高中数学 3.1.1直线的倾斜角与斜率教案 新人教A版必修2【含答案】

直线的倾斜角与斜率一、要点精讲 1、倾斜角和斜率 ⑴倾斜角与斜率⑵直线的倾斜角与斜率的对应关系2、斜率公式当直线l 经过两点()()11111,,,y x P y x P 时，l 的斜率：().121212x x x x y y k ≠--=题型一：直线的倾斜角1、已知直线l 过原点，将直线l 绕原点沿顺时针方向旋转α角（1800<<α）后，恰好与y 轴重合，求直线l 转动前的倾斜角是多少？2、设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕原点沿逆时针方向旋转45，得到直线1l ，则直线1l 的倾斜角为A. 45+αB. 135-αC.α- 135D.当 1350<≤α时，为 45+α，当 180135<≤α时，为 135-α 3、已知直线l 的倾斜角为15-α，则下列结论正确的是A. 1800<≤αB. 1350<≤αC. 1350≤<αD. 19515<≤α4、设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕原点沿逆时针方向旋转45，得到直线1l 的倾斜角为45+α，则A. 900<≤αB. 18015<<αC. 18015<≤αD. 1350<<α 5．已知直线230x y --=的倾斜角为θ，则sin 2θ的值是（ ） A ．14B ．34C ．45D ．25试题分析：22tan 4tan 2,sin 21tan 5θθθθ===+，选C.6．已知点()1P ，，点Q 在y 轴上，且直线PQ 的倾斜角为120︒，则Q 的坐标为（ ）A ．()0 2，B ．()0 2-，C ．()2 0，D ．()2 0-，试题分析：设(0,)Q b ，因为y 轴上一点Q M ，它的点()1P ，连成的直线的倾斜角为120︒，所以tan120︒=，解得2b =-，即(0,2)Q -，故选B.7．已知,,a b c 是两两不等的实数，点(),P b b c +，点(),Q a c a +，则直线PQ 的倾斜角为 _________. 试题分析：因为直线经过(),P b b c +，点(),Q a c a +两点，所以直线AB 的斜率()1c a b c k a b+-+==-，所以直线AB 的倾斜角为45α=.8．已知倾斜角为α的直线l 过x 轴上一点A （非坐标原点O ），直线l 上有一点()00cos130,sin 50P ，且030APO ∠=，则α等于（ ）A ．100°B ．160°C ．100°或160°D ．130° 试题分析：因为()()0000cos130,sin50cos130,sin130P P =，所以0130POx ∠=，因此1303013030α=+-或，即160100α=或，选C. 题型二：直线的斜率和倾斜角的相互转化9.已知直线l 过点(m,1)，(m ＋1，tan α＋1)，则( ) A ．α一定是直线l 的倾斜角B ．α一定不是直线l 的倾斜角 C ．α不一定是直线l 的倾斜角D ．180°－α一定是直线l 的倾斜角解：设θ为直线l 的倾斜角，则tan θ＝tan α＋1－1m ＋1－m ＝tan α，∴α＝kπ＋θ，k ∈Z ，当k ≠0时，θ≠α.10．如图，直线l 经过二、三、四象限，l 的倾斜角为α，斜率为k ，则( ) A ．k sin α>0 B ．k cos α>0C ．k sin α≤0 D ．k cos α≤0解：显然k <0，π2<α<π，∴cos α<0，∴k cos α>0.11、下列说法中正确的是A. 若直线l 的倾斜角为α，则直线l 的斜率为αtanB.若直线l 的斜率为αtan ，则直线l 的倾斜角为αC. 若直线l 的倾斜角为90=α，则直线l 必平行于y 轴D.每一条直线l 都存在它的倾斜角α，但并非每一条直线l 都存在它的斜率k12．已知直线PQ 的斜率为，将直线绕点P 顺时针旋转60，所得的直线的斜率是（ ）A ．0B ．试题分析：斜率为，倾斜角为120，P 顺时针旋转60，倾斜角为60.13、如果直线l 经过点()0,1-，倾斜角为150, 将直线l 绕点()0,1-逆时针旋转60后，得到直线l '，求直线l '的倾斜角和斜率.解：∵直线l 的倾角为150°，∴直线的倾斜角α=(150°＋60°)－180°=30°，14．已知直线方程为,3300sin 300cos =+y x则直线的倾斜角为（） A. 60 B. 30060或 C. 30D. 33030或 试题分析：由直线方程为,3300sin 300cos =+y x所以直线的斜率为3360sin 60cos )60sin()60cos()60360sin()60360cos(300sin 300cos ==---=---=-= k因为直线倾斜角的范围)180,0[ 所以倾斜角为 30故答案为C 15．已知点M (2,2)，N (5，－2)，点P 在x 轴上，分别求满足下列条件的P 点坐标． (1)∠MOP ＝∠OPN (O 是坐标原点)．(2)∠MPN 是直角． 解：设P (x,0)，(1)∵∠MOP ＝∠OPN ，∴OM ∥NP .∴k OM ＝k NP .又k OM ＝2－02－0＝1，k NP ＝0－(－2)x －5＝2x －5(x ≠5)，∴1＝2x －5，∴x ＝7，即P 点坐标为(7,0)．(2)∵∠MPN ＝90°，∴MP ⊥NP ，∴k MP ·k NP ＝－1. 又k MP ＝22－x (x ≠2)，k NP ＝2x －5(x ≠5)，∴22－x ×2x －5＝－1，解得x ＝1或x ＝6， 即P 点坐标为(1,0)或(6,0)．16、已知一条光线从点A （-1，3）发出，射到x 轴上，又经x 轴反射到点B （2，7），求x 轴上的光点的坐标。

课题 2.1.1倾斜角与斜率授课年级高二课型新授课授课时间主备人授课教师教学目标1.初步了解解析几何的产生及其意义，初步认识坐标法思想2.掌握直线的倾斜角与斜率的概念3.掌握过两点的直线的斜率公式教学重难点重点：直线的倾斜角与斜率的概念，过两点的直线斜率公式难点：用直线的倾斜角和斜率刻画直线的几何特征教学方法自主探究、合作交流教学过程环节设计学生活动引导语：十六、十七世纪，为了描述现实世界中的运动变化现象，如行星的运动、平面抛体的运动等，需要对它们的运动轨迹进行精确的代数刻画，运动变化进入了数学，变量观念成为数学中的重要理念。

在众多数学家工作的基础上，法国数学家笛卡尔、费马集其大成，创立了坐标系，用坐标刻画运动变化。

这是解析几何的创始。

新课导入：我们知道，点是构成直线的基本元素，在平面直角坐标系中，可以用坐标表示点，本节我们首先在平面直角坐标系中探索确定直线位置的几何要素。

引入课题学生阅读材料了解解析几何的创始问题1过一点能确定一条直线吗？这些直线有何不同？ 新课讲解： 一、倾斜角1. 直线的倾斜角当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角练习：下列四图中，表示直线的倾斜角的是( )2. 直线倾斜角的范围当直线 与 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度 ，因此，直线的倾斜角的取值范围为：学生动手画直线学生口答定义并找出其中的关键词学生口答巩固倾斜角的概念学生自助探究y x olαay xoAyxoaBayxoC yx aoD按倾斜角去分类，直线可分几类？问题2请在平面直角坐标系中，作出倾斜角为 45度 的直线，并对比你与其他同学所作的图像，你发现了什么？若增加条件过点(0,0),你能作多少条直线？3.确定平面直角坐标系中一条直线的几何要素： 直线上的一个定点 直线的倾斜角问：日常生活中有没有表示倾斜程度的量？坡度（比）二、直线的斜率直线倾斜角 的正切值，常用小写字母k 表示，即： αtan =k注意：倾斜角为90度的直线的斜率不存在．探究：借助几何画板，分析直线的倾斜角与斜率的关系。

3.1 直线的倾斜角与斜率 3．1.1 倾斜角与斜率[新知初探]1．直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．如图所示，直线l 的倾斜角是∠APx ，直线l ′的倾斜角是∠BPx .(2)倾斜角的范围：直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，并规定与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.[点睛] (1)倾斜角定义中含有三个条件：①x 轴正方向；②直线向上的方向；③小于180°的非负角．(2)平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等．2．直线的斜率 (1)斜率的定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α. (2)斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1.当x 1＝x 2时，直线P 1P 2没有斜率．(3)斜率的作用：用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度．[点睛] 直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x 轴(平行于y 轴或与y 轴重合)．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任一直线都有倾斜角，都存在斜率( ) (2)倾斜角为135°的直线的斜率为1( )(3)若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率为k ＝tan α( ) (4)直线斜率的取值范围是(－∞，＋∞)( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√2．若直线l 经过原点和(－1,1)，则它的倾斜角是( ) A ．45° B ．135° C ．45°或135°D ．－45°解析：选B 作出直线l ，如图所示，由图易知，应选B.3．已知直线l 的倾斜角为30°，则直线l 的斜率为( ) A.33B. 3C ．1 D.22解析：选A 由题意可知，直线l 的斜率k ＝tan 30°＝33.[典例] 设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l 1，则直线l 1的倾斜角为( )A ．α＋45°B ．α－135°C ．135°－αD ．α＋45°或α－135°[解析] 由倾斜角的取值范围知，只有当0°≤α＋45°＜180°(0°≤α＜180°)，即0°≤α＜135°时，l 1的倾斜角才是α＋45°.而0°≤α＜180°，所以当135°≤α＜180°时，l 1的倾斜角为α－135°(如图)．[答案] D[活学活用]已知直线l 经过第二、四象限，则直线l 的倾斜角α的取值范围是( ) A ．0°≤α＜90° B ．90°≤α＜180° C ．90°＜α＜180°D ．0°＜α＜180°解析：选C 直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°，又直线l 经过第二、四象限，所以直线l 的倾斜角α的取值范围是90°＜α＜180°.[典例] 经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α.(1)A (2,3)，B (4,5)； (2)C (－2,3)，D (2，－1)； (3)P (－3,1)，Q (－3,10)．[解] (1)存在．直线AB 的斜率k AB ＝5－34－2＝1，即tan α＝1，又0°≤α＜180°，所以倾斜角α＝45°.(2)存在．直线CD 的斜率k CD ＝－1－32－－＝－1，即tan α＝－1，又 0°≤α＜180°，所以倾斜角α＝135°.(3)不存在．因为x P ＝x Q ＝－3，所以直线PQ 的斜率不存在，倾斜角α＝90°.[活学活用]1．直线经过点(0,2)和点(3,0)，则它的斜率为( ) A.23 B.32 C ．－23D ．－32解析：选C 斜率k ＝0－23－0＝－23.2．已知坐标平面内△ABC 的三个顶点的坐标分别是A (－1,1)，B (1,1)，C (1，－1)，求直线AB ，BC ，AC 的斜率．解：已知点的坐标，可代入过两点的直线的斜率公式求斜率，但应先验证两点的横坐标是否相等．k AB ＝1－11－－＝0，k AC ＝－1－11－－＝－1.∵B ，C 两点的横坐标相等，∴直线BC 的斜率不存在.1．如果A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ，52，B (4，－1)，C (－4，－m )三点在同一条直线上，试确定常数m 的值．解：由于A ，B ，C 三点所在直线不可能垂直于x 轴，因此可设直线AB ，BC 的斜率分别为k AB ，k BC .。

《3.1.1直线的倾斜角和斜率》教学设计【教学目标】知识与技能：（1）理解直线的倾斜角和斜率的概念；（2）会求过两点的直线的斜率；过程与方法：（1）经历倾斜角与斜率概念的形成过程,初步领悟数形结合的解析几何思想；（2）借助过两点的直线斜率公式的推导过程，进一步渗透分类讨论思想；情感态度价值观：通过情境贯串教学，让学生感知数学来源于生活，又应用于生活，从而激发学生的学习激情.通过数学概念的学习，体会到数学中的严谨治学的态度和数学结论中的美。

通过数学史的渗透，初步体会到数学文化的魅力【教学重点和难点】重点:直线的倾斜角和斜率的概念、过两点的直线斜率计算公式难点:（1）倾斜角和斜率之间的关系（2）过两点的直线斜率公式的推导过程关键点：借助问题情境的创设，设置学生活动；借助几何画板的演示，体验知识的形成过程.【教学方法】教法:情境教学法问题驱动法演示实验法学法: 观察讨论法自主探究法类比归纳法【教学用具】多媒体、几何画板【授课类型】新授【设计理念】本节课以一个情境贯串教学始终，层层深入，采用问题引领的探究式教学法，借助一个教学平台，贯串两条教学主线，再现三次教学情境，设置多次学生活动，根据“情境创设生活化，问题探究活动化，辨析质疑及时化，习题设置梯度化”的原则，让不同层次的学生都经历概念的形成、发展和应用过程，从而将本节课的教学步步推向高潮.【内容解析】本节课选自人教A版《数学》必修2第三章第一节《直线的倾斜角和斜率》.直线的倾斜角和斜率，分别从几何和代数的角度刻画了直线的倾斜程度，两者的联系桥梁是正切函数值，是解析几何的重要概念之一，也是研究直线方程及其位置关系等思维的起点.因此，本节起到“开启全章、承前启后”的作用.同时，本节课内容在平均变化率，导数的学习上起着至关重要的作用.【学情简析】本节课的授课对象是高一年级1720班.学生数学基础一般，已初步具备解析几何的基本思想.学生思维较活跃，善于交流，动手操作能力较强，但也有部分学困生，对高中数学的抽象性，符号化特点不太适应，对数学有畏难情绪。