2.5_逆命题和逆定理

2.5 逆命题和逆定理课堂笔记1．命题与逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的是第二个命题的，而第一个命题的是第二个命题的，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的．2．定理与逆定理：如果一个定理的能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的，这两个定理叫做．3．垂直平分线的性质：到线段相等的点在线段的上．分层训练A组基础训练1．下列定理中，没有逆定理的是（）A.两直线平行，同位角相等B.对顶角相等C.全等三角形的对应边相等D.两直线平行，同旁内角互补2．下列说法中，正确的有（）①每个命题都有逆命题；②每个定理都有逆定理；③假命题的逆命题一定是假命题；④假命题没有逆命题．A 1个B．2个 C 3个D．4个3．下列命题的逆命题是真命题的是（）A．等边三角形是锐角三角形B．两个图形关于某直线对称，则这两个图形全等C．两直线平行，同位角相等D．两个全等三角形的面积相等4．能证明命题“若a>0，b>0，则a＋b>0”的逆命题是假命题的反例是（）A．a＝1，b＝1 B．a＝3，b＝4C．a＝－3，b＝4 D．a＝－5，b＝25．（无锡中考）命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是命题．（填“真”或“假”）6．写出一个存在逆定理的定理：．7．写出下列命题的逆命题，并证明逆命题是假命题．（1）若b＝c，则ab＝ac；（2）若一个整数的个位数字是5，则这个数能被5整除．8．利用线段垂直平分线性质定理及其逆定理证明以下命题．已知：如图，AB＝AC，DB＝DC，点E在AD上，求证：EB＝EC.9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D.求证：线段AB的垂直平分线经过点D.10．写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假．如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请举反例说明．命题：两边上的高相等的三角形是等腰三角形．B组自主提高11．写出命题“如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等”的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假．若是假命题，请举出反例．12．写出命题“等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等”的逆命题，并证明该逆命题是真命题．13．如图所示，在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线交于点P.（1）求证：PA＝PB＝PC；（2）点P是否也在边AC的垂直平分线上？由此你还能得出什么结论？C组综合运用14．（1）如图，已知△ABC是等边三角形，D，E，F分别是AB，BC，AC上的点．若AD ＝BE＝CF，求证：△DEF是等边三角形．（2）请问（1）的逆命题成立吗？若成立，请证明；若不成立，请用反例说明．答案2.5 逆命题和逆定理【课堂笔记】1. 条件 结论 结论 条件 逆命题2. 逆命题 逆定理 互逆定理3. 两端距离 垂直平分线 【分层训练】 1—4. BACC5. 假6. 两直线平行，同位角相等（答案不唯一）7.（1）若ab ＝ac ，则b ＝c ，假命题，若a ＝0，则b ，c 可以不等； （2）若一个整数能被5整除，则这个数的个位数字是5.假命题，个位数字是0也可．8.连结BC ，∵AB ＝AC ，DB ＝DC ，∴点A 和点D 在线段BC 的中垂线上，∴AD 是线段BC 的中垂线，∴EB ＝EC.9.∠C ＝90°，∠A ＝30°，可得∠CBA ＝60°，∵BD 平分∠ABC ，∴∠DBA ＝∠A ＝30°，∴AD ＝BD ，即线段AB 的垂直平分线经过点D.10.逆命题：等腰三角形两腰上的高相等．这是一个真命题．已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BE ⊥AC 于点E ，CD ⊥AB 于点D. 求证：CD ＝BE.证明：∵BE ⊥AC ，CD ⊥AB ，∴∠AEB ＝∠ADC ＝90°. ∵∠A ＝∠A ，AB=AC ，∴△ABE ≌△ACD （AAS ），∴CD=BE.11.逆命题：如果两个角相等，那么其中一个角的两边与另一个角的两边分别垂直． 原命题是假命题.反例：如图1，∠CAD 的两边与∠EBF 的两边分别垂直，但∠CAD ＝45°，∠EBF ＝135°，即∠CAD ≠∠EBF. 逆命题是假命题．反例：如图2，∠CAD ＝∠EBF ，但显然AC 与BE ，BF 都不垂直．12.逆命题：如果一个三角形一边上的中点到另两边的距离相等，那么这个三角形是等腰三角形．已知：如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，且DE ＝DF.求证：△ABC 为等腰三角形．证明：连结AD. ∵D 是BC 的中点，∴S △ABD ＝S △ACD. ∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴S △ABD ＝21AB ·DE ，S △ACD ＝21AC ·DF. 又∵DE ＝DF ，∴AB ＝AC ，∴△ABC 为等腰三角形．13.（1）证明：∵点P在AB的垂直平分线上，∴PA＝PB，同理点P在BC的垂直平分线上，∴PC＝PB，∴PA＝PB＝PC.（2）由（1）得PA＝PC，根据线段垂直平分线的逆定理，得点P在边AC的垂直平分线上．结论：三角形三边的垂直平分线相交于同一点，这个点与三顶点的距离相等．14. （1）∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AC＝AB＝BC. 又∵AD＝BE＝CF，∴AF＝BD＝CE.在△ADF，△BED，△CFE中，∵AD=BE=CF，∠A=∠B=∠C，AF=BD=CE，∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），∴DF＝DE＝EF，∴△DEF是等边三角形．（2）（1）的逆命题成立．已知：如图，△ABC为等边三角形，D，E，F分别是AB，BC，AC上的点，且△DEF是等边三角形．求证：AD＝BE＝CF.证明：∵△DEF是等边三角形，∴∠EDF＝∠EFD＝∠DEF＝60°，DF＝FE＝ED. ∵△ABC 是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∴∠ADF＋∠AFD＝120°，∠ADF＋∠BDE＝120°，∠BDE＋∠BED＝120°，∠AFD＋∠CFE＝120°，∴∠ADF＝∠BED＝∠CFE. 在△ADF，△BED，△CFE中，∵∠A=∠B=∠C，∠ADF=∠BED=∠CFE，DF=ED=FE，∴△ADF≌△BED≌△CFE（AAS），∴AD＝BE＝CF.。

初中数学知识点精讲精析逆命题和逆定理2.5 逆命题和逆定理学习目标1.经历逆命题的概念的发生过程，了解一个命题都是由条件与结论两部分构成，每个命题都有它的逆命题，命题有真假之分。

2.了解逆命题、逆定理的概念。

知识详解1.在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。

2.如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫做互逆定理。

3.线段垂直平分线性质定理的逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。

【典型例题】例1：下列定理中，有逆定理的是（）A.全等三角形的对应角相等B.三角形的中位线平行于第三边C.四边形的外角和等于360°D.等腰三角形的两个底角相等【答案】D【解析】选项A的逆命题是：对应角相等的三角形是全等三角形，这是一个假命题，反例如两个边长不等的正三角形；选项B的逆命题是：平行于三角形一边的线段的三角形的中位线，这显然是一个假命题，因为平行于三角形一边的线段有无数条，而三角形的中位线只有一条；选项C的逆命题：外角和为360°的多边形一定是四边形，这也是一个假命题，事实上任何多边形的外角和都等于360°；选项D有逆定理：有两个相等的三角形是等腰三角形，这是一个等腰三角形的判定定理。

例2：要说明命题：“一组对边平行且对角线相等的四边形是矩形”是假命题，可以举的反例是（）A．等腰梯形B．矩形C．菱形D．直角梯形【答案】A【解析】“一组对边平行且对角线相等的四边形是矩形”是假命题，可以举的反例是：等腰梯形．例3：用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中（）A．有一个内角大于60°B．有一个内角小于60°C．每一个内角都大于60°D．每一个内角都小于60°【答案】C【解析】用反证法证明“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，应先假设三角形中每一个内角都不小于或等于60°，即都大于60°．故选C．【误区警示】易错点1：反例就是符合已知条件但不满足结论的例子1.以下可以用来证明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例为（）A． 3 B． 4 C．8 D． 6【答案】D【解析】A、3不是偶数，不符合条件，故错误；B、4是偶数，且能被4整除，故错误；C、8是偶数，且是4的2倍，故错误；D、6是偶数，但是不能被4整除，故正确．易错点2：2.举反例说明“一个角的余角大于这个角”是假命题，错误的是（）A．设这个角是45°，它的余角是45°，但45°=45°B．设这个角是30°，它的余角是60°，但30°＜60°C．设这个角是60°，它的余角是30°，但30°＜60°D．设这个角是50°，它的余角是40°，但40°＜50°【答案】B【解析】A、所设的角与它的余角相等，和原结论相符，故A正确；B、所设的角小于它的余角，和原结论相反，故错误；C、所设的角大于它的余角，和原结论相符，故正确；D、所设的角大于它的余角，和原结论相符，故正确．【综合提升】针对训练1.对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举反例，正确的反例是（）A．∠α=60°，∠α的补角∠β=120°，∠β＞∠αB．∠α=90°，∠α的补角∠β=90°，∠β=∠αC．∠α=100°，∠α的补角∠β=80°，∠β＜∠αD．两个角互为邻补角2.用反证法证明“△ABC中，若∠A＞∠B＞∠C，则∠A＞60°”，第一步应假设（）A．∠A=60°B．∠A＜60°C．∠A≠60°D．∠A≤60°3.用反证法证明命题：如果AB⊥CD，AB⊥EF，那么CD∥EF，证明的第一个步骤是（）A．假设CD∥EF B．假设AB∥EF C．假设CD 和EF不平行D．假设AB和EF不平行1.【答案】C【解析】A、∠α的补角∠β＞∠α，符合假命题的结论，故A错误；B、∠α的补角∠β=∠α，符合假命题的结论，故B错误；C、∠α的补角∠β＜∠α，与假命题结论相反，故C正确；D、由于无法说明两角具体的大小关系，故D错误．2.【答案】D【解析】∠A与60°的大小关系有∠A＞60°，∠A=60°，∠A＜60°三种情况，因而∠A＞60°的反面是∠A≤60°．因此用反证法证明“∠A ＞60°”时，应先假设∠A≤60°3.【答案】C【解析】用反证法证明CD∥EF时，应先设CD与EF不平行．故选C．【中考链接】（2012年温州）下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例是（）A．a=-2B．a=-1C．a=1D．a=2【答案】A【解析】用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例可以是：a=-2，∵（-2）2＞1，但是a=-2＜1，∴A正确课外拓展反证法是“间接证明法”一类，是从反方向证明的证明方法，即：肯定题设而否定结论，经过推理导出矛盾，从而证明原命题。

浙教版数学八年级上册2.5《逆命题和逆定理》教学设计一. 教材分析《逆命题和逆定理》是浙教版数学八年级上册第2.5节的内容。

本节内容是在学生已经掌握了命题与定理的基本知识的基础上进行教学的。

通过本节课的学习，使学生掌握逆命题的概念，理解逆定理的含义，并能够运用逆定理解决一些实际问题。

教材通过生活中的实例，引导学生探究逆命题和逆定理，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和解决问题的能力，他们已经学习了命题与定理的基本知识，对于新的知识有一定的接受能力。

但是，对于一些抽象的概念和理论，学生可能还存在着一定的理解难度。

因此，在教学过程中，需要通过生活中的实例和具体的操作，帮助学生理解和掌握逆命题和逆定理。

三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握逆命题的概念，理解逆定理的含义，并能够运用逆定理解决一些实际问题。

2.过程与方法目标：通过探究逆命题和逆定理的过程，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。

四. 教学重难点1.重点：使学生掌握逆命题的概念，理解逆定理的含义。

2.难点：对于逆定理的理解和运用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实例，引导学生探究逆命题和逆定理。

2.小组合作学习：让学生在小组内进行讨论和交流，培养团队合作意识。

3.问题驱动法：通过问题的设置和解决，激发学生的学习兴趣和解决问题的能力。

六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的教学PPT，展示生活中的实例和相关的理论知识。

2.教学素材：准备一些相关的数学题目，用于巩固和拓展学生的知识。

3.教学设备：准备白板和粉笔，用于板书和展示。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个生活中的实例，引导学生思考逆命题和逆定理的概念。

例如，假设有一个命题：“如果一个人是学生，那么他喜欢数学。

”那么这个命题的逆命题就是：“如果一个人喜欢数学，那么他是学生。

2.5逆命题和逆定理1.新课导读问题链接同学们都听过相声，如：‘我是李小龙，李小龙是我。

”，“我抱猴，猴抱我。

”这叫反正话，也有叫颠倒话，是传统相声手段之一。

2.教材解读知识点1互逆命题 (重点)（知识详解）在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题，即其中一个命题称为另一个命题的逆命题.每一个命题都有逆命题，只要将原命题的题设改成结论，并将结论改成题设，便可以得到原命题的逆命题．.但原命题正确，它的逆命题未必正确．.如，对于真命题“如果两个角都是直角，那么这两个角相等”的逆命题“如果两个角相等，那么这两个角是直角”，此命题就是一个假命题．.【知识拓展】如果互逆的两个命题中的原命题与逆命题都是真命题，这时我们也称它们是互逆定理，如平行线的性质定理和判定定理就是互逆定理．【规律方法小结】（1）当一个命题的题设与结论比较明显时，只要将条件和结论互换即可得到命题的逆命题；当一个命题的条件、结论不太分明，可先确定结论，再确定条件，然后将命题改写成“如果…… ，那么……”的形式，再互换条件和结论，从而得到逆命题．（2）互逆命题不是指一个命题，而是指两个命题之间的一种关系，它和互为倒数，互为相反数，互为余角，互为补角这些的含义类似．【探究交流】举反例说明下列命题是假命题：如果ab>0，那么a>0，b>0；【点拨】要说明一个命题是假命题，只要举出一个反例就可以了.即举出一例满足条件，但结论却不成立的例子.如上题：当a=-2，b=-10时，ab=(-2)×(-10)=20>0，但a，b都不大于0，所以该命题是假命题。

【教材栏目答疑】“问题：(课本P67)【答疑】1。

（1）如何一个四边形有两条对称轴，则它就是长方形。

是假命题；（2）能在高速行驶时不接触地面的交通工具，就是磁悬浮列车。

2.5 逆命题和逆定理练习卷A答案解析部分一、单选题1.【答案】C【考点】命题与定理【解析】【解答】两点确定一条直线，垂线段最短，同位角相等都是命题，而作角A的平分线为描述性语言，它不是命题．故答案为：C．【分析】根据命题的定义对各选项分别进行判断．2.【答案】D【考点】命题与定理【解析】【解答】解：命题“锐角小于90度”的逆命题是小于90°的角是锐角.故答案为：D.【分析】如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，即可求解。

3.【答案】C【考点】命题与定理【解析】【解答】A. 将27开立方,没有做出判断，不是命题；B. 任意三角形的三条中线相交于一点吗? 没有做出判断，不是命题；C. 锐角小于直角，将锐角和直角比较，作出了大小判断，故是命题；D. 做一条直线和已知直线垂直，没有做出判断，不是命题；故选C.【分析】判断一件事情的语句叫做命题，由此即可判断.4.【答案】C【考点】命题与定理【解析】【解答】用来证明命题“若a＞b，则a2＞b2是假命题的反例可以是：a＝﹣1，b＝﹣2，因为﹣1＞﹣2，但是（﹣1）2＜（﹣2）2，所以C正确；故选：C．【分析】根据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题．5.【答案】D【考点】命题与定理【解析】【解答】解：当a=3，b=2时，a>b，而a2=9,b2=4,a2>b2成立，故A选项无法确定原命题是假命题；当a=−3，b=2时，a<b，a,b的数值不符合条件，所以无法确定原命题是假命题；当a=3，b=−1时，a>b，而a2=9,b2=1,a2>b2成立，故C选无法确定原命题是假命题；当D. a=−3，b=−4时，a>b，而a2=9,b2=16,a2<b2，故D选项能确定原命题是假命题；故选：D．【分析】说明命题为假命题，即a、b的值满足a>b，但a2>b2不成立，把四个选项中的a、b的值分别代入验证即可．6.【答案】D【考点】命题与定理【解析】【解答】分析选项A、B、C，可知这3个选项均为正数，若a>0，则a>−a，这是个真命题，然而若a<0，则a<−a，故若要证命题“对于任意实数a，a＞-a”是假命题，只需要a为负值即可，综上，只有D选项符合题意。

《逆命题和逆定理》教学目标1、经历逆命题的概念的发生过程，了解一个命题都是由条件与结论两部分构成，每个命题都有它的逆命题，命题有真假之分.2、了解逆命题、逆定理的概念.教学重点、难点重点：会识别两个命题是不是互逆命题，会在简单情况下写出一个命题的逆命题，了解原命题成立，其逆命题不一定成立．难点：能判断一些命题的真假性，并能运用推理的思想方法证明一类较简单的真命题，同时了解假命题的证明方法是举反例说明．教学过程一、回顾旧知，引入新课1、命题的概念：对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题.我们还知道，命题都有两部分，即条件和结论，它的一般形式是“如果…，那么…”例1．命题：“平行四边形的对角线互相平分”条件是 ，结论是 .命题：“对角线互相平分的四边形是平行四边形” 条件是 ， 结论是 .以上两个命题有什么不同？请你说一说.归纳：在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题.填表并思考命题条件 结论 命题真假⑴两直线平行，同位角相等⑵同位角相等，两直线平行⑶如果a b =，那么22a b =⑷如果22a b =，那么a b = 问：每个命题都有它的逆命题，但每个真命题的逆命题是否一定为真命题？二、例题教学例1、说出定理“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等的逆命题，并证明这个逆命题是真命题.注意：①注意组织适当的语句叙述出逆命题，不能只是把原命题的条件和结论交换位置.②引导学生运用分类考虑的必要性.练习：⑴作业题4三、小结：这节课我们学到了什么？①逆命题、逆定理的概念.②能写出一个命题的逆命题.四、作业作业：1．课后作业题.。

2.5逆命题和逆定理教案教学目标1.经历逆命题的概念的发生过程.2.了解逆命题、逆定理的概念.3.会识别两个命题是不是互逆命题.会在简单情况下写出一个命题的逆命题.4.了解原命题成立，其逆命题不一定成立.5.理解线段的垂直平分线性质定理的逆定理的证明.教学重难点重点：逆命题和逆定理的概念．难点：例1，写逆命题以及证明逆命题为真的表述均有难度，是本节课的难点．教学过程一、引入新课（一）温故知新1.什么事命题：判断某一件事情的句子叫做命题.2.命题的结构：命题由条件、结论组成.3.命题的分类：真命题和假命题.【设计意图】回顾命题的相关知识，为学习本节课的逆命题和逆定理做准备.二、讲授新课（一）探究新知1请你仔细阅读表中的四个命题，填写并思考：命题（1）和命题（2），命题（3）和命题（4）的条件和结论有什么关系？命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．我们把其中的一个叫做原命题，另一个叫做它的逆命题．注：每一个命题都有逆命题，只要将原命题的条件改成结论，并将结论改成条件，便可得到原命题的逆命题．但是原命题正确，它的逆命题未必正确．【设计意图】经历逆命题的概念的发生过程，了解逆命题的概念.（二）运用新知1说出下列命题的逆命题，并判定逆命题的真假：⑴长方形有两条对称轴．⑵磁悬浮列车是一种高速行驶时不接触地面的交通工具．【设计意图】及时巩固逆命题的概念．会识别两个命题是不是互逆命题.会在简单情况下写出一个命题的逆命题.（三）探究新知2如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫互逆定理．做一做：说出两对互逆定理．【设计意图】了解逆定理的概念．（四）运用新知2下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，写出它的逆定理．（1）同旁内角互补，两直线平行．（2）三角形的两边之和大于第三边．【设计意图】及时巩固逆定理的概念．（五）运用新知3例1说出定理“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”的逆命题，并证明这个逆命题是真命题．【设计意图】理解线段的垂直平分线性质定理的逆定理的证明.（六）运用新知4例2说出命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题，判断这个命题的真假，并说明理由. 解：逆命题是“如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等.”这个逆命题是假命题.举反例如下：如图，在△ABC和△ABE中，CD，EF分别是△ABC和△ABE的AB边上的高线，且CD=EF，则△ABC和△ABE的面积相等，但显然它们不全等．所以这个逆命题是假命题．【设计意图】了解原命题成立，其逆命题不一定成立.三、小结梳理1.在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一命题就叫做它的逆命题．2.如果一个定理的逆命题被证明是真命题（定理），那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理．四、作业布置见word文档.。