分数阶微分方程-课件

分数阶微分方程解法1、分数阶微积分介绍分数阶微积分是传统微积分的推广和扩展，在这门学科中，函数的导数和积分的阶数可以为分数，有时也可以是负数或复数。

与传统微积分相比，分数阶微积分的应用更加广泛，可以通过它来解释和研究各种复杂的自然现象，例如金融市场的非平稳性、地震的时序性等。

2、分数阶微分方程简介分数阶微分方程是指微分方程的微分阶数为分数，例如阶为1.5或2.7的微分方程。

在实际应用中，分数阶微分方程被广泛地用于描述自然现象的动态行为，例如分形、非线性动力学、力学、电动力学和生物学等。

3、分数阶微分方程的解法分数阶微分方程的解法是与传统微分方程不同的。

下面介绍两种常用的解法。

3.1、分式变换法分式变换法是最常用的解分数阶微分方程的方法之一。

它的基本思想是将分数阶微分方程转化为一些常见的函数或微分方程。

例如，我们考虑一个分数阶微分方程：D^βy(t)=f(t)，其中D^β表示分数阶导数运算符，y(t)是未知函数，f(t)是已知函数。

现在我们把分数阶微分方程改写为下面的形式：y(t)=1/Γ(α)(d/dt)^α∫_0^t f(u)(t-u)^{α-1}du其中α和β之间的关系可以用以下公式表示：α=β-n这里，n是一个正整数，它满足0<n<=β。

通过这个公式，分数阶微分方程就被转化为常数阶微分方程和分式变换的形式。

3.2、拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法也是解分数阶微分方程的有效方法。

它的基本思想是将分数阶微分方程转化为常数阶微分方程，然后通过拉普拉斯变换及其逆变换来得到方程的解。

例如，我们考虑一个分数阶微分方程：D^βy(t)+ay(t)=f(t)，其中a是常数，D^β表示分数阶导数运算符，y(t)是未知函数，f(t)是已知函数。

现在我们把分数阶微分方程改写为下面的形式：L{D^βy(t)}+aL{y(t)}=L{f(t)}其中L表示拉普拉斯变换，而L{D^βy(t)}和L{f(t)}分别是D^βy(t)和f(t)的拉普拉斯变换。

分数阶微分方程第三讲分数阶微分方程基本理论一、分数阶微分方程的出现背景及研究现状1、出现背景分数阶微积分是关于任意阶微分和积分的理论，它与整数阶微积分是统一的，是整数阶微积分的推广。

整数阶微积分作为描述经典物理及相关学科理论的解析数学工具已为人们普遍接受，很多问题的数学模型最终都可以归结为整数阶微分方程的定解问题，其无论在理论分析还是数值求解方面都已有较完善的理论。

但当人们进入到复杂系统和复杂现象的研究时，经典整数阶微积分方程对这些系统的描述将遇到以下问题：（1）需要构造非线性方程，并引入一些人为的经验参数和与实际不符的假设条件；（2）因材料或外界条件的微小改变就需要构造新的模型；（3）这些非线性模型无论是理论求解还是数值求解都非常繁琐。

基于以上原因，人们迫切期待着有一种可用的数学工具和可依据的基本原理来对这些复杂系统进行建模。

分数阶微积分方程非常适合于刻画具有记忆和遗传性质的材料和过程，其对复杂系统的描述具有建模简单、参数物理意义清楚、描述准确等优势，因而成为复杂力学与物理过程数学建模的重要工具之一。

2、研究现状在近三个世纪里，对分数阶微积分理论的研究主要在数学的纯理论领域里进行，似乎它只对数学家们有用。

然而在近几十年来，分数阶微分方程越来越多的被用来描述光学和热学系统、流变学及材料和力学系统、信号处理和系统识别、控制和机器人及其他应用领域中的问题。

分数阶微积分理论也受到越来越多的国内外学者的广泛关注，特别是从实际问题抽象出来的分数阶微分方程成为很多数学工作者的研究热点。

随着分数阶微分方程在越来越多的科学领域里出现，无论对分数阶微分方程的理论分析还是数值计算的研究都显得尤为迫切。

然而由于分数阶微分是拟微分算子，它的保记忆性（非局部性）对现实问题进行了优美刻画的同时，也给我们的分析和计算造成很大困难。

在理论研究方面，几乎所有结果全都假定了满足李氏条件，而且证明方法也和经典微积分方程一样，换句话说，这些工作基本上可以说只是经典微积分方程理论的一个延拓。

capulo 分数阶微分
Caputo分数阶微分是数学中的一个概念，它用于描述一个函数在某个点或某个范围内的阶数导数。

与传统的整数阶导数不同，分数阶导数可以更好地描述一些复杂的物理或工程问题。

Caputo分数阶微分是在Caputo分数阶积分的基础上定义的。

它的一般形式为：
D^α_a^x f(x) = 1 / Γ(n - α) * ∫_a^x (x - t) ^ {n - α - 1} * f(t) * dt
其中，D^α是Caputo分数阶导数，f(x)是要分析的函数，n是使得f(t)具有意义的整数，a和x是积分上下限。

Caputo分数阶微分在描述一些具有记忆性和遗传性的问题时非常有用，例如在描述材料力学、控制理论、信号处理等领域的问题时。

在这些情况下，整数阶导数无法准确描述系统的动态特性，而分数阶导数可以更好地描述这些特性。

使用Caputo分数阶微分可以更好地模拟系统的非线性行为和记忆效应。

例如，在描述一个材料的蠕变行为时，Caputo分数阶微分可以更好地描述材料在不同应力水平下的行为。

然而，Caputo分数阶微分也有其局限性。

由于其定义涉及到积分，因此计算上可能会比整数阶导数更加复杂和困难。

此外，对于一些特殊的问题，可能需要特殊的方法来处理分数阶导数。

综上所述，Caputo分数阶微分是一种有用的数学工具，可以用于描述一些具有记忆性和遗传性的问题。

虽然计算上可能比整数阶导数更加复杂，但在一些特定的问题中，它可以提供更好的描述和预测能力。

分数阶微分方程第三讲分数阶微分方程基本理论一、分数阶微分方程的出现背景及研究现状1、出现背景分数阶微积分是关于任意阶微分和积分的理论，它与整数阶微积分是统一的，是整数阶微积分的推广。

整数阶微积分作为描述经典物理及相关学科理论的解析数学工具已为人们普遍接受，很多问题的数学模型最终都可以归结为整数阶微分方程的定解问题，其无论在理论分析还是数值求解方面都已有较完善的理论。

但当人们进入到复杂系统和复杂现象的研究时，经典整数阶微积分方程对这些系统的描述将遇到以下问题：（1）需要构造非线性方程，并引入一些人为的经验参数和与实际不符的假设条件；（2）因材料或外界条件的微小改变就需要构造新的模型；（3）这些非线性模型无论是理论求解还是数值求解都非常繁琐。

基于以上原因，人们迫切期待着有一种可用的数学工具和可依据的基本原理来对这些复杂系统进行建模。

分数阶微积分方程非常适合于刻画具有记忆和遗传性质的材料和过程，其对复杂系统的描述具有建模简单、参数物理意义清楚、描述准确等优势，因而成为复杂力学与物理过程数学建模的重要工具之一。

2、研究现状在近三个世纪里，对分数阶微积分理论的研究主要在数学的纯理论领域里进行，似乎它只对数学家们有用。

然而在近几十年来，分数阶微分方程越来越多的被用来描述光学和热学系统、流变学及材料和力学系统、信号处理和系统识别、控制和机器人及其他应用领域中的问题。

分数阶微积分理论也受到越来越多的国内外学者的广泛关注，特别是从实际问题抽象出来的分数阶微分方程成为很多数学工作者的研究热点。

随着分数阶微分方程在越来越多的科学领域里出现，无论对分数阶微分方程的理论分析还是数值计算的研究都显得尤为迫切。

然而由于分数阶微分是拟微分算子，它的保记忆性（非局部性）对现实问题进行了优美刻画的同时，也给我们的分析和计算造成很大困难。

在理论研究方面，几乎所有结果全都假定了满足李氏条件，而且证明方法也和经典微积分方程一样，换句话说，这些工作基本上可以说只是经典微积分方程理论的一个延拓。

（四）分数阶微积分我们重点考察R −L 型分数阶微积分的性质，简记RL 0D βt =D βt ，若⽆特殊说明。

a). 线性性D βt [f (t )+g (t )]=D βt f (t )+D βt g (t )D βt λf (t )=λD βt f (t )证明:直接带⼊定义验算即可.设m =[β]+1RL 0D βtf (t )=1Γ(m −β)d m dt m ∫t0(t −τ)m −β−1f (τ)d τb). 积分的叠加性D −αt D −βt f (t )=D −α−βt f (t ) (α,β>0)证明:对整数阶积分结论是显然的,对于分数阶R-L 积分仍然具有叠加性。

由定义知0D −βt f (t )=1Γ(β)∫t0(t −x )β−1f (x ):=g (t )那么D −αt g (t )=1Γ(α)∫t0(t −τ)α−1g (τ)d τ=1Γ(α)Γ(β)∫t 0(t −τ)α−1d τ∫τ0(τ−x )β−1f (x )dx=1Γ(α)Γ(β)∫t 0f (x )dx ∫tx (t −τ)α−1(τ−x )β−1d τ(交换积分次序)=1Γ(α)Γ(β)∫t 0f (x )dx ∫10(t −x )α+β−1(1−ξ)α−1ξβ−1d ξ (Let ξ=τ−xt −x )=B (α,β)Γ(α)Γ(β)∫t0(t −x )α+β−1f (x )dx=1Γ(α+β)∫t0(t −x )α+β−1f (x )dx=0D −α−βt f (t )由此我们也得到了积分满⾜交换性，即D −αt D −βt f (t )=D −α−βt f (t )=D −βt D −αt f (t ) (α,β>0)c). 上式考虑了积分叠加的情形，对于连续函数f (t )考虑混合运算“先积分再微分”.（还记得R-L 定义思路D β=D m D −(m −β)）0D αt 0D −βt f (t )=0D α−βt f (t ) (α>0,β>0)证明:先探讨⼀种特殊的情形D λD −λf (t )=f (t ) (λ>0)当λ为整数时结论显然成⽴。

含caputo分数阶导数的分数阶微分方程分数阶微分方程是指其解中包含阶级高于一的分数和跨越多个时间段的定积分形式。

该方程研究混合不同时段内的过程变化，特别是近几年在复杂科学问题研究方面得到了广泛的应用，比如金融理论等。

Caputo分数阶微分方程是一种特殊的分数阶微分方程，它以概念全面解决了分数阶微分方程的研究。

Caputo分数阶微分方程的研究始于20世纪七八十年末意大利，由M. Caputo首先提出。

在Caputo的原始文献中，他推导了一类分数阶微分方程，主要研究过程当中时间和空间变化的关系。

Caputo分数阶微分方程有如下定义：假设函数f(t)是在区间(a,b)上可微，则在该区间上满足条件$${D_a^nf(t)=\int_a^b{K(t,s)f^{(n)}(s)}ds}$$的函数称为阶级为n的Caputo分数阶微分方程的解，K(t,s)即为积分算子。

其中n为分数，当n<1，Caputo分数阶微分方程就是一类特殊的非定常方程，可以用于模拟效应非定常变化的过程，变化函数f(t)的值取决于导数的序号。

Caputo分数阶微分方程主要用于研究各种变分问题，重点关注函数解决定积分参数变化中无视时间关系影响的问题。

Caputo分数阶微分方程应用于工程领域也是一个激动人心的问题。

比如利用Caputo分数阶微分方程求解微分方程模型，可以有效模拟工程实际的过程。

在工程和物理领域，Caputo分数阶微分方程应用最广泛，尤其是其算子在时间参数函数f(t)中表现出来的使用，及其形成模型包含秩序和变化关系。

当具体系统存在改变或不同状态时，Caputo分数阶微分方程可以用于描述和模拟这一系列模型。

从此可见，Caputo分数阶微分方程在研究复杂科学问题中有着广泛的应用，它求解出的模型有助于系统解析和模拟，开拓了解决科学问题的思路和方法，在各个领域得到了贴切的应用和深入的发展。