导数的四则运算法则(第三课时) (2)

5．2.2 导数的四则运算法则
要点 1 [f(x)±g(x)]′＝_____f_′(x_)±__g_′(_x)_______．
要点 2 要点 3
[f(x)g(x)]′＝____f_′(_x)_g(_x_)＋__f(_x)_g′_(x_)________．
gf（（xx））′＝_f_′__（_x_）__g_（__[xg_）（_－_x_）f_（_]2x_）__g_′__（__x）__(_g_(x_)_≠__0)_．
探究 4 有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或 三角恒等变换将函数先化简，然后再进行求导，有时可以避免使用商的求导法则， 减少运算量．
思考题 4 求下列函数的导数：
(1)y＝sin44x＋cos44x；
(2)y＝11－＋
xx＋11＋－
x x.
【解析】 (1)y＝sin24x＋cos24x2－2sin24x·cos24x ＝1－12sin22x＝1－12·1－c2os x＝34＋14cos x. ∴y′＝34＋14cos x′＝－14sin x. (2)y＝（11＋－xx）2＋（11－－xx）2＝2（11－＋xx）＝1－4 x－2. ∴y′＝1－4 x－2′＝4′（1－（x）1－－x4）（21－x）′＝（1－4 x）2.
探究 1 这些函数都是由基本初等函数经过运算得到的简单函数，求导时， 可直接利用运算法则和基本初等函数的导数公式求导．
思考题 1 求下列函数的导数：
(1)f(x)＝x2＋sin x； (2)g(x)＝x3－32x2－6x＋2. 【解析】 (1)∵f(x)＝x2＋sin x， ∴f′(x)＝2x＋cos x. (2)∵g(x)＝x3－32x2－6x＋2， ∴g′(x)＝3x2－3x－6.

2.两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母
的导数与分子的积,
再除以分母的平方,即:
(
u ) v
uv uv v2
(v
0).
二、例题选讲：
例2.求下列函数的导数： (1) y sin x ;
x2 (2) y .
x
ln x
答案：
x cos x sin x
(1)
x2
.
x(2ln x 1) (2) ln2 x .
加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即 (uv) uv uv.
2.两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母
的导数与分子的积,
再除以分母的平方,即:
(
u ) v
uv uv v2
(v
0).
二、例题选讲：
例1.求下列函数的导数：
(1) y x2e x; (2) y x sin x; (3) y x ln x.
三、课堂小结：
1.充分掌握函数的四则运算的求导法则. (uv) uv uv.
(
u ) v
uv uv v2
(v
0).
2.先化简,再求导是实施求导运算的基本方法;是化难 为易、化繁为简的基本原则和策略.
答案：(1)(2 x
x2 )e x .
sin (2)
x
x cos x.
(3)ln x 1.
2x
练习1.P72/练习1（1）（2）.
§4 导数的四则运算法则（2） 一、导数的运算法则： 1.两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,
加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即 (uv) uv uv.
lim lim
v( x x)

小
结
反
思
自主学习：
1、导函数的加法和减法法则
①
2、导函数的乘法和除法法则
①
② =____________________________
特别地，当 时，有
3、试一试
（1）
（2）
复备、笔记、纠错
精讲互动：
例1、（1）
（2）
例2、求曲线 在点（1,0）处的切线方程。
§4.3导数的四则运算法则（第三课时）
序号
14
授课
时间
班级
姓名
课型
新授课
备课人
葛伟
审核人
李红莉
学习
目标
1、能利用导数公式及四则运算求简单函数的导数；
2、体会建立数学理论过程，感受学习数学和研究数学的一般方法，进一步发展学生的思维能力。
重点难点
重点、利用求导法则求导
难点：利用求导法则求导
学习过程与方法
例3、点 在曲线 上移动，设点 处的切线与直线 垂直，求 值。
达标训练：
1、求下列函数的导数
（1）
（2）
2、求曲线 在点（1,1）处的切线方程
课
堂
检
测
1、求函数导数
2、求函数导数
3、已知抛物线 通过点（1，1），且在点(2,1)处与直线 相切，求a,b,c的值。
作业布置
课本48页习题2-4A组4、（7、8）5、（2）（3）

工具
第三章 变化率与导数
4．求下列函数的导数． (1)y＝x4－x3－x＋3；(2)y＝x22＋x33； (3)y＝x·ax(a>0)；(4)lnxx(x>0)． 解析： (1)y′＝(x4－x3－x＋3)′ ＝(x4)′－(x3)′－(x)′＋3′ ＝4x3－3x2－1.
工具
第三章 变化率与导数
工具
第三章 变化率与导数
4．两函数商的求导法则的特例 gfxx′＝f′xgxg－2xfxg′x(g(x)≠0)， 当 f(x)＝1 时，g1x′＝1′·gxg－2x1·g′x＝－gg′2xx (g(x)≠0)． 这是一个函数倒数的求导法则．
工具
第三章 变化率与导数
2．函数四则运算的求导法则 (1)和(或差)的导数：(u±v)′＝u′±v′， 推广：(u1±u2±…±un)′＝u′1±u′2±…±u′n. (2)积的导数：(u·v)′＝u′v＋uv′， 特别地：(cu)′＝cu′. (3)商的导数：uv′＝u′v－v2 uv′(v≠0)
工具
第三章 变化率与导数
(3)y′＝(x)′·ax＋x·(ax)′＝ax＋x·axlna ＝ax(1＋xlna)． (4)y′＝lnxx′＝lnx′·x－x2 lnx·x′＝1x·x－x2 lnx ＝1－x2lnx.
工具
第三章 变化率与导数
求下列函数的导数 (1)y＝x5－3x3－5x2＋6；(2)y＝x22＋x33； (3)f(x)＝1＋sinsixnx；(4)f(x)＝xlg x.
工具
第三章 变化率与导数
5．两函数积与商求导公式的说明
(1)
类
比
：
(uv)′
＝
u′v
＋
uv′

高中数学
选择性必修第二册
北师大版
二 求导法则在实际中的应用
例2 日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水的纯净度的提高，所需进化费用不断增加，已知
5284
将1t水进化到纯净度为%所需费用（单位：元），为() = 100− (80 < < 100).
求进化到下列纯净度时，所需进化费用的瞬时变化率：
（1） 90% ；（2） 98%
解:净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数；
′ ()
=
5284 ′ 5284’ ×(100−)−5284 (100−)’
(100−) =
(100−)2
（1）因为 ′ (90) =
5284
100−90 2
=
0×(100−)−5284 ×(−1)
(100−)2
（2） ’ = (2 + cos)’ = (2 )’ +(cos)’ = 2 ln2 − sin.
（3） ’ = ( 3 e )’ = ( 3 )’ e + 3 (e )’ = 3 2 e + 3 e .
（4） ’
=
2sin ’ (2sin)’ 2 − 3 ( 2 )’
北师大版
随堂小测
1.已知函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，则a的值为 ( A )
A．1
B． 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C．－1
D．0
3
2.已知物体的运动方程为s＝t2＋ (t是时间，s是位移)，则物体在时刻t＝2时的速度为 ( D )
19
A. 4
17
B. 4
15
C. 4
13
D. 4

§ 4 导数的四则运算法则、教学目标: 1知识与技能掌握有限个函数的和、差、积、商的求导公式；熟练运用公式求基本初等函数的四则运算的导数，能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。

2.过程与方法通过用定义法求函数 f ( x) =x+x2的导数，观察结果，发掘两个函数的和、差求导方法，给结合定义给出证明；由定义法求f(x)=x 2g(x)的导数，发现函数乘积的导数，归纳出两个函数积、商的求导发则。

3.情感、态度与价值观培养学生由特别到一般的思维方法去探索结论，培养学生实验一一观察一一归纳一一抽象的数学思维方法。

_教学重点：函数和、差、积、商导数公式的发掘与应用、教学难点:导数四则运算法则的证明三教学方法：探析归纳，讲练结合、四教学过程、(-」)、复习：导函数的概念和导数公式表。

1•导数的定义：设函数y f (x)在x x o处附近有定义，如果x 0时，y与x的比」(也叫函数的平均变化率)有极限即」无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做x x函数y f (x)在x X。

处的导数，记作y/x,，即f/(x o) lim ——x)―f x 0 v2•导数的几何意义：是曲线y f (x)上点(x o, f (x o))处的切线的斜率.因此，如果y f (x)在点X。

可导，则曲线y f (x)在点(X。

，f (x。

))处的切线方程为y f (x o) f/(x o)(x X。

).3.导函数(导数)：如果函数y f (x)在开区间(a,b)内的每点处都有导数，此时对于每一个x (a,b)，都对应着一个确定的导数f/(x)，从而构成了一个新的函数 f /(x),称这个函数f/(x)为函数y f (x)在开区间内的导函数，简称导数,4.求函数y f(x)的导数的一般方法:(1)求函数的改变量y f(x x) f(x). (2)求平均变化率—yf(x x) f(x) (3)取极限，得导数y/= f (x) 叽~x5.常见函数的导数公式: C' 0 ; (x n)' nx n(二)、探析新课两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的和(差) ，即[f(x) g(x)] f (x) g (x) [f (x) g(x)] f (x) g (x)证明：令y f(x) u(x) v(x)，y [u(x x) v(x x)] [u(x) v(x)][u(x x) u(x)] [v(x x) v(x)] ulim x 0 limxlimx即[u(x) v(x)]' u (x) v例1:求下列函数的导数:2 x(1) y x 2 ；(2) In (3) (x21)(x 1)；(4) 解: (1) y (x2 2x) (x2) (2x) 2x 2x l n2(2) In x) (、x) (Inx)(x21)(x 1) (x3x2x 1)(x2) (x1) (x2)12、x 。

导数的运算法则1:
两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)， 即：
[f(x)±g(x)]′=f'(x)±g'(x)
例题解析
1、求下列函数的导数 (1)y=x3－x+3；(2)y=2x+cosx.
解：(1)y′=(x3－x+3)′ =(x3)′－x′+3′ =3x2－1
(2)y′=(2x+cosx)′ =(2x)′+(cosx)′ =2xln2－sinx
函数f(x)在某点处的导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢. 由上述计算可知，c′(98) = 25c′(90). 这表示净化到纯净度为98%左右时 净化费用的变化率，大约是净化到纯净度为90%左右时净化费用变化 率的25倍.
这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费 用增加的速度也越快.
(1
3 x02
)(x
x0 )
16
∴点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为 2 | x0 || 2x0 | 6
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，
此定值为6.
感悟提升
利用导数的几何意义求参时，常根据以下关系列方程：
(1)函数在切点处的导数等于切线的斜率； (2)切点在切线上； (3)切点在曲线上； (4)题目所给的其他条件． 最后通过解方程(组)确定参数的值．
(2) y ( 2sin x ) x2
(2sin x) x 2 2sin x( x 2 )
(x2 )2
2x 2 cos x 4x sin x
x4 2x cos x 4sin x

(5)先使用三角公式进行化简，得 y＝x＋12sin x
∴y′＝x＋12sin x′＝x′＋21sin x′＝1＋12cos x.
观察各函数的特点，能化简的先化简，再用求导法则求解．
方法归纳 利用导数的公式及运算法则求导的思路
跟踪训练 1 (1)已知 f(x)＝exx(x≠0)，若 f′(x0)＋f(x0)＝0，则 x0 的值为________．
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导数的四那么运算法那么
要点 导数的运算法则
若函数 f(x)，g(x)均为可导函数，则有
导数运算法则
语言叙述
1.[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)
两个函数的和(差)的导数，等于 这两个函数的导数的和(差)．
两个函数的积的导数，等于第一
2.[f(x)g(x)]′ ＝ f′(x)·g(x) ＋ 个函数的导数乘以第二个函数，
2．已知函数 f(x)＝cos x＋ln x，则 f′(1)的值为( ) A．1－sin 1 B．1＋sin 1 C．sin 1－1 D．－sin 1
解析：因为 f′(x)＝－sin x＋1x，所以 f′(1)＝－sin 1＋11＝1－ sin 1.故选 A.
答案：A
3．函数 y＝sin x·cos x 的导数是( ) A．y′＝cos2 x＋sin2 x B．y′＝cos2 x－sin2 x C．y′＝2cos x·sin x D．y′＝cos x·sin x
跟踪训练 2 已知函数 f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数 f′(x) ＝2x－8.
(1)求 a，b 的值． (2)设函数 g(x)＝exsin x＋f(x)，求曲线 g(x)在 x＝0 处的切线方程．
解析：(1)因为 f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，所以 f′(x)＝2ax＋b， 又知 f′(x)＝2x－8，所以 a＝1，b＝－8. (2)由(1)可知 g(x)＝exsin x＋x2－8x＋3， 所以 g′(x)＝exsin x＋excos x＋2x－8， 所以 g′(0)＝e0sin 0＋e0cos 0＋2×0－8＝－7， 又知 g(0)＝3， 所以 g(x)在 x＝0 处的切线方程为 y－3＝－7(x－0)． 即 7x＋y－3＝0.

4 3
lnx (3)y＝x· a (a>0)；(4) (x>0)． x
x
解析：
(1)y′＝(x4－x3－x＋3)′
＝(x4)′－(x3)′－(x)′＋3′ ＝4x3－3x2－1.
(2)方法一：∵y＝2· x ＋3· x ， ∴y′＝(2x－2＋3x－3)′ ＝(2x－2)′＋(3x－3)′ －4 －9 4 9 ＝－4x －9x ＝ x3 ＋ x4 ＝－x3－x4.
；
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
； ；
(5)若f(x)＝tan
(6)若f(x)＝cot x，则f′(x)＝
axln a
1 2 cos x x，则f′(x )＝ 1 － 2 sin x
；
(7)若f(x)＝ax，则f′(xx)＝
e
1 (8)若f(x)＝ex，则f′(x)＝ xln； a
(a>0)；
(9)若f(x)＝logax，则f′(x)＝ 且a≠1)；
理由
(3)
利用了导数 的除法法则
f′(x)＝(x)′lg x＋x(lg x)′
(4)
1 ＝lg x＋x· xln 10 1 ＝lg x＋ ln 10
利用了导数 的乘法法则
1.求下列函数的导数： (1)y＝(2x2＋3)(3x－2)； x－1 (2)y＝ ； x＋1 (3)y＝x· tanx.
解析： (1)方法一： y′＝(2x2＋3)′(3x－2)＋(2x2＋3)(3x－2)′ ＝4x(3x－2)＋(2x ＋3)· 3＝18x －8x＋9. 方法二：∵y＝(2x2＋3)· (3x－2)＝6x3－4x2＋9x－6， ∴y′＝18x －8x＋9.
1 (1)y＝2 xsin x＋ cos x； x x4 (2)y＝ ； 2＋logax 1 1 (3)y＝ ＋ ； 1－ x 1＋ x (4)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)．

详细描述
导数的符号可以用来判断函数在某一点的增减性，进而确定极值的存在性和类型（极大值或极小值）。通过比较 函数值和一阶导数的符号变化，可以找到极值点，并计算出极值。
求曲线的拐点
总结词
拐点是函数图像上凹凸性发生变化的点。
详细描述
通过求二阶导数并找到使其等于零的点，可以找到拐点。二阶导数在该点为零意味着函数在该点的凹 凸性发生变化。此外，二阶导数的符号变化也可以用来判断拐点的类型（向上凸或向下凸）。
弹性分析
导数可以用来分析需求或供给对 价格的敏感度，即弹性。例如， 计算需求价格弹性可以帮助企业 预测价格变动对市场需求的影响
。
物理学中的导数应用
速度和加速度
在物理学中，导数被用来描述物 体的速度和加速度。速度是位置 函数的导数，加速度是速度函数
的导数。
热传导
在研究热传导时，导数被用来描述 温度随时间和空间的变化率，即温 度梯度。
除法法则
总结词
导数的除法法则适用于两个函数的商的导数，其导数等于被除函数的导数乘以除 数函数的倒数减去除数函数的导数乘以被除函数的值。
详细描述
如果函数$f(x)$和$g(x)$在某一点$x$处可导，且$g(x) neq 0$，那么 $frac{f^{prime}(x)}{g^{prime}(x)} = frac{f(x)}{g(x)} + frac{f^{prime}(x) times g(x) - f(x) times g^{prime}(x)}{[g(x)]^{2}}$。
电磁学
在电磁学中，导数被用来描述电场 和磁场的变化率，例如，计算电流 密度和磁感应强度的导数可以帮助 我们理解电磁波的传播。
工程学中的导数应用
控制工程

(3)∵切线与直线 y＝－x4＋3 垂直， ∴切线的斜率 k＝4. 设切点坐标为(x0，y0)，则 f′(x0)＝3x20＋1＝4， ∴x0＝±1. ∴yx00＝＝－1，14 或xy00＝＝－－118，. 即切点为(1，－14)或(－1，－18)． 切线方程为 y＝4(x－1)－14 或 y＝4(x＋1)－18. 即 y＝4x－18 或 y＝4x－14.
[对点练清] 求下列函数的导数： (1)y＝x3－x2－x＋3； (2)y＝x22＋x33. 解：(1)y′＝(x3－x2－x＋3)′＝(x3)′－(x2)′－x′＋3′＝3x2－2x －1. (2)法一：因为 y＝2x－2＋3x－3， 所以 y′＝(2x－2＋3x－3)′＝(2x－2)′＋(3x－3)′＝－4x－3－9x－4＝－x43 －x94. 法二：y′＝x22＋x33′＝x22′＋x33′ ＝2′·x2－x42·x2′＋3′·x3－x63·x3′＝－x43－x94.
重要的作用
[对点练清]
若曲线 f(x)＝13x3＋ax2＋x 存在垂直于 y 轴的切线，则实数 a 的取值
范围为
()
A.－∞，－12∪[1，＋∞) B．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
C．(－∞，－1]∪[0，＋∞)
D.－12，＋∞
解析： f′(x)＝x2＋2ax＋1， ∵f(x)存在垂直于 y 轴的切线， ∴f′(x)＝0 有解，即 x2＋2ax＋1＝0 有解， ∴Δ＝(2a)2－4≥0， ∴a≥1 或 a≤－1， 即 a 的取值范围为(－∞，－1]∪[1，＋∞)． 答案：B
5．2.2 导数的四则运算法则 新课程标准
1.能利用导数的四则运算法则求简单函数的导数. 2.会使用导数公式表. 3.通过对导数的运算法则的学习，培养学生数学运算的核心素养.

解：y'

(x2 )'
sin x x2 sin 2 x
(sin
x)'
2x sin x x2 cos x sin 2 x
4. 求
y
x3 x2 3
在点x

3处的导数
解：y'

1 ( x2
3) (x 3) 2x (x2 3)2


x2 6x (x2 3)2
[ f (x)g(x)] f (x)g(x) f (x)g(x).
例2：(1)求函数h(x) x sin x的导数. (2)求函数f (x) 2x ln x的导数.
解: (1)h(x) (x sin x) xsin x x(sin x) sin x x cosx
解：法一：y (2x2 3)(3x 2) (2x2 3)(3x 2)
4x(3x 2) (2x2 3) 3
18x2 8x 9
法二：y (6x3 4x2 9x 6)
18x2 8x 9
3. y x2 的导数 sin x

1 xlna
(a
0,且a
1)
(5)(ex )' ex
(6)(lnx) ' 1 x
(7)(sinx )' cosx (8)(cosx) ' sinx
注意:关于a x和xa 是两个不同
的函数,例如:
(1)(3x ) 3x ln 3
(2)( x3) 3x2
2、由定义求导数（三步法）
步骤:
(1) 求增量 y f ( x x) f ( x);

(2) f (x) (2x ln x) (2x) ln x (2x)(ln x) 2 ln x 2
法则4 :两个函数的商的导数，等于分子的 导数与分母的积，减去分母的导数与分子 的积，再除以分母的平方,即：
[ f (x)] g(x)
f (x)g(x) f (x)g(x) g 2 ( x)
解： y '
1 ( x2
3) (x (x2 3)2
3)
2x
x2 6x (x2 3)2
3
当x 3时, f (3) 32 6 3 3 1
(32 3)2
6
例4:求曲线y=x3+3x－8在x=2处的切 线的方程.
解 ： f (x) (x3 3x 8) 3x2 3， k f (2) 3 22 3 15， 又 切 线 过 点(2,6)， 切 线 方 程 为: y 6 15(x 2)， 即 ：15x y 24 0．
解：法一：y (2x2 3)(3x 2) (2x2 3)(3x 2)
4x(3x 2) (2x2 3) 3 18x2 8x 9 法二：y (6x3 4x2 9x 6)
18x2 8x 9
解： y '
(x2 )'
sin x x2 sin 2 x
(sin
x)'
2x sin x x2 cos x sin 2 x
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学习永远不晚。 JinTai College
x
x
f (x x) f (x) g(x x) g(x)
x
x
二、知识新授
法则1: 两个函数的和（或差）的导数， 等于这两个函数的导数的和（或差），即：

(u·v)'=u'vuv'
由法则又可推出(Cu)'=Cu'即常数 与函数的积的导数，等于常数乘以函 数的导数.
**[法则3]** 两个函数的商的导数，等于分子的
导数与分母的积，减去分母的导数与分 子的积，再除以分母的平方.即
u u'v uv'
( )' v
v2
(v 0)
如何证明，请同学们思考.
**[法则1]** 两个函数的和(或差)的导数，等于这
两个函数的导数的和(或差)即 (uv)'=u'v'
**[法则1]** 两个函数的和(或差)的导数，等于这
两个函数的导数的和(或差)即 (uv)'=u'v'
**[法则2]** 两个函数的积的导数，等于第一个函
数的导数乘第二函数，加上第一个函数 乘第二函数的导数，即
[例1] 求y x2 的导数. sin x
[例2]
求y
x3 x2 3
在点x
3处的导数.
[例3]
求曲线y
x
2
2
x
1
在点(1,
1)处
的切

则y′u=3uln 3，u′v=
1， vln 2
v′x=2x-2，
所以y′x=
(2x 2) 3log2 (x2 2x3) ln 3 (x2 2x 3)ln 2
2log2 3 (x 1)3log2 (x2 2x3) . x2 2x 3

【延伸探究】在本例(2)①中，将cos x换为sin x，当x=0时其
则对 求导.
1 2x
【自主解答】(1)y=f(x)= 1 =(1-3x)-4．
(1 3x)4
设y=u-4，u=1-3x，则
f′(x)=y′x=y′u·u′x=(u-4)′u·(1-3x)′x
=-4u-5·(-3)=12u-5=12(1-3x)-5=12 ．
(1 3x)5
f′(1)=
12 3. (1 3)5 8
答案：1.6x2-12x+2 2. x2 2x
(x 1)2
知识点2 复合函数的导数 复合函数求导的一般方法 (1)分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成， 适当选定中间变量. (2)分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中 特别要注意的是中间变量. (3)根据基本函数的求导公式及导数的运算法则，求出各函数 的导数，并把中间变量转换成自变量的函数.
2.复合函数的求导公式 (1)复合函数的定义：①一般形式是_y_=_f_(_g_(_x_)_)_. ②可分解为_y_=_f_(_u_)_与_u_=_g_(_x_)_，其中u称为_中__间__变__量__. (2)求导法则：复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u)， u=g(x)的导数间的关系为：y′x=_y_′__u_·_u_′__x_.
所以
(f (x) g(x)
)

[规律方法] 关于函数导数的应用及其解决方法 (1)应用：导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切 线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用； (2)方法：先求出函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、 切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜 率，再根据条件求切点坐标．总之，切点在解决此类问题时 起着至关重要的作用．
[跟踪训练] 如图有一个图象是函数 f(x)＝13x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，且 a≠0) 的导函数的图象，则 f(－1)＝ ( )
A．13
B．－13
C．73
D．－13或53
解析：f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1＝[x＋(a＋1)][x＋(a－1)]，图(1)与(2) 中，导函数的图象的对称轴都是 y 轴，此时 a＝0，与题设不符合， 故图(3)中的图象是函数 f(x)的导函数的图象．由图(3)知 f′(0)＝0， 由根与系数的关系得－(a＋(a＋1)(1a)－－1(a)＝－01，)>0， 解得 a＝－1. 故 f(x)＝13x3－x2＋1，所以 f(－1)＝－13. 答案：B
【题型探究】
题型一 利用导数四则运算法则求导
[例 1] 求下列函数的导数：
(1)y＝x2＋log3x；(2)y＝x3·ex；(3)y＝coxs
x .
[解] (1)y′＝(x2＋log3x)′＝(x2)′＋(log3x)′＝2x＋xln1 3.
(2)y′＝(x3·ex)′＝(x3)′·ex＋x3·(ex)′
19
17
A. 4
B. 4
15
13
C. 4
D. 4
解析：∵s′＝2t－t32，∴s′|t＝2＝4－34＝143.
答案：D