逆命题与逆定理(提高)知识讲解

初二下册数学逆命题与逆定理知识点引言在初中数学的学习过程中，我们经常会遇到一些逆命题和逆定理。

逆命题是指对于一个命题，将其表述中的“如果……，那么……”反过来，得到的命题就是逆命题。

逆定理则是一些与已知定理相对立的命题。

理解和掌握逆命题和逆定理的知识对于我们解题过程中的推理和证明非常重要。

接下来，我们将介绍初二下册数学中的一些重要的逆命题和逆定理知识点。

逆命题逆命题是对于一个命题，将其表述中的“如果……，那么……”反过来，得到的命题。

逆命题与原命题不一定等价，也就是说，原命题成立并不能保证逆命题成立。

举个例子，假设原命题为“如果一个人是中国人，那么他会说中文”。

那么逆命题为“如果一个人不会说中文，那么他不是中国人”。

显然，原命题成立并不能保证逆命题成立。

因此，在推理过程中，我们通常不能通过逆命题得出与原命题相同的结论。

逆定理逆定理是一些与已知定理相对立的命题。

逆定理的表达形式通常为“不成立”的形式。

逆定理与原定理不一定互为逆命题。

举个例子，已知定理为“两个平行线被一条截线所截，对内相对应的两组对应角相等”。

那么逆定理可以表述为“两个平行线被一条截线所截，对外相对应的两组对应角相等不成立”。

即使逆定理与原定理不一定互为逆命题，但它们之间却具有密切的联系。

数学逆定理的应用在初二下册数学学习中，逆定理的应用非常广泛。

我们以数学中的一些重要定理为例，介绍逆定理的应用。

勾股定理及逆定理勾股定理是我们在初中学习过程中最常见的定理之一。

勾股定理表述为“直角三角形斜边的平方等于两腰的平方和”。

即若已知一个三角形的两边为a和b，斜边为c，且满足c^2 = a^2 + b^2，那么这个三角形一定是直角三角形。

逆定理表述为“如果一个三角形的三边满足c^2 = a^2 + b^2，那么这个三角形一定是直角三角形。

”逆定理与勾股定理之间存在着密切的联系。

作图定理及逆定理作图定理是指根据一个几何条件，我们可以用直尺和圆规画出符合要求的图形。

2.4 逆命题和逆定理（3）举出反例即可．【详解】（1）解：此命题的条件为：a=b，结论为：|a|=|b|；（2）此命题的逆命题为：如果|a|=|b|，那么a=b；（3）此命题的逆命题是假命题，当a,b为相反数时，它们的绝对值相等，但本身不相等，如a=2,b=―2时，|2|=|―2|，而2≠―2．【点睛】本题考查的是命题与定理，用到的知识点是真假命题的定义，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，交换命题的中题设和结论即为原命题的逆命题．考查题型二互逆定理4．下列说法正确的是（）A．任何命题都有逆命题B．任何定理都有逆定理C．真命题的逆命题一定是真命题D．定理的逆命题一定是真命题【答案】A【分析】利用逆命题、逆定理的知识对各项进行判断即可得到答案．【详解】解：A.任何命题都有逆命题，故A说法正确，符合题意；B.任何定理不一定有逆定理，故B说法错误，不符合题意；C.真命题的逆命题不一定是真命题，故C说法错误，不符合题意；D. 定理的逆命题不一定是真命题，故D说法错误，不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了命题与定理，判断事物的语句叫命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题，经过推理论证的真命题叫定理，两个命题的题设与结论为互换的命题互为逆命题．5．下列定理中，没有逆定理的是（）A．同角的余角相等B．等腰三角形两个底角相等C．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等D．两直线平行，同旁内角互补【答案】A【分析】没有逆定理就是逆命题不正确的选项，逐一写出各选项的逆命题，判定即可．【详解】解：A、逆命题是余角相等的两个角是同一个角，不是逆定理；B、逆命题是有两个角相等的三角形是等腰三角形，是逆定理；C、到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，是逆定理；D、逆命题是同旁内角互补，两直线平行，是逆定理；故选A．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解这些命题的逆命题，然后判断其真假．6．下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，写出它的逆定理．(1)同旁内角互补，两直线平行．(2)三角形的两边之和大于第三边．【答案】(1)有，逆定理是：两直线平行，同旁内角互补(2)有，逆定理是：如果三条线段中，任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度，那么这三条线段能围成三角形【分析】（1）先写出逆命题，再根据平行线的性质判断逆命题的真假，进而可得出结论；（2）先写出逆命题，再根据三角形的三边关系判断逆命题的真假，进而可得出结论．【详解】（1）解：逆命题是：两直线平行，同旁内角互补，是真命题，故原定理有逆定理：两直线平行，同旁内角互补；（2）解：逆命题为：如果三条线段中，任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度，那么这三条线段能围成三角形，是真命题，故原定理有逆定理：如果三条线段中，任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度，那么这三条线段能围成三角形．【点睛】本题考查了逆定理的定义、平行线的性质、三角形的三边关系，解答的关键是理解逆定理的定义：如果一个定理的逆命题被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理．∠ABC，∴∠CBD=12∴∠CBD=∠BCE，在△BCE和△CBD∠CBE=∠BCDBC=CB∠BCE=∠CBD棍EF，GD组成，D是EF的中点．寻找角的平分线时，需要调整位置，使得所分角的顶点O在GD上，同时保证T形分角仪的E，F两点正好落在所分角的两条边OA，OB上，此时OD就会平分∠AOB．为说明制作原理，请结合下边图形，用数学符号语言补全“已知”、“求证”，并写出证明过程．已知：如图，点E，F分别在∠AOB的边上，DG经过点O，__________，__________．求证：__________．证明：【答案】见解析【分析】根据题意，写出已知、证明、求证，根据垂直平分线的性质得出OE=OF，进而根据等腰三角形的性质得出OD平分∠AOB．【详解】已知：如图，点E，F分别在∠AOB的边上，DG经过点O，DG⊥EF，DE=DF（或D是EF的中点），求证：OD平分∠AOB（或∠AOD=∠BOD）．证明：∵DG⊥EF，DE=DF，∴DG垂直平分EF．∴OE=OF．∵DG⊥EF，点O在DG上，∴OD平分∠EOF．即OD平分∠AOB．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．11．如图，有如下四个论断：①AC∥DE；②DC∥EF；③CD平分∠BCA；④EF平分∠BED，请你选择四个论断中的三个作为条件，余下的一个论断作为结论，构成一个正确的数学命题并证明它．【答案】见解析【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义即可得到结论．【详解】已知：AC∥DE，DC∥EF，CD平分∠BCA，求证：EF平分∠BED．证明：如图所示，∵AC∥DE，∴∠BCA=∠BED，即∠1+∠2=∠4+∠5，∵DC∥EF，∴∠2=∠5，∵CD平分∠BCA，∴∠1=∠2，∴∠4=∠5，∴EF平分∠BED．【点睛】本题考查了命题与定理，平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．12．作图：已知直线l1∥l2∥l3，在三条直线上各取一个点作一个等边△ABC．操作：如图，在l1上取点A，D，在l3上取点E，作等边△ADE，DE交l2于点B；在l3上点E的左侧取点C，使CE＝BD，连接AC，BC，则△ABC即为所求的等边三角形．(1)完成作图并写出已知，求证；(2)证明△ABC为等边三角形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据题意作图即可；然后写出对应的已知和求证即可；（2）只需要证明△ACE ≌△ADB 得到AC ＝AB ，∠CAE ＝∠BAD ，再证∠CAE +∠EAB ＝∠BAD +∠EAB ＝60°，即∠CAB ＝60°，即可证明△ABC 为等边三角形．【详解】（1）解：如图，△ABC 即为完成的图形；已知：如图，已知直线l 1∥l 2∥l 3，在l 1上取点A ，D ，在l 3上取点E ，作等边△ADE ，DE 交l 2于点B ；在l 3上点E 的左侧取点C ，使CE ＝BD ，连接AC ，BC ．求证：△ABC 为等边三角形．（2）证明：由（1）得：∵△ADE 是等边三角形，∴AD ＝AE ，∠EAD ＝∠EDA ＝∠AED ＝60°，∵l 1∥l 2∥l 3，∴∠EAD ＝∠CEA ＝60°，∴∠AEC ＝∠EDA ，在△ACE 和△ADB 中，AD =AE ∠AEC =∠ADB BD =CE，∴△ACE ≌△ADB （SAS ），∴AC ＝AB ，∠CAE ＝∠BAD ，∴∠CAE +∠EAB ＝∠BAD +∠EAB ＝60°，∴∠CAB ＝60°，∴△ABC 为等边三角形．【点睛】本题主要考查了作等边三角形，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，平行线的性质，写出一个命题的已知和求证，正确理解题意画出图形是解题的关键．13．写出定理“等腰三角形顶角的角平分线和底边上的高线互相重合”的逆命题，并证明这个命题是真命题．逆命题：______．已知：______．求证：______．【答案】一边上的高线与这边对角的角平分线重合的三角形是等腰三角形；如图所示，AD⊥BC，AD是△ABC的角平分线；△ABC是等腰三角形；证明见解析．【分析】根据逆命题可直接进行解答，然后写出已知求证，进而根据三角形全等进行求证即可．【详解】解：由题意可得，原命题的逆命题为：一边上的高线与这边对角的角平分线重合的三角形是等腰三角形．这个命题是真命题．已知，如图所示：AD⊥BC，AD是△ABC的角平分线，求证△ABC是等腰三角形．证明如下：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠DAB=∠DAC，∵AD=AD，∴△ABD≌△ACD，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．故答案为：一边上的高线与这边对角的角平分线重合的三角形是等腰三角形；如图所示，AD⊥BC，AD是△ABC的角平分线；△ABC是等腰三角形．【点睛】本题主要考查逆命题、全等三角形的性质与判定及等腰三角形的判定，熟练掌握逆命题、全等三角形的性质与判定及等腰三角形的判定是解题的关键．14．如图所示，AB，CD相交于点E，连接AD，BC，①∠A=∠C，②AD=CB，③AE=CE．以这三个式子中的两个作为命题的条件，另一个作为命题的结论，构成三个命题：①②⇒③；①③⇒②；②③⇒①．（1）在构成的三个命题中，真命题有________个；（2）请选择其中一个真命题加以证明．【答案】（1）2；（2）选择①②⇒③，见解析.【分析】（1）根据全等三角形的判定定理AAS ，ASA 即可判断；（2）选择①②⇒③，根据全等三角形的判定定理AAS ，得到ΔADE≌ΔCBE (AAS )，然后即可得到AE =CE .【详解】解：（1）①②⇒③，满足全等三角形判定定理AAS ，是真命题；①③⇒②，满足全等三角形判定定理ASA ，是真命题；②③⇒①，是SSA ，不能证明三角形全等，故不能得到①成立，是假命题；故答案为2；（2）选择①②⇒③．证明：在ΔADE 和ΔCBE 中，∠AED =∠CEB (对顶角相等)，∠A =∠C (已知)，AD =CB (已知)，∴ΔADE≌ΔCBE (AAS )．∴AE =CE （全等三角形的对应边相等）．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，掌握、熟练运用全等三角形的证明方法证明全等是解题的关键.。

逆命题和逆定理
（原创版）
目录
1.逆命题和逆定理的定义
2.逆命题和逆定理的区别
3.逆命题和逆定理的应用
正文
一、逆命题和逆定理的定义
在数学中，逆命题和逆定理是两个相关但有所区别的概念。

逆命题指的是，如果一个命题的题设和结论互换位置并且同时取反，那么得到的新命题就是原命题的逆命题。

例如，原命题为“若 A，则 B”，那么逆命题为“若非 B，则非 A”。

逆定理则是指，对于一个定理，如果将其结论和条件互换并且同时取反，得到的新命题称为原定理的逆定理。

二、逆命题和逆定理的区别
逆命题和逆定理在形式上有所不同，但它们之间存在一定的联系。

首先，逆命题是针对命题而言的，而逆定理是针对定理而言的。

逆命题是对原命题的题设和结论进行交换和取反，而逆定理是对原定理的结论和条件进行交换和取反。

其次，逆命题和逆定理的真假性质并不一定相同。

逆命题的真假与原命题的真假并无必然联系，而逆定理的真假则与原定理的真假密切相关。

三、逆命题和逆定理的应用
逆命题和逆定理在数学中有广泛的应用。

在证明过程中，有时候可以通过逆命题或逆定理来简化证明过程。

例如，在证明某个定理时，如果直接证明较为复杂，可以尝试先证明其逆定理，再通过逆定理与原定理的等价性来得到原定理的证明。

此外，逆命题和逆定理在解决实际问题中也有
一定的应用，例如在逻辑推理、问题求解等方面都可以利用逆命题和逆定理来简化思考过程。

逆命题和逆定理摘要：一、逆命题与逆定理的定义二、逆命题与逆定理的关系三、逆命题与逆定理的应用四、总结正文：逆命题与逆定理是数学中非常重要的概念，它们在数学证明中起着至关重要的作用。

本文将首先介绍逆命题与逆定理的定义，然后讨论它们之间的关系，接着分析它们在数学中的应用，最后进行总结。

一、逆命题与逆定理的定义1.逆命题逆命题是针对一个命题的否定并且交换主语和谓语得到的命题。

设命题P 为“若A，则B”，则逆命题为“若B，则A”。

2.逆定理逆定理是将一个命题的逆命题作为前提，原命题作为结论所得到的命题。

设命题P 为“若A，则B”，则逆定理为“若B，则A”。

二、逆命题与逆定理的关系逆命题与逆定理是相互关联的，它们互为逆否命题。

也就是说，如果一个命题的逆命题为真，那么这个命题的逆定理也为真。

反之，如果一个命题的逆定理为真，那么这个命题的逆命题也为真。

三、逆命题与逆定理的应用1.证明的辅助工具逆命题和逆定理在数学证明中经常被用作辅助工具。

通过证明一个命题的逆命题或逆定理，我们可以得到关于原命题的许多有用信息，从而简化证明过程。

2.构造性证明在一些数学问题中，我们可以通过构造性证明来证明一个命题。

构造性证明通常涉及使用逆命题或逆定理，以帮助我们找到一个合适的构造方法。

3.分析问题逆命题和逆定理可以帮助我们分析问题。

通过研究一个问题的逆命题或逆定理，我们可以更好地理解问题的本质，从而找到解决问题的方法。

总之，逆命题和逆定理是数学中非常关键的概念。

它们在数学证明中起着至关重要的作用，可以作为证明的辅助工具，也可以用于构造性证明和分析问题。