第七章 树

（root），其余结点可分为m （m≥0）个互不相交的有限子集 T1、T2、…、Tm，而每个子集本身又是一棵树，称为根结点 root的子树。 树中所有结点构成一种层次关系！
第一层
树的特 点？
第二层 第三层 第四层
复习：二、树的基本术语
1.结点A、D的度？树的度？ 2;3;3; 2.根结点？分支结点？叶子结点？ A;BCDE;GHIJF;
在二叉链中，空指针的个数？
b A
B∧
C
∧D
∧E∧
∧F∧
∧G∧
n个结点 2n个指针域 分支数为n-1 非空指针域有n-1个 空指针域个数 = 2n-(n-1) = n+1
n=7 空指针域个数=8
39/10
40/10
二叉树
当n=3，结果为ห้องสมุดไป่ตู้。
第n个Catalan数
41/23
有n个结点并且高度为n的不同形态的二叉树个数是多少？ 该二叉树：有n层，每层一个结点，该结点可以
43/23
结点个数为n，树形可以唯一确定 叶子结点个数为n0，树形不能唯一确定 n为奇数时，n1=0； n为偶数时，n1=1。 n0=n2+1 高度h= log2(n+1)，是n个结点高度最小的二叉树
44/23
含有60个叶子结点的二叉树的最小高度是多少？
在该二叉树中，n0=60，n2=n0-1=59，n=n0+n1+n2=119+n1。 当n1=0且为完全二叉树时高度最小。 此时高度h=log2(n+1)= log2120=7。
作为双亲结点的左孩子，也可以作为右孩子 这样的二叉树的个数=1×2×…×2=2n-1。
例如，当n=3时有22=4个这样的二叉树。

第一节
茶树优质高产树冠模式
三、茶树树冠培养的主要修剪方式
※ 用于幼年茶树和台刈后的茶树。 ※ 通过剪去部分主枝和高位侧枝控 制树高，培养健壮骨干枝，促进分 枝的合理布局和扩大树冠。 ※ 培养理想树冠需经几次定型修剪 才能完成，并通过轻修剪和打顶轻 采加以调整。
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
4、利用枝条的异质性，更新复壮树冠
茶树形态学下部，从生长年龄来说是年长的， 但其生理发育年龄梯度是年幼的；茶树上部枝条则 相反。
修剪部位越低，阶段发育年龄轻，剪后开花就 迟，由基部长出的枝梢生育能力也较强。
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
第一节
茶树优质高产树冠模式
（二）树冠高度适中
太矮，难达一定覆盖度和芽叶密度； 太高，降低了光合产物和矿质营养。
1、大叶种（高型树冠） 1m左右 ——热带、亚热带区域
2、中小叶种（中型树冠） 80-90cm ——长江流域
3、小叶种（低型树冠） 50-70cm ——江北茶区
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
第一节
茶树优质高产树冠模式
一、高产优质茶树树冠的构成
（一）分枝结构合理
1、分枝层次多且清楚 分枝层次可达12－14层

(b)
(a)
V5
2
1
V7
8
9
V2
V4
2
3
V8
5
V1
V1
V4
V5
1
3
V7
V6
8
V4
2
V8
5
6
V1
1
V5
6
V7
V6
8
3
V8
5
6
V7
9
V3
(e)
V3
(f)
(g)
22
V2
V3
(h)
五.应用举例——求最小生成树
例3 用管梅谷算法求下图的最小生成树。
23
五.应用举例——求最小生成树
例3 用管梅谷算法求下图的最小生成树。
成圈。
首先证明T无简单回路。对n作归纳证明。
(i) n=1时,m=n-1=0,显然无简单回路；
(ii)假设顶点数为n-1时无简单回路，现考察顶点数是n的情况：此时至少有一
个顶点v其次数d(v)=1。因为若n个顶点的次数都大于等于2，则不少于n条边，但这与
m=n-1矛盾。
删去v及其关联边得到新图T’，根据归纳假设T’无简单回路，再加回v及其关联
边又得到图T，则T也无简单回路。
再由图的连通性可知，加入任何一边后就会形成圈，且只有一个圈，否则原图
中会含圈。
9
二. 基本定理——证明
证明(4):(3)(4)，即证一个无圈图若加入任一边就形成圈，
则该图连通，且其任何一边都是桥。
若图不连通,则存在两个顶点vi和vj，在vi和vj之间没有路，若
加边(vi,vj)不会产生简单回路，但这与假设矛盾。由于T无简单回

4t中一个非叶子结点至少有一个孩子结点其中有一个最右边的孩子结点s在b中s没有右孩子t中n个非叶子结点b中对应n个没有右孩子结点t的根结点对应b的根结点它一定是没有右孩子结点n1523先根遍历后根遍历层次遍历具有递归性623给定一棵树t将其转换成二叉树b后t的先根遍历对应b的什么遍历序列
1
树
度为m的树中所有结点的度 ≤ m
5/23
先根遍历 后根遍历 层次遍历
具有递归性
6/23
给定一棵树T，将其转换成二叉树B后，T的先根遍历 对应B的什么遍历序列？
A A B
T
B
T2 T12
B
t11 t2
…
T11
…
t12
先根遍历：A B T11 T12 T2 …
先序遍历：A B t11 t12 t2 …
7/23
给定一棵树T，将其转换成二叉树B后，T的后 根遍历对应B的什么遍历序列？
10/23
在一棵树T中最常用的操作是查找某个结点 的祖先结点，采用哪种存储结构最合适？ 双亲存储结构
如最常用的操作是查找某个结点的所有兄弟， 采用哪种存储结构最合适？
孩子链存储结构或者孩子兄弟链存储结构
11/23
2
二叉树
第n个Catalan数
当n=3，结果为5。
12/23
有n个结点并且高度为n的不同形态的二叉树个数是多 少？
A A B
B
T2 T12
…
t11
t2
T11
…
t12
后根序列： B T11 T12 T2 … A
中序序列：B t11 t12 t2 … A
8/23
已知一棵树T的先根序列和后根序列，可以唯一确定这 棵树？

1. 二叉树的定义
二叉树也称为二分树，它是有限的结点集合，这个集合或者是空，或者由 一个根结点和两棵互不相交的称为左子树和右子树的二叉树组成。 二叉树中许多概念与树中的概念相同。 在含n个结点的二叉树中，所有结点的度小于等于2，通常用n0表示叶子结 点个数，n1表示单分支结点个数，n2表示双分支结与度为2的树是不同的。
度为2的树至少有3个结点，而二叉树的结点数可以为0。 度为2的树不区分子树的次序，而二叉树中的每个结点最多有 两个孩子结点，且必须要区分左右子树，即使在结点只有一棵 子树的情况下也要明确指出该子树是左子树还是右子树。
2/35
归纳起来，二叉树的5种形态：
Ø
4/35
3. 满二叉树和完全二叉树
在一棵二叉树中，如果所有分支结点都有左孩子结点和右孩子结点，并且 叶子结点都集中在二叉树的最下一层，这样的二叉树称为满二叉树。
可以对满二叉树的结点进行层序编号，约定编号从树根为1开始，按照层 数从小到大、同一层从左到右的次序进行。
满二叉树也可以从结点个数和树高度之间的关系来定义，即一棵高度为h 且有2h-1个结点的二叉树称为满二叉树。
R={r} r={<ai，aj> | ai，aj∈D， 1≤i，j≤n，当n=0时，称为空二叉树；否则其中
有一个根结点，其他结点构成根结点的互不相交的左、右子树，该 左、右两棵子树也是二叉树 } 基本运算： void CreateBTree(string str)：根据二叉树的括号表示串建立其存储结构。 String toString()：返回由二叉树树转换的括号表示串。 BTNode FindNode(x)：在二叉树中查找值为x的结点。 int Height()：求二叉树的高度。 … }
5
E

7.5 树的应用
➢判定树
在实际应用中，树可用于判定问题的描述和解决。
•设有八枚硬币，分别表示为a，b，c，d，e，f，g，h，其中有一枚且 仅有一枚硬币是伪造的，假硬币的重量与真硬币的重量不同，可能轻， 也可能重。现要求以天平为工具，用最少的比较次数挑选出假硬币， 并同时确定这枚硬币的重量比其它真硬币是轻还是重。
的第i棵子树。 ⑺Delete（t，x，i）在树t中删除结点x的第i棵子树。 ⑻Tranverse（t）是树的遍历操作，即按某种方式访问树t中的每个
结点，且使每个结点只被访问一次。
7.2.2 树的存储结构
顺序存储结构 链式存储结构 不管哪一种存储方式，都要求不但能存储结点本身的数据 信息，还要能够唯一的反映树中各结点之间的逻辑关系。 1.双亲表示法 2.孩子表示法 3.双亲孩子表示法 4.孩子兄弟表示法
21
将二叉树还原为树示意图
A BCD
EF
A
B
C
E
D
F
A
B
C
E
D
F
22
练习：将下图所示二叉树转化为树
1 2
4
5
3
6
2 4
1 53
6
23
7.3.2 森林转换为二叉树
由森林的概念可知，森林是若干棵树的集合，只要将森林中各棵树 的根视为兄弟，森林同样可以用二叉树表示。 森林转换为二叉树的方法如下：
⑴将森林中的每棵树转换成相应的二叉树。 ⑵第一棵二叉树不动，从第二棵二叉树开始，依次把后一棵二叉树 的根结点作为前一棵二叉树根结点的右孩子，当所有二叉树连起来 后，此时所得到的二叉树就是由森林转换得到的二叉树。
相交的集合T1，T2，…，Tm，其中每一个集合Ti（1≤i≤m）本身又是 一棵树。树T1，T2，…，Tm称为这个根结点的子树。 • 可以看出，在树的定义中用了递归概念，即用树来定义树。因此， 树结构的算法类同于二叉树结构的算法，也可以使用递归方法。

需要证明： G不连通， G有两个支， G无圈。
10
2、树的性质
……
u
v
G
（1）如果G是连通的，说明在G中u和v间还 有别的路，加上uv形成圈，这与G是树矛盾，因此 G不连通。
（2）如果G的支多于2个，那么加上边uv， 仍然不连通，这与G是连通的矛盾，因此G的支数 是两个。
（3）因为G中无圈，所以G中无圈。 因此G正好由两棵树构成。
则得到一个有唯一的一个圈的图; (6) G是连通的,并且若p≥3,则G不是Kp,G中任意两个不
邻接的顶点间加一条边,则得到一个有唯一的一个圈的图。
0
证明略。
1
3
2
4
5
自由树（无根树）
7
2、树的性质
定理7.1.1 设G=(V, E)是一个(p, q)图,则下列各命题等价: (1) G是树
(3) G是连通的且p=q+1
第七章：树和割集
7.1 树及其性质 7.2 生成树 7.3 割点、桥和割集
A
B
C
D EF
有根树
0
1
3
2
4
5
自由树（无根树） 1
第七章：树和割集 树（无圈的连通图）、最小生成树、 割点和割集。
内容
树和割集
建模 一般作为极小的连通图、图的骨架 来研究和应用。
2
7.1 树及其性质
本节主要内容 1、树和森林的定义 2、树的性质 3、极小连通图的定义 4、顶点的偏心率 5、图的半径和中心点
(4) G中无圈且p=q+1
0
1
3
2
4
5
自由树（无根树） 8
2、树的性质
(1) G是树

第 7 章 树和二叉树
教材中练习题及参考答案
1. 有一棵树的括号表示为 A(B，C(E，F(G))，D)，回答下面的问题： （1）指出树的根结点。 （2）指出棵树的所有叶子结点。 （3）结点 C 的度是多少？ （4）这棵树的度为多少？ （5）这棵树的高度是多少？ （6）结点 C 的孩子结点是哪些？ （7）结点 C 的双亲结点是谁？ 答：该树对应的树形表示如图 7.2 所示。 （1）这棵树的根结点是 A。 （2）这棵树的叶子结点是 B、E、G、D。 （3）结点 C 的度是 2。 （4）这棵树的度为 3。 （5）这棵树的高度是 4。 （6）结点 C 的孩子结点是 E、F。 （7）结点 C 的双亲结点是 A。
12. 假设二叉树中每个结点值为单个字符，采用二叉链存储结构存储。设计一个算法 计算一棵给定二叉树 b 中的所有单分支结点个数。 解：计算一棵二叉树的所有单分支结点个数的递归模型 f(b)如下：
f(b)=0 若 b=NULL
6 f(b)=f(b->lchild)+f(b->rchild)+1 f(b)=f(b->lchild)+f(b->rchild)
表7.1 二叉树bt的一种存储结构 1 lchild data rchild 0 j 0 2 0 h 0 3 2 f 0 4 3 d 9 5 7 b 4 6 5 a 0 7 8 c 0 8 0 e 0 9 10 g 0 10 1 i 0
答：（1）二叉树bt的树形表示如图7.3所示。
a b c e h j f i d g e h j c f i b d g a
对应的算法如下：
void FindMinNode(BTNode *b,char &min) { if (b->data<min) min=b->data; FindMinNode(b->lchild,min); //在左子树中找最小结点值 FindMinNode(b->rchild,min); //在右子树中找最小结点值 } void MinNode(BTNode *b) //输出最小结点值 { if (b!=NULL) { char min=b->data; FindMinNode(b,min); printf("Min=%c\n",min); } }

max
平均生长量的主要用途 ：
(1)可根据同一生长期平均生长量的大小来比较不同树种在 同一条件下生长的快慢或同一树种在不同条件下生长的快
慢。
(2)材积平均生长量是说明平均每年材积生长数量的指标。 在树木或林分整个生长过程中，平均生长量最高的年轮叫 数量成熟龄，是确定林木采伐年龄的依据之一
三、连年生长量与平均生长量的关系
生长量相等，即Z(t)＝θ(t)时，两条曲线相交。对树木材积来 说，两条曲线相交时的年龄即为数量成熟龄。
(4) 在总平均生长量达到最高峰以后，连年生长量永远小于平
均生长量，即Z(t)＜θ(t) 。
第五节 树木生长率
一、生长率的定义
生长率是树木某调查因子的连年生长量与其总生 长量的百分比，它是说明树木相对生长速度的， 即 Z (t )
• 如上例中的Richards方程：
1 dZ (t ) d 2 y (t ) A c c 1 A 1 2 rc y (t )1 ( ) 1 ( )( )c 2 dt dt y (t ) c y (t )
• 若令
dZ (t ) 0 dt
• 由此可得
V g H f V g H f
• 即： P Pg PH Pf 2PD PH Pf V • 假设在短期间内形 数变化较小(即)，则材积生长率近
D2
用
g
同除上式的两边，得
Pg 2PD
即断面积生长率等于胸径生长率的两倍
三、各调查因子生长率之间的关系（2）
（2）树高生长率(PH)与胸径生长率(PD)的关系 假设树高与胸径的生长率之间关系满足相对生长D(t ) dt
即林木的树高与胸径之间可用如下幂函数表示