非线性时间分数阶微分方程的exp(-Φ(ξ))解法

20世纪60年代中期以后，发展了两种求解非线性方程组(1)的新方法。

一种称为区间迭代法或称区间牛顿法，它用区间变量代替点变量进行区间迭代，每迭代一步都可判断在所给区间解的存在惟一性或者是无解。

这是区间迭代法的主要优点，其缺点是计算量大。

另一种方法称为不动点算法或称单纯形法，它对求解域进行单纯形剖分，对剖分的顶点给一种恰当标号，并用一种有规则的搜索方法找到全标号单纯形,从而得到方程(1)的近似解。

这种方法优点是，不要求f(□)的导数存在,也不用求逆，且具有大范围收敛性，缺点是计算量大编辑摘要目录• 1 正文• 2 牛顿法及其变形• 3 割线法• 4 布朗方法• 5 拟牛顿法•非线性方程组数值解法 - 正文n个变量n个方程(n >1)的方程组表示为(1)式中ƒi(x1,x2,…,x n)是定义在n维欧氏空间R n的开域D上的实函数。

若ƒi中至少有一个非线性函数，则称(1)为非线性方程组。

在R n中记ƒ＝则(1)简写为ƒ(尣)=0。

若存在尣*∈D，使ƒ(尣*)＝0，则称尣*为非线性方程组的解。

方程组(1)可能有一个解或多个解，也可能有无穷多解或无解。

对非线性方程组解的存在性的研究远不如线性方程组那样成熟，现有的解法也不象线性方程组那样有效。

除极特殊的方程外，一般不能用直接方法求得精确解，目前主要采用迭代法求近似解。

根据不同思想构造收敛于解尣*的迭代序列{尣k}(k=0，1，…)，即可得到求解非线性方程组的各种迭代法，其中最著名的是牛顿法。

非线性方程组数值解法 - 牛顿法及其变形牛顿法基本思想是将非线性问题逐步线性化而形成如下迭代程序：(2)式中是ƒ(尣k)的雅可比矩阵,尣0是方程(1)的解尣*的初始近似。

这个程序至少具有2阶收敛速度。

由尣k算到尣k+的步骤为:①由尣k算出ƒ(尣k)及;②用直接法求线性方程组的解Δ尣k；③求。

由此看到迭代一次需计算n个分量函数值和n2个分量偏导数值，并求解一次n阶线性方程组。

非线性微分方程的周期解和极限环非线性微分方程是数学中的一种重要的研究对象。

在物理学、生物学、经济学等领域中，非线性微分方程也起着不可替代的作用。

其中，周期解和极限环是非线性微分方程的两种重要解法，下面将进行详细介绍。

一、周期解周期解是指在某些非线性微分方程中，存在一种解形式，该解在时间上周期性出现。

周期解的一个经典例子是Van der Pol振荡器模型，该模型描绘了由非线性电感和静电元件组成的电路中的振荡现象。

Van der Pol振荡器的方程可以表示为：$$\frac{d^2x}{dt^2} - \mu (1 - x^2) \frac{dx}{dt} + x = 0$$其中，$x$表示电路中的电荷电流，$\mu$表示系统的某个常数。

该方程的周期解可以表示为：$$x(t) = a \cos(\omega t - \phi)$$其中，$a$、$\omega$和$\phi$为常数。

这种周期解体现了Van der Pol振荡器的周期性特征。

二、极限环不同于周期解的周期性，极限环是指某些非线性微分方程中，解形式不断旋转缩小，最终收敛于一种恒定的形式。

极限环可以解释很多自然现象，例如天体运动、生物进化等。

极限环最早被发现于天体运动中。

开普勒三定律描述了天体间的运动，但是对于多个天体的情况，求解轨道运动并不简单。

在19世纪初，拉普拉斯提出了一个重要的结论，称之为拉普拉斯-杨定理。

该定理认为，只要天体系统具有一些特定的性质，就可以保证其运动形式是稳定的。

这些性质被称为拉普拉斯不变量。

类似地，极限环也可以应用于非线性微分方程的稳定性分析。

对于某些非线性微分方程，如果其极限环是稳定的，那么该方程的解就具有稳定性。

例如，假设存在一个非线性微分方程：$$\frac{d^2x}{dt^2} + \epsilon (1 - x^2) \frac{dx}{dt} + x = 0$$其中，$\epsilon$表示某个常数。

如果该方程的解具有稳定的极限环，那么该方程的解可以表示为：$$x(t) = a \cos(\omega t - \phi) + O(\epsilon^2)$$其中，$a$、$\omega$和$\phi$为常数。

非线性常微分方程边值问题的有限解析法非线性常微分方程边值问题（NonlinearOrdinaryDifferentialEquationBoundaryValueProblem，简称BVP）是系统动力学，数学物理，流体动力学及控制等多个学科中的重要问题。

自20世纪60年代以来，BVP的研究得到了迅猛的发展，研究的解析方法从精确解析方法到近似解析方法，再到近似解法及混合解法，主要包括：有限元法，采用多项式进行有限差分法，多项式拟合法，幂级数法，变分法，迭代法等。

比较近些年，有限解析法受到越来越多的关注，这项研究不仅有助于深入了解BVP的数学本质，还可以指导现实问题的解决。

有限解析法是一种以数学分析的方法求解BVP边界值问题的方法，主要是利用多项式函数近似解，或是采用多项式多项式拟合法进行离散，最后得出精确的解析解。

这种方法被广泛应用于边界值问题的解决，其优势在于不需要迭代求解，即使求解过程复杂，有限解析法仍能得到快速而准确的结果。

二、原理有限解析法的原理是：将BVP边界值问题转换为一个多项式拟合的问题，首先以离散化的方式将非线性常微分方程边值问题转换为一个线性方程组，然后再用多项式函数近似求解有限结点方程组，并通过一组特定的约束条件使多项式函数唯一确定，最终得出有限的解析解。

三、实例下面以一个实例来说明有限解析法的用法。

假设给定一个BVP如下：y + 3y - 2y = x， y(0)=1， y(1)=5此非线性常微分方程边值问题的解析解可以用有限解析法来解决。

首先，以离散化的形式转换为线性方程组，把解区间[0, 1]选择为 N等分，即为xi=i/N，i=0,1,2…N-1，在节点处yi=yi(xi)。

由于边界已知，所以将节点拆分为 N+1个即yi(0)=1，yi(1)=5，那么有限元可以确定y0,y1,y2…yN-1的值，一共N组值。

现在构造N组多项式拟合，即有yi = a0 + a1xi + a2xi2 + +aN-1xiN-1,i=0,1,2…N-1，将构造出的多项式代入原问题，将原问题转移到下面N组线性方程系：(1) a0 + a1(0) + a2(0)2 + +aN-1(0)N-1 = 1；(2) a0 + a1(1/N) + a2(1/N)2 + +aN-1(1/N)N-1 = f(1/N)；(3) a0 + a1(2/N) + a2(2/N)2 + +aN-1(2/N)N-1 = f(2/N)；…………(N) a0 + a1(N-1/N) + a2(N-1/N)2 + +aN-1(N-1/N)N-1 =f(N-1/N)；最后求解上述N组线性方程组的唯一解，即可得出yi的值，从而得出有限的解析解。

《非线性时间分数阶偏微分方程的几类混合有限元算法分析》篇一一、引言随着科学技术的飞速发展，非线性时间分数阶偏微分方程在众多领域中，如物理学、工程学、金融学等，扮演着重要的角色。

这类方程具有复杂的数学结构和实际应用价值，因此，如何高效地求解这一类方程成为众多科研人员关注的焦点。

本文将重点分析非线性时间分数阶偏微分方程的几类混合有限元算法，并对其性能进行深入探讨。

二、非线性时间分数阶偏微分方程概述非线性时间分数阶偏微分方程是一种具有高度复杂性和非线性的数学模型，用于描述现实世界中许多复杂的物理现象。

其独特的分数阶导数项和复杂的非线性关系使得其求解难度大大增加。

为了解决这一问题，科研人员提出了多种数值求解方法，其中混合有限元法因其良好的灵活性和适应性而备受关注。

三、混合有限元算法分析（一）基本原理混合有限元法是一种基于变分原理的数值求解方法，它将未知函数用有限个元素上的近似函数表示，从而将连续问题转化为离散问题。

对于非线性时间分数阶偏微分方程，混合有限元法可以有效地将分数阶导数项和离散单元结合起来，从而实现方程的数值求解。

（二）几类混合有限元算法1. 线性有限元法：线性有限元法是最早的混合有限元算法之一，它以单元为基本单元进行求解，通过线性插值函数逼近未知函数。

然而，对于非线性时间分数阶偏微分方程，其求解精度和效率有待进一步提高。

2. 局部间断Galerkin法：局部间断Galerkin法是一种具有高精度的混合有限元算法，它通过在每个单元上定义间断的基函数来逼近未知函数。

该方法在求解非线性时间分数阶偏微分方程时具有较高的精度和效率。

3. 广义多尺度有限元法：广义多尺度有限元法是一种基于多尺度分析的混合有限元算法，它能够根据问题的特点自适应地选择合适的基函数和求解策略。

该方法在求解非线性时间分数阶偏微分方程时具有较好的稳定性和收敛性。

四、算法性能分析（一）精度分析不同混合有限元算法在求解非线性时间分数阶偏微分方程时具有不同的精度。

第３４卷第２期V o l ．３４,N o ．２滨州学院学报J o u r n a l o f B i n z h o uU n i v e r s i t y２０１８年４月A pr ．,２０１８ʌ微分方程与动力系统研究ɔ分数阶非线性时滞微分方程参数和阶的估计方法收稿日期:２０１８０１２５基金项目:防灾科技学院教育研究与教学改革项目(J Y ２０１７B １０),防灾科技学院研究生课程建设与改革项目(Y J G ２０１５００１)第一作者简介:王福昌(１９７４ ),男,山东定陶人,教授,硕士,从事应用数学研究.E Ｇm a i l :f z m a t h ＠１２６．c o m王福昌,张丽娟,靳志同(防灾科技学院基础部,河北廊坊０６５２０１)㊀㊀摘㊀要:分数阶非线性时滞微分方程具有广泛的应用,因而根据部分观测值估计方程的参数和阶有重要意义.首先通过预估校正法求出方程组的预测值,结合部分观测值建立优化目标函数,再采用鸡群算法给出最优参数和阶的估计值.通过计算机模拟,验证了方法的有效性.㊀㊀关键词:分数阶;非线性时滞微分方程;参数估计;鸡群算法㊀㊀中图分类号:O １７５．１㊀㊀文献标识码:A ㊀㊀D O I :１０．１３４８６/j ．c n k i ．１６７３２６１８．２０１８．０２．００６分数阶非线性时滞微分方程是一类重要的微分方程.B h a l e k a rS 和D a f t a r d a r G e j jiV 讨论了时滞的分数阶L i u Ｇ系统混沌效应[１],W a n g Z 等研究了时滞分数阶金融系统[２],Y a nY 和K o uC 给出了H I V 病毒传播的时滞分数阶微分模型及其稳定性[３].一般地,在研究分数阶非线性微分方程模型性质时,模型中的参数和阶都假定是已知的,然而在实际应用中,模型参数和阶往往未知.这时,利用部分观测数据来反推模型的参数和阶具有重要的实际意义,这本质上与分数阶非线性微分方程初值问题数值解法和复杂的非线性优化问题相对应.目前,已有一些学者对该问题开展研究,如Z h u W 等使用差分演化(d i f f e r e n Ｇt i a l e v o l u t i o n )算法求解分数阶系统的识参数别问题[４],L i uF 等使用多选择差分演化算法求解分数阶时滞混沌系统的参数[５],G uWJ 等使用人工蜂群算法(A r t i f i c i a l b e e c o l o n y a l g o r i t h m )进行时滞分数阶混沌系统的参数识别[６].针对一般的分数阶非线性时滞微分方程组初值问题,可以使用预估校正方法求得方程数值解[７].假设已经观测到解的部分值,则可利用这些观测值和数学软件方便地估计模型的参数和阶,从而便于工程师掌握和运用分数阶非线性时滞微分方程这一数学工具.１㊀分数阶时滞微分方程及其预估校正解法在分数阶微积分发展过程中,有很多种函数的分数阶微积分定义,广泛使用的有G r u n w a l d L e t n i k Ｇo v 分数阶微积分定义㊁R i e m a n n L i o u v i l l e 微积分定义和C a p u t o 分数阶微分定义.一般地,C a p u t o 分数阶导数由于具有更易于理解的物理特性而多用于实际建模中.定义１㊀(C a p u t o 分数阶导数)设α＞０,f (t )ɪC n ＋１([t ０,＋ɕ),R ),㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀Ct ０D αt[f (t )]＝１Γ(n －α)ʏt t ０f (n )(τ)(t －τ)α＋１－n d τ,(１)其中,Γ( )为G a m m a 函数,n 为满足n －１＜αɤn 的正整数.２３第２期王福昌,张丽娟,靳志同㊀分数阶非线性时滞微分方程参数和阶的估计方法１．１㊀分数阶时滞微分方程假设研究的分数阶系统为C ０Dαt y (t )＝f (t ,y (t ),y (t －τ);θ),０ɤt ɤT ,y (０)＝y ０,y (t )＝g (t ),t ɪ[－τ,０).ìîíïïïï(２)其中y (t )＝[y １(t ),y ２(t ), ,y m (t )]T 为待求的函数向量,θ＝[θ１,θ２, ,θs ]T为方程组(２)中的估计参数,０＜αɤ１为分数阶导数的阶数,这里的分数阶为C a pu t o 定义,τ＞０为延迟参数.问题(２)是一个时滞分数阶非线性常微分方程组初值问题,给定方程参数θ和阶α后,就可以讨论它的性质,计算出系统的解y (t)随时间t 的变化并绘图.１．２㊀预估校正解法问题(２)一般没有解析解,B h a l e k a r S 和D a f t a r d a r G e j ji V [７]根据D i e t h e l m K [８]提出的预估校正法而给出一种时滞情形下的预估校正法.考虑均匀分点网格{t n ＝nh |n ＝－k ,－k ＋１, ,－１,０,１, ,N },其中N ,k 满足h ＝T /N ,k ＝[τ/h ].如果τ是h 的整数倍,令y h (t j )＝g (t j ),j ＝－k ,－k ＋１, ,－１,０,则y h (t j －τ)＝y h (j h －k h )＝y h (t j－k ),j ＝０,１, ,N .假设已经计算得到近似值y h (t j )ʈy (t j ),(j ＝－k ,－k ＋１, ,－１,０,１, ,n ),下面要用公式(３)计算y h (t n ＋１),y (t n ＋１)＝g (０)＋１Γ(α)ʏt n ＋１０(t n ＋１－ξ)α－１f (ξ,y (ξ),y (ξ－τ);θ)d ξ.(３)由梯形积分公式,可得校正项公式为y h (t n ＋１)＝g (０)＋h αΓ(α＋２)f (t n ＋１,y h (t n ＋１),y h (t n ＋１－τ);θ)＋h αΓ(α＋２)ðnj ＝０αj ,n ＋１f (t j ,y h (t j ),y h (t j －τ);θ)＝g (０)＋h αΓ(α＋２)f (t n ＋１,y h (t n ＋１),y h (t n ＋１－k );θ)＋h αΓ(α＋２)ðnj ＝０αj ,n ＋１f (t j ,y h (t j ),y h (t j －k );θ),(４)其中αj ,n ＋１＝n α＋１－(n －α)(n ＋１)α,j ＝０,(n －j ＋２)α＋１＋(n －j )α＋１－２(n －j ＋１)α＋１,１ɤj ɤn ,１,j ＝n ＋１.ìîíïïï(５)由于公式(４)的两边都有y h (t n ＋１),很难求解,故校正项右边的y h (t n ＋１)可用预估项y p h (t n ＋１)代替y ph(t n ＋１)＝g (０)＋１Γ(α)ðnj ＝０b j ,n ＋１f (t j ,y h (t j ),y h (t j －τ);θ)＝g (０)＋１Γ(α)ðnj ＝０b j ,n ＋１f (t j ,y h (t j ),y h (t j －k );θ),(６)其中b j ,n ＋１＝h αα[(n －j ＋１)α－(n －j )α],０ɤj ɤn .(７)如果τ不是h 的整数倍,则可以用线性插值来计算y h (t j －τ),即㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀y h (t j －τ)＝y h (t j －k )＋t j －τ－t j－k t j －k ＋１－t j－k (y h (t j －k ＋１)－y h (t j－k )).(８)可以看出,该算法先计算出预测值y p h (t n ＋１),再代入f (t n ＋１,y p h (t n ＋１),y h (t n ＋１－τ);θ),得到校正值３３滨州学院学报第３４卷y h (t n ＋１),从而得到下一步迭代需要的f (t n ＋１,y h (t n ＋１),y h (t n ＋１－τ);θ),故该算法被称为预估校正法,也称作P E C E (P r e d i c tE v a l u a t e ,C o r r e c tE v a l u a t e)法.２㊀时滞分数阶系统参数及阶数估计２．１㊀建立优化目标函数在模型(２)中,假设α,τ和θ是待估的变量,α为待估的系统阶数,统一为待估向量x ＝[α,τ,θ１,θ２,,θs ]T ɪR s ＋２,观测时刻t １,t ２, ,t n 没有误差,y (０)＝y ０为精确值(否则还要估计这m 个初值),y １,y２, ,y n 为在时刻t １,t ２, ,t n 的观测值,含有观测误差;^y １(t １;^x ),^y ２(t ２;^x ), ,^yn (t n ;^x )为在时刻t １,t ２, ,t n ,初值为y (０)＝y ０和参数为^x 时由上面预估校正算法得到的预测值.于是方程参数和阶的估计转化为优化问题m i n x ɪRs ＋２J (x )＝ðni ＝１y i－^y i(t i;x ) ,(９)其中 为向量的范数,一般取２范数,即欧氏距离,对应参数x 的最小二乘解,具体可写为m i n x ɪRs ＋２ðni ＝１ðmj ＝１(y i j －^y i j (t i ;x ))２.(１０)如果观测数据受到污染,离群值较多,可以考虑较为稳健的最小一乘准则m i n x ɪRs ＋２ðn i ＝１ðmj ＝１|y i j －^y i j (t i ;x )|.(１１)在给定目标函数(９)后,就可以通过优化方法得到方程参数和阶的估计值.２．２㊀估计系统参数和阶的鸡群方法鸡群算法(C h i c k e nS w a r m O p t i m i z a t i o n ,简称C S O )是由M e n g 等[９]提出的一种基于鸡群搜索行为的群体智能优化算法,它模拟了鸡群等级制度和鸡群行为.整个鸡群分为若干子群,每一个子群都由一只公鸡㊁若干只母鸡和小鸡组成.不同鸡遵循不同的移动规律,在具体的等级制度下,子群之间存在竞争行为,它是一种收敛性好的全局优化算法[１０].算法如下.步骤１㊀参数设置.首先,设定鸡群算法参数:最大迭代次数M ,鸡群规模p o p ,解空间维数d i m ,鸡群角色更新次数G ,公鸡和母鸡占整个鸡群规模的比例r p e r c e n t 和h pe r c e n t ㊁可能生育过小鸡的母鸡比例m p e r c e n t .步骤２㊀鸡群初始化.令演化代数t ＝０,搜索参数空间下界设为l b ＝[a １,a ２, ,a s ＋２]T,上界设为u b ＝[b １,b ２, ,b s ＋２]T,在搜索空间中随机产生p o p 个鸡群粒子x i j (t )＝a j ＋r (b j －a j ),i ＝１,２, ,p o p ,j ＝１,２, ,s ＋２.(１２)步骤３㊀计算每个鸡群粒子的适应度函数.这里计算适应度函数就是计算目标函数值(１０)或(１１),越小越好.将最优适应度函数值及其位置放入公告板.步骤４㊀鸡群角色更新条件的判断.当m o d (t ,G )＝＝０ t ＝＝１时,执行步骤５,否则执行步骤６,其中t 为当前迭代次数.步骤５㊀角色分配.对整个鸡群的适应度函数值进行降序排列,依据适应度函数值对鸡群进行角色分配,总是选择适应度最优的前面p o p ˑr p e r c e n t 只鸡作为公鸡,将剩余的适应度次优的p o p ˑh pe r c e n t 只鸡作为母鸡,剩下的p o p －p o p ˑr p e r c e n t －p o p ˑh pe r c e n t 只鸡为小鸡.步骤６㊀公鸡个体位置更新.公式为x i j (t ＋１)＝x i j (t )ˑ(１＋r a n d n (０,σ２)),i ＝１,２, ,p o p ,j ＝１,２, ,s ＋２.(１３)其中σ２＝１,f i ɤf k ,e x p (f k －f i |f i |＋ε),fi ＞f k ,ìîíïïï４３第２期王福昌,张丽娟,靳志同㊀分数阶非线性时滞微分方程参数和阶的估计方法k ɪ[１,r N u m ],k ʂi 为正态分布的方差,ε为一个大于０的极小的数,fk 为不同于第i 只公鸡的其他任意一只公鸡的适应度函数值.步骤７㊀母鸡个体位置更新.公式为x i j (t ＋１)＝x i j (t )＋c １ˑr a n d ˑ(x r １j (t )－x i j (t ))＋c ２ˑr a n d ˑ(x r ２j (t )－x i j (t )),i ＝１,２, ,p o p ,j ＝１,２, ,s ＋２,(１４)其中c １＝e x p (f i －f r １|f i |＋ε),c ２＝e x p (f r ２－f i ),r a n d 为[０,１]之间的随机数,r １为第i 只母鸡所在群中的公鸡,r ２为从鸡群中随机选取的不同于第i 只母鸡的任一只鸡,且r １ʂr ２.步骤８㊀小鸡个体位置更新.公式为x i j (t ＋１)＝x i j (t )＋f l ˑ(x m j (t )－x i j (t )),i ＝１,２, ,p o p ,j ＝１,２, ,s ＋２,(１５)其中x m j (t )为第i 只小鸡妈妈的位置,f l ɪ(０,２)为小鸡跟随小鸡妈妈寻找食物的跟随系数.步骤９㊀计算鸡群最优值,更新公告板记录.步骤１０㊀不断重复执行步骤２~８,直到达到设定的最大迭代次数,输出最优值.３㊀数值试验为了检验算法的有效性,拟使用鸡群算法对时滞分数阶M a c k e y Gl a s s 方程进行研究.此方程最初是用于描述白细胞繁殖的模型,后来成为混沌理论中超混沌系统的典型代表,闵涛等[１１]给出了M a c k e yG l a s s 方程参数反演的差分演化算法,刘福才等[５]给出了分数阶M a c k e y Gl a s s 方程的改进差分演化算法.３．１㊀时滞分数阶M a c k e y Gl a s s 混沌系统C ０D αt y (t )＝－θ１y (t )－θ２y (t －τ)１＋y θ３(t －τ),y (t )＝y０,t ɤ０.ìîíïïï(１６)其中y (t )代表循环白细胞的浓度,θ１,θ２,θ３是参数,τ为时滞参数,y ０为初始值.若令分数阶α＝０．９,参数θ１＝１,θ２＝２,θ３＝１０,时滞参数τ＝５,步长取为h ＝０．１.利用前面程序即可绘制分数阶时滞微分方程C０D ０．９t y (t )＝－２y (t －５)１＋y (t －５)１０－y (t ),y (t )＝０．６,t ɤ０{在[０,１００]上数值解并绘制数值解的图形,见图１.图１㊀时滞分数阶M a c k e yＧG l a s s 混沌系统３．２㊀参数和阶估计的数值结果假设分数阶α＝０．９,参数θ１＝１,θ２＝２,θ３＝１０,时滞参数τ＝５,步长取为h ＝０．１,时间区间取为[０,２０],把用预估校正法计算得到的(t i ,y i )(i ＝１,２, ,２００)作为观测值(见图１),下面以这些观测值为基础反演真实参数.参数搜索范围为０．８ɤαɤ１,４ɤτɤ６,０ɤθ１ɤ２,１ɤθ２ɤ３,９ɤθ３ɤ１１,由这５３滨州学院学报第３４卷些参数确定鸡群算法中搜索空间的上界l b ＝[０．８,４,０,１,９]和下界u b ＝[１,６,２,３,１１].鸡群算法的其他参数设置为种群规模p o p ＝２０,最大迭代次数M ＝１００,解空间维数d i m ＝５,鸡群角色更新次数G ＝５,公鸡占整个鸡群规模的比例r p e r c e n t ＝０．１５,母鸡占整个鸡群规模的比例h p e r c e n t ＝０．７,可能生育过小鸡的母鸡占母鸡规模的比例m p e r c e n t ＝０．５.图２㊀最优公鸡对应函数值随迭代次数的变化笔者做了很多次试验,其中一次的运行结果为:目标函数值(１０)的值为０．０００１４８１,分数阶^α＝０．８９７０,参数^θ１＝０．９９８０,^θ２＝２．００３３,^θ３＝９．９３０２,时滞参数^τ＝５．００１２.图２给出了最优的公鸡对应目标函数值随迭代次数增加的变化情况,横轴表示迭代次数,对数坐标纵轴表示目标函数值.当然,由于鸡群算法具有随机性,不是每次都能找到理想的估计.如果最优化目标函数值(１０)的值小于０．０１,则认为算法成功地找到了参数和阶的估计值.定义成功率(S u c c e s sR a t i o )S R ＝成功次数试验次数,随机模拟１０次,得到的成功率为０．９,平均运行时间为２０１．３s.４㊀结论在分数阶方程的应用问题中,由部分观测数据反演方程参数和阶的反问题具有重要的实际意义,但由于其理论和计算的复杂性,以往研究文献较少.本文针对一类常见的分数阶非线性时滞常微分方程组初值问题,给出其参数和分数阶估计的鸡群算法求解方法.通过数值模拟发现,该方法可以较好地估计出方程的参数和阶数,为使用分数阶微分方程组解决实际问题提供一种参考.在计算中,可先用鸡群算法得到一个粗略的近似解,作为初始值再使用N e l d e r M e a d 单纯形算法求解往往能得到更加精确的结果[１２].由于分数阶的非局部性,当变化范围增大时电脑的计算时间会增加较快,需要改用其他计算方法提高计算速度.虽然吴定会等证明了鸡群算法收敛性[１０],但是在实践中也未必能绝对保证找到最优解,该法对搜索的范围也有一定依赖性,需要结合具体问题进行分析,给出参数尽量窄小的搜索范围,以便尽快找到符合实际意义的解.参㊀考㊀文㊀献:[１]㊀R a h i m y M．A p p l i c a t i o n so ff r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s [J ]．A p p l i e d M a t h e m a t i c a lS c i e n c e ,２０１０,４(５０):２４５３２４６１．[２]㊀W a n g Z ,H u a n g X ,S h iG D．A n a l y s i s o f n o n l i n e a rd y n a m i c s a n dc h a o s i n f r a c t i o n a l o r d e r f i n a n c i a l s y s t e m w i t h t i m e d e l a y [J ]．C o m p u t e r s a n d M a t h e m a t i c sw i t hA p pl i c a t i o n ,２０１１,６２:１５３１１５３９．[３]㊀Y a nY ,K o uC ．S t a b i l i t y a n a l ys i s f o r a f r a c t i o n a l d i f f e r e n t i a lm o d e l o fH I Vi n f e c t i o no fC D ４＋T Ｇc e l l sw i t h t i m e d e l a y [J ]．M a t h e m a t i c s a n dC o m p u t e r s i nS i m u l a t i o n ,２０１２,８２(９):１５７２１５８５．[４]㊀Z h u W ,F a n g J ,T a n g Y ,e t a l ．I d e n t i f i c a t i o no f f r a c t i o n a l Ｇo r d e r s y s t e m s v i a a s w i t c h i n g d i f f e r e n t i a l e v o l u t i o n s u b j e c t t on o i s e p e r t u r b a t i o n s [J ]．P h y s i c sL e t t e r sA ,２０１２,３７６(４５):３１１３３１２０．[５]㊀L i uF ,L iX ,L i uX ,e t a l ．P a r a m e t e r i d e n t i f i c a t i o no f f r a c t i o n a l Ｇo r d e r c h a o t i c s y s t e m w i t h t i m e d e l a yv i am u l t i Ｇs e l e c t i o nd i f f e r e n t i a l e v o l u t i o n [J ]．S y s t e mS c i e n c e&C o n t r o l E n g i n e e r i n g ,２０１７,５(１):４２４８．[６]㊀G u WJ ,Y uY G ,H u W．A r t i f i c i a l b e e c o l o n y a l g o r i t h m Ｇb a s e d p a r a m e t e r e s t i m a t i o no f f r a c t i o n a l Ｇo r d e r c h a o t i c s y s t e m w i t h t i m e d e l a y[J ]．I E E E /C A AJ o u r n a l o fA u t o m a t i c a S i n i c a ,２０１７,４(１):１０７６３第２期王福昌,张丽娟,靳志同㊀分数阶非线性时滞微分方程参数和阶的估计方法１１３．[７]㊀B h a l e k a r S,D a f t a r d a rＧG e j j iV．A p r e d i c t o rＧc o r r e c t o r s c h e m e f o r s o l v i n g n o n l i n e a r d e l a y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s of f r a c t i o n a l o r d e r[J]．J o u r n a l o f F r a c t i o n a l C a l c u l u s a n dA p p l i c a t i o n s,２０１１,１(５):１９．[８]㊀D i e t h e l m K．E f f i c i e n t s o l u t i o no fm u l t iＧt e r mf r a c t i o n a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s u s i ng P(E C)m E m e t hＧo d s[J]．C o m p u t i n g,２００３,７１(４):３０５３１９．[９]㊀M e n g X,L i uY,G a oX,e t a l．A n e wb i oＧi n s p i r e da l g o r i t h m:c h i c k e ns w a r mo p t i m i z a t i o n[C]//５t hI n t e r n a t i o n a l C o n f e r e n c e o nS w a r mI n t e l l i g e n c e．H e f e i:S p r i n g e r I n t e r n a t i o n a l P u b l i s h i n g,２０１４:７４８５．[１０]㊀吴定会,孔飞,纪志成．鸡群算法的收敛性分析[J]．中南大学学报:自然科学版,２０１７,４８(８):２１０５２１１２．[１１]㊀闵涛,孙瑶,邱李祯．M a c k e yＧG l a s s方程参数反演的微分进化算法其灵敏度分析[J]．数学杂志,２０１６,３６(４):７７５７８１．[１２]㊀W a n g L,X uY,L i LP．P a r a m e t e r i d e n t i f i c a t i o n o f c h a o t i c s y s t e m s b y h y b r i dN e l d e rＧM e a d s i m p l e x s e a r c ha n dd i f f e r e n t i a l e v o l u t i o na l g o r i t h m[J]．E x p e r tS y s t e m sw i t h A p p l i c a t i o n s,２０１１,３８(４):３２３８３２４５．P a r a m e t e r s a n dO r d e rE s t i m a t i o n M e t h o d s o f F r a c t i o n a lN o n l i n e a rD e l a y D i f f e r e n t i a l E q u a t i o nWA N GF uＧc h a n g,Z H A N GL iＧj u a n,J I NZ h iＧt o n g(D e p a r t m e n t o f B a s i cC o u r s e s,I n s t i t u t e o f D i s a s t e rP r e v e n t i o n,L a n g f a n g０６５２０１,C h i n a)A b s t r a c t:F r a c t i o n a lＧo r d e r d e l a y n o n l i n e a r d y n a m i c s s y s t e mi s u s e dm o r e a n dm o r ew i d e l y i ns c i e n c e a n d e n g i n e e r i n g．B a s e do n p a r t i a l o b s e r v e dd a t a,f i t t i n g t h e p a r a m e t e r s a n do r d e r p l a y s a n i m p o r t a n t r o l e i n p r a c t i c a l p r o b l e m．G i v e n t h e g u e s s v a l u e s o f p a r a m e t e r s a n do r d e r,t h e p r e d i c t i o nv a l u e s o f d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s s o l u t i o n s c a nb e c o m p u t e db y t h e p r e d i c t o rＧc o r r e c t o r s c h e m e a l g o r i t h m,a n d t h eo p t i m i z a t i o n o b j e c t i v e f u n c t i o nw i l l b e c o n s t r u c t e d b y u s i n g d i f f e r e n c e b e t w e e n o b s e r v e d d a t a a n d p r e d i c t i o n v a l u e s．S o t h e o p t i m a l p a r a m e t e r s a n do r d e r a r e s e a r c h e db y c h i c k e ns w a r mo p t i m i z a t i o nm e t h o d．F i n a l l y,b y c o mＧp u t e r s i m u l a t i o n,t h e a l g o r i t h mi s p r o v e dv a l i d．K e y w o r d s:f r a c t i o n a lＧo r d e r;n o n l i n e a r d e l a y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n;p a r a m e t e re s t i m a t i o n;c h i c k e n s w a r mo p t i m i z a t i o na l g o r i t h m(责任编辑:贾晶晶)７３。

非线性方程的求解方法非线性方程是数学中的基本概念，对于许多科学领域而言，非线性方程的求解具有重要的意义。

然而，与线性方程相比，非线性方程的求解方法较为复杂，因此需要掌握一些有效的解法。

本文将介绍几种非线性方程的求解方法。

一、牛顿迭代法牛顿迭代法也叫牛顿-拉夫逊迭代法，是一种求解非线性方程的有效方法。

该方法的基本思路是，选择一个初始值，通过迭代计算不断逼近非线性方程的根。

牛顿迭代法的公式为：$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$其中，$f(x)$表示非线性方程，$f'(x)$表示$ f(x) $的一阶导数。

牛顿迭代法的优点在于速度快，迭代次数少，但其局限性在于收敛性受初始点选取的影响较大。

二、割线法割线法（Secant method）也是一种求解非线性方程的有效方法。

与牛顿迭代法不同，割线法使用的是两个初始值，并根据两点间的连线与$ x $轴的交点来作为新的近似根。

割线法的公式为：$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)(x_n-x_{n-1})}{f(x_n)-f(x_{n-1})}$$割线法的优势是不需要求解导数，但其缺点在于需要两次迭代才能得到下一个近似根，因此计算量较大。

三、二分法二分法（Bisection method）是求解非线性方程的另一种有效方法。

该方法的基本思路是找到非线性方程的一个区间，使函数值在该区间内的符号相反，然后通过逐步缩小区间，在区间内不断逼近非线性方程的根。

二分法的公式为：$$x_{n+1}=\frac{x_n+x_{n-1}}{2}$$其中，$x_n$和$x_{n-1}$是区间的端点。

二分法的优点在于收敛性稳定，但其缺点在于迭代次数较多，因此计算量也较大。

四、弦截法弦截法（Regula Falsi method）也是一种求解非线性方程的有效方法。

它和二分法类似，都是通过缩小根所在的区间来逼近根。

不同之处在于，弦截法不是以区间中点为迭代点，而是以区间两个端点之间的连线与$ x $轴的交点为迭代点。

非线性偏微分方程数值解法非线性偏微分方程是研究自然界中许多现象的重要数学模型，其解析解往往难以获得。

因此，数值解法成为解决非线性偏微分方程问题的一种有效手段。

本文将介绍几种常用的非线性偏微分方程的数值解法。

一、有限差分法有限差分法是求解偏微分方程的一种常见数值方法。

其核心思想是将求解区域离散化为有限个网格点，并利用中心差分公式来近似替代微分运算。

对于非线性偏微分方程，可以采用迭代的方法进行求解。

具体步骤如下：1. 将求解区域离散化为有限个网格点，确定网格的步长。

2. 利用中心差分公式将偏微分方程离散化为差分方程。

3. 将差分方程转化为非线性代数方程组，采用迭代方法求解。

二、有限元法有限元法是求解偏微分方程的一种重要数值方法。

其核心思想是将求解区域划分为无重叠的小单元，通过在每个单元内构造适当的试探函数和加权函数，将问题转化为求解代数方程组。

对于非线性偏微分方程，可以采用Newton-Raphson迭代方法进行求解。

具体步骤如下：1. 将求解区域进行网格剖分，确定单元的形状和大小。

2. 构造试探函数和加权函数，并利用加权残差法将偏微分方程离散化为代数方程组。

3. 对于非线性方程组，采用Newton-Raphson迭代方法求解。

三、有限体积法有限体积法是求解偏微分方程的一种常用数值方法。

其核心思想是将求解区域划分为有限个体积单元，通过对单元内偏微分方程进行积分，将方程转化为守恒形式。

对于非线性偏微分方程，可以采用显式或隐式方法进行求解。

具体步骤如下：1. 将求解区域进行网格剖分，确定体积单元的大小和形状。

2. 对体积单元内的偏微分方程进行积分，建立守恒形式的方程。

3. 将方程离散化为代数方程组，采用显式或隐式方法进行时间步进求解。

四、谱方法谱方法是求解偏微分方程的一种高效数值方法。

其核心思想是采用特定的基函数展开待求解的函数，通过选取合适的基函数，可以有效地提高求解效率。

对于非线性偏微分方程，可以采用谱方法进行求解。

一般非线性微分方程的解法及应用非线性微分方程（Nonlinear Differential Equations）是微积分中的重要课题。

与线性微分方程不同，非线性微分方程由于其非线性性质，无法被直接解出。

在此篇文章中，我们将会讨论一般非线性微分方程的解法和应用。

一、解法1.变系数法变系数法（变参法）是一种基于给出非线性微分方程（NDE）通解，并利用边界条件解出一般解的方法。

现在，我们尝试用变系数法解决以y为未知函数y''+p(x)y'+q(x)y=g(x)的非线性微分方程。

步骤如下：(1) 先解出对应的线性齐次方程y''+p(x)y'+q(x)y=0的通解，例如:$$y=c_1y_1+c_2y_2$$（其中c1和c2是常数，y1和y2是两个线性无关的特解）(2) 在此基础上拟定向非线性微分方程g(x)所对应的一个特解y0(x)，(3) 将此特解代入非齐次微分方程中，得到特殊解y(x)，即为非线性微分方程的解。

例如：设通解为y=c1y1+c2y2, 特解为y0,带入方程得到:y'' + p(x)y'+ q(x)y = g(x)y0'' + p(x)y0' + q(x)y0 = g(x) - y1''-p(x)y1'-q(x)y1由于y1是齐次方程的解，所以原方程可以化为齐次的：y'' + p(x)y' + q(x)y = 0利用常数变易法，可将y0解出。

则该微分方程的最终通解为y=c1y1+c2y2+y02. 可积的非线性微分方程可积的非线性微分方程是一种特殊的非线性微分方程，可以通过直接积分或某些变换使其解出。

例如：y'+a(x)y+b(x)y^3=0若a(x)和b(x)是连续的函数，则该微分方程为可积的。

可将该方程变形为1/2d/dx(y^2)+a(x)y^2=0则原微分方程的解为：$$y(x)=\sqrt{\frac{-2\int a(x)dx+c}{b(x)}}$$（其中c是常数，与初始条件有关）3.级数法级数法（常微分方程级数解）是利用幂级数解法求解非线性微分方程的方法。

非线性方程和常微分方程的解法非线性方程和常微分方程的解法实验8 非线性方程和常微分方程的解法一、实验目的学会用MATLAB软件求解非线性方程和常微分方程。

二、实验内容与要求1. 非线性方程的整值解（1）最小二乘法格式：fsolve（’fun’,x0）%求方程fun=0在估计值x附近的近似解。

[例1.72] 求方程x e 0的解。

fc=inline(‘x-exp(-x)’);xl=fsolve(fc,0)xl=0.5671问题1.28：求解方程5xsinx-e 0,观察知有多解，如何求之？先用命令fplot（’5__^2*sin(x)-exp(-x),0]’,[0,10]）作图1.13，注意5__^2*sin(x)-exp(-x),0]中的“[ ，0]”是作y=0直线，即x轴。

方程在[0，10]区间从图中可看出有4个解，分别在0，3，6，9附近，所以用命令：fun=inline(’5__^2*sin(x)-exp(-x)’);fsolve(fun,[0,3,6,9],le-6)得出结果：ans=0.5918 3.1407 6.2832 9.4248【例1.73】求解方程组x-0.7sinx-0.2cosy=0 2-x-xy 0.7cosx 0.2siny 0先编制函数文件fu.m:function y=fu (x)y (1)=x (1) - 0.7*sin ( x (1) ) - 0.2*cos( x (2) ) ;y (2)=x (1) - 0.7*cos (x (1) ) + 0.2*sin (x (2) );y =[ y(1), y(2) ];在命令窗口调用fu运算：x1 =fsolve( ‘fu’, [0.5,0.5 ])x1 =0.5265 0.5079(2) 零点法格式：fzero('fun',x0) %求函数fun在x0附近的零点。

说明：估计值x0若为标量时，则在x0附近查找零点，x0=[x1,x2]向量时，则首先要求函数值fun(x1)fun(x2) 0，然后将严格在[x1,x2]区间内零点，若找不到，系统将给出提示。

文章编号:1000-0887(2000)12-1285-08获得非线性微分方程显式解析解的两种新算法Ξ张鸿庆,　闫振亚(大连理工大学应用数学系,大连116024)(我刊编委张鸿庆来稿)摘要:　基于AC =BD 的思想来求解非线性微分方程(组)・　设A u =0为给定的待求解的方程,D v=0是容易求解的方程・　如果可以获得变换u =C v 使得v 满足D v =0,则能够得到A u =0的解・　为了说明该种途径,本文举例给出几种变换C 的表达式・　关　键　词:　非线性微分方程;　变换;　算法;　解析解中图分类号:　O175129 文献标识码:　A引 言几百年以来,构造微分方程的解析解是既重要又困难的课题,许多数学家及理论物理学家做了大量的工作[1～5],但仍有许多重要的具有实际意义的微分方程(组)无法求出其显式解析解或求出很少的解・　即使已求出一些解,也是对不同的方程各有各的途径,没有统一的模式・　随着计算机工具的迅速发展,大量的复杂的计算可以在计算机上实现・　我们的目的是给出一大类问题的统一的模式,并且借助于计算机获得方程的解析解・　1　AC =BD 思想及定理令A u =0为待求的方程(组),D v =0为容易解的方程(组),寻求变换u =C v ,使得v 满足D v =0・　A 和D 可以有如下不同的表达式[6] A D任意微分方程组具有对角形式的微分方程组非线性微分方程线性微分方程变系数微分方程常系数微分方程高阶微分方程低阶微分方程微分方程代数方程5821　应用数学和力学,第21卷第12期(2000年12月) Applied Mathematics and Mechanics 应用数学和力学编委会编重庆出版社出版Ξ收稿日期:　2000-01-14;修订日期:　2000-08-21基金项目:　国家重点基础研究发展规划基金资助项目(G 1998030600);教育部博士点基金资助项目(98014119)作者简介:　张鸿庆(1936—),男,黑龙江人,教授,博士生导师.不可分离变量微分方程可分离变量微分方程不会求解的方程会求解的方程或具有重要性的方程现在的问题是如何构造变换u =C v ,将待求解的方程A u =0约化为求解方程D v =0・　设X 是线性空间,A 、B 、C 、D 是从X 到X 的算子,对任意v ∈X ,定义: AC (v )=A (C v ),BD v =B (D v )・　如果对Πv ∈X ,AC v =BD v ,则称AC =BD ・　令K er A =u |A u =0,K er D =v |D v =0,若C K er D <K er A ,则对DV =0的任意解v ,若u =C v ,则A u =0・　若C K er D =K er A ,则对A u =0的任意解u ,必有v ∈K er A ,使得u =C v ・　如果C K er D <K er A 和C K er D =K er A 同时成立,则C K er D =K er A ,这时称方程A u =0的一般解为u =C v ,其中v 满足D v =0・　也称在变换u =C v 下,方程A u =0和D v =0・　定理1　设X 是线性空间,A 、B 、C 、D 是从X 到X 的算子,如果AC =BD ,B0=0,C K er D =K er A ,则A u =0的一般解为u =C v ,且v 满足D v =0・　证明　对Πv ∈K er D ,令u =C v ,则A u =AC v =BD v =B0=0,因此C K er D <K er A ,又由假设C K er D =K er A ・　从而C K er D =K er A ・　定理得证・　推论1　若X 是线性空间且C K er D =K er A ,则A u =0的一般解可以用u n =C v n 逼近,其中v n 满足D v n =0・　推论2　若A 、B 、C 、D 是线性算子,f ∈X ,AC =BD ,C K er D =K er A ,则A u =f 的一般解为u =C v +e ,其中v 满足D v =g ,e 和g 满足A e +B g =f ・　证明　如果存在从X 到X 的算子M 、N 和E 使得AM +BN =E ,则e =M <和g =N <满足方程A e +B g =f ・　其中<满足方程E <=f ・　根据以上定理,问题转化为求算子B ,C 和D 满足1)AC =BD ,2)C K er D =K er A ・　为了解决这两个问题我们发展了一系列的算法[6～17]・　例1　势Burgers 方程 A u =5t +12(5x )2-λ5xx u =0・　(1)基于AC =BD 的思想,我们取 u =C v =-2λln v ,B v =-2λv,D v =v t -λv xx =0・　(2)很显然可以证明AC v =B v D v ,并且还可以证明C K er D =K er A ・　因此说A u =0的解析解可以表示为u =C v ,D v =0・　下面我们将基于AC =BD 的思想给出其它新的算法,对于给定的非线性偏微分方程(组),不妨仅考虑两个变量x ,t A u =A (u ,u t ,u x ,u xt ,u xx ,u tt ,…)=0,(3)下面给出两种不同的算法,并将其应用到具体的数学物理方程中・　2　算法1及浅水波近似方程算法1　我们寻求具有重要意义的如下形式的行波解6821张 鸿 庆 闫 振 亚 u (x ,t )=u (ξ),ξ=x -λt +c ・　(4)其中λ为待定的常数,c 为任意的常数・　则方程(3)约化为非线性常微分方程 F (u ,u ′,u ″,u ,u ″,…)=0・　(5)为了寻求(5)的解析解,我们做如下的变换 u =C v =∑ni =1vi -1[P i v +Q iμ1(1+μ2v 2)]+P 0,(6)且新的变量v =v (ξ)满足 D v =d v/d ξ-R (1+μ2v 2)=0・　(7)其中P i ,Q i (i =1,2,…),R ,P 0为待定的常数・　μj =±1,j =1,2・　存在下面的步骤须做进一步的讨论:步骤1　通过平衡方程(5)中最高阶线性项和非线性项,很容易得到(6)中n 的值・　步骤2　借助于MATHE MATIC A ,将(6)和(7)代入(5),可得关于v i (μ1+μ1μ2v 2)j/2(j =0,1;i =0,1,2,…)的方程(组)・　步骤3　令所获得的方程(组)中v i (μ1+μ1μ2v 2)j/2(j =0,1;i =0,1,2,…)的系数为零,得到一个关于未知变量λ,R ,P 0,P i ,Q i (i =1,2,…)的超定的非线性代数方程组・　步骤4　借助于MATHE MATIC A ,利用吴消元法[18,19]解上述方程组,可得到λ,R ,P 0,P i ,Q i (i =1,2,…)的值・　步骤5　已知(7)的通解为 v (ξ)=tanh (R ξ),v (ξ)=coth (R ξ), (μ=-1);(8) v (ξ)=tan (R ξ),v (ξ)=cot (R ξ), (μ=1)・　(9)因此由(4)、(6)、(8)、(9)及步骤5中得到的结果,可得到(3)的若干解析解・　下面将该算法应用到具体的例子中・　例2　浅水波近似方程 u t -uu x -H x +12u xx=0,(10a ) H t -(Hu )x-12H xx=0・　(10b )根据算法1,首先做如下形式的行波变换 u (x ,t )=u (ξ),H (x ,t )=H (ξ),ξ=x -λt +c ・　(11)其中λ为待定的常数,c 是任意的常数・　将(11)代入(10a )和(10b ),可得 -λu ′-uu ′-H ′+12u ″=0,(12a ) λH ′-(Hu )′-12H ″=0・　(12b )根据步骤1,令(12a )和(12b )有如下形式的解析解 u =P 0+P 1v +Q 1μ1(1+μ2v 2),(13a ) H =a 0+a 1v +b 1μ1(1+μ2v 2)+a 2v 2+b 2v μ1(1+μ2v 2)・　(13b )根据步骤2～4,我们可获得变量λ、P 0、P 1、Q 1、a 0、a 1、a 2、b 1、b 2、R 的值,即情况1　μ1=±1,μ2=-1,a 1=b 1=b 2=Q 1=0,P 1=±2R ,p 0=λ,a 2=-2R 2,a 0=2R 2・　7821获得非线性微分方程显式解析解的两种新算法8821张 鸿 庆 闫 振 亚情况2　μ1=1,μ2=-1,a1=b1=b2=P1=0,Q1=±2R i,p0=λ,a2=-2R2,a0 =R2,i=-1・　情况3　μ1=μ2=-1,a1=b1=b2=P1=0,Q1=±2R,p0=λ,a2=-2R2,a0= R2・　情况4　μ1=μ2=1,a1=b1=b2=Q1=0,P1=±2R,p0=λ,a2=-2R2,a0=-2R2・　情况5　μ1=1,μ2=-1,a1=b1=b2=P1=0,Q1=±2R,p0=λ,a2=-2R2,a0=-R2・　情况6　μ1=1,μ2=-1,a1=b1=0,P1=±R,Q1=±R i,p0=λ,a2=-R2,b2=±a2i,a0=R2・　情况7　μ1=μ2=-1,a1=b1=0,P21=Q21=R2,p0=λ,a2=-R2,b2=±R2,a0= R2・　情况8　μ1=μ2=1,a1=b1=0,P1=±R,Q1=±R,p0=λ,a2=-R2,b2=±R2, a0=-R2・　因此由步骤5,可得到浅水波近似方程(10)的如下12种精确解析解u1=λ±2R tanh[R(x-λt+c)],H1=2R2-2R2tanh2[R(x-λt+c)],u2=λ±2R i sech[R(x-λt+c)],H2=2R2sech2[R(x-λt+c)]-R2,u3=λ±2R coth[R(x-λt+c)],H3=-2R2csch2[R(x-λt+c)],u4=λ±2R csch[R(x-λt+c)],H4=-2R2csch2[R(x-λt+c)]-R2,u5=λ±2R tan[R(x-λt+c)],H5=-2R2sec2[R(x-λt+c)],u6=λ±2R cot[R(x-λt+c)],H6=-2R2csc2[R(x-λt+c)],u7=λ±2R sec[R(x-λt+c)],H7=-2R2sec2[R(x-λt+c)],u8=λ±2R csc[R(x-λt+c)],H8=-2R2csc2[R(x-λt+c)]+R2,u9=λ±2R tanh[R(x-λt+c)]±i R sech[R(x-λt+c)],H9=R2sech2[R(x-λt+c)]±i R2tanh[R(x-λt+c)]sech[R(x-λt+c)],u10=λ±R coth[R(x-λt+c)]±R csch[R(x-λt+c)],H10=R2csch2[R(x-λt+c)]±R2coth[R(x-λt+c)]csch[R(x-λt+c)],u11=λ±R tan[R(x-λt+c)]±R sec[R(x-λt+c)],H11=R2sec2[R(x-λt+c)]±R2tan[R(x-λt+c)]sec[R(x-λt+c)],u12=λ±R cot[R(x-λt+c)]±R csc[R(x-λt+c)],H12=-R2csc2[R(x-λt+c)]±R2cot[R(x-λt+c)]csc[R(x-λt+c)],其中包括具有重要物理意义新的孤子解・　3　算法2及非均匀谱变系数K dV方程算法2　对于给定的方程(3),首先引入新的变量,如<,则(3)或许变成含有更多方程的如下方程组 F i(u,<,u t,<t,u x,<x,u xx,<xx,…)=0 (i=1,2,3,…)・　(14)且设(14)中的解u 都为(3)的解・　如果我们能给出如下的变换 u n +1=C 1(u n ,<n ),(15a ) <n +1=C 2(u n ,<n ),(15b )其中(u n ,<n )满足(14)・　且若可以证明(u n +1,<n +1)也满足(14),则根据变换(15)可一步一步地得到(3)的一系列解析解・　例3　非均匀谱变系数K dV 方程 u t +k 1(u xxx +6uu x )+(4k 2-xk 3)u x -2k 3u =0,(16)其中k 1=k 1(t ),k 2=k 2(t ),k 3=k 3(t )为t 的任意的函数・　许多著名的方程,如K dV 方程及柱-K dV 方程[1,4]都为(16)的特例・　通过引入新的变量<,则(16)扩展为如下的方程组 <x =λ-u -<2,(17a ) <t =[xk 3-4k 2-2k 1(u +2λ)]<x +(k 3-2k 1u x )<+k 1u xx ,(17b )且谱变量λ满足 λt -2k 3λ=0,i.e ,λ=exp∫2k 3(t )d t ・　(18)很显然(17a )和(17b )的相容条件<xt =<tx 恰是(16),因此说如果(u ,<)为(17a )和(17b )的解,则u 一定为(16)的解・　事实上,(17)为(16)的Riccati 形式的Lax 对・　下面我们主要考虑(17)・　定理2　令M n (x ,t )=[4k 2+2k 1(u n +2λ)-xk 3]<n -k 1u nx +12k 3+55t∫<nd x,(19)N n (x ,t )=[4k 2+2k 1(u n +2λ)-xk 3]exp -2∫<n d x + 2M n(x ,t )∫exp -2∫<nd x d x +55t ∫exp -2∫<nd x d x ・　(20)W n(x ,t )=∫exp -2∫<nd x d x +exp -2∫M nd t c 0-∫N nexp 2∫M d td t ,(21)u n +1=u n -2<n ,x -2(ln W n (x ,t ))xx,(22a )<n +1=-<n -(ln W n (x ,t ))x (i =1,2,3,…),(22b )其中c 0为常数・　如果(u n ,<n ),满足(17),则(u n +1,<n +1)也一定满足(17)・　证明　直接计算可知(ln W n )x=exp -2∫<n d x W -1n ,(23)(ln W n )xx=-2<n exp -2∫<n d x W -1n -exp -4∫<n d x W -2n ・　(24)将(23)和(24)代入(22),(u n ,<n )满足(17),即<n ,x =λ-u n -<2n ,(25a )<n ,t =[xk 3-4k 2-2k 1(u n +2λ)]<n ,x +(k 3-2k 1u n ,x )<n +k 1u n ,xx ・　(25b )可证(u n +1,<n+1)满足(17a ),即<n +1,x =λ-u n +1-<2n +1,(26)从(25a )和(26),得u n =u n +1+2<n +1,x =u n +1+2(λ-u n +1-<2n +1)=2λ-u n +1-2<2n +1,(27)9821获得非线性微分方程显式解析解的两种新算法u n ,x =-u n +1,x -4<n +1<n +1,x =-u n +1,x -4<n +1(λ-u n +1-<2n +1),(28)u n ,xx =-u n+1,xx -4(λ-u n +1-<2n +1)+4<n+1u n +1,x +8<2n +1(λ-u n +1-<2n +1)・　(29)又从(22b ),可得<n +1,t =-k 1u n ,xx +(k 3-2k 1u x )<n +1+[4k 2+2k 1(u n +2λ)-xk 3]<n +1,x ・　(30)将(27)～(29)代入(30),可得(u n +1,<n+1)满足<n +1,t =[xk 3-4k 2-2k 1(u n +1+2λ)]<n +1,x +(k 3-2k 1u n +1,x )<n +1+k 1u n +1,xx ・　(31)因此定理得证・　下面应用该定理来考虑(16)的显式解析解・　情况1　取(17)的特解u 1=λ,<1=0,得∫<1d x =g (t ),∫exp -2∫<1d x d x =exp [-2g (t )]x +f (t )・　(32)其中g (t ),f (t )为t 的积分函数・　因此有M 1=g t +12k 3,(33)N 1=f t +2f g t +f k 3+(6λk 1+4k 3)exp (-2g ),(34)W 1(x ,t )=exp (-2g )x +f +exp -g -12∫k 3(t )d t β0- ∫β1(t )exp g +12∫k 3(t)d t d t ・　(35)由得到的变换(22),可推得(17)的另一有理形式的解析解u 2=λ-2exp (-4g )exp (-2g )x +f + exp -g -12∫k 3(t )d tc 0-∫N 1expg +12∫k 3(t )d t d t-2,(36)<2=exp (-2g )exp (-2g )x +f + exp -g -12∫k 3(t )d t c 0-∫N 1exp g +12∫k 3(t )d t d t-1・　(37)情况2　再取(17)的另一特解为u 1(x ,t )=λ-μexp∫k 3d t,<1=μexp ∫k 3d t ,(38)其中μ≠0・　由(38)可得∫<1d x =μexp ∫k 3d t x +h 1(t ),∫exp -2∫<1d x d x =-12μexp -2μx e ∫k 3d t-∫k 3d t -2h 1(t )+h 2(t ),其中h 1(t ),h 2(t )为积分函数・　因此可得W 1(x ,t )=-12μexp -2μx e ∫k 3d t-∫k 3d t -2h 1(t )+h 2(t )+c 0exp -2∫M 1d t ・　由得到的变换(22),可推得(17)的另一解u 2(x ,t )=λ-μexp∫k 3d t-2(W 1xx W 1-W 21x )W 21,<2(x ,t )=-μexp ∫k 3d t -W 1xW 1・　其实,u 2(x ,t )为方程(1)的类孤子解・　有进一步的情况分析如下0921张 鸿 庆 闫 振 亚情况2a 当sgn (μ)=-sgn h 2(t )+c 0exp -2∫M 1d t 时,我们可得到方程(1)的钟状类孤子解 u 21(x ,t )=λ-μexp∫k 3d t -2μ2exp 2∫k 3d t ×sech 2-μx e ∫k 3d t-12∫k 3d t -h 1(t )-ln -2μh 2(t )-2μc 0exp -2∫M 1d t・　情况2b 当sgn (μ)=sgn h 2(t )+c 0exp -2∫M 1d t 时,我们可得到方程(1)的奇性类孤子解 u 22(x ,t )=λ-μexp∫k 3d t -2μ2exp 2∫k 3d t ×csch 2-μx e ∫k 3d t-12∫k 3d t -h 1(t )-ln -2μh 2(t )-2μc 0exp -2∫M 1d t・　根据同样的步骤,我们可以一步一步地推得(16)的一系列解析解・　在求解过程中只须做积分和微分运算就可以・　4　结 论总之,我们基于AC =BD 的思想,获得了很多的算法来求解微分方程,并将这些算法应用于具体的具有实际意义的数学物理方程,如Burgers 方程,浅水波近似方程及变系数K dV 方程・　推得了许多有意义的解析解・　此外,借助于吴消元法及数学软件,如Mathematica ,Maple ,该途径可以在com puter 上实现・　[参　考　文　献][1]　Ablowitz M J ,Clarkson P A.Soliton Nonli nea r Evolution Equations a nd Inverse Scatti ng [M ].New Y ork :Cambridge University Press ,1991.[2]　Olver P J.Applications of Lie Groups to Differential Equatons [M ].New Y ork :Springer-Verlag ,1986.[3]　Bluman G W ,Kumei S.Sym metries a nd Differential Equations [M ].New Y ork :Springer-Verlag ,1989.[4]　Gu C H ,Li Y S ,Guo B L ,et al.Soliton Theory a nd Its Application [M ].Berlin :Springer ,1995.[5]　Cox D.Ideal Va rieties a nd Algorithms [M ].New Y ork :Springer-Verlag ,1991.[6]　ZHANG Hong-qing.The algebraization ,mechanization ,symplectication and geometrization for me 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Zhen-ya(Depa rtment of Applied Mathematics,Dalia n University ofTechnology,Dalia n116024,P R Chi na)Abs t ract:The idea of AC=BD was applied to solve the nonlinear differential equations.Suppose thatA u=0is a given equation to be solved and D v=0is an equation to be easily solved.If the transfor2mation u=C v is obtained so that v satisfies D v=0,then the solutions for A u=0can be found.In order to illustrate this approach,several examples about the transformation C are given.Key wor ds:nonlinear differential equations;transformation;algorithm;analytical solution。

非线性分数阶微积分方程的数值解法研究偏微分方程是数学中一个十分重要的分支，而非线性分数阶微积分方程则是其中相对复杂的一类问题之一。

许多实际问题的建模都可以归结于这类问题，而数值解法是解决这类问题的一个重要手段。

一、分数阶导数的定义及性质首先来看分数阶导数的定义。

对于函数$f(t)$，有如下定义：$$D^\alpha f(t)=\frac{1}{\Gamma(n-\alpha)}\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}t^n}\int_0^t\frac{f(\tau)}{(t-\tau)^{\alpha+1-n}}\mathrm{d}\tau$$其中$\alpha$是一个实数，$n=\lfloor\alpha\rfloor+1$，$\Gamma$是欧拉伽马函数。

可以看出，分数阶导数的定义需要进行积分运算，这一点和整数阶导数是有区别的。

分数阶导数也有一些特殊的性质，例如线性性和链式法则等。

这些性质与整数阶导数的性质有一些相似之处，但也存在一些区别。

例如，分数阶导数并不满足幂等性，即$(D^\alpha)^n\neqD^{n\alpha}$。

二、非线性分数阶微积分方程的数值解法对于非线性分数阶微积分方程的数值解法，常用的方法包括有限差分法、有限元法和谱方法等。

这里介绍其中的有限差分法。

有限差分法是一个比较简单而又实用的数值计算方法，基本思路是将连续的函数转化为离散的数值。

对于一个分数阶微积分方程，可以采用有限差分法对其进行离散化求解。

具体来说，有限差分法首先将定义域分为一段段固定长度的小区间，然后在每个小区间内选取若干个节点，用这些节点处的函数值来代替对应的区间上的函数值，从而将分数阶微积分方程转化为一个差分方程。

对于非线性分数阶微积分方程而言，由于其非线性性质，需要通过迭代或其他方法来求解数值解。

三、数值实验与应用为了验证有限差分法对于非线性分数阶微积分方程的求解能力，我们可以通过许多数值实验来进行验证。

《非线性时间分数阶偏微分方程的几类混合有限元算法分析》篇一一、引言非线性时间分数阶偏微分方程在各种物理、工程和科学领域中具有广泛的应用，如流体动力学、热传导、扩散过程等。

由于这些方程的复杂性和非线性特性，传统的数值方法往往难以准确有效地求解。

混合有限元方法作为一种有效的数值求解手段，近年来在处理这类问题上得到了广泛的应用。

本文将重点分析非线性时间分数阶偏微分方程的几类混合有限元算法。

二、非线性时间分数阶偏微分方程的基本理论非线性时间分数阶偏微分方程是一类描述物理现象的数学模型，其特点在于时间和空间导数均具有分数阶。

这类方程的解法具有一定的挑战性，因为其解可能具有复杂的时空依赖性和非线性特性。

为了更好地理解和求解这类方程，我们需要对其基本理论进行深入的研究。

三、混合有限元方法的基本原理混合有限元方法是一种基于变分原理的数值方法，它将偏微分方程的解表示为一系列基函数的加权和。

这种方法可以有效地处理复杂的几何形状和材料属性，对于非线性问题也有较好的适应性。

混合有限元方法包括对未知函数及其导数的近似，以及通过变分原理建立离散化问题的数学模型。

四、几类混合有限元算法分析（一）线性化混合有限元算法线性化混合有限元算法是一种通过将非线性问题线性化来求解的方法。

该方法通过引入适当的变量，将原问题转化为一系列线性子问题，然后逐一求解。

这种方法的优点在于其简单性和易于实现性，但可能会牺牲一定的求解精度。

（二）时间步进混合有限元算法时间步进混合有限元算法是一种基于时间步进的思想来求解非线性时间分数阶偏微分方程的方法。

该方法将时间域划分为一系列的时间步，然后在每个时间步内使用混合有限元方法进行求解。

这种方法可以有效地处理非线性和时间依赖性问题，但需要谨慎选择时间步长以保证求解的稳定性和精度。

（三）多尺度混合有限元算法多尺度混合有限元算法是一种结合了多尺度思想的方法，它可以在不同的尺度上对问题进行求解。

该方法通过引入多尺度基函数来描述问题的多尺度特性，然后在每个尺度上使用混合有限元方法进行求解。

《非线性时间分数阶偏微分方程的几类混合有限元算法分析》篇一一、引言随着科学技术的飞速发展，非线性时间分数阶偏微分方程在众多领域中，如物理学、工程学、金融学等，扮演着越来越重要的角色。

该类方程因能更好地模拟一些复杂的动态系统而被广泛应用。

为了有效求解这一类问题，研究者们不断地提出和发展新的数值计算方法。

本文旨在深入探讨几类混合有限元算法在非线性时间分数阶偏微分方程求解中的应用及性能分析。

二、非线性时间分数阶偏微分方程非线性时间分数阶偏微分方程通常表示为含有时间分数阶导数和复杂非线性项的偏微分方程。

其数学形式复杂，具有高度的非线性和多尺度特性，给求解带来了极大的挑战。

该类方程在描述许多实际物理现象和工程问题时具有较高的精度和适用性。

三、混合有限元方法混合有限元法是一种高效的数值求解方法，它将问题转化为一系列近似解的问题。

在非线性时间分数阶偏微分方程的求解中，混合有限元法可以通过合理的近似处理时间和空间项，从而达到高效、稳定的求解效果。

四、几类混合有限元算法分析1. 隐式-显式混合有限元法：该算法在处理时间分数阶导数时，采用隐式和显式方法的结合，既能保证求解的稳定性，又能提高计算效率。

对于非线性项的处理，通过迭代或松弛法进行近似求解。

2. 空间-时间多尺度混合有限元法：该方法在空间和时间两个维度上分别采用不同的尺度进行求解。

在空间维度上，通过引入合适的基函数对原问题进行离散化处理；在时间维度上，利用合适的数值方法对时间分数阶导数进行离散化处理。

该方法可以有效地处理多尺度问题，提高求解精度。

3. 迭代-松弛混合有限元法：该方法通过迭代和松弛法对非线性项进行近似求解。

在每次迭代过程中，通过引入松弛因子对近似解进行松弛，以提高收敛速度和求解精度。

同时，根据问题特性选择合适的松弛因子是该算法的关键之一。

五、结论本文通过对几类混合有限元算法在非线性时间分数阶偏微分方程求解中的应用进行深入分析，表明了这些算法在提高求解效率、稳定性和精度方面的优势。

《非线性时间分数阶方程的两种数值方法》篇一一、引言近年来，非线性时间分数阶方程在许多领域如物理学、金融学、流体力学等都有着广泛的应用。

然而，由于非线性和分数阶的特性，使得这些方程的求解变得非常复杂。

因此，寻找有效的数值方法来解决这类问题显得尤为重要。

本文将介绍两种数值方法，即有限差分法（Finite Difference Method, FDM）和有限元法（Finite Element Method, FEM），来求解非线性时间分数阶方程。

二、非线性时间分数阶方程的描述首先，我们需要定义所要求解的非线性时间分数阶方程。

通常这类方程可以描述为包含非线性项和分数阶导数的微分方程。

我们可以用它来描述某些复杂的物理过程或现象。

三、有限差分法（FDM）有限差分法是一种常用的数值方法，用于求解偏微分方程。

在求解非线性时间分数阶方程时，我们可以将时间分数阶导数用差商近似，空间导数用差分公式近似，从而将原方程转化为一系列的代数方程组。

然后通过迭代法或直接法求解这个代数方程组，得到原方程的解。

有限差分法的优点是算法简单、易于实现，但是求解过程中需要满足一定的步长要求，以保持数值解的稳定性和精度。

此外，对于复杂的几何区域和非线性问题，有限差分法可能会面临较大的困难。

四、有限元法（FEM）有限元法是一种基于变分原理和离散化的数值方法，适用于求解各种复杂的偏微分方程。

在求解非线性时间分数阶方程时，我们可以将求解区域划分为一系列的有限元，然后在每个元素内用多项式插值逼近原方程的解。

通过离散化原方程，我们可以得到一系列的代数方程组，然后通过求解这个代数方程组得到原方程的解。

有限元法的优点是可以处理复杂的几何区域和非线性问题，具有较高的精度和稳定性。

然而，有限元法的计算量相对较大，需要花费较多的时间和计算资源。

五、两种方法的比较有限差分法和有限元法都是求解非线性时间分数阶方程的有效方法。

两种方法各有优缺点，需要根据具体问题选择合适的方法。

非线性空间分数阶Fisher方程的数值解法陈雪娟;陈景华【摘要】考虑非线性空间分数阶Fisher方程的数值解,提出一种基于二次多项式样条函数的数值解法,并证明该方法具有无条件稳定性和收敛性.为了验证所构造格式的有效性,引入分数阶行方法(FMOL)与之进行比较.最后通过一个数值算例说明本文的理论分析是正确的,所构造的离散格式是有效的.【期刊名称】《厦门大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(055)003【总页数】6页(P360-365)【关键词】分数阶扩散方程;Caputo分数阶导数;二次多项式样条函数;行方法【作者】陈雪娟;陈景华【作者单位】集美大学理学院,福建厦门361021;集美大学理学院,福建厦门361021【正文语种】中文【中图分类】O241.82分数阶微分方程(时间、空间或时间空间分数阶)是传统整数阶微分方程的推广．由于分数阶微积分具有记忆和遗传特性,目前已被广泛地应用于模拟工程、物理、化学和其他科学领域的许多现象[1-4]．众所周知,要得到偏微分方程的解析解是很困难的,对于分数阶偏微分方程而言更是如此,常用的方法是借助于各种积分变换和特殊函数的方法[5-7]．近年来许多学者在这个领域里做了大量的研究工作[8-11].本文考虑非线性空间分数阶Fisher方程的数值解问题,Fisher方程主要用来模拟物种增长和扩散问题．在已有的研究成果中,主要的数值解法是差分法、有限元法和谱方法等,但是采用二次多项式样条函数进行数值逼近的研究文献却较缺乏[12-13]．本文提出一种基于二次样条函数的数值解法,并分析所构造迭代格式的稳定性和收敛性.非线性空间分数阶Fisher方程如下:,1<α≤2,0<x<l,0<t≤T,u(x,0)=g(x),0<x<l,u(0,t)=u(l,t)=0,0≤t≤T．α阶的Caputo分数阶左导数定义如下：,a<x<b,1<α≤2．α阶的Riemann-Liouville分数阶左导数定义如下：u(s,t)ds,a<x<b,1<α≤2．+在实际求解微分方程初值问题的过程中,Caputo导数比Riemann-Liouville导数的应用更为广泛而且更具有物理背景[15]．本文采用Caputo分数阶导数定义,即).记xi=ih,(i=0,1,…,m),tj=jτ,(j=0,1,…,n),其中分别是空间步长和时间步长(m和n是正整数)．设点集Ω={},表示u(xi,tj)的近似解.本文首先利用二次多项式样条函数提出一种逼近Fisher方程数值解的迭代格式,并证明该格式具有无条件稳定性和收敛性．然后给出非线性空间分数阶Fisher方程的分数阶行方法(FMOL),用于验证所构造格式的有效性．最后通过一个数值算例说明本文理论分析的的正确性和可行性.2.1 二次多项式样条函数我们考虑如下二次多项式样条函数Pi(x,tj):Pi(x,tj)=ai(tj)(x-xi)2+bi(tj)(x-xi)+ci(tj),x∈[xi,xi+1],i=0,1,2,…,m-1;j=0,1,…,n.,,又由等式(10)和Caputo分数阶导数的定义,有，,,.2.2 数值解法的迭代格式为了使二次函数Pi(x,t)在x=xi,(i=1,2,…m-2.)处满足连续性条件:Pi(xi,tj)=Pi-1(xi,tj),,引理1 设迭代格式(14)的截断误差为,则截断误差满足:).证明由于,i=1,2,…,m-2;j=0,1,…,n.所以,迭代格式(14)的截断误差阶为O(hα),我们得到利用向后差分法将等式(21)代入等式(18),并忽略截断误差τO(hα+τ),可以推出如下的迭代格式:.,,,.为了求解这个线性代数方程组,我们还需要两个方程．利用边界条件(3),通过线性插值得到下面两个方程:,j=1,2,…,n.首先,将迭代格式(23)写成矩阵的形式AUj=δBUj-1+δτBFj-1,,,j=1,2,…,n.A=,B=.Uj=δA-1BUj-1+δτA-1BFj-1.设是方程(1)的数值解,则误差,).,.3.1 稳定性分析记,εj=δA-1Bεj-1+δτA-1Bβj-1,,,,k=1,2,…,m-2.,.,，3.2 收敛性分析设,ej=δA-1Bej-1+δτA-1Bηj-1+τA-1Rj, ,.类似地,可得,,C1TeLT(τ+hα)=C(τ+hα).由于非线性偏微分方程的精确解很难通过计算得到,为了说明所构造的隐式差分格式的计算有效性及理论分析的正确性,我们给出了空间分数阶Fisher方程的FMOL[17-18].通过一个简单的积分公式得到分数阶导数,0<x<1,1<α≤2的数值逼近[19]如下:{[u(xk+1,tj)-2u(xk,tj)+u(xk-1,tj)][(i-k+1)2-α-(i-k)2-α]}+).{2u(xi-k+1,tj)+u(xi-k,tj)]}+{,tj)-2u(xi-k+1,tj)+u(xi-k,tj)]}+O(h2).{u(xi-k+1,tj)+u(xi-k,tj)]}，为了证明我们的理论结果,考虑如下非线性空间分数阶Fisher方程:表1给出当α=1.5,T=0.1,l=1.0时用隐式格式(23)～(25)和FMOL计算方程(33)的数值结果．可以看出,使用迭代格式(23)～(25)计算所得的数值解与理论分析完全吻合,而且与用FMOL计算所得的数值解非常接近．图1给出了当α=1.5,m=100,n=200时,含非线性源项的扩散系统随时间t变化的特征.本文给出了非线性空间分数阶Fisher方程的数值模拟,并证明该数值方法是无条件稳定和收敛的．通过一个数值例子的结果证明了本文的理论分析的有效性．该数值方法和理论分析方法也能用来求解和分析其他类型的分数阶偏微分方程.。

基于exp[-φ(ξ)]-展开法求变系数非线性发展方程的精确解王晓利;斯仁道尔吉
【期刊名称】《量子电子学报》
【年(卷),期】2016(33)6
【摘要】exp[-φ(ξ)]-展开法可用于求解变系数非线性发展方程,以广义变系数KdV-mKdV方程和变系数(2+1)维Broer-Kaup方程组为例实现了求解过程,获得了奇异行波解,包括指数函数解、双曲函数解、三角函数解及有理函数解,并通过取特殊值得到结(kink)型解.可见exp[-φ(ξ)]-展开法适于变系数非线性发展方程的求解,且更具一般性.
【总页数】9页(P680-688)
【关键词】非线性方程;精确解;exp[-φ(ξ)]-展开法
【作者】王晓利;斯仁道尔吉
【作者单位】内蒙古师范大学数学科学学院
【正文语种】中文
【中图分类】O175
【相关文献】
1.基于改进的Riccati方程展开法求非线性发展方程精确解 [J], 白秀;杨培凤
2.用试探方程法求变系数非线性发展方程的精确解 [J], 刘成仕
3.基于扩展G'/G-展开法的两个非线性拟抛物型方程的精确解 [J], 范凯;刘斌;宋叔尼;范圆圆
4.基于含负幂项与非负幂项G'/G+G'-展开法的非线性时空分数阶电报方程新精确解 [J], 吴大山; 孙峪怀; 杜玲禧
5.基于含负幂项与非负幂项G'/G2展开法的非线性时空分数阶电报方程新精确解[J], 吴大山;孙峪怀;杜玲禧
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非线性偏微分方程及其几种解法综述姓名：柏宝红学号：BY目录1、绪论.......................................................................................... 错误!未定义书签。

1.1背景................................................................................... 错误!未定义书签。

1.2 现状.................................................................................. 错误!未定义书签。

2、非线性偏微分方程的几种解法.............................................. 错误!未定义书签。

2.1逆算符法........................................................................... 错误!未定义书签。

2.2 齐次平衡法...................................................................... 错误!未定义书签。

2.3 Jacobi椭圆函数方法 ....................................................... 错误!未定义书签。

2.4 辅助方程方法.................................................................. 错误!未定义书签。

2.5 F-展开法........................................................................... 错误!未定义书签。