函数的单调性与最值

函数的最值与单调性函数的最值与单调性对于数学领域来说是非常重要和常见的概念。

在本文中，我将详细介绍函数的最值和单调性，并讨论它们在数学问题中的应用。

一、函数的最值函数的最值是指函数在定义域内取得的最大值和最小值。

一个函数可能有多个最大值和最小值，也可能没有最大值或最小值。

在求解一个函数的最值时，我们可以通过以下步骤进行：1. 找到函数的定义域。

2. 求解函数的导数，并找到导数为零的点和导数不存在的点。

3. 将这些点代入函数中，得到对应的函数值。

4. 比较这些函数值，找到最大值和最小值。

举例来说，考虑函数 f(x) = 2x^2 - 3x + 1。

首先，我们需要找到函数的定义域。

由于这是一个二次函数，它的定义域是整个实数集。

然后，我们求解 f(x) 的导数 f'(x) = 4x - 3，并找到导数为零的点 x = 3/4。

将这个点代入原函数，得到 f(3/4) = 1/8。

由于这个函数是一个开口向上的抛物线，它的最小值就是 f(3/4) = 1/8。

因此，这个函数的最值是 f(3/4) = 1/8。

另外一个例子是函数 g(x) = sin(x)。

对于这个函数，它的定义域是整个实数集。

由于正弦函数的取值范围在 [-1, 1] 之间，所以 g(x) 的最大值是 1，最小值是 -1。

函数的最值在数学中经常用来确定问题的极限、最优解和最不利情况等。

二、函数的单调性函数的单调性是指函数的增减性质。

一个函数可以是递增的、递减的或是既递增又递减。

要判断一个函数的单调性，我们可以通过以下方法：1. 求解函数的导数。

2. 研究导数的符号。

如果导数在定义域内始终大于零，那么函数是递增的；如果导数在定义域内始终小于零，那么函数是递减的。

如果导数既大于零又小于零，那么函数既递增又递减。

比如考虑函数 h(x) = x^2 - 3x + 2。

我们求解 h(x) 的导数 h'(x) = 2x - 3。

通过分析导数的符号，我们可以发现当 x < 3/2 时，导数为负，说明函数 h(x) 在这个区间上是递减的；当 x > 3/2 时，导数为正，说明函数h(x) 在这个区间上是递增的。

函数的单调性与最值复习:按照列表、描点、连线等步骤画出函数2x y =的图像、图像在y 轴的右侧部分就是上升的,当在区间[0,+∞)上取值时,随着x 的增大,相应的y 值也随着增大,如果取21,x x ∈[0,+∞),得到11()y f x =,2()y f x =,那么当1x <2x 时,有1y <2y 、这时就说函数y =2()f x x =在[0,+ ∞)上就是增函数、图像在y 轴的左侧部分就是下降的,当x 在区间[0,+∞)上取值时,随着x 的增大,相应的y 值反而随着减小,如果取21,x x ∈[0,+∞),得到11()y f x =,2()y f x =,那么当1x <2x 时,有12y y <。

这时就说函数y =2()f x x =在[0,+ ∞)上就是减函数、1.函数的单调性(1)单调函数的定义(2)单调区间的定义若函数f (x )在区间D 上就是增函数或减函数,那么称函数f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D 叫做f (x )的单调区间.注意:(1)函数的单调性也叫函数的增减性; (2)注意区间上所取两点x 1,x 2的任意性;(3)函数的单调性就是对某个区间而言的,它就是一个局部概念。

(4)若函数()f x 在其定义内的两个区间A 、B 上都就是单调增(减)函数,一般不能认简单地认为()f x 在区间A B 上就是增(减)函数、 例如1()f x x=在区间(,0)-∞上就是减函数,在区间(0,)+∞上也就是减函数,但不能说它在定义域(,0)(0,)-∞+∞上就是减函数、(3)用定义法判断函数的单调性:①定义域取值;任取x 1,x 2∈D,且x 1<x 2; ②作差;作差f (x 1)－f (x 2);③变形;通常就是因式分解与配方; ④定符号;即判断差f (x 1)－f (x 2)的正负⑤下结论.指出函数f (x )在给定的区间D 上的单调性例1 证明函数xx f 1)(=在(0,+∞)上就是减函数、证明:设1x ,2x 就是(0,+∞)上的任意两个实数,且1x <2x ,则)(1x f －)(2x f =11x －21x =2112x x x x -, 由1x ,2x ∈(0,+ ∞),得1x 2x >0,又由1x <2x ,得2x －1x >0 ,于就是)(1x f －)(2x f >0,即)(1x f > )(2x f ∴xx f 1)(=在(0,+ ∞)上就是减函数、练习:讨论函数21)(x x f -=在[-1,0]的单调性、在[-1,0]上任取x 1,x 2且x 1<x 2则2111)(x x f -=,2221)(x x f -= 从而)(1x f -2221211)(x x x f ---== 2221222111)1()1(xx x x -+----=222112122221212211))((11xx x x x x xx x x -+--+=-+--∵21x x < ∴012>-x x 另外,恒有0112221>+++x x ∵-1≤x 1<x 2≤0 则 x 1+x 2<0 则)(1x f -0)(2<x f )(1x f <)(2x f ∴ 在[-1,0]上f (x )为增函数2、基本函数的单调性例:讨论函数322+-=ax x f(x)在(-2,2)内的单调性、解:∵222332a (x-a)ax x f(x)-+=+-=,对称轴a x = ∴若2-≤a ,则322+-=ax x f(x)在(-2,2)内就是增函数;若22<<-a 则322+-=ax x f(x)在(-2,a)内就是减函数,在[a,2]内就是增函数 若2≥a ,则322+-=ax x f(x)在(-2,2)内就是减函数、3、判断函数的单调性的常见结论①设任意x 1,x 2∈[a ,b ],且x 1＜x 2,那么()()210f x f x ->⇔f (x )在[a ,b ]上就是增函数;()()210f x f x -<⇔f (x )在[a ,b ]上就是减函数.②设任意x 1,x 2∈[a ,b ],那么()()21210f x f x x x ->-⇔f (x )在[a ,b ]上就是增函数;()()21210f x f x x x -<-⇔f (x )在[a ,b ]上就是减函数.③ (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0⇔f (x )在[a ,b ]上就是增函数;(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0⇔f (x )在[a ,b ]上就是减函数.例:求函数y ＝x 2＋x －6的单调区间、4、 关于分段函数的单调性(1)若函数()()[]()[],,,,g x x a b f x h x x c d ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩,()g x 在区间[],a b 上就是增函数, ()h x 在区间[],c d 上就是增函数,则()f x 在区间[][],,a b c d 上不一定就是增函数,若使得()f x 在区间[][],,a b c d 上一定就是增函数,需补充条件: ()()g b h c ≤(2)若函数()()[]()[],,,,g x x a b f x h x x c d ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩,()g x 在区间[],a b 上就是减函数, ()h x 在区间[],c d 上就是减函数,则()f x 在区间[][],,a b c d 上不一定就是减函数,若使得()f x 在区间[][],,a bc d 上一定就是减函数,需补充条件: ()()g b h c ≥例:已知函数()(0)(3)4(0)x a x f x a x a x ⎧<⎨-+≥⎩＝若对任意x 1,x 2,都有()()21210f x f x x x -<-成立,则实数a 的取值范围就是( )A.(0,14] B.(0,1) C.[14,1) D.(0,3)5.函数的最值例:f(x)＝x 2－2x (x ∈[－2,4])的单调增区间为__________;f(x)max ＝________、6、利用函数的单调性求最值例题:已知函数f (x )对于任意x ,y ∈R ,总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y ),且当x ＞0时,f (x )＜0,f (1)＝－23、(1)求证:f (x )在R 上就是减函数; (2)求f (x )在[－3,3]上的最大值与最小值.(1)证明:令0x y ==,则(0)0f =;再令y x =-,则应有()()f x f x -=-,从而在R 上任取12x x >,则121212()()()()()f x f x f x f x f x x -=+-=-、1212,0.x x x x >∴->又0x >时,()0f x <,从而12()0f x x -<,即12()()f x f x <,由定义可知函数()f x 在R 上的减函数、 (2)函数()f x 就是R 上的减函数,()f x ∴在区间[3,3]-上也就是减函数、从而可知在区间[3,3]-上,(3)f -最大,(3)f 最小、2(3)(2)(1)(1)(1)(1)3(1)3()2,3f f f f f f f =+=++==⨯-=-(3)(3) 2.f f ∴-=-=即()f x 在[3,3]-上的最大值为2,最小值为－2、练习:已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足f (yx)＝f (x )－f (y )、,且当x ＞1时,f(x)＜0、 (1)求f(1)的值;(2)判断f(x)的单调性;(3)若f(3)=-1,解不等式f(|x|)＜-2、(1)f(1) = f(1/1) = f(1) - f(1) = 0。

1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I⊆A，如果对于区间I内的任意两个值x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间I上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y＝f(x)在区间I上具有单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为A，如果存在x0∈A，使得条件对于任意的x∈A，都有f(x)≤f(x0)对于任意的x∈A，都有f(x)≥f(x0)结论f(x0)为最大值f(x0)为最小值【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个值x1，x2”改为“存在两个值x1，x2”．()(2)对于函数f(x)，x∈D，若x1，x2∈D且(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0，则函数f(x)在D上是增函数．()(3)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．( ) (4)函数y ＝1x 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( )(5)所有的单调函数都有最值．( )(6)对于函数y ＝f (x )，若f (1)<f (3)，则f (x )为增函数．( )1．下列函数中，①y ＝1x －x ；②y ＝x 2－x ；③y ＝ln x －x ；④y ＝e x －x ，在区间(0，＋∞)内单调递减的是__________．2．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a 的值为________． 3．设函数y ＝x 2－2x ，x ∈[－2，a ]，若函数的最小值为g (a )，则g (a )＝________. 4．(教材改编)已知函数f (x )＝2x －1，x ∈[2,6]，则f (x )的最大值为________，最小值为________． 5．(教材改编)已知函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a 的取值范围为_____________．题型一 确定函数的单调性(区间)命题点1 给出具体解析式的函数的单调性例1 (1)下列函数中，①y ＝ln(x ＋2)；②y ＝－x ＋1；③y ＝(12)x ；④y ＝x ＋1x ，在区间(0，＋∞)上为增函数的是________．(2)函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间是____________．(3)函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调增区间为_________________________．命题点2 解析式含参函数的单调性例2 试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性．引申探究若本题中的函数变为f (x )＝axx 2－1 (a >0)，则f (x )在(－1,1)上的单调性如何？思维升华 确定函数单调性的方法：(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；(3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“∪”连结．已知a >0，函数f (x )＝x ＋ax(x >0)，证明：函数f (x )在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数．题型二 函数的最值例3 已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax ，x ∈[1，＋∞)，a ∈(－∞，1]．(1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围．思维升华 求函数最值的常用方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．(1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为________．(2)已知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0)，若f (x )在[12，2]上的值域为[12，2]，则a ＝________.题型三 函数单调性的应用命题点1 比较大小 例4 已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则f (x 1)________0，f (x 2)________0.(判断大小关系)命题点2 解不等式例5 已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x 1<f (1)的实数x 的取值范围是______________．命题点3 求参数范围例6 (1)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是__________． (2)已知⎩⎨⎧≥<+-=1,1,1)2()(x a x x a x f x满足对任意x 1≠x 2，都有0)()(2121>--x x x f x f 成立，那么a 的取值范围是________．思维升华 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决． (2)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域． (3)利用单调性求参数．①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；②需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的； ③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．(1)f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，当f (x )＋f (x －8)≤2时，x的取值范围是__________．(2)若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝ax＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是__________．1．确定抽象函数单调性解函数不等式典例(14分)函数f(x)对任意的m、n∈R，都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且x>0时，恒有f(x)>1.(1)求证：f(x)在R上是增函数；(2)若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)<2.思维点拨(1)对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义．应该构造出f(x2)－f(x1)并与0比较大小．(2)将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”是本题的切入点．要构造出f(M)<f(N)的形式．解函数不等式问题的一般步骤：第一步：(定性)确定函数f(x)在给定区间上的单调性；第二步：(转化)将函数不等式转化为f(M)<f(N)的形式；第三步：(去f)运用函数的单调性“去掉”函数的符号“f”，转化成一般的不等式或不等式组；第四步：(求解)解不等式或不等式组确定解集；第五步：(反思)反思回顾．查看关键点，易错点及解题规范．温馨提醒本题对函数的单调性的判断是一个关键点．不会运用条件x>0时，f(x)>1，构造不出f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1的形式，便找不到问题的突破口．第二个关键应该是将不等式化为f(M)<f(N)的形式．解决此类问题的易错点：忽视了M、N的取值范围，即忽视了f(x)所在单调区间的约束．[方法与技巧]1．利用定义证明或判断函数单调性的步骤 (1)取值；(2)作差；(3)定量；(4)判断．2．确定函数单调性有四种常用方法：定义法、导数法、复合函数法、图象法，也可利用单调函数的和差确定单调性．3．求函数最值的常用求法：单调性法、图象法、换元法． [失误与防范]1．分段函数单调性不仅要考虑各段的单调性，还要注意衔接点．2．函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或“和”连结，不要用“∪”．A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1．下列函数f (x )中，①f (x )＝1x ；②f (x )＝(x －1)2；③f (x )＝e x ；④f (x )＝ln(x ＋1)，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是________．(填序号)2．已知函数y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上单调递增，则实数a 的取值范围是__________．3．已知函数y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a ＝f ⎪⎭⎫⎝⎛-21，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为______________．4．若函数f (x )＝x 2－2x ＋m 在 [3，＋∞)上的最小值为1，则实数m 的值为________．5．已知函数f (x )＝2ax 2＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a 的取值范围是__________．6．函数f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧<≥1,21,log 21x x x x的值域为________．7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋12a －2，x ≤1，a x －a ，x >1，若f (x )在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________．8．函数f (x )＝x⎪⎭⎫⎝⎛31－log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．9．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证明f (x )在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围．10．设函数y ＝f (x )是定义在(0，＋∞)上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数x ，y ，都有f (xy )＝f (x )＋f (y )；②当x >1时，f (x )<0；③f (3)＝－1. (1)求f (1)，f (19)的值；(2)如果不等式f (x )＋f (2－x )<2成立，求x 的取值范围．B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________．12．定义新运算：当a ≥b 时，a b ＝a ；当a <b 时，a b ＝b 2，则函数f (x )＝(1x )x －(2x )，x ∈[－2,2]的最大值等于________．13．已知函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则实数a 的取值范围为_________．14．已知函数f (x )＝lg(x ＋ax －2)，其中a 是大于0的常数．(1)求函数f (x )的定义域；(2)当a ∈(1,4)时，求函数f (x )在[2，＋∞)上的最小值； (3)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，试确定a 的取值范围．。