2.5 逆命题和逆定理(1)

2.5 逆命题和逆定理1．下列说法中，正确的是(A)A. 每一个命题都有逆命题B. 假命题的逆命题一定是假命题C. 每一个定理都有逆定理D. 假命题没有逆命题2．下列命题的逆命题为真命题的是(C)A. 直角都相等B. 钝角都小于180°C. 若x2＋y2＝0，则x＝y＝0D. 同位角相等3．下列定理中，有逆定理的是(D)A. 对顶角相等B. 同角的余角相等C. 全等三角形的对应角相等D. 在一个三角形中，等边对等角4．下列命题中，其逆命题是假命题的是(B)A. 等腰三角形的两个底角相等B. 若两个数的差为正数，则这两个数都为正数C. 若ab＝1，则a与b互为倒数D. 如果|a|＝|b|，那么a2＝b25．写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假，若是假命题，请举出反例．(1)若x＝y＝0，则x＋y＝0.【解】逆命题：若x＋y＝0，则x＝y＝0.这个逆命题是假命题．反例：当x＝－1，y ＝1时，x＋y＝0，但x≠0，y≠0.(2)等腰三角形的两个底角相等．【解】逆命题：有两角相等的三角形是等腰三角形．这个逆命题是真命题．6．下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，请写出逆定理．(1)同旁内角互补，两直线平行．(2)三边对应相等的两个三角形全等．【解】(1)有逆定理，逆定理是“两直线平行，同旁内角互补”．(2)有逆定理，逆定理是“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的三边对应相等．”(第7题)7．利用线段垂直平分线性质定理及其逆定理证明以下命题．已知：如图，AB＝AC，DB＝DC，点E在AD上．求证：EB＝E C.【解】连结B C.∵AB＝AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上．∵DB＝DC，∴点D在线段BC的垂直平分线上．∴AD是线段BC的垂直平分线(两点确定一条直线)．又∵点E在AD上，∴EB＝E C.8．写出命题“如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等”的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假．若是假命题，请举出反例．【解】逆命题：如果两个角相等，那么其中一个角的两边与另一个角的两边分别垂直．原命题是假命题.反例：如解图①，∠CAD的两边与∠EBF的两边分别垂直，但∠CAD＝45°，∠EBF＝135°，即∠CAD≠∠EBF.(第8题解)逆命题是假命题．反例：如解图②，∠CAD＝∠EBF，但显然AC与BE，BF都不垂直．9．写出命题“等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等”的逆命题，并证明该逆命题是真命题．【解】逆命题：如果一个三角形一边上的中点到另两边的距离相等，那么这个三角形是等腰三角形．已知：如解图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且DE＝DF.(第9题解)求证：△ABC为等腰三角形．证明：连结A D.∵D是BC的中点，∴S△ABD＝S△AC D.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴S△ABD＝12AB·DE，S△ACD＝12AC·DF.又∵DE＝DF，∴AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形．10．举反例说明定理“全等三角形的面积相等”没有逆定理．【解】逆命题：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等．反例：如解图所示，l1∥l2，△ABC和△BCD同底等高，∴△ABC的面积等于△BCD的面积，但△ABC和△BCD不全等．故此定理没有逆定理．(第10题解)11．已知命题“等腰三角形底边上的中线与顶角的平分线重合”，写出它的逆命题，判断该逆命题的真假，并证明．【解】逆命题：一边上的中线与它所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形，是真命题．(第11题解)已知：如解图，在△ABC中，BD＝CD，AD平分∠BA C.求证：△ABC是等腰三角形．证明：延长AD到点E，使DE＝AD，连结BE，CE.∵BD＝CD，DE＝DA，∠BDE＝∠CDA，∴△BDE≌△CDA(SAS)．∴BE＝CA，∠BED＝∠CA D.∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BA D.∴∠BAD＝∠BE D.∴AB＝BE.∴AB＝A C.∴△ABC是等腰三角形．。

浙教版数学八年级上册2.5《逆命题和逆定理》教学设计一. 教材分析《逆命题和逆定理》是浙教版数学八年级上册第2.5节的内容。

本节内容是在学生已经掌握了命题与定理的基本知识的基础上进行教学的。

通过本节课的学习，使学生掌握逆命题的概念，理解逆定理的含义，并能够运用逆定理解决一些实际问题。

教材通过生活中的实例，引导学生探究逆命题和逆定理，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和解决问题的能力，他们已经学习了命题与定理的基本知识，对于新的知识有一定的接受能力。

但是，对于一些抽象的概念和理论，学生可能还存在着一定的理解难度。

因此，在教学过程中，需要通过生活中的实例和具体的操作，帮助学生理解和掌握逆命题和逆定理。

三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握逆命题的概念，理解逆定理的含义，并能够运用逆定理解决一些实际问题。

2.过程与方法目标：通过探究逆命题和逆定理的过程，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。

四. 教学重难点1.重点：使学生掌握逆命题的概念，理解逆定理的含义。

2.难点：对于逆定理的理解和运用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实例，引导学生探究逆命题和逆定理。

2.小组合作学习：让学生在小组内进行讨论和交流，培养团队合作意识。

3.问题驱动法：通过问题的设置和解决，激发学生的学习兴趣和解决问题的能力。

六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的教学PPT，展示生活中的实例和相关的理论知识。

2.教学素材：准备一些相关的数学题目，用于巩固和拓展学生的知识。

3.教学设备：准备白板和粉笔，用于板书和展示。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个生活中的实例，引导学生思考逆命题和逆定理的概念。

例如，假设有一个命题：“如果一个人是学生，那么他喜欢数学。

”那么这个命题的逆命题就是：“如果一个人喜欢数学，那么他是学生。

逆命题和逆定理
（原创版）
目录
1.逆命题和逆定理的定义
2.逆命题和逆定理的区别
3.逆命题和逆定理的应用
正文
一、逆命题和逆定理的定义
在数学中，逆命题和逆定理是两个相关但有所区别的概念。

逆命题指的是，如果一个命题的题设和结论互换位置并且同时取反，那么得到的新命题就是原命题的逆命题。

例如，原命题为“若 A，则 B”，那么逆命题为“若非 B，则非 A”。

逆定理则是指，对于一个定理，如果将其结论和条件互换并且同时取反，得到的新命题称为原定理的逆定理。

二、逆命题和逆定理的区别
逆命题和逆定理在形式上有所不同，但它们之间存在一定的联系。

首先，逆命题是针对命题而言的，而逆定理是针对定理而言的。

逆命题是对原命题的题设和结论进行交换和取反，而逆定理是对原定理的结论和条件进行交换和取反。

其次，逆命题和逆定理的真假性质并不一定相同。

逆命题的真假与原命题的真假并无必然联系，而逆定理的真假则与原定理的真假密切相关。

三、逆命题和逆定理的应用
逆命题和逆定理在数学中有广泛的应用。

在证明过程中，有时候可以通过逆命题或逆定理来简化证明过程。

例如，在证明某个定理时，如果直接证明较为复杂，可以尝试先证明其逆定理，再通过逆定理与原定理的等价性来得到原定理的证明。

此外，逆命题和逆定理在解决实际问题中也有
一定的应用，例如在逻辑推理、问题求解等方面都可以利用逆命题和逆定理来简化思考过程。

逆命题和逆定理摘要：一、逆命题与逆定理的定义二、逆命题与逆定理的关系三、逆命题与逆定理的应用四、总结正文：逆命题与逆定理是数学中非常重要的概念，它们在数学证明中起着至关重要的作用。

本文将首先介绍逆命题与逆定理的定义，然后讨论它们之间的关系，接着分析它们在数学中的应用，最后进行总结。

一、逆命题与逆定理的定义1.逆命题逆命题是针对一个命题的否定并且交换主语和谓语得到的命题。

设命题P 为“若A，则B”，则逆命题为“若B，则A”。

2.逆定理逆定理是将一个命题的逆命题作为前提，原命题作为结论所得到的命题。

设命题P 为“若A，则B”，则逆定理为“若B，则A”。

二、逆命题与逆定理的关系逆命题与逆定理是相互关联的，它们互为逆否命题。

也就是说，如果一个命题的逆命题为真，那么这个命题的逆定理也为真。

反之，如果一个命题的逆定理为真，那么这个命题的逆命题也为真。

三、逆命题与逆定理的应用1.证明的辅助工具逆命题和逆定理在数学证明中经常被用作辅助工具。

通过证明一个命题的逆命题或逆定理，我们可以得到关于原命题的许多有用信息，从而简化证明过程。

2.构造性证明在一些数学问题中，我们可以通过构造性证明来证明一个命题。

构造性证明通常涉及使用逆命题或逆定理，以帮助我们找到一个合适的构造方法。

3.分析问题逆命题和逆定理可以帮助我们分析问题。

通过研究一个问题的逆命题或逆定理，我们可以更好地理解问题的本质，从而找到解决问题的方法。

总之，逆命题和逆定理是数学中非常关键的概念。

它们在数学证明中起着至关重要的作用，可以作为证明的辅助工具，也可以用于构造性证明和分析问题。

逆命题和逆定理（1）渔渡中学党文州教学目标1、经历逆命题的概念的发生过程，了解一个命题都是由条件与结论两部分构成，每个命题都有它的逆命题，命题有真假之分。

2、了解逆命题、逆定理的概念。

教学重难点重点：会识别两个命题是不是互逆命题，会在简单情况下写出一个命题的逆命题，了解原命题成立，其逆命题不一定成立．难点：能判断一些命题的真假性，并能运用推理的思想方法证明一类较简单的真命题，同时了解假命题的证明方法是举反例说明．教学过程一、回顾旧知，引入新课1、命题的概念：对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题。

我们还知道，命题都有两部分，即条件和结论，它的一般形式是“如果…，那么…”例1．命题：“平行四边形的对角线互相平分”条件是，结论是。

命题：“对角线互相平分的四边形是平行四边形”条件是，结论是。

以上两个命题有什么不同？请你说一说。

归纳：在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。

就例1来说，如果说“平行四边形的对角线互相平分①”为原命题，则“对角线互相平分的四边形是平行四边形②”为逆命题。

我们说①②两个命题叫做互逆命题。

请学生分别说明上表的原命题，逆命题及真假。

（幻灯片演示）问：每个命题都有它的逆命题，但每个真命题的逆命题是否一定为真命题？二、合作学习（做一做）1、说出下列命题的逆命题，并判定逆命题的真假；①既是中心对称，又是轴对称的图形是圆。

逆命题：圆既是中心对称，又是轴对称的图形——真命题。

②有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

逆命题：平行四边形有一组对边平行并且相等——真命题。

③磁悬浮列车是一种高速行驶时不接触地面的交通工具。

逆命题：高速行驶时，不接触地面的交通工具是磁悬浮列车——假命题。

归纳：像②那样，如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫做互逆定理。

2.5 逆命题和逆定理练习卷A答案解析部分一、单选题1.【答案】C【考点】命题与定理【解析】【解答】两点确定一条直线，垂线段最短，同位角相等都是命题，而作角A的平分线为描述性语言，它不是命题．故答案为：C．【分析】根据命题的定义对各选项分别进行判断．2.【答案】D【考点】命题与定理【解析】【解答】解：命题“锐角小于90度”的逆命题是小于90°的角是锐角.故答案为：D.【分析】如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，即可求解。

3.【答案】C【考点】命题与定理【解析】【解答】A. 将27开立方,没有做出判断，不是命题；B. 任意三角形的三条中线相交于一点吗? 没有做出判断，不是命题；C. 锐角小于直角，将锐角和直角比较，作出了大小判断，故是命题；D. 做一条直线和已知直线垂直，没有做出判断，不是命题；故选C.【分析】判断一件事情的语句叫做命题，由此即可判断.4.【答案】C【考点】命题与定理【解析】【解答】用来证明命题“若a＞b，则a2＞b2是假命题的反例可以是：a＝﹣1，b＝﹣2，因为﹣1＞﹣2，但是（﹣1）2＜（﹣2）2，所以C正确；故选：C．【分析】根据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题．5.【答案】D【考点】命题与定理【解析】【解答】解：当a=3，b=2时，a>b，而a2=9,b2=4,a2>b2成立，故A选项无法确定原命题是假命题；当a=−3，b=2时，a<b，a,b的数值不符合条件，所以无法确定原命题是假命题；当a=3，b=−1时，a>b，而a2=9,b2=1,a2>b2成立，故C选无法确定原命题是假命题；当D. a=−3，b=−4时，a>b，而a2=9,b2=16,a2<b2，故D选项能确定原命题是假命题；故选：D．【分析】说明命题为假命题，即a、b的值满足a>b，但a2>b2不成立，把四个选项中的a、b的值分别代入验证即可．6.【答案】D【考点】命题与定理【解析】【解答】分析选项A、B、C，可知这3个选项均为正数，若a>0，则a>−a，这是个真命题，然而若a<0，则a<−a，故若要证命题“对于任意实数a，a＞-a”是假命题，只需要a为负值即可，综上，只有D选项符合题意。

《逆命题和逆定理》教学目标1、经历逆命题的概念的发生过程，了解一个命题都是由条件与结论两部分构成，每个命题都有它的逆命题，命题有真假之分.2、了解逆命题、逆定理的概念.教学重点、难点重点：会识别两个命题是不是互逆命题，会在简单情况下写出一个命题的逆命题，了解原命题成立，其逆命题不一定成立．难点：能判断一些命题的真假性，并能运用推理的思想方法证明一类较简单的真命题，同时了解假命题的证明方法是举反例说明．教学过程一、回顾旧知，引入新课1、命题的概念：对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题.我们还知道，命题都有两部分，即条件和结论，它的一般形式是“如果…，那么…”例1．命题：“平行四边形的对角线互相平分”条件是 ，结论是 .命题：“对角线互相平分的四边形是平行四边形” 条件是 ， 结论是 .以上两个命题有什么不同？请你说一说.归纳：在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题.填表并思考命题条件 结论 命题真假⑴两直线平行，同位角相等⑵同位角相等，两直线平行⑶如果a b =，那么22a b =⑷如果22a b =，那么a b = 问：每个命题都有它的逆命题，但每个真命题的逆命题是否一定为真命题？二、例题教学例1、说出定理“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等的逆命题，并证明这个逆命题是真命题.注意：①注意组织适当的语句叙述出逆命题，不能只是把原命题的条件和结论交换位置.②引导学生运用分类考虑的必要性.练习：⑴作业题4三、小结：这节课我们学到了什么？①逆命题、逆定理的概念.②能写出一个命题的逆命题.四、作业作业：1．课后作业题.。

逆命题与逆定理【教学目标】1、经历逆命题的概念的发生过程，了解一个命题都是由条件与结论两部分构成，每个命题都有它的逆命题，命题有真假之分。

2、了解逆命题、逆定理的概念。

【教学重点、难点】重点：会识别两个命题是不是互逆命题，会在简单情况下写出一个命题的逆命题，了解原命题成立，其逆命题不一定成立．难点：能判断一些命题的真假性，并能运用推理的思想方法证明一类较简单的真命题，同时了解假命题的证明方法是举反例说明． 【教学过程】一、 回顾旧知，引入新课1、命题的概念：对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题。

我们还知道，命题都有两部分，即条件和结论，它的一般形式是“如果…，那么…”列句子是命题的是（ ）A.画∠AOB=45°B. 小于直角的角是锐角吗C.连结CDD. 鸟是动物观察表中的命题，命题⑴与命题⑵有什么关系命题⑶与命题⑷呢归纳：在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。

命题条件结论命题真假⑴两直线平行，同位角相等 ⑵同位角相等，两直线平行 ⑶如果a b =，那么22a b =⑷如果22a b =，那么a b =填表并思考请学生分别说明上表的原命题，逆命题及真假。

思考：每个命题都有逆命题吗一个命题的逆命题是真命题还是假命题请举例说明一个原命题是真命题，逆命题也是真命题的例子；有没有原命题是真命题，而逆命题是假命题的例子一个命题经证明是真命题，就可称为定理；如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫互逆定理。

线段垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等线段垂直平分线性质定理的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上二、例题教学1.说出下列命题的逆命题，并判定是真命题还是假命题：(1)两直线平行，同位角相等.(2)同位角相等(3)长方形有两条对称轴。

专题15 逆命题及逆定理知识框架重难突破一、互逆命题与互逆定理1.互逆命题对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题.备注：所有的命题都有逆命题. 原命题正确，它的逆命题不一定是正确的.2.互逆定理如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理.备注：（1）一个命题是真命题，但是它的逆命题不一定是真命题的，所以不是每个定理都有逆定理；(2)一个假命题的逆命题可以是真命题，甚至可以是定理.二、线段垂直平分线性质定理及其逆定理线段垂直平分线（也称中垂线）的性质定理是：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等；逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．备注：性质定理的前提条件是线段已经有了中垂线，从而可以得到线段相等；逆定理的题设是已知线段相等，结论是确定线段被垂直平分，一定要注意两者的区别，前者在题设中说明，后者则在最终的结论中得到，所以在使用这两个定理时不要混淆了.要点二、角平分线性质定理及其逆定理角平分线性质定理是：角平分线上的点到角两边的距离相等；逆定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.备注：性质定理的前提条件是已经有角平分线了，即角被平分了；逆定理则是在结论中确定角被平分，一定要注意两者的区别，在使用这两个定理时不要混淆了.例1．（2019·四川南充市·八年级期末）下列命题的逆命题成立的是（ ）A ．对顶角相等B ．等边三角形是锐角三角形C ．正方形的对角线互相垂直D ．平行四边形的对角线互相平分【答案】D【解析】解：A 、逆命题为相等的角是对顶角，不成立；B 、逆命题为：锐角三角形是等边三角形，不成立；C 、逆命题为：对角线互相垂直的四边形是正方形，不成立；D 、逆命题为：对角线互相平分的四边形是平行四边形，成立，故选：D ．练习1．（2019·山东德州市·）数学中有一些命题的特征是：原命题是真命题，但它的逆命题却是假命题．例如：如果a ＞2，那么a 2＞4．下列命题中，具有以上特征的命题是（ ）A ．两直线平行，同位角相等B ．如果|a |＝1，那么a ＝1C ．全等三角形的对应角相等D ．如果x ＞y ，那么mx ＞my 【答案】C解：A 、原命题正确，逆命题为同位角相等，两直线平行，正确，为真命题，不符合题意；B 、原命题错误，是假命题；逆命题为如果a ＝1，那么|a |＝1，正确，是真命题，不符合题意；C 、原命题正确，是真命题；逆命题为：对应角相等的三角形全等，错误，是假命题，符合题意；D 、当m ＝0时原命题错误，是假命题，不符合题意，故选：C ．练习2．（2020·山西临汾市·八年级期末）下列命题的逆命题是真命题的是（ ）A ．若22a b >，则a b >B ．两个全等三角形的对应角相等C ．若0a =，0b =，则0ab =D ．全等三角形的对应边相等解:A ：逆命题：若a b >，则22a b >，当a=1，b=-2时，错误；B ：逆命题：对应角相等的两个三角形全等，错误；C ：逆命题：若0ab =，则0a =，0b =，也可能a=0，b≠0，错误；D ：逆命题：对应边相等的两个三角形全等，根据SSS 可以判定，正确，故选D.例2．（2020·四川巴中市·八年级期末）命题“等腰三角形两底角相等”的逆命题是_______【答案】有两个角相等的三角形是等腰三角形∵原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”，∴命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“有两个角相等三角形是等腰三角形”．故答案为：有两个角相等的三角形是等腰三角形.练习1．（2018·富顺县赵化中学校八年级期末）命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题是 ___________________ .它是 ________ 命题（填“真”或“假”）.【答案】如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 真【解析】分析：把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的条件是直角三角形，结论是斜边上的中线等于斜边的一半，故其逆命题：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．详解：定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．它是真命题.故答案为：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形；真.例3．（2020·四川绵阳市·八年级期末）如图，有A 、B 、C 三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）A ．∠A 、∠B 两内角的平分线的交点处B ．AC 、AB 两边高线的交点处C ．AC 、AB 两边中线的交点处D ．AC 、AB 两边垂直平分线的交点处解：根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，超市应建在AC、AB两边垂直平分线的交点处，故选：D．练习1．（2019·四川成都市·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=5，分别以点A、B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧交点分别为点P、Q，过P、Q两点作直线交BC于点D，则CD的长是_____．【答案】8 5【解析】分析：连接AD由PQ垂直平分线段AB，推出DA=DB，设DA=DB=x，在Rt△ACD中，∠C=90°，根据AD2=AC2+CD2构建方程即可解决问题；详解：连接AD．∵PQ垂直平分线段AB，∴DA=DB，设DA=DB=x，在Rt△ACD中，∠C=90°，AD2=AC2+CD2，∴x2=32+（5﹣x）2，解得x=175，∴CD=BC﹣DB=5﹣175=85，故答案为85． 例4．（2020·四川广元市·八年级期末）如图，在ABC 中，已知AB AC =，AB 的垂直平分线交AB 于点N ，交AC 于点M ，连接MB .（1）若70ABC ∠=︒，则NMA ∠的度数是 ；（2）若8AB cm =，MBC △的周长是14cm .①求BC 的长度；②若点P 为直线MN 上一点，请你直接写出PBC 周长的最小值.【答案】（1）50︒；（2）①6；②14 cm ．解：解：（1）如图，∵AB=AC ，∴∠C=∠ABC=70°，∴∠A=40°，∵AB 的垂直平分线交AB 于点N ，∴∠ANM=90°，∴∠NMA=50°，故答案为：50；（2）①∵MN 是AB 的垂直平分线，∴AM=BM ，∴△MBC 的周长=BM+CM+BC=AM+CM+BC=AC+BC ，∵AB=8，∴AC=8，∵△MBC 的周长是14，∴BC=14-8=6；②∵PB+PC=PA+PC，PA+PC≥AC，∴当点P与M重合时，PA+PC=AC，此时PB+PC最小，∴△PBC周长的最小值=AC+BC=8+6=14．练习1．（2020·四川成都市·七年级期末）如图，△ABC中，∠ABC＝30°，∠ACB＝50°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足．（1）直接写出∠BAC的度数；（2）求∠DAF的度数，并注明推导依据；（3）若△DAF的周长为20，求BC的长．【答案】（1）100°；（2）20°，推导见解析；（3）20解：（1）∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，∴∠BAC＝180°﹣30°﹣50°＝100°；（2）∵DE是线段AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠ABC＝30°，同理可得，∠FAC＝∠ACB＝50°，∴∠DAF＝∠BAC﹣∠DAB﹣∠FAC＝100°﹣30°﹣50°＝20°；（3）∵△DAF的周长为20，∴DA+DF+FA＝20，由（2）可知，DA＝DB，FA＝FC，∴BC＝DB+DF+FC＝DA+DF+FA＝20．练习2．（2020·四川成都市·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为：A（﹣2，4），B（﹣4，2），C（﹣3，1），按下列要求作图，保留作图痕迹．（1）画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1（点A、C分布对应A1、C1）；（2）请在y轴上找出一点P，满足线段AP+B1P的值最小．【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析．（1）如图所示：（2）如图所示：点P 即为所求．例5．（2020·四川泸州市·）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 是角平分线，若BC 10cm =，:3:2BD CD =，则点D 到AB 的距离是（ ）A ．6cmB ．5cmC ．4cmD ．3cm【答案】C过点D 作DE ⊥AB ，∵90C ∠=︒，∴DC ⊥AC,∵AD 平分∠BAC ，∴DE=DC,∵BC 10cm =，:3:2BD CD =，∴DE=DC=4cm ，故选：C.练习1．（2020·四川成都市·七年级期末）如图，在Rt ABC 中，90B ∠=︒，在边AB 、AC 上分别截取AD ，AE ，使AD AE =，分别以D 、E 为圆心，以大于12DE 的长为半径作弧，两弧在BAC ∠内交于点M ，作射线AM 交BC 边于点F ．若2FB =，则点F 到AC 的距离为______．【答案】2根据作图过程可知：AF 平分∠BAC ，过点F 作FG ⊥AC ，∵∠B ＝90°，∴FB ⊥AB ，∴FG ＝FB ＝2．∴点F 到AC 的距离为2．故答案为：2．练习2．（2020·四川广元市·八年级期末）如图，OC 平分∠MON ，P 为OC 上一点，PA ⊥OM ，PB ⊥ON ，垂足分别为A 、B ，连接AB ，得到以下结论：（1）PA =PB ；（2）OA =OB ；（3）OP 与AB 互相垂直平分；（4）OP 平分∠APB ，正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C解：∵OP 平分∠AOB ，P A ⊥OA ，PB ⊥OB ，∴P A =PB ，故（1）正确；在Rt △APO 和Rt △BPO 中，OP OP PA PB =⎧⎨=⎩，∴Rt △APO ≌Rt △BPO （HL ），∴∠APO =∠BPO ，OA =OB ，故（2）正确，∴PO 平分∠APB ，故（4）正确，OP 垂直平分AB ，但AB 不一定垂直平分OP ，故（3）错误，故选：C ．例6．（2020·四川绵阳市·八年级期末）如图，D 为ABC ∆内一点，CD 平分ACB ∠，BD CD ⊥，A ABD ∠=∠，若1BD =，3BC =，则AC 的长为( )A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】A解：延长BD,与AC 交于点F,∵BD CD ⊥∴∠BDC ＝∠FDC=90°∵CD 平分ACB ∠，∴∠BCD ＝∠FCD在△BDC 和△FDC 中90BDC FDC BCD FCDCD CD ∠∠=︒⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩＝＝ ∴△BDC ≌△FDC∴BD=FD =1 BC=FC=3∵A ABD ∠=∠∴AF=BF∵1BD =，3BC =，∴AC=AF+FC=BF+BC=2BD+BC=2+3=5故选：A例7．（2020·四川巴中市·七年级期末）如图，DE 是ABC 中AB 边的垂直平分线，分别交AB ，BC 于点D ，E ，AE 平分BAC ∠，若30B ∠=︒．求C ∠的度数．【答案】∠C 的度数为90°．∵DE 是线段AB 的垂直平分线，∠B=30°，∴AE= BE ，∴∠BAE=∠B=30°，∵AE 平分∠BAC ，∴∠EAC=∠BAE=30°，即∠BAC=60°，∴∠C=180°-∠BAC-∠B=180°-60°-30°=90°．∴∠C 的度数为90°．练习1．（2018·四川南充市·）如图，已知：∠BAC 的平分线与BC 的垂直平分线相交于点D ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，AB ＝6，AC ＝3，则BE ＝_______．【答案】32解：如图所示，连接CD 、BD ，∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DF=DE ，∠F=∠DEB=90°，∠ADF=∠ADE ，∴AE=AF ，∵DG 是BC 的垂直平分线，∴CD=BD ，在Rt △CDF 和Rt △BDE 中CD BDDF DE =⎧⎨=⎩∴Rt △CDF ≌Rt △BDE∴BE=CF ，∴AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE ，∵AB=6，AC=3，∴BE=32．故答案为：32练习2．（2020·四川眉山市·八年级期末）已知120MAN ∠=︒，AC 平分MAN ∠，点,B D 分别在,AN AM 上．（1）如图1，若CD AM ⊥于点D ，CB AN ⊥于点B ．①利用等腰三角形“三线合一”，将ADC ∆补成一个等边三角形，可得,AC AD 的数量关系为________． ②请问：AC 是否等于AB AD +呢？如果是，请予以证明．（2）如图2，若180ABC ADC ∠+∠=︒，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．【答案】（1）①12AD AC =（或2AC AD =），理由见解析；②AD AB AC +=，理由见解析；（2）仍成立，理由见解析解：（1）①12AD AC =（或2AC AD =） AC 平分,120MAN MAN ∠∠=︒，60CAD ∴∠=︒，又90ADC ∠=︒，30ACD ∴∠=︒利用等腰三角形“三线合一”，将ADC ∆补成一个等边三角形，可知12AD AC = ②AD AB AC += 证明：由①知，12AD AC = 同理，AC 平分,120MAN MAN ∠∠=︒，60CAB ∴∠=︒，又90ABC ∠=︒，30ACB ∴∠=︒,12AB AC = AD AB AC ∴+=（2）仍成立证明：过点C 分别作,AM AN 的垂线，垂足分别为,E FAC 平分,MAN ∠CE CF ∴=，180,180ABC ADC ADC CDE ∠+∠=︒∠+∠=︒ CDE ABC ∴∠=∠又90CED CFB ∠=∠=︒()CED CFB AAS ∴∆≅∆ED FB ∴=AD AB AE ED AF FB AE AF ∴+=-++=+ 由（1）中②知AE AF AC +=AD AB AC ∴+=．。

逆命题和逆定理一、本节学习指导这一节重在理解命题的概念，命题是能判断一件事情的正确与错误的句子，不能是问句，也不能是省略句，这个句子必须是完整的，并且能判断正确与否才叫做命题。

2、数学命题通常由题设、结论两部分组成。

题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。

因此命题可以写成“如果222222，那么222222”的形式。

3、人们从长期实践中总结出来的真命题叫做公理，它们可以作为判断其他命题真假的原始数据。

4、有些命题是从公理或其他真命题出发，用推理的方法证明为正确的，并进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理。

Array二、知识要点1、命题、定理、证明⑴理解：命题的定义包括两层含义：（1）命题必须是个完整的句子；（2）这个句子必须对某件事情做出判断。

⑵命题的分类（按正确、错误与否分）真命题（正确的命题）命题假命题（错误的命题）⑶公理：的真命题叫公理。

⑷定理：的依据，这样的命题叫定理。

⑸⑹证明的一般步骤①根据题意，画出图形。

②③2、常用数学口诀.平方差公式: 22()()-=+-a b a b a b口诀：平方差公式有两项，符号相反切记牢，首加尾乘首减尾，莫与完全公式相混淆。

完全平方差公式: 222a b a ab b-=-+()2完全平方和公式：222+=++()2a b a ab b口诀：完全平方有三项，首尾符号是同乡，首平方、尾平方，首尾二倍放中央；首±尾括号带平方，尾项符号随中央。

证明知识点一证明的含义从一个命题的条件出发，通过讲道理（推理），得出它的结论成立，从而判定该命题为真，这个过程叫做证明。

注意：（1）证明一个命题时，首先要分清命题条件和结论，其次要从已知条件出发，运用定义、公理、定理进行推理，得出结论。

（2）证明的过程必须做到步步有据。

知识点二命题的证明证明几何命题的表述格式：（1）按题意画出图形；（2）分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写条件，在“求证”中写出结论；（3）在“证明”中写出推理过程。