这个方程的解表示为y(x+h)的精确值，它被用来代替原始方程中的y(y)。

3. 重复以上步骤一旦通过迭代法或牛顿方法找到了y(x+h)的精确值，就可以通过逐步减小h的值，继续重复上述步骤以获得更精确的解决方案。

非线性空间分数阶Fisher方程的数值解法陈雪娟;陈景华【摘要】考虑非线性空间分数阶Fisher方程的数值解,提出一种基于二次多项式样条函数的数值解法,并证明该方法具有无条件稳定性和收敛性.为了验证所构造格式的有效性,引入分数阶行方法(FMOL)与之进行比较.最后通过一个数值算例说明本文的理论分析是正确的,所构造的离散格式是有效的.【期刊名称】《厦门大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(055)003【总页数】6页(P360-365)【关键词】分数阶扩散方程;Caputo分数阶导数;二次多项式样条函数;行方法【作者】陈雪娟;陈景华【作者单位】集美大学理学院,福建厦门361021;集美大学理学院,福建厦门361021【正文语种】中文【中图分类】O241.82分数阶微分方程(时间、空间或时间空间分数阶)是传统整数阶微分方程的推广．由于分数阶微积分具有记忆和遗传特性,目前已被广泛地应用于模拟工程、物理、化学和其他科学领域的许多现象[1-4]．众所周知,要得到偏微分方程的解析解是很困难的,对于分数阶偏微分方程而言更是如此,常用的方法是借助于各种积分变换和特殊函数的方法[5-7]．近年来许多学者在这个领域里做了大量的研究工作[8-11].本文考虑非线性空间分数阶Fisher方程的数值解问题,Fisher方程主要用来模拟物种增长和扩散问题．在已有的研究成果中,主要的数值解法是差分法、有限元法和谱方法等,但是采用二次多项式样条函数进行数值逼近的研究文献却较缺乏[12-13]．本文提出一种基于二次样条函数的数值解法,并分析所构造迭代格式的稳定性和收敛性.非线性空间分数阶Fisher方程如下:,1<α≤2,0<x<l,0<t≤T,u(x,0)=g(x),0<x<l,u(0,t)=u(l,t)=0,0≤t≤T．α阶的Caputo分数阶左导数定义如下：,a<x<b,1<α≤2．α阶的Riemann-Liouville分数阶左导数定义如下：u(s,t)ds,a<x<b,1<α≤2．+在实际求解微分方程初值问题的过程中,Caputo导数比Riemann-Liouville导数的应用更为广泛而且更具有物理背景[15]．本文采用Caputo分数阶导数定义,即).记xi=ih,(i=0,1,…,m),tj=jτ,(j=0,1,…,n),其中分别是空间步长和时间步长(m和n是正整数)．设点集Ω={},表示u(xi,tj)的近似解.本文首先利用二次多项式样条函数提出一种逼近Fisher方程数值解的迭代格式,并证明该格式具有无条件稳定性和收敛性．然后给出非线性空间分数阶Fisher方程的分数阶行方法(FMOL),用于验证所构造格式的有效性．最后通过一个数值算例说明本文理论分析的的正确性和可行性.2.1 二次多项式样条函数我们考虑如下二次多项式样条函数Pi(x,tj):Pi(x,tj)=ai(tj)(x-xi)2+bi(tj)(x-xi)+ci(tj),x∈[xi,xi+1],i=0,1,2,…,m-1;j=0,1,…,n.,,又由等式(10)和Caputo分数阶导数的定义,有，,,.2.2 数值解法的迭代格式为了使二次函数Pi(x,t)在x=xi,(i=1,2,…m-2.)处满足连续性条件:Pi(xi,tj)=Pi-1(xi,tj),,引理1 设迭代格式(14)的截断误差为,则截断误差满足:).证明由于,i=1,2,…,m-2;j=0,1,…,n.所以,迭代格式(14)的截断误差阶为O(hα),我们得到利用向后差分法将等式(21)代入等式(18),并忽略截断误差τO(hα+τ),可以推出如下的迭代格式:.,,,.为了求解这个线性代数方程组,我们还需要两个方程．利用边界条件(3),通过线性插值得到下面两个方程:,j=1,2,…,n.首先,将迭代格式(23)写成矩阵的形式AUj=δBUj-1+δτBFj-1,,,j=1,2,…,n.A=,B=.Uj=δA-1BUj-1+δτA-1BFj-1.设是方程(1)的数值解,则误差,).,.3.1 稳定性分析记,εj=δA-1Bεj-1+δτA-1Bβj-1,,,,k=1,2,…,m-2.,.,，3.2 收敛性分析设,ej=δA-1Bej-1+δτA-1Bηj-1+τA-1Rj, ,.类似地,可得,,C1TeLT(τ+hα)=C(τ+hα).由于非线性偏微分方程的精确解很难通过计算得到,为了说明所构造的隐式差分格式的计算有效性及理论分析的正确性,我们给出了空间分数阶Fisher方程的FMOL[17-18].通过一个简单的积分公式得到分数阶导数,0<x<1,1<α≤2的数值逼近[19]如下:{[u(xk+1,tj)-2u(xk,tj)+u(xk-1,tj)][(i-k+1)2-α-(i-k)2-α]}+).{2u(xi-k+1,tj)+u(xi-k,tj)]}+{,tj)-2u(xi-k+1,tj)+u(xi-k,tj)]}+O(h2).{u(xi-k+1,tj)+u(xi-k,tj)]}，为了证明我们的理论结果,考虑如下非线性空间分数阶Fisher方程:表1给出当α=1.5,T=0.1,l=1.0时用隐式格式(23)～(25)和FMOL计算方程(33)的数值结果．可以看出,使用迭代格式(23)～(25)计算所得的数值解与理论分析完全吻合,而且与用FMOL计算所得的数值解非常接近．图1给出了当α=1.5,m=100,n=200时,含非线性源项的扩散系统随时间t变化的特征.本文给出了非线性空间分数阶Fisher方程的数值模拟,并证明该数值方法是无条件稳定和收敛的．通过一个数值例子的结果证明了本文的理论分析的有效性．该数值方法和理论分析方法也能用来求解和分析其他类型的分数阶偏微分方程.。

《非线性时间分数阶偏微分方程的几类混合有限元算法分析》篇一一、引言随着科学技术的飞速发展，非线性时间分数阶偏微分方程（以下简称NFTFPDE）在物理学、工程学和经济学等领域得到了广泛的应用。

因此，寻找准确高效的数值求解方法成为研究的关键。

本文旨在探讨几种混合有限元算法（Hybrid Finite Element Methods，简称HFEMs）对NFTFPDE的求解方法及分析。

二、NFTFPDE与混合有限元方法NFTFPDE作为一类复杂的数学模型，能够更精确地描述物理现象和工程问题。

而混合有限元方法，则通过在有限元分析中同时使用不同种类的变量和未知量，从而优化计算结果和计算效率。

三、混合有限元算法的分类与特点（一）线性与非线性混合有限元法线性混合有限元法主要适用于线性偏微分方程的求解，而非线性混合有限元法则能够处理更复杂的非线性问题。

在求解NFTFPDE时，非线性混合有限元法能够更好地捕捉问题的本质特征。

（二）连续与离散混合有限元法连续与离散混合有限元法结合了连续性和离散性两种特性，既能够保持物理量的连续性，又能够捕捉到物理量的离散变化。

在处理NFTFPDE时，该方法能够在保持计算精度的同时提高计算效率。

四、各类混合有限元算法的分析（一）算法实现过程本文将详细介绍各类混合有限元算法的实现过程，包括离散化、基函数选择、刚度矩阵和载荷向量的构建等关键步骤。

并分析不同算法在求解NFTFPDE时的优劣及适用场景。

（二）算法的稳定性和收敛性分析本部分将详细分析各类混合有限元算法的稳定性和收敛性。

通过理论推导和数值实验，验证算法的有效性和可靠性。

同时，针对不同的问题类型和规模，比较各类算法的优劣。

（三）算法的精度与效率分析本部分将通过数值实验，对各类混合有限元算法的精度和效率进行评估。

通过对比不同算法的求解时间和计算精度，为实际应用提供参考依据。

五、结论本文对几类混合有限元算法在求解NFTFPDE中的应用进行了深入的分析和探讨。

《非线性时间分数阶偏微分方程的几类混合有限元算法分析》篇一一、引言随着科学技术的飞速发展，非线性时间分数阶偏微分方程在众多领域中，如物理学、工程学、金融学等，扮演着重要的角色。

这类方程具有复杂的数学结构和实际应用价值，因此，如何高效地求解这一类方程成为众多科研人员关注的焦点。

本文将重点分析非线性时间分数阶偏微分方程的几类混合有限元算法，并对其性能进行深入探讨。

二、非线性时间分数阶偏微分方程概述非线性时间分数阶偏微分方程是一种具有高度复杂性和非线性的数学模型，用于描述现实世界中许多复杂的物理现象。

其独特的分数阶导数项和复杂的非线性关系使得其求解难度大大增加。

为了解决这一问题，科研人员提出了多种数值求解方法，其中混合有限元法因其良好的灵活性和适应性而备受关注。

三、混合有限元算法分析（一）基本原理混合有限元法是一种基于变分原理的数值求解方法，它将未知函数用有限个元素上的近似函数表示，从而将连续问题转化为离散问题。

对于非线性时间分数阶偏微分方程，混合有限元法可以有效地将分数阶导数项和离散单元结合起来，从而实现方程的数值求解。

（二）几类混合有限元算法1. 线性有限元法：线性有限元法是最早的混合有限元算法之一，它以单元为基本单元进行求解，通过线性插值函数逼近未知函数。

然而，对于非线性时间分数阶偏微分方程，其求解精度和效率有待进一步提高。

2. 局部间断Galerkin法：局部间断Galerkin法是一种具有高精度的混合有限元算法，它通过在每个单元上定义间断的基函数来逼近未知函数。

该方法在求解非线性时间分数阶偏微分方程时具有较高的精度和效率。

3. 广义多尺度有限元法：广义多尺度有限元法是一种基于多尺度分析的混合有限元算法，它能够根据问题的特点自适应地选择合适的基函数和求解策略。

该方法在求解非线性时间分数阶偏微分方程时具有较好的稳定性和收敛性。

四、算法性能分析（一）精度分析不同混合有限元算法在求解非线性时间分数阶偏微分方程时具有不同的精度。

第３４卷第２期V o l ．３４,N o ．２滨州学院学报J o u r n a l o f B i n z h o uU n i v e r s i t y２０１８年４月A pr ．,２０１８ʌ微分方程与动力系统研究ɔ分数阶非线性时滞微分方程参数和阶的估计方法收稿日期:２０１８０１２５基金项目:防灾科技学院教育研究与教学改革项目(J Y ２０１７B １０),防灾科技学院研究生课程建设与改革项目(Y J G ２０１５００１)第一作者简介:王福昌(１９７４ ),男,山东定陶人,教授,硕士,从事应用数学研究.E Ｇm a i l :f z m a t h ＠１２６．c o m王福昌,张丽娟,靳志同(防灾科技学院基础部,河北廊坊０６５２０１)㊀㊀摘㊀要:分数阶非线性时滞微分方程具有广泛的应用,因而根据部分观测值估计方程的参数和阶有重要意义.首先通过预估校正法求出方程组的预测值,结合部分观测值建立优化目标函数,再采用鸡群算法给出最优参数和阶的估计值.通过计算机模拟,验证了方法的有效性.㊀㊀关键词:分数阶;非线性时滞微分方程;参数估计;鸡群算法㊀㊀中图分类号:O １７５．１㊀㊀文献标识码:A ㊀㊀D O I :１０．１３４８６/j ．c n k i ．１６７３２６１８．２０１８．０２．００６分数阶非线性时滞微分方程是一类重要的微分方程.B h a l e k a rS 和D a f t a r d a r G e j jiV 讨论了时滞的分数阶L i u Ｇ系统混沌效应[１],W a n g Z 等研究了时滞分数阶金融系统[２],Y a nY 和K o uC 给出了H I V 病毒传播的时滞分数阶微分模型及其稳定性[３].一般地,在研究分数阶非线性微分方程模型性质时,模型中的参数和阶都假定是已知的,然而在实际应用中,模型参数和阶往往未知.这时,利用部分观测数据来反推模型的参数和阶具有重要的实际意义,这本质上与分数阶非线性微分方程初值问题数值解法和复杂的非线性优化问题相对应.目前,已有一些学者对该问题开展研究,如Z h u W 等使用差分演化(d i f f e r e n Ｇt i a l e v o l u t i o n )算法求解分数阶系统的识参数别问题[４],L i uF 等使用多选择差分演化算法求解分数阶时滞混沌系统的参数[５],G uWJ 等使用人工蜂群算法(A r t i f i c i a l b e e c o l o n y a l g o r i t h m )进行时滞分数阶混沌系统的参数识别[６].针对一般的分数阶非线性时滞微分方程组初值问题,可以使用预估校正方法求得方程数值解[７].假设已经观测到解的部分值,则可利用这些观测值和数学软件方便地估计模型的参数和阶,从而便于工程师掌握和运用分数阶非线性时滞微分方程这一数学工具.１㊀分数阶时滞微分方程及其预估校正解法在分数阶微积分发展过程中,有很多种函数的分数阶微积分定义,广泛使用的有G r u n w a l d L e t n i k Ｇo v 分数阶微积分定义㊁R i e m a n n L i o u v i l l e 微积分定义和C a p u t o 分数阶微分定义.一般地,C a p u t o 分数阶导数由于具有更易于理解的物理特性而多用于实际建模中.定义１㊀(C a p u t o 分数阶导数)设α＞０,f (t )ɪC n ＋１([t ０,＋ɕ),R ),㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀Ct ０D αt[f (t )]＝１Γ(n －α)ʏt t ０f (n )(τ)(t －τ)α＋１－n d τ,(１)其中,Γ( )为G a m m a 函数,n 为满足n －１＜αɤn 的正整数.２３第２期王福昌,张丽娟,靳志同㊀分数阶非线性时滞微分方程参数和阶的估计方法１．１㊀分数阶时滞微分方程假设研究的分数阶系统为C ０Dαt y (t )＝f (t ,y (t ),y (t －τ);θ),０ɤt ɤT ,y (０)＝y ０,y (t )＝g (t ),t ɪ[－τ,０).ìîíïïïï(２)其中y (t )＝[y １(t ),y ２(t ), ,y m (t )]T 为待求的函数向量,θ＝[θ１,θ２, ,θs ]T为方程组(２)中的估计参数,０＜αɤ１为分数阶导数的阶数,这里的分数阶为C a pu t o 定义,τ＞０为延迟参数.问题(２)是一个时滞分数阶非线性常微分方程组初值问题,给定方程参数θ和阶α后,就可以讨论它的性质,计算出系统的解y (t)随时间t 的变化并绘图.１．２㊀预估校正解法问题(２)一般没有解析解,B h a l e k a r S 和D a f t a r d a r G e j ji V [７]根据D i e t h e l m K [８]提出的预估校正法而给出一种时滞情形下的预估校正法.考虑均匀分点网格{t n ＝nh |n ＝－k ,－k ＋１, ,－１,０,１, ,N },其中N ,k 满足h ＝T /N ,k ＝[τ/h ].如果τ是h 的整数倍,令y h (t j )＝g (t j ),j ＝－k ,－k ＋１, ,－１,０,则y h (t j －τ)＝y h (j h －k h )＝y h (t j－k ),j ＝０,１, ,N .假设已经计算得到近似值y h (t j )ʈy (t j ),(j ＝－k ,－k ＋１, ,－１,０,１, ,n ),下面要用公式(３)计算y h (t n ＋１),y (t n ＋１)＝g (０)＋１Γ(α)ʏt n ＋１０(t n ＋１－ξ)α－１f (ξ,y (ξ),y (ξ－τ);θ)d ξ.(３)由梯形积分公式,可得校正项公式为y h (t n ＋１)＝g (０)＋h αΓ(α＋２)f (t n ＋１,y h (t n ＋１),y h (t n ＋１－τ);θ)＋h αΓ(α＋２)ðnj ＝０αj ,n ＋１f (t j ,y h (t j ),y h (t j －τ);θ)＝g (０)＋h αΓ(α＋２)f (t n ＋１,y h (t n ＋１),y h (t n ＋１－k );θ)＋h αΓ(α＋２)ðnj ＝０αj ,n ＋１f (t j ,y h (t j ),y h (t j －k );θ),(４)其中αj ,n ＋１＝n α＋１－(n －α)(n ＋１)α,j ＝０,(n －j ＋２)α＋１＋(n －j )α＋１－２(n －j ＋１)α＋１,１ɤj ɤn ,１,j ＝n ＋１.ìîíïïï(５)由于公式(４)的两边都有y h (t n ＋１),很难求解,故校正项右边的y h (t n ＋１)可用预估项y p h (t n ＋１)代替y ph(t n ＋１)＝g (０)＋１Γ(α)ðnj ＝０b j ,n ＋１f (t j ,y h (t j ),y h (t j －τ);θ)＝g (０)＋１Γ(α)ðnj ＝０b j ,n ＋１f (t j ,y h (t j ),y h (t j －k );θ),(６)其中b j ,n ＋１＝h αα[(n －j ＋１)α－(n －j )α],０ɤj ɤn .(７)如果τ不是h 的整数倍,则可以用线性插值来计算y h (t j －τ),即㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀y h (t j －τ)＝y h (t j －k )＋t j －τ－t j－k t j －k ＋１－t j－k (y h (t j －k ＋１)－y h (t j－k )).(８)可以看出,该算法先计算出预测值y p h (t n ＋１),再代入f (t n ＋１,y p h (t n ＋１),y h (t n ＋１－τ);θ),得到校正值３３滨州学院学报第３４卷y h (t n ＋１),从而得到下一步迭代需要的f (t n ＋１,y h (t n ＋１),y h (t n ＋１－τ);θ),故该算法被称为预估校正法,也称作P E C E (P r e d i c tE v a l u a t e ,C o r r e c tE v a l u a t e)法.２㊀时滞分数阶系统参数及阶数估计２．１㊀建立优化目标函数在模型(２)中,假设α,τ和θ是待估的变量,α为待估的系统阶数,统一为待估向量x ＝[α,τ,θ１,θ２,,θs ]T ɪR s ＋２,观测时刻t １,t ２, ,t n 没有误差,y (０)＝y ０为精确值(否则还要估计这m 个初值),y １,y２, ,y n 为在时刻t １,t ２, ,t n 的观测值,含有观测误差;^y １(t １;^x ),^y ２(t ２;^x ), ,^yn (t n ;^x )为在时刻t １,t ２, ,t n ,初值为y (０)＝y ０和参数为^x 时由上面预估校正算法得到的预测值.于是方程参数和阶的估计转化为优化问题m i n x ɪRs ＋２J (x )＝ðni ＝１y i－^y i(t i;x ) ,(９)其中 为向量的范数,一般取２范数,即欧氏距离,对应参数x 的最小二乘解,具体可写为m i n x ɪRs ＋２ðni ＝１ðmj ＝１(y i j －^y i j (t i ;x ))２.(１０)如果观测数据受到污染,离群值较多,可以考虑较为稳健的最小一乘准则m i n x ɪRs ＋２ðn i ＝１ðmj ＝１|y i j －^y i j (t i ;x )|.(１１)在给定目标函数(９)后,就可以通过优化方法得到方程参数和阶的估计值.２．２㊀估计系统参数和阶的鸡群方法鸡群算法(C h i c k e nS w a r m O p t i m i z a t i o n ,简称C S O )是由M e n g 等[９]提出的一种基于鸡群搜索行为的群体智能优化算法,它模拟了鸡群等级制度和鸡群行为.整个鸡群分为若干子群,每一个子群都由一只公鸡㊁若干只母鸡和小鸡组成.不同鸡遵循不同的移动规律,在具体的等级制度下,子群之间存在竞争行为,它是一种收敛性好的全局优化算法[１０].算法如下.步骤１㊀参数设置.首先,设定鸡群算法参数:最大迭代次数M ,鸡群规模p o p ,解空间维数d i m ,鸡群角色更新次数G ,公鸡和母鸡占整个鸡群规模的比例r p e r c e n t 和h pe r c e n t ㊁可能生育过小鸡的母鸡比例m p e r c e n t .步骤２㊀鸡群初始化.令演化代数t ＝０,搜索参数空间下界设为l b ＝[a １,a ２, ,a s ＋２]T,上界设为u b ＝[b １,b ２, ,b s ＋２]T,在搜索空间中随机产生p o p 个鸡群粒子x i j (t )＝a j ＋r (b j －a j ),i ＝１,２, ,p o p ,j ＝１,２, ,s ＋２.(１２)步骤３㊀计算每个鸡群粒子的适应度函数.这里计算适应度函数就是计算目标函数值(１０)或(１１),越小越好.将最优适应度函数值及其位置放入公告板.步骤４㊀鸡群角色更新条件的判断.当m o d (t ,G )＝＝０ t ＝＝１时,执行步骤５,否则执行步骤６,其中t 为当前迭代次数.步骤５㊀角色分配.对整个鸡群的适应度函数值进行降序排列,依据适应度函数值对鸡群进行角色分配,总是选择适应度最优的前面p o p ˑr p e r c e n t 只鸡作为公鸡,将剩余的适应度次优的p o p ˑh pe r c e n t 只鸡作为母鸡,剩下的p o p －p o p ˑr p e r c e n t －p o p ˑh pe r c e n t 只鸡为小鸡.步骤６㊀公鸡个体位置更新.公式为x i j (t ＋１)＝x i j (t )ˑ(１＋r a n d n (０,σ２)),i ＝１,２, ,p o p ,j ＝１,２, ,s ＋２.(１３)其中σ２＝１,f i ɤf k ,e x p (f k －f i |f i |＋ε),fi ＞f k ,ìîíïïï４３第２期王福昌,张丽娟,靳志同㊀分数阶非线性时滞微分方程参数和阶的估计方法k ɪ[１,r N u m ],k ʂi 为正态分布的方差,ε为一个大于０的极小的数,fk 为不同于第i 只公鸡的其他任意一只公鸡的适应度函数值.步骤７㊀母鸡个体位置更新.公式为x i j (t ＋１)＝x i j (t )＋c １ˑr a n d ˑ(x r １j (t )－x i j (t ))＋c ２ˑr a n d ˑ(x r ２j (t )－x i j (t )),i ＝１,２, ,p o p ,j ＝１,２, ,s ＋２,(１４)其中c １＝e x p (f i －f r １|f i |＋ε),c ２＝e x p (f r ２－f i ),r a n d 为[０,１]之间的随机数,r １为第i 只母鸡所在群中的公鸡,r ２为从鸡群中随机选取的不同于第i 只母鸡的任一只鸡,且r １ʂr ２.步骤８㊀小鸡个体位置更新.公式为x i j (t ＋１)＝x i j (t )＋f l ˑ(x m j (t )－x i j (t )),i ＝１,２, ,p o p ,j ＝１,２, ,s ＋２,(１５)其中x m j (t )为第i 只小鸡妈妈的位置,f l ɪ(０,２)为小鸡跟随小鸡妈妈寻找食物的跟随系数.步骤９㊀计算鸡群最优值,更新公告板记录.步骤１０㊀不断重复执行步骤２~８,直到达到设定的最大迭代次数,输出最优值.３㊀数值试验为了检验算法的有效性,拟使用鸡群算法对时滞分数阶M a c k e y Gl a s s 方程进行研究.此方程最初是用于描述白细胞繁殖的模型,后来成为混沌理论中超混沌系统的典型代表,闵涛等[１１]给出了M a c k e yG l a s s 方程参数反演的差分演化算法,刘福才等[５]给出了分数阶M a c k e y Gl a s s 方程的改进差分演化算法.３．１㊀时滞分数阶M a c k e y Gl a s s 混沌系统C ０D αt y (t )＝－θ１y (t )－θ２y (t －τ)１＋y θ３(t －τ),y (t )＝y０,t ɤ０.ìîíïïï(１６)其中y (t )代表循环白细胞的浓度,θ１,θ２,θ３是参数,τ为时滞参数,y ０为初始值.若令分数阶α＝０．９,参数θ１＝１,θ２＝２,θ３＝１０,时滞参数τ＝５,步长取为h ＝０．１.利用前面程序即可绘制分数阶时滞微分方程C０D ０．９t y (t )＝－２y (t －５)１＋y (t －５)１０－y (t ),y (t )＝０．６,t ɤ０{在[０,１００]上数值解并绘制数值解的图形,见图１.图１㊀时滞分数阶M a c k e yＧG l a s s 混沌系统３．２㊀参数和阶估计的数值结果假设分数阶α＝０．９,参数θ１＝１,θ２＝２,θ３＝１０,时滞参数τ＝５,步长取为h ＝０．１,时间区间取为[０,２０],把用预估校正法计算得到的(t i ,y i )(i ＝１,２, ,２００)作为观测值(见图１),下面以这些观测值为基础反演真实参数.参数搜索范围为０．８ɤαɤ１,４ɤτɤ６,０ɤθ１ɤ２,１ɤθ２ɤ３,９ɤθ３ɤ１１,由这５３滨州学院学报第３４卷些参数确定鸡群算法中搜索空间的上界l b ＝[０．８,４,０,１,９]和下界u b ＝[１,６,２,３,１１].鸡群算法的其他参数设置为种群规模p o p ＝２０,最大迭代次数M ＝１００,解空间维数d i m ＝５,鸡群角色更新次数G ＝５,公鸡占整个鸡群规模的比例r p e r c e n t ＝０．１５,母鸡占整个鸡群规模的比例h p e r c e n t ＝０．７,可能生育过小鸡的母鸡占母鸡规模的比例m p e r c e n t ＝０．５.图２㊀最优公鸡对应函数值随迭代次数的变化笔者做了很多次试验,其中一次的运行结果为:目标函数值(１０)的值为０．０００１４８１,分数阶^α＝０．８９７０,参数^θ１＝０．９９８０,^θ２＝２．００３３,^θ３＝９．９３０２,时滞参数^τ＝５．００１２.图２给出了最优的公鸡对应目标函数值随迭代次数增加的变化情况,横轴表示迭代次数,对数坐标纵轴表示目标函数值.当然,由于鸡群算法具有随机性,不是每次都能找到理想的估计.如果最优化目标函数值(１０)的值小于０．０１,则认为算法成功地找到了参数和阶的估计值.定义成功率(S u c c e s sR a t i o )S R ＝成功次数试验次数,随机模拟１０次,得到的成功率为０．９,平均运行时间为２０１．３s.４㊀结论在分数阶方程的应用问题中,由部分观测数据反演方程参数和阶的反问题具有重要的实际意义,但由于其理论和计算的复杂性,以往研究文献较少.本文针对一类常见的分数阶非线性时滞常微分方程组初值问题,给出其参数和分数阶估计的鸡群算法求解方法.通过数值模拟发现,该方法可以较好地估计出方程的参数和阶数,为使用分数阶微分方程组解决实际问题提供一种参考.在计算中,可先用鸡群算法得到一个粗略的近似解,作为初始值再使用N e l d e r M e a d 单纯形算法求解往往能得到更加精确的结果[１２].由于分数阶的非局部性,当变化范围增大时电脑的计算时间会增加较快,需要改用其他计算方法提高计算速度.虽然吴定会等证明了鸡群算法收敛性[１０],但是在实践中也未必能绝对保证找到最优解,该法对搜索的范围也有一定依赖性,需要结合具体问题进行分析,给出参数尽量窄小的搜索范围,以便尽快找到符合实际意义的解.参㊀考㊀文㊀献:[１]㊀R a h i m y M．A p p l i c a t i o n so ff r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s [J ]．A p p l i e d M a t h e m a t i c a lS c i e n c e ,２０１０,４(５０):２４５３２４６１．[２]㊀W a n g Z ,H u a n g X ,S h iG D．A n a l y s i s o f n o n l i n e a rd y n a m i c s a n dc h a o s i n f r a c t i o n a l o r d e r f i n a n c i a l s y s t e m w i t h t i m e d e l a y [J ]．C o m p u t e r s a n d M a t h e m a t i c sw i t hA p pl i c a t i o n ,２０１１,６２:１５３１１５３９．[３]㊀Y a nY ,K o uC ．S t a b i l i t y a n a l ys i s f o r a f r a c t i o n a l d i f f e r e n t i a lm o d e l o fH I Vi n f e c t i o no fC D ４＋T Ｇc e l l sw i t h t i m e d e l a y [J ]．M a t h e m a t i c s a n dC o m p u t e r s i nS i m u l a t i o n ,２０１２,８２(９):１５７２１５８５．[４]㊀Z h u W ,F a n g J ,T a n g Y ,e t a l ．I d e n t i f i c a t i o no f f r a c t i o n a l Ｇo r d e r s y s t e m s v i a a s w i t c h i n g d i f f e r e n t i a l e v o l u t i o n s u b j e c t t on o i s e p e r t u r b a t i o n s [J ]．P h y s i c sL e t t e r sA ,２０１２,３７６(４５):３１１３３１２０．[５]㊀L i uF ,L iX ,L i uX ,e t a l ．P a r a m e t e r i d e n t i f i c a t i o no f f r a c t i o n a l Ｇo r d e r c h a o t i c s y s t e m w i t h t i m e d e l a yv i am u l t i Ｇs e l e c t i o nd i f f e r e n t i a l e v o l u t i o n [J ]．S y s t e mS c i e n c e&C o n t r o l E n g i n e e r i n g ,２０１７,５(１):４２４８．[６]㊀G u WJ ,Y uY G ,H u W．A r t i f i c i a l b e e c o l o n y a l g o r i t h m Ｇb a s e d p a r a m e t e r e s t i m a t i o no f f r a c t i o n a l Ｇo r d e r c h a o t i c s y s t e m w i t h t i m e d e l a y[J ]．I E E E /C A AJ o u r n a l o fA u t o m a t i c a S i n i c a ,２０１７,４(１):１０７６３第２期王福昌,张丽娟,靳志同㊀分数阶非线性时滞微分方程参数和阶的估计方法１１３．[７]㊀B h a l e k a r S,D a f t a r d a rＧG e j j iV．A p r e d i c t o rＧc o r r e c t o r s c h e m e f o r s o l v i n g n o n l i n e a r d e l a y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s of f r a c t i o n a l o r d e r[J]．J o u r n a l o f F r a c t i o n a l C a l c u l u s a n dA p p l i c a t i o n s,２０１１,１(５):１９．[８]㊀D i e t h e l m K．E f f i c i e n t s o l u t i o no fm u l t iＧt e r mf r a c t i o n a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s u s i ng P(E C)m E m e t hＧo d s[J]．C o m p u t i n g,２００３,７１(４):３０５３１９．[９]㊀M e n g X,L i uY,G a oX,e t a l．A n e wb i oＧi n s p i r e da l g o r i t h m:c h i c k e ns w a r mo p t i m i z a t i o n[C]//５t hI n t e r n a t i o n a l C o n f e r e n c e o nS w a r mI n t e l l i g e n c e．H e f e i:S p r i n g e r I n t e r n a t i o n a l P u b l i s h i n g,２０１４:７４８５．[１０]㊀吴定会,孔飞,纪志成．鸡群算法的收敛性分析[J]．中南大学学报:自然科学版,２０１７,４８(８):２１０５２１１２．[１１]㊀闵涛,孙瑶,邱李祯．M a c k e yＧG l a s s方程参数反演的微分进化算法其灵敏度分析[J]．数学杂志,２０１６,３６(４):７７５７８１．[１２]㊀W a n g L,X uY,L i LP．P a r a m e t e r i d e n t i f i c a t i o n o f c h a o t i c s y s t e m s b y h y b r i dN e l d e rＧM e a d s i m p l e x s e a r c ha n dd i f f e r e n t i a l e v o l u t i o na l g o r i t h m[J]．E x p e r tS y s t e m sw i t h A p p l i c a t i o n s,２０１１,３８(４):３２３８３２４５．P a r a m e t e r s a n dO r d e rE s t i m a t i o n M e t h o d s o f F r a c t i o n a lN o n l i n e a rD e l a y D i f f e r e n t i a l E q u a t i o nWA N GF uＧc h a n g,Z H A N GL iＧj u a n,J I NZ h iＧt o n g(D e p a r t m e n t o f B a s i cC o u r s e s,I n s t i t u t e o f D i s a s t e rP r e v e n t i o n,L a n g f a n g０６５２０１,C h i n a)A b s t r a c t:F r a c t i o n a lＧo r d e r d e l a y n o n l i n e a r d y n a m i c s s y s t e mi s u s e dm o r e a n dm o r ew i d e l y i ns c i e n c e a n d e n g i n e e r i n g．B a s e do n p a r t i a l o b s e r v e dd a t a,f i t t i n g t h e p a r a m e t e r s a n do r d e r p l a y s a n i m p o r t a n t r o l e i n p r a c t i c a l p r o b l e m．G i v e n t h e g u e s s v a l u e s o f p a r a m e t e r s a n do r d e r,t h e p r e d i c t i o nv a l u e s o f d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s s o l u t i o n s c a nb e c o m p u t e db y t h e p r e d i c t o rＧc o r r e c t o r s c h e m e a l g o r i t h m,a n d t h eo p t i m i z a t i o n o b j e c t i v e f u n c t i o nw i l l b e c o n s t r u c t e d b y u s i n g d i f f e r e n c e b e t w e e n o b s e r v e d d a t a a n d p r e d i c t i o n v a l u e s．S o t h e o p t i m a l p a r a m e t e r s a n do r d e r a r e s e a r c h e db y c h i c k e ns w a r mo p t i m i z a t i o nm e t h o d．F i n a l l y,b y c o mＧp u t e r s i m u l a t i o n,t h e a l g o r i t h mi s p r o v e dv a l i d．K e y w o r d s:f r a c t i o n a lＧo r d e r;n o n l i n e a r d e l a y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n;p a r a m e t e re s t i m a t i o n;c h i c k e n s w a r mo p t i m i z a t i o na l g o r i t h m(责任编辑:贾晶晶)７３。

《非线性分数阶偏微分方程的高阶紧致差分格式》篇一摘要：本文旨在探讨非线性分数阶偏微分方程的高阶紧致差分格式。

首先，我们将简要介绍分数阶偏微分方程的背景及其重要性。

随后，通过引入高阶紧致差分格式，我们提出了一种有效的数值求解方法，并对其进行了详细的理论分析和数值验证。

一、引言非线性分数阶偏微分方程在众多领域如物理、工程和金融等都有着广泛的应用。

然而，由于这些方程的复杂性，直接求解往往面临很大的挑战。

近年来，随着数值分析方法的不断发展，尤其是对于高阶和分数阶微分方程的数值求解方法，成为了研究的热点。

其中，差分方法因其简单有效，被广泛应用于各类微分方程的数值求解中。

本文将重点研究非线性分数阶偏微分方程的高阶紧致差分格式。

二、非线性分数阶偏微分方程非线性分数阶偏微分方程通常具有复杂的解结构和较高的求解难度。

其一般形式为：\[ D_t^\alpha u(x,t) + N(u(x,t), \nabla u(x,t)) = f(x,t) \]其中，\( D_t^\alpha \) 表示分数阶时间导数，\( N \) 为非线性算子，\( f \) 为给定的源项或外部力。

三、高阶紧致差分格式为了有效地求解非线性分数阶偏微分方程，我们引入高阶紧致差分格式。

该格式通过在时间和空间上采用高阶近似和紧致逼近的方式，实现对原方程的离散化处理。

首先，我们将时间上的分数阶导数使用离散化方法进行近似。

接着，在空间上，我们采用高阶紧致差分方法对偏导数进行逼近。

这样，原非线性分数阶偏微分方程就可以被转换为一组关于时间和空间的离散化高阶紧致差分方程。

四、理论分析对于所提出的高阶紧致差分格式，我们进行了详细的理论分析。

包括差分格式的收敛性、稳定性以及误差估计等。

我们证明了在适当的条件下，该差分格式可以有效地逼近原非线性分数阶偏微分方程的解，并具有较高的计算精度和稳定性。

五、数值验证为了进一步验证所提出的高阶紧致差分格式的有效性，我们进行了大量的数值实验。

非线性分数阶演化方程的新解刘银龙;夏铁成;刘泽宇【摘要】通过使用改进的分数阶sub-equation方法寻求一些非线性分数阶演化方程的精确解,如分数阶Burgers方程、耦合分数阶Burgers方程与非线性分数阶Klein-Gordon方程等,并得到了这些非线性分数阶演化方程的新解.【期刊名称】《上海大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(022)004【总页数】8页(P469-476)【关键词】改进的分数阶sub-equation方法;分数阶Burgers方程;耦合分数阶Burgers方程;分数阶Klein-Gordon方程【作者】刘银龙;夏铁成;刘泽宇【作者单位】上海大学理学院,上海200444;上海大学理学院,上海200444;上海大学理学院,上海200444【正文语种】中文【中图分类】O1781695年，莱布尼兹定义了分数微积分-普通微积分的推广.但直到最近几十年分数微分方程才重新得到学者们的关注，这是因为其对复杂现象有确切的描述，例如非布朗运动、系统识别、流体流动、控制问题、信号处理、黏弹性材料、聚合物和其他的学科领域的问题.众所周知分数阶方程的最大优势是其非本地属性，这意味着未来系统的状态不仅取决于其当前状态也取决于其所有的历史状态.例如，部分衍生品、流体动力交通模型可以消除由连续交通流的假设［1］引起的缺陷.最近，许多学者开始研究分数阶的函数分析，如把Yang-Laplace转换和Yang-Fourier转换的性质和定理应用到分数阶微分方程、微分系统和偏微分方程等.为了更好地理解复杂的非线性物理现象及其在实际生活中进一步的应用，一个自然而然的问题出现了，即怎样才能得到分数阶偏微分方程（fractional partial differential equation，FPDE）的精确解.目前，已经建立和发展了很多有效的方法，从而获得了FPDE的数值和分析解，如有限差分法［2］、有限元法、Adomian分解方法［3］、微分转换方法［4］、变分迭代法［5］、摄动法［6］等.另外，一些偏微分方程已经被研究和解决，如脉冲分数微分方程［7］、分广义Burgers流体［8］、分数阶热和波动方程［9］等.最近，He等［10］和Geng等［11］应用Exp-function方法寻求偏微分方程精确解.这种Expfunction方法得到了广泛的应用，并被用来寻找非线性演化方程的孤波解和周期解，如Maccari系统［12］、Klein-Gordon方程［13］、KdV-mKdV方程［14-15］、Broer-Kaup系统、Kaup-Kupershmidt方程和Toda lattice方程等.这表明，通过Exp-function方法可以得到含参数的解，并且从中可以发现一些大多数现有方法的已知解.张盛等［16］提出了一种新的寻求偏微分方程精确解的直接方法，该方法被称为分数阶sub-equation方法，是基于齐次平衡原则［17］、修正的Jumarie黎曼——刘维尔导数［18］和符号计算.张盛等使用这种方法成功地获得了非线性分数阶演化方程的精确解.众所周知，当使用直接法找到非线性偏微分方程精确解时，选择一个适当的拟设是非常重要的.本研究正是通过运用改进的分数阶sub-equation方法［19］来寻找在流体力学中分数阶方程的精确解.首先，考虑分数阶Burgers方程与耦合分数阶Burgers方程［20］：Esipov导出了这个耦合系统.耦合Burgers方程系统的研究是非常重要的，因为这个系统在流体悬浮液或胶体中受到的重力的影响是一个简单的模型沉降或进化了体积浓度的两种粒子，其中常量p,q是依赖于系统参数沛克莱数、由重力引起的斯托克斯粒子速度和布朗扩散系数.另外，尝试对非线性分数阶Klein-Gordon方程［21］进行了求解，可知非线性分数阶Klein-Gordon方程描述了许多非线性类型，且该Klein-Gordon方程在一些实际应用程序中起着重要作用，如固态物理、非线性光学和量子场论等.修正的α阶Jumarie's Riemann-Liouville导数的定义如下：上述定义的分数阶导数具有3种性质：上面的这些性质在后续的分数阶方程计算中非常重要.对于改进的分数阶sub-equation方法的步骤如下.步骤1 给定一个分数阶偏微分方程，式中，x与t是两个独立的变量，且是未知函数，P是关于ui以及分数阶导数的多项式.步骤2 通过行波变换式中，c是待定常数.方程（6）便可以约化成关于Uj=u（ξ）分数阶常微分方程步骤3 假定式中，aj,i（i=-mj,-mj-1,…,mj）为待定常数，mj为通过平衡方程（6）或（8）中最高次项与非线性项得到的正数，并且φ=φ（ξ）满足这里，其中是含一个参数的Mittag-Leffler函数.步骤4 把方程（9）和（10）代入方程（8）中，并利用修正的Riemann-Liouville导数的性质［22］，得到一个关于φ（ξ）的多项式.令φ（ξ）k（k=0,1,…,-1,-2,…）的系数为0，得到一组关于c,ai（i=-n,-n+1,…,n-1,n）的超定方程组.步骤5 假定这些常数c,ai（i=-n,-n+1,…,n-1,n）可以通过上述超定方程组求得，则将这些常数代入方程（9）中就可以得到方程（7）的精确解.下面将用改进的分数阶sub-equation方法去求偏微分方程（1）～（3）的解.2.1 分数阶Burgers方程通过行波变换u=u（ξ）,ξ=x+ct，方程（1）将会被约化成如下的非线性分数阶常微分方程：通过平衡方程（11）中最高次项与非线性项，可将解设成这里的φ（ξ）满足方程（10）.将方程（10），（13）代入方程（12），令φ（ξ）i的系数等于0，这样就可以得到一系列关于c,a-1,a0,a1的超定方程.用Maple计算这组方程，有情形1式中，c,α,η是任意的常数.情形2式中，c,α,η是任意的常数.通过情形1，利用方程（10）和（13）的解可以得到方程（1）的解：式中，σ＜0,ξ=x+ct.这里，σ＜0,ξ=x+ct.式中，σ＞0,ξ=x+ct.在这里，σ＞0,ξ=x+ct.式中，σ=0,ξ=x+ct,ω是常数.当然，通过情形2可以得到更多的解，这里就不一一列出了.2.2 耦合分数阶Burgers方程通过行波变换u=u（ξ）,v=v（ξ）,ξ=x+ct，方程（2）将会被约化成如下的非线性分数阶常微分方程：根据前面所描述的方法，可以设方程（14）有如下解的形式：这里的φ（ξ）满足方程（10）.将方程（10）和（15）代入到方程（13）中，令φ（ξ）i的系数等于0，这样就可以得到一系列关于c,a-1,a0,a1,b-1,b0,b1超定方程组.用Maple计算该方程组，有式中，η,q,a0是任意的常数.式中，a0,b0,b-1是任意的常数.利用方程（10），（15）和（16a）的解可以得到方程（2）的解：式中，这里，式中，这里，式中，ω是常数.2.3 非线性分数阶Klein-Gordon方程重复上述过程，通过行波变换u=u（ξ）,ξ=x+ct，方程（3）将会被约化成如下的非线性分数阶常微分方程：平衡方程（16）中的最高次项与非线性项，可将解设成这里的φ（ξ）满足方程（10）.将方程（11）和（17）代入方程（16）中，同样可以得到一组关于c,a-2,a-1,a0,a1,a2超定方程组.用Maple计算这组方程得利用方程（10），（18）和（19f）的解可以得到方程（3）的解：式中这里，式中在这里式中是常数.本研究利用一个改进的分数阶sub-equation方法解决了在流体力学系统中的非线性偏微分方程，并成功获得了关于分数阶Buregers方程、耦合Buregers方程及分数阶Klein-Gordon方程的一些精确解析解.这些解包括广义双曲线函数、广义三角函数的解（目前所知这些解都是新解），而且这些解可能有利于进一步了解复杂的非线性物理现象和偏微分方程.此外，通过使用直接的方法选择适当的拟设在解决非线性分数阶偏微分方程过程中具有重要意义.【相关文献】［1］HE J H.Analytical solution of a nonlinear oscillator by the linearized perturbation technique［J］.Commun Nonlinear Sci Numer Simul,1999,4（2）：109-113.［2］CUI pact finite difference method for the fractional diffusion equation［J］.J Comput Phys,2009,228（20）：7792-7804.［3］EL-SAYED A M A,GABER M.The Adomian decomposition method for solving partial differential equations of fractal order in finite domains［J］.Phys Lett A,2006,359（3）：175-182.［4］ODIBAT Z,MOMANI S.A generalized differential transform method for linear partial differential equations of fractional order［J］.Appl Math Lett,2008,21（2）：194-199. ［5］HE J H.A new approach to nonlinear partial differential equations［J］.Commun Nonlinear Sci Numer Simul,1997,2（4）：230-235.［6］HE J H.A coupling method of a homotopy technique and a perturbation technique for non-linear problems［J］.Internat J Non-Linear Mech,2000,35（1）：37-43.［7］MOPHOU G M.Existence of mild solutions of some semilinear neutral fractional functional evolution equations with infinite delay［J］.Applied Mathematics and Computation,2010,216（1）：61-69.［8］XUE C,NIE J,TAN W.An exact solution of start-up flow for the fractional generalized Burgers fluid in a porous half-space［J］.Nonlinear Anal,2008,69（7）：2086-2096. ［9］MOLLIQ R Y,NOORANI M S M,HASHIM I.Variational iteration method for fractionalheat-and wave-like equations［J］.Nonlinear Anal,2009,10（3）：1854-1869.［10］HE J H,WU X.Exp-function method for nonlinear wave equations［J］.Chaos Solitons Fractals, 2006,30（3）：700-708.［11］GENG T,SHAN W R.A new application of Riccati equation to some nonlinear evolution equations［J］.Phys Lett A,2008,372（10）：1626-1630.［12］ZHANG S.Exp-function method for solving Maccaris system［J］.Phys LettA,2007,371（1/2）：65-71.［13］BEKIR A,BOZ A.Exact solutions for nonlinear evolution equations using Exp-function method［J］.Phys Lett A,2008,372（10）：1619-1625.［14］WU X H,HE J H.Solitary solutions,periodic solutions and compacton like solutions using the Exp-function method［J］.Comput Math Appl,2007,54（7/8）：966-986. ［15］KHANI F,HAMEDI-NEZHAD S.Some new exact solutions of the（2+1）-dimensional variable coefficient Broer-Kaup system using the Exp-function method［J］.Comput Math Appl,2009, 58（11/12）：2325-2329.［16］ZHANG S,ZHANG H.Fractional sub-equation method and its applications to nonlinear fractional PDEs［J］.Phys Lett A,2011,375（7）：1069-1073.［17］WANG M.Solitary wave solutions for variant Boussinesq equations［J］.Phys Lett A,1995, 199（1/2）：169-172.［18］JUMARIE G.Modified Riemann-Liouville derivative and fractional Taylor series of nondifferentiable functions further results［J］.Comput Math Appl,2006,51（9/10）：1367-1376.［19］GUO S,MEI L,LI Y,et al.The improved fractional sub-equation method and its applications to the space-time fractional differential equations in fluid mechanics ［J］.Phys Lett A,2012,376（4）：407-411.［20］BEKIR A.Theexpansion method using modified Riemann-Liouville derivative for some space-time fractional differential equations［J］.Ain Shams Engineering Journal,2014,5（3）：959-965.［21］SIRENDAOREJI.Auxiliary equation method and new solutions of Klein-Gordon equations［J］. Chaos,Solitons and Fractals,2007,31（4）：943-950.［22］ZHOU Y,WANG M,WANG Y.Periodic wave solutions to a coupled KdV equations with variable coefficients［J］.Phys Lett A,2003,308（1）：31-36.。

《非线性时间分数阶偏微分方程的几类混合有限元算法分析》篇一一、引言随着科学技术的飞速发展，非线性时间分数阶偏微分方程在众多领域中，如物理学、工程学、金融学等，扮演着越来越重要的角色。

该类方程因能更好地模拟一些复杂的动态系统而被广泛应用。

为了有效求解这一类问题，研究者们不断地提出和发展新的数值计算方法。

本文旨在深入探讨几类混合有限元算法在非线性时间分数阶偏微分方程求解中的应用及性能分析。

二、非线性时间分数阶偏微分方程非线性时间分数阶偏微分方程通常表示为含有时间分数阶导数和复杂非线性项的偏微分方程。

其数学形式复杂，具有高度的非线性和多尺度特性，给求解带来了极大的挑战。

该类方程在描述许多实际物理现象和工程问题时具有较高的精度和适用性。

三、混合有限元方法混合有限元法是一种高效的数值求解方法，它将问题转化为一系列近似解的问题。

在非线性时间分数阶偏微分方程的求解中，混合有限元法可以通过合理的近似处理时间和空间项，从而达到高效、稳定的求解效果。

四、几类混合有限元算法分析1. 隐式-显式混合有限元法：该算法在处理时间分数阶导数时，采用隐式和显式方法的结合，既能保证求解的稳定性，又能提高计算效率。

对于非线性项的处理，通过迭代或松弛法进行近似求解。

2. 空间-时间多尺度混合有限元法：该方法在空间和时间两个维度上分别采用不同的尺度进行求解。

在空间维度上，通过引入合适的基函数对原问题进行离散化处理；在时间维度上，利用合适的数值方法对时间分数阶导数进行离散化处理。

该方法可以有效地处理多尺度问题，提高求解精度。

3. 迭代-松弛混合有限元法：该方法通过迭代和松弛法对非线性项进行近似求解。

在每次迭代过程中，通过引入松弛因子对近似解进行松弛，以提高收敛速度和求解精度。

同时，根据问题特性选择合适的松弛因子是该算法的关键之一。

五、结论本文通过对几类混合有限元算法在非线性时间分数阶偏微分方程求解中的应用进行深入分析，表明了这些算法在提高求解效率、稳定性和精度方面的优势。

《一类非线性时间分布阶偏微分方程的高效混合有限元算法研究》篇一一、引言非线性偏微分方程是数学物理中常见的数学模型，涉及许多科学和工程领域的实际问题，如流体力学、量子力学、材料科学等。

近年来，随着计算机技术的发展，对非线性偏微分方程的求解方法研究日益深入。

其中，有限元方法作为一种有效的数值计算方法，在求解复杂偏微分方程中得到了广泛应用。

本文将重点研究一类非线性时间分布阶偏微分方程的高效混合有限元算法。

二、问题描述本研究所涉及的偏微分方程为一类非线性时间分布阶偏微分方程，具有较为复杂的物理背景和实际应用价值。

这类方程通常在描述材料内部物理过程时出现，如温度场、应力场等。

针对这类问题，我们需要开发一种高效的混合有限元算法进行求解。

三、混合有限元方法混合有限元方法是一种结合了有限元方法和有限差分法的数值计算方法。

该方法通过将求解域划分为一系列的子域（即有限元），在每个子域内进行近似求解，以达到求解整个问题的目的。

在求解非线性偏微分方程时，混合有限元方法可以有效地提高求解精度和计算效率。

四、算法设计针对一类非线性时间分布阶偏微分方程，我们设计了一种高效的混合有限元算法。

该算法主要包括以下步骤：1. 离散化：将求解域划分为一系列的有限元子域，确定每个子域的节点和边界条件。

2. 线性化：将非线性偏微分方程进行线性化处理，以便于在每个子域内进行近似求解。

3. 迭代求解：采用迭代法对每个子域内的线性化方程进行求解，逐步逼近真实解。

4. 耦合计算：通过适当的耦合计算方式，将各子域的解合并为整体解，以达到求解整个问题的目的。

五、算法实现与性能分析我们采用C++编程语言实现了上述混合有限元算法，并进行了大量的数值实验。

实验结果表明，该算法具有较高的求解精度和计算效率。

具体而言，该算法在求解一类非线性时间分布阶偏微分方程时，可以快速地收敛到真实解，并且具有较好的稳定性和鲁棒性。

此外，该算法还可以根据具体问题的特点进行定制化调整，以满足不同应用场景的需求。

一般非线性微分方程的解法及应用非线性微分方程（Nonlinear Differential Equations）是微积分中的重要课题。

与线性微分方程不同，非线性微分方程由于其非线性性质，无法被直接解出。

在此篇文章中，我们将会讨论一般非线性微分方程的解法和应用。

一、解法1.变系数法变系数法（变参法）是一种基于给出非线性微分方程（NDE）通解，并利用边界条件解出一般解的方法。

现在，我们尝试用变系数法解决以y为未知函数y''+p(x)y'+q(x)y=g(x)的非线性微分方程。

步骤如下：(1) 先解出对应的线性齐次方程y''+p(x)y'+q(x)y=0的通解，例如:$$y=c_1y_1+c_2y_2$$（其中c1和c2是常数，y1和y2是两个线性无关的特解）(2) 在此基础上拟定向非线性微分方程g(x)所对应的一个特解y0(x)，(3) 将此特解代入非齐次微分方程中，得到特殊解y(x)，即为非线性微分方程的解。

例如：设通解为y=c1y1+c2y2, 特解为y0,带入方程得到:y'' + p(x)y'+ q(x)y = g(x)y0'' + p(x)y0' + q(x)y0 = g(x) - y1''-p(x)y1'-q(x)y1由于y1是齐次方程的解，所以原方程可以化为齐次的：y'' + p(x)y' + q(x)y = 0利用常数变易法，可将y0解出。

则该微分方程的最终通解为y=c1y1+c2y2+y02. 可积的非线性微分方程可积的非线性微分方程是一种特殊的非线性微分方程，可以通过直接积分或某些变换使其解出。

例如：y'+a(x)y+b(x)y^3=0若a(x)和b(x)是连续的函数，则该微分方程为可积的。

可将该方程变形为1/2d/dx(y^2)+a(x)y^2=0则原微分方程的解为：$$y(x)=\sqrt{\frac{-2\int a(x)dx+c}{b(x)}}$$（其中c是常数，与初始条件有关）3.级数法级数法（常微分方程级数解）是利用幂级数解法求解非线性微分方程的方法。

基于exp[-φ(ξ)]-展开法求变系数非线性发展方程的精确解王晓利;斯仁道尔吉
【期刊名称】《量子电子学报》
【年(卷),期】2016(33)6
【摘要】exp[-φ(ξ)]-展开法可用于求解变系数非线性发展方程,以广义变系数KdV-mKdV方程和变系数(2+1)维Broer-Kaup方程组为例实现了求解过程,获得了奇异行波解,包括指数函数解、双曲函数解、三角函数解及有理函数解,并通过取特殊值得到结(kink)型解.可见exp[-φ(ξ)]-展开法适于变系数非线性发展方程的求解,且更具一般性.
【总页数】9页(P680-688)
【关键词】非线性方程;精确解;exp[-φ(ξ)]-展开法
【作者】王晓利;斯仁道尔吉
【作者单位】内蒙古师范大学数学科学学院
【正文语种】中文
【中图分类】O175
【相关文献】
1.基于改进的Riccati方程展开法求非线性发展方程精确解 [J], 白秀;杨培凤
2.用试探方程法求变系数非线性发展方程的精确解 [J], 刘成仕
3.基于扩展G'/G-展开法的两个非线性拟抛物型方程的精确解 [J], 范凯;刘斌;宋叔尼;范圆圆
4.基于含负幂项与非负幂项G'/G+G'-展开法的非线性时空分数阶电报方程新精确解 [J], 吴大山; 孙峪怀; 杜玲禧
5.基于含负幂项与非负幂项G'/G2展开法的非线性时空分数阶电报方程新精确解[J], 吴大山;孙峪怀;杜玲禧
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《非线性时间分数阶偏微分方程的几类混合有限元算法分析》篇一一、引言非线性时间分数阶偏微分方程在各种物理、工程和科学领域中具有广泛的应用，如流体动力学、热传导、扩散过程等。

由于这些方程的复杂性和非线性特性，传统的数值方法往往难以准确有效地求解。

混合有限元方法作为一种有效的数值求解手段，近年来在处理这类问题上得到了广泛的应用。

本文将重点分析非线性时间分数阶偏微分方程的几类混合有限元算法。

二、非线性时间分数阶偏微分方程的基本理论非线性时间分数阶偏微分方程是一类描述物理现象的数学模型，其特点在于时间和空间导数均具有分数阶。

这类方程的解法具有一定的挑战性，因为其解可能具有复杂的时空依赖性和非线性特性。

为了更好地理解和求解这类方程，我们需要对其基本理论进行深入的研究。

三、混合有限元方法的基本原理混合有限元方法是一种基于变分原理的数值方法，它将偏微分方程的解表示为一系列基函数的加权和。

这种方法可以有效地处理复杂的几何形状和材料属性，对于非线性问题也有较好的适应性。

混合有限元方法包括对未知函数及其导数的近似，以及通过变分原理建立离散化问题的数学模型。

四、几类混合有限元算法分析（一）线性化混合有限元算法线性化混合有限元算法是一种通过将非线性问题线性化来求解的方法。

该方法通过引入适当的变量，将原问题转化为一系列线性子问题，然后逐一求解。

这种方法的优点在于其简单性和易于实现性，但可能会牺牲一定的求解精度。

（二）时间步进混合有限元算法时间步进混合有限元算法是一种基于时间步进的思想来求解非线性时间分数阶偏微分方程的方法。

该方法将时间域划分为一系列的时间步，然后在每个时间步内使用混合有限元方法进行求解。

这种方法可以有效地处理非线性和时间依赖性问题，但需要谨慎选择时间步长以保证求解的稳定性和精度。

（三）多尺度混合有限元算法多尺度混合有限元算法是一种结合了多尺度思想的方法，它可以在不同的尺度上对问题进行求解。

该方法通过引入多尺度基函数来描述问题的多尺度特性，然后在每个尺度上使用混合有限元方法进行求解。

文章编号:1000-0887(2000)12-1285-08获得非线性微分方程显式解析解的两种新算法Ξ张鸿庆,　闫振亚(大连理工大学应用数学系,大连116024)(我刊编委张鸿庆来稿)摘要:　基于AC =BD 的思想来求解非线性微分方程(组)・　设A u =0为给定的待求解的方程,D v=0是容易求解的方程・　如果可以获得变换u =C v 使得v 满足D v =0,则能够得到A u =0的解・　为了说明该种途径,本文举例给出几种变换C 的表达式・　关　键　词:　非线性微分方程;　变换;　算法;　解析解中图分类号:　O175129 文献标识码:　A引 言几百年以来,构造微分方程的解析解是既重要又困难的课题,许多数学家及理论物理学家做了大量的工作[1～5],但仍有许多重要的具有实际意义的微分方程(组)无法求出其显式解析解或求出很少的解・　即使已求出一些解,也是对不同的方程各有各的途径,没有统一的模式・　随着计算机工具的迅速发展,大量的复杂的计算可以在计算机上实现・　我们的目的是给出一大类问题的统一的模式,并且借助于计算机获得方程的解析解・　1　AC =BD 思想及定理令A u =0为待求的方程(组),D v =0为容易解的方程(组),寻求变换u =C v ,使得v 满足D v =0・　A 和D 可以有如下不同的表达式[6] A D任意微分方程组具有对角形式的微分方程组非线性微分方程线性微分方程变系数微分方程常系数微分方程高阶微分方程低阶微分方程微分方程代数方程5821　应用数学和力学,第21卷第12期(2000年12月) Applied Mathematics and Mechanics 应用数学和力学编委会编重庆出版社出版Ξ收稿日期:　2000-01-14;修订日期:　2000-08-21基金项目:　国家重点基础研究发展规划基金资助项目(G 1998030600);教育部博士点基金资助项目(98014119)作者简介:　张鸿庆(1936—),男,黑龙江人,教授,博士生导师.不可分离变量微分方程可分离变量微分方程不会求解的方程会求解的方程或具有重要性的方程现在的问题是如何构造变换u =C v ,将待求解的方程A u =0约化为求解方程D v =0・　设X 是线性空间,A 、B 、C 、D 是从X 到X 的算子,对任意v ∈X ,定义: AC (v )=A (C v ),BD v =B (D v )・　如果对Πv ∈X ,AC v =BD v ,则称AC =BD ・　令K er A =u |A u =0,K er D =v |D v =0,若C K er D <K er A ,则对DV =0的任意解v ,若u =C v ,则A u =0・　若C K er D =K er A ,则对A u =0的任意解u ,必有v ∈K er A ,使得u =C v ・　如果C K er D <K er A 和C K er D =K er A 同时成立,则C K er D =K er A ,这时称方程A u =0的一般解为u =C v ,其中v 满足D v =0・　也称在变换u =C v 下,方程A u =0和D v =0・　定理1　设X 是线性空间,A 、B 、C 、D 是从X 到X 的算子,如果AC =BD ,B0=0,C K er D =K er A ,则A u =0的一般解为u =C v ,且v 满足D v =0・　证明　对Πv ∈K er D ,令u =C v ,则A u =AC v =BD v =B0=0,因此C K er D <K er A ,又由假设C K er D =K er A ・　从而C K er D =K er A ・　定理得证・　推论1　若X 是线性空间且C K er D =K er A ,则A u =0的一般解可以用u n =C v n 逼近,其中v n 满足D v n =0・　推论2　若A 、B 、C 、D 是线性算子,f ∈X ,AC =BD ,C K er D =K er A ,则A u =f 的一般解为u =C v +e ,其中v 满足D v =g ,e 和g 满足A e +B g =f ・　证明　如果存在从X 到X 的算子M 、N 和E 使得AM +BN =E ,则e =M <和g =N <满足方程A e +B g =f ・　其中<满足方程E <=f ・　根据以上定理,问题转化为求算子B ,C 和D 满足1)AC =BD ,2)C K er D =K er A ・　为了解决这两个问题我们发展了一系列的算法[6～17]・　例1　势Burgers 方程 A u =5t +12(5x )2-λ5xx u =0・　(1)基于AC =BD 的思想,我们取 u =C v =-2λln v ,B v =-2λv,D v =v t -λv xx =0・　(2)很显然可以证明AC v =B v D v ,并且还可以证明C K er D =K er A ・　因此说A u =0的解析解可以表示为u =C v ,D v =0・　下面我们将基于AC =BD 的思想给出其它新的算法,对于给定的非线性偏微分方程(组),不妨仅考虑两个变量x ,t A u =A (u ,u t ,u x ,u xt ,u xx ,u tt ,…)=0,(3)下面给出两种不同的算法,并将其应用到具体的数学物理方程中・　2　算法1及浅水波近似方程算法1　我们寻求具有重要意义的如下形式的行波解6821张 鸿 庆 闫 振 亚 u (x ,t )=u (ξ),ξ=x -λt +c ・　(4)其中λ为待定的常数,c 为任意的常数・　则方程(3)约化为非线性常微分方程 F (u ,u ′,u ″,u ,u ″,…)=0・　(5)为了寻求(5)的解析解,我们做如下的变换 u =C v =∑ni =1vi -1[P i v +Q iμ1(1+μ2v 2)]+P 0,(6)且新的变量v =v (ξ)满足 D v =d v/d ξ-R (1+μ2v 2)=0・　(7)其中P i ,Q i (i =1,2,…),R ,P 0为待定的常数・　μj =±1,j =1,2・　存在下面的步骤须做进一步的讨论:步骤1　通过平衡方程(5)中最高阶线性项和非线性项,很容易得到(6)中n 的值・　步骤2　借助于MATHE MATIC A ,将(6)和(7)代入(5),可得关于v i (μ1+μ1μ2v 2)j/2(j =0,1;i =0,1,2,…)的方程(组)・　步骤3　令所获得的方程(组)中v i (μ1+μ1μ2v 2)j/2(j =0,1;i =0,1,2,…)的系数为零,得到一个关于未知变量λ,R ,P 0,P i ,Q i (i =1,2,…)的超定的非线性代数方程组・　步骤4　借助于MATHE MATIC A ,利用吴消元法[18,19]解上述方程组,可得到λ,R ,P 0,P i ,Q i (i =1,2,…)的值・　步骤5　已知(7)的通解为 v (ξ)=tanh (R ξ),v (ξ)=coth (R ξ), (μ=-1);(8) v (ξ)=tan (R ξ),v (ξ)=cot (R ξ), (μ=1)・　(9)因此由(4)、(6)、(8)、(9)及步骤5中得到的结果,可得到(3)的若干解析解・　下面将该算法应用到具体的例子中・　例2　浅水波近似方程 u t -uu x -H x +12u xx=0,(10a ) H t -(Hu )x-12H xx=0・　(10b )根据算法1,首先做如下形式的行波变换 u (x ,t )=u (ξ),H (x ,t )=H (ξ),ξ=x -λt +c ・　(11)其中λ为待定的常数,c 是任意的常数・　将(11)代入(10a )和(10b ),可得 -λu ′-uu ′-H ′+12u ″=0,(12a ) λH ′-(Hu )′-12H ″=0・　(12b )根据步骤1,令(12a )和(12b )有如下形式的解析解 u =P 0+P 1v +Q 1μ1(1+μ2v 2),(13a ) H =a 0+a 1v +b 1μ1(1+μ2v 2)+a 2v 2+b 2v μ1(1+μ2v 2)・　(13b )根据步骤2～4,我们可获得变量λ、P 0、P 1、Q 1、a 0、a 1、a 2、b 1、b 2、R 的值,即情况1　μ1=±1,μ2=-1,a 1=b 1=b 2=Q 1=0,P 1=±2R ,p 0=λ,a 2=-2R 2,a 0=2R 2・　7821获得非线性微分方程显式解析解的两种新算法8821张 鸿 庆 闫 振 亚情况2　μ1=1,μ2=-1,a1=b1=b2=P1=0,Q1=±2R i,p0=λ,a2=-2R2,a0 =R2,i=-1・　情况3　μ1=μ2=-1,a1=b1=b2=P1=0,Q1=±2R,p0=λ,a2=-2R2,a0= R2・　情况4　μ1=μ2=1,a1=b1=b2=Q1=0,P1=±2R,p0=λ,a2=-2R2,a0=-2R2・　情况5　μ1=1,μ2=-1,a1=b1=b2=P1=0,Q1=±2R,p0=λ,a2=-2R2,a0=-R2・　情况6　μ1=1,μ2=-1,a1=b1=0,P1=±R,Q1=±R i,p0=λ,a2=-R2,b2=±a2i,a0=R2・　情况7　μ1=μ2=-1,a1=b1=0,P21=Q21=R2,p0=λ,a2=-R2,b2=±R2,a0= R2・　情况8　μ1=μ2=1,a1=b1=0,P1=±R,Q1=±R,p0=λ,a2=-R2,b2=±R2, a0=-R2・　因此由步骤5,可得到浅水波近似方程(10)的如下12种精确解析解u1=λ±2R tanh[R(x-λt+c)],H1=2R2-2R2tanh2[R(x-λt+c)],u2=λ±2R i sech[R(x-λt+c)],H2=2R2sech2[R(x-λt+c)]-R2,u3=λ±2R coth[R(x-λt+c)],H3=-2R2csch2[R(x-λt+c)],u4=λ±2R csch[R(x-λt+c)],H4=-2R2csch2[R(x-λt+c)]-R2,u5=λ±2R tan[R(x-λt+c)],H5=-2R2sec2[R(x-λt+c)],u6=λ±2R cot[R(x-λt+c)],H6=-2R2csc2[R(x-λt+c)],u7=λ±2R sec[R(x-λt+c)],H7=-2R2sec2[R(x-λt+c)],u8=λ±2R csc[R(x-λt+c)],H8=-2R2csc2[R(x-λt+c)]+R2,u9=λ±2R tanh[R(x-λt+c)]±i R sech[R(x-λt+c)],H9=R2sech2[R(x-λt+c)]±i R2tanh[R(x-λt+c)]sech[R(x-λt+c)],u10=λ±R coth[R(x-λt+c)]±R csch[R(x-λt+c)],H10=R2csch2[R(x-λt+c)]±R2coth[R(x-λt+c)]csch[R(x-λt+c)],u11=λ±R tan[R(x-λt+c)]±R sec[R(x-λt+c)],H11=R2sec2[R(x-λt+c)]±R2tan[R(x-λt+c)]sec[R(x-λt+c)],u12=λ±R cot[R(x-λt+c)]±R csc[R(x-λt+c)],H12=-R2csc2[R(x-λt+c)]±R2cot[R(x-λt+c)]csc[R(x-λt+c)],其中包括具有重要物理意义新的孤子解・　3　算法2及非均匀谱变系数K dV方程算法2　对于给定的方程(3),首先引入新的变量,如<,则(3)或许变成含有更多方程的如下方程组 F i(u,<,u t,<t,u x,<x,u xx,<xx,…)=0 (i=1,2,3,…)・　(14)且设(14)中的解u 都为(3)的解・　如果我们能给出如下的变换 u n +1=C 1(u n ,<n ),(15a ) <n +1=C 2(u n ,<n ),(15b )其中(u n ,<n )满足(14)・　且若可以证明(u n +1,<n +1)也满足(14),则根据变换(15)可一步一步地得到(3)的一系列解析解・　例3　非均匀谱变系数K dV 方程 u t +k 1(u xxx +6uu x )+(4k 2-xk 3)u x -2k 3u =0,(16)其中k 1=k 1(t ),k 2=k 2(t ),k 3=k 3(t )为t 的任意的函数・　许多著名的方程,如K dV 方程及柱-K dV 方程[1,4]都为(16)的特例・　通过引入新的变量<,则(16)扩展为如下的方程组 <x =λ-u -<2,(17a ) <t =[xk 3-4k 2-2k 1(u +2λ)]<x +(k 3-2k 1u x )<+k 1u xx ,(17b )且谱变量λ满足 λt -2k 3λ=0,i.e ,λ=exp∫2k 3(t )d t ・　(18)很显然(17a )和(17b )的相容条件<xt =<tx 恰是(16),因此说如果(u ,<)为(17a )和(17b )的解,则u 一定为(16)的解・　事实上,(17)为(16)的Riccati 形式的Lax 对・　下面我们主要考虑(17)・　定理2　令M n (x ,t )=[4k 2+2k 1(u n +2λ)-xk 3]<n -k 1u nx +12k 3+55t∫<nd x,(19)N n (x ,t )=[4k 2+2k 1(u n +2λ)-xk 3]exp -2∫<n d x + 2M n(x ,t )∫exp -2∫<nd x d x +55t ∫exp -2∫<nd x d x ・　(20)W n(x ,t )=∫exp -2∫<nd x d x +exp -2∫M nd t c 0-∫N nexp 2∫M d td t ,(21)u n +1=u n -2<n ,x -2(ln W n (x ,t ))xx,(22a )<n +1=-<n -(ln W n (x ,t ))x (i =1,2,3,…),(22b )其中c 0为常数・　如果(u n ,<n ),满足(17),则(u n +1,<n +1)也一定满足(17)・　证明　直接计算可知(ln W n )x=exp -2∫<n d x W -1n ,(23)(ln W n )xx=-2<n exp -2∫<n d x W -1n -exp -4∫<n d x W -2n ・　(24)将(23)和(24)代入(22),(u n ,<n )满足(17),即<n ,x =λ-u n -<2n ,(25a )<n ,t =[xk 3-4k 2-2k 1(u n +2λ)]<n ,x +(k 3-2k 1u n ,x )<n +k 1u n ,xx ・　(25b )可证(u n +1,<n+1)满足(17a ),即<n +1,x =λ-u n +1-<2n +1,(26)从(25a )和(26),得u n =u n +1+2<n +1,x =u n +1+2(λ-u n +1-<2n +1)=2λ-u n +1-2<2n +1,(27)9821获得非线性微分方程显式解析解的两种新算法u n ,x =-u n +1,x -4<n +1<n +1,x =-u n +1,x -4<n +1(λ-u n +1-<2n +1),(28)u n ,xx =-u n+1,xx -4(λ-u n +1-<2n +1)+4<n+1u n +1,x +8<2n +1(λ-u n +1-<2n +1)・　(29)又从(22b ),可得<n +1,t =-k 1u n ,xx +(k 3-2k 1u x )<n +1+[4k 2+2k 1(u n +2λ)-xk 3]<n +1,x ・　(30)将(27)～(29)代入(30),可得(u n +1,<n+1)满足<n +1,t =[xk 3-4k 2-2k 1(u n +1+2λ)]<n +1,x +(k 3-2k 1u n +1,x )<n +1+k 1u n +1,xx ・　(31)因此定理得证・　下面应用该定理来考虑(16)的显式解析解・　情况1　取(17)的特解u 1=λ,<1=0,得∫<1d x =g (t ),∫exp -2∫<1d x d x =exp [-2g (t )]x +f (t )・　(32)其中g (t ),f (t )为t 的积分函数・　因此有M 1=g t +12k 3,(33)N 1=f t +2f g t +f k 3+(6λk 1+4k 3)exp (-2g ),(34)W 1(x ,t )=exp (-2g )x +f +exp -g -12∫k 3(t )d t β0- ∫β1(t )exp g +12∫k 3(t)d t d t ・　(35)由得到的变换(22),可推得(17)的另一有理形式的解析解u 2=λ-2exp (-4g )exp (-2g )x +f + exp -g -12∫k 3(t )d tc 0-∫N 1expg +12∫k 3(t )d t d t-2,(36)<2=exp (-2g )exp (-2g )x +f + exp -g -12∫k 3(t )d t c 0-∫N 1exp g +12∫k 3(t )d t d t-1・　(37)情况2　再取(17)的另一特解为u 1(x ,t )=λ-μexp∫k 3d t,<1=μexp ∫k 3d t ,(38)其中μ≠0・　由(38)可得∫<1d x =μexp ∫k 3d t x +h 1(t ),∫exp -2∫<1d x d x =-12μexp -2μx e ∫k 3d t-∫k 3d t -2h 1(t )+h 2(t ),其中h 1(t ),h 2(t )为积分函数・　因此可得W 1(x ,t )=-12μexp -2μx e ∫k 3d t-∫k 3d t -2h 1(t )+h 2(t )+c 0exp -2∫M 1d t ・　由得到的变换(22),可推得(17)的另一解u 2(x ,t )=λ-μexp∫k 3d t-2(W 1xx W 1-W 21x )W 21,<2(x ,t )=-μexp ∫k 3d t -W 1xW 1・　其实,u 2(x ,t )为方程(1)的类孤子解・　有进一步的情况分析如下0921张 鸿 庆 闫 振 亚情况2a 当sgn (μ)=-sgn h 2(t )+c 0exp -2∫M 1d t 时,我们可得到方程(1)的钟状类孤子解 u 21(x ,t )=λ-μexp∫k 3d t -2μ2exp 2∫k 3d t ×sech 2-μx e ∫k 3d t-12∫k 3d t -h 1(t )-ln -2μh 2(t )-2μc 0exp -2∫M 1d t・　情况2b 当sgn (μ)=sgn h 2(t )+c 0exp -2∫M 1d t 时,我们可得到方程(1)的奇性类孤子解 u 22(x ,t )=λ-μexp∫k 3d t -2μ2exp 2∫k 3d t ×csch 2-μx e ∫k 3d t-12∫k 3d t -h 1(t )-ln -2μh 2(t )-2μc 0exp -2∫M 1d t・　根据同样的步骤,我们可以一步一步地推得(16)的一系列解析解・　在求解过程中只须做积分和微分运算就可以・　4　结 论总之,我们基于AC =BD 的思想,获得了很多的算法来求解微分方程,并将这些算法应用于具体的具有实际意义的数学物理方程,如Burgers 方程,浅水波近似方程及变系数K dV 方程・　推得了许多有意义的解析解・　此外,借助于吴消元法及数学软件,如Mathematica ,Maple ,该途径可以在com puter 上实现・　[参　考　文　献][1]　Ablowitz M J ,Clarkson P A.Soliton Nonli nea r Evolution Equations a nd Inverse Scatti ng [M ].New Y ork :Cambridge University Press ,1991.[2]　Olver P J.Applications of Lie Groups to Differential Equatons [M ].New Y ork :Springer-Verlag ,1986.[3]　Bluman G W ,Kumei S.Sym metries a nd Differential Equations [M ].New Y ork :Springer-Verlag ,1989.[4]　Gu C H ,Li Y S ,Guo B L ,et al.Soliton Theory a nd Its Application [M ].Berlin :Springer ,1995.[5]　Cox D.Ideal Va rieties a nd Algorithms [M ].New Y ork :Springer-Verlag ,1991.[6]　ZHANG Hong-qing.The algebraization ,mechanization ,symplectication and geometrization for me 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Zhen-ya(Depa rtment of Applied Mathematics,Dalia n University ofTechnology,Dalia n116024,P R Chi na)Abs t ract:The idea of AC=BD was applied to solve the nonlinear differential equations.Suppose thatA u=0is a given equation to be solved and D v=0is an equation to be easily solved.If the transfor2mation u=C v is obtained so that v satisfies D v=0,then the solutions for A u=0can be found.In order to illustrate this approach,several examples about the transformation C are given.Key wor ds:nonlinear differential equations;transformation;algorithm;analytical solution。