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机器视觉第5章 尺寸测量技术 PPT

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机器视觉测量技术

机器视觉测量技术

机器视觉测量技术杨永跃合肥工业大学2007.3目录第一章绪论1.1 概述1.2 机器视觉的研究内容1.3 机器视觉的应用1.4 人类视觉简介1.5 颜色和知觉1.6 光度学1.7 视觉的空间知觉1.8 几何基础第二章图像的采集和量化2.1 采集装置的性能指标2.2 电荷藕合摄像器件2.3 CCD 相机类2.4 彩色数码相机2.5 常用的图像文件格式2.6 照明系统设计第三章光学图样的测量3.1 全息技术3.2 散斑测量技术3.3 莫尔条纹测量技术3.4 微图像测量技术第四章标定方法的研究4.1 干涉条纹图数学形成与特征4.2 图像预处理方法4.3 条纹倍增法4.4 条纹图的旋滤波算法第五章立体视觉5.1 立体成像25.2 基本约束5.3 边缘匹配5.4 匹域相关性5.5 从 x 恢复形状的方法5.6 测距成像第六章标定6.1 传统标定6.2 Tsais 万能摄像机标定法6.3 Weng ’ s 标定法6.4 几何映射变换6.5 重采样算法第七章目标图像亚像素定位技术第八章图像测量软件(多媒体介绍第九章典型测量系统设计分析9.1 光源设计9.2 图像传感器设计9.3 图像处理分析9.4 图像识别分析附:教学实验1、视觉坐标测量标定实验2、视觉坐标测量的标定方法。

3、视觉坐标测量应用实验4、典型零件测量方法等。

3第一章绪论1.1 概述人类在征服自然、改造自然和推动社会进步的过程中,面临着自身能力、能量的局限性, 因而发明和创造了许多机器来辅助或代替人类完成任务。

智能机器或智能机器人是这种机器最理想的模式。

智能机器能模拟人类的功能、能感知外部世界,有效解决问题。

人类感知外部世界:视觉、听觉、嗅觉、味觉、触觉眼耳鼻舌身所以对于智能机器,赋予人类视觉功能极其重要。

机器视觉:用计算机来模拟生物(外显或宏观视觉功能的科学和技术。

机器视觉目标:用图像创建或恢复现实世界模型,然后认知现实世界。

1.2 机器视觉的研究内容1 输入设备成像设备:摄像机、红外线、激光、超声波、 X 射线、 CCD 、数字扫描仪、超声成像、 CT 等数字化设备2 低层视觉(预处理 :对输入的原始图像进行处理(滤波、增强、边缘检测 ,提取角点、边缘、线条色彩等特征。

基于机器视觉的零件尺寸计算2.0.pptx

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6.图像采集卡：ＶＤ８７８静态采集卡； 7.镜头：Ｎａｖｉｔａｒ ＴＣ－５０２８远心镜头，优点是使系统 所成图像不会发生畸变。
工作流程图：
开始
抓取零件
放在测量台指定位置 图像采集与处理 数据存储
合格 是
传送至合格零件存放处
否
传送至不合格零件存放处
结束
图像处理步骤： 1、读取原图、转为灰度图。 2、转为二值图。（graythresh函数） 6、除去外圆，保留内圆： img7=img6-img4;
项目内容：本项目是利用自主设计的基于机器视觉对一个环形零件进行
检测，通过机器视觉系统测量求出环形的内径和外径。检测精度要求在± 50um， 测量时采用静止视觉测量，自动传送到指定位置，测量后将合格与不合格零件自 动分类的分类。
项目目标：在零件正上方的一定距离安置照相机，将摄像机获取的图像
传至计算机处理，通过图像处理计算出零件尺寸，再通过摄像机的性质，以及摄 像机与零件的位置最终计算出零件的内外径的实际测量尺寸，通过与合格标准进 行比较将合格与不合格的零件进行分类。
原图：
灰度图：
腐蚀：
膨胀：
边缘图：
外圆：
除去 外圆：
测内圆：
技术难点：
1、前期图像处理，去噪； 2、后期直径的计算；
遇到的问题及解决方案： 腐蚀和膨胀
原图：
灰度图：
腐蚀：膨胀：Fra bibliotek边缘图：
外圆：
除去 外圆：
测内圆：
原图：
灰度图：
腐蚀：
膨胀：
边缘图：
外圆：
除去 外圆：
测内圆：
注意事项：
在零件正上方的一定距离安置照相机将摄像机获取的图像传至计算机处理通过图像处理计算出零件尺寸再通过摄像机的性质以及摄像机与零件的位置最终计算出零件的内外径的实际测量尺寸通过与合格标准进行比较将合格与不合格的零件进行分类
机器视觉组态软件2

机器视觉组态软件2

第5章 尺寸测量技术
尺寸测量是机器视觉技术最普遍的应用行业，特别在自动化 制造行业中，包括物件的长度、角度、孔径、直径、弧度等 都是典型的物件待测几何参数。传统尺寸测量精度低、速度 慢，无法满足大规模自动化生产的需要。基于机器视觉的尺 寸测量技术属于非接触性测量，具有检测精度高、速度快、 成本低、便于安装等优点，不但可以获取在线产品的尺寸参 数，同时可对产品做出在线实时判定和分拣，应用十分普遍。
对象，需要EdgeGet(image2,image3,rect,CONTOUR); //区域边缘提取 showimage(image3); //显示预处理之后的图像
对该工件宽度进行测量
RectDistance(image3,image4,rect,HOUGHMINI,A,b, c); //距离测量函数
5.1.1 距离测量
➢ 直线拟合的最小二乘法 y ax b 令 i yi (axi b) 反映计算值y与实际值yi 的偏差
当偏差的平方和最小时，则可以保证每个偏差都不会很大。于是直
线拟合的问题可归结为确定常数a和b，使得
n
n
F (a, b) i 2 ( yi axi b)2 为最小 。
5.1.1 距离测量 showimage(image); //显示图像 DrawRectangle(rect); //设置图像处理区域rect
RectThresholdCovert(image,image1,rect,DIEDAITH
RESHOLD,1); //区域图像二值化分割
选择一个矩形工件作为检测 RectPointInvert(image1,image2,rect); //图像反色
F
ni 1
i 1
a
2
i 1
机器视觉测量技术图像采集(共35张PPT)

机器视觉测量技术图像采集(共35张PPT)

6.取景器:观看拍摄效果和编辑修改〔液晶〕. 7.接口功能：RS232、SCSI、USB、1394接口. 8.其他功能：自动测光、自动调焦、自动闪光、自拍.
彩色CCD 1、单管CCD彩色摄像机
机器视觉测术
分光棱镜 >>三色 >>3CCD接收 >> RGB信号
④按扫描方式：有面扫描和线扫描方式.
面扫描又分为逐行扫描和隔行扫描。
⑤按同步方式：内同步,外同步功能相机.
机器视觉测量技术
机器视觉测量技术
CCD相机主要功能调节
1.同步方式选择：内同步 外同步〔外触发信号〕 电源同步〔电源完成垂直同步〕
2.自动增益控制： CCD信号的视频放大器，对不同照度 而随之改变增益，可使相机在较大的光照范围内进行 工作。
用于外表光滑的曲面检测
3、透射型
机器视觉测量技术
高明亮度 导光
4、同轴型
• 均匀照明反光外表
机器视觉测量技术
能。
MMC卡,SD卡,随机附带32M SD卡
电荷耦合器件 CCD
─在一幅图像上，在水平方向能够分辨出的黑白条数.
相干信号，光亮度高。
2、照明系统与工作间距：镜头到工作距离 >>照明系统到工作间距 >>光源到工作距离
断骨增高
兰花指
相对灵敏度用能使输出发生一级变化所需光子数表示。
4.电子快门：CCD仅输出快门开启时的光电荷信号，其 余时间那么被泄放。最短电子快门为1/1000 S.
4.阴影〔不均匀度〕：输入物理信号为常数而输出的数字形式不 为常数的现象。
5.象素形状：一般为正方形，但 也有其它形状。
6.频谱灵敏度：对不同频率辐 射的相对灵敏度。
机器视觉概念-PPT课件

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机器视觉未来发展的趋势
机器视觉自起步发展到现在，已有15年的 发展历史。应该说机器视觉作为一种应用 系统，其功能特点是随着工业自动化的发 展而逐渐完善和发展的。
机器视觉未来发展的趋势
在机器视觉赖以普及发展的诸多因素中，有技术层 面的，也有商业层面的，但制造业的需求是决定 性的。制造业的发展，带来了对机器视觉需求的 提升；也决定了机器视觉将由过去单纯的采集、 分析、传递数据，判断动作，逐渐朝着开放性的 方向发展，这一趋势也预示着机器视觉将与自动 化更进一步的融合。 需求决定产品，只有满足需求的产品才有生存的 空间，这是不变的规律。机器视觉也是如此。
机器视觉的基本知识
二.机器视觉的基本构成
机器视觉的基本知识
三.机器视觉的特点 机器视觉系统的特点是提高生产的柔性和自动化 程度。在一些不适合于人工作业的危险工作环境 或人工视觉难以满足要求的场合，常用机器视觉 来替代人工视觉；同时在大批量工业生产过程中， 用人工视觉检查产品质量效率低且精度不高，用 机器视觉检测方法可以大大提高生产效率和生产 的自动化程度。而且机器视觉易于实现信息集成， 是实现计算机集成制造的基础技术。
机器视觉未来发展的趋势
2、统一开放的标准是机器视觉发展的原动 力。
机器视觉产品的好坏不能够通过单一因素来衡量， 应该逐渐按照国际化的统一标准判定，随着中国 自动化的逐渐开放，将带领与其相关的产品技术 也逐渐开放。因此，依靠封闭的技术难以促进整 个行业的发展，只有形成统一而开放的标准才能 让更多的厂商在相同的平台上开发产品，这也是 促进中国机器视觉朝国际化水平发展的原动力。
实用案例分析
5、检测牙膏管口边缘毛刺：
A、对物件进行旋转位置识别 B、检测管口是否有毛刺或其他障碍物 C、通过异步触发器对图像进行整体评估
机器视觉入门介绍ppt课件

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灵活性高，可扩充性强，支持远距离传输，支持多点传输，技术成熟，鲁棒性强，成本低。
• USB3.0
灵活性高。传输距离短，可靠性低，技术不成熟。
27
图像分析——核心算法
物体测量
二维码读取
瑕疵检测
空间标定
图像数学和逻辑运算
图像分割
28
图像分析——核心算法
模板和形状匹配 光学字符的识别与确认
色彩检测
41
应用案例——产品可追溯
• 使用机器视觉技术进行条码读取和标签验证，具体包括读码（包括读取一维码，二维 码），OCR（光学字符识别），检测有/无，定位，测量，标签验证，OCV（光学字符 验证）等等，
• 保证产品质量和全程可视化操作。管理者和生产人员可轻松地管理日常工作，对各类 时间能快速响应和决断，确保生产顺利进行，实现产品的全程可追溯性。
硬件——相机，控制器，光源及支架； 软件——控制系统，图形用户界面(GUI)和图像分析算法。
厂家
擅长
前身
康耐视
识别/检测/测量
一/二维码识别
迈思肯
识别/检测/测量
一/二维码识别
邦纳
识别/检测/测量
传感器
Leuze
识别/检测/测量
传感器
基恩士
识别/检测/测量
传感器
ABB
机械手引导
变频器
管脚定义不统一，电缆成本高。
• Camera Link
高速，高可靠性。不便于多相机连接和集中控制，电缆价格高。
• IEE1394
灵活性高，成本低。传输距离短，可靠性低。
• USB2.0
灵活性高，成本低。传输距离短，可靠性低，技术不成熟。
• GigEVision
机器视觉第5章 尺寸测量技术 PPT

机器视觉第5章 尺寸测量技术 PPT

目的是给图像中每个连通的区域分配一个唯一的标记值， 以判定区域中的物体是否是独立的，以及区域中的物体是 否只是噪声。
5.2.1 基于区域标记的面积测量
具体步骤： 1. 将图像二值化，对二值图像，从左到右，从上到下，依
次检验每个像素，如果发现某像素值为0，则依次检测该 点的右上、正上、左上、左前共4个点的像素值，判断其 是否与已标示区域连通，并标示物体，将物体的像素值 改为该像素所在区域的标号。
决定的直线上所拥有的像素数。 初始化时，矩阵M置为0。
直线拟合的哈夫变换方法
2. 遍历图像，对像素(xi, yi) ，将的所有量化值和像素坐
标(xi, yi)，依次代入直线的极坐标方程，计算r的值， 根据当前r、，将对应的累加器加1，即： M[r][]=M[r][]+1。
3. 分析M[r][]，如果M[r][]T，就认为存在一条有意义 的线段，(r,)是该线段的拟合参数。
它通过将源图像上的点映射到用于累加的参数空间， 实现对已知解析式曲线的识别。
由于Hough变换利用了图像全局特性，所以受噪声和 边界间断的影响较小，比较鲁棒(Robust)。
Hough变换常用来对图像中的直线和圆进行识别。
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
直线拟合的哈夫变换方法
直线拟合的哈夫变换方法
具体步骤：
1. 将r空间量化，得到二维矩阵M[r][]；
根据极坐标表示法，r是直线到原点的距离。设图像的对 角线长度为n，固定左上角为原点，则r的取值范围为[0, n]。
令以1度为增量，则的取值范围为[0, 359]。
此时，M是一个n行360列的二维矩阵。
矩阵中任一元素M[r][]所存储的值就是图像中由参数(r,)
机器视觉基础知识培训课件

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FOV：100MM
500 象素
象素值 = 0.2 MM
实用精品PPT课件
43
七、机器视觉系统搭建
获得完美图象的6大要素
#1：高系统精度
• 视野（FOV） - 让视觉系统“关心”的部分尽可能“充满”视野。通俗来说，FOV越小越“好”。 - 相机分辨率相同视野越小系统精度越高 - 视野相同相机分辨率越高系统精度越高
实用精品PPT课件
51
七、机器视觉系统搭建
项目评估的基本步骤1：
检测项目 条款
检测项目条款 • 条款名称及详细说明
客户需求
系统精度 要求
系统速度 要求
系统工作 空间要求
系统精度要求
• 详细记录每项条款的精度 要求
系统速度要求
• 清楚了解整个系统的速度要求
• 对于设备制造商，还需要了解 整个设备的工作流程
三维深度信息
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29
六、软硬件知识--光源篇 常用照明技术
#6：影子的利用——最不直接的测量
待测物高度信息
待测物长度信息
实用精品PPT课件
30
六、软硬件知识--光源篇 常用照明技术
#7：彩色的考虑
光
色
的
彩
三
三
原 色
原 色
光的三原色：红、绿、蓝；色彩三原色：青、紫、黄。 世界上所有颜色都是由三原色按不同比例组合而成 三原色的色光叠加为白光。如：日光 三原色的色彩叠加为黑色。
49
七、机器视觉系统搭建
小结
• #1：获得完美图象的6大要素及控制因素 高系统精度。控制因素：视野、相机分辨率。 清晰成象。控制因素：镜头、光源 避免畸变。控制因素：镜头 保持待测物体在成象中大小一致。控制因素：视野、拍照角度、待测物位置 反差最大化。控制因素：光源、镜头 恰当的照明与曝光。控制因素：光源、镜头
视觉检测技术精品PPT课件

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② 气体放电光源：原理：气体分子激发→放电 （电弧灯） 器件：碳弧灯、钠弧灯、氙弧灯、水银弧灯 特点：功率大，光色接近日光，紫外线丰富
应用：强光、色温要求接近日光
③发光二极管： 原理：半导体，电致发光 器件：LED，可见光、红外光 特点： 体积小、功耗低、寿命长、响应快、易于数字控制、 比普通光源单色性好、亮度高
实例：美国Sojourner系列和Rocky系列火星探测移动机器人
美国勇气号和机遇号火星探测移动机器人
“勇气”号火星车 发回的彩色照片
“机遇”号火星车拍摄 火星土壤的显微照片
3、生物医学图像分析
（1）医学临床诊断 ： X射线、B超、CT、核磁共振（MRI）
CT图像
医学影像融合分析
自动检测：染色体切片、癌细胞切片、超声波图象
航空摄影图像 --- （多目成象 --- 大地测量、测绘）
5、监控、安防、交通管理：
交通 --- 车辆识别、牌照识别、车型判断、车辆监视、交通流量检测 安全 --- 指纹判别与匹配、面孔与眼底识别、安全检查（飞机、海关） 监视 --- 超市、商店防盗、银行监控，停车场、电梯闭路电视
6、军事与国防：
超低空雷达、超视距雷达、导弹制导、导弹导航、地形匹配、 单兵作战系统、战场遥测、夜视仪、声纳成象
点光源 --- 发光二极管
线光源
面光源 --- 专用
b. 按安装方式： 背向照明： 被测物在光源和摄像机之间 --- 对比度好
前向照明： 光源放在物体的后面 —— 便于安装
结构光照明： 光源有特定的方向，光束有精确的形状。 --- 光栅或线光源 畸变 三维形状
频闪光照明： 高频率的光脉冲 --- 高速运动物体
2、光学系统
组成：成像物镜 + 光电器件 ① 照相摄影系统：
机器视觉 课件

机器视觉 课件

应用场景
在工业检测、交通监控等领域有广泛应用。
优点与局限性
能够准确检测出图像中的几何形状，但对于复杂背景或噪声较多的图像效果较差。
霍夫变换算法介绍
霍夫变换算法是一种用于检测图像中几何形状的算法，如直线、圆等。
A
B
C
D
特征匹配算法介绍
特征匹配算法通过提取图像中的特征点，并比较不同图像之间的特征点相似度来进行匹配。
优点与局限性
阈值分割算法简单、快速，适用于背景和前景对比度较大的情况，但对于复杂背景或光照不均的情况效果较差。
阈值选择
阈值的选择是阈值分割算法的关键，常用的方法有Otsu's方法、迭代法等。
应用场景
广泛应用于工业检测、医学影像分析等领域。
边缘检测算法介绍
常见算子
优点与局限性
应用场景
01
02
03
04
优点与局限性
能够处理不同视角、光照和尺度变化的图像，但对于特征点较少的图像效果较差。
应用场景
在目标识别、图像拼接等领域有广泛应用。
特征提取方法
常见的特征提取方法有SIFT、SURF、ORB等。
04
CHAPTER
机器视觉实践应用
机器视觉系统可以自动识别生产线上的产品，检测其尺寸、外观、表面缺陷等，确保产品质量。
机器视觉可以帮助无人驾驶汽车识别道路标志、交通信号等，实现自主导航。
05
CHAPTER
机器视觉发展趋势与挑战
3D视觉技术
3D视觉技术在近年来取得了显著进展，通过获取物体的三维信息，能够实现更复杂、更精准的视觉分析。
深度学习算法
随着深度学习技术的不断发展，越来越多的算法被应用到机器视觉领域，提高了图像识别、目标检测、语义分割等任务的准确性和源自率。机器视觉 课件目录
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两种经典的直线拟合(检测)算法：最小二乘法、哈夫(霍夫)变换法
直线拟合的最小二乘法
直线函数：y=ax+b，a、b是待定常数。
记：i=yi-(axi+b)
i反映计算值y与实际值yi的偏差，可正可负。 用i的平方反映估计值与实际值的偏差。
n
对拟合直线上的若干点，当它们的偏差平方和
2 i
最小，
决定的直线上所拥有的像素数。 初始化时，矩阵M置为0。
直线拟合的哈夫变换方法
2. 遍历图像，对像素(xi, yi) ，将的所有量化值和像素坐
标(xi, yi)，依次代入直线的极坐标方程，计算r的值， 根据当前r、，将对应的累加器加1，即： M[r][]=M[r][]+1。
第5章内容
长度测量 面积测量 圆测量 线弧测量 角度测量
5.1 长度测量
长度测量是尺寸测量技术中应用最广泛的一种测量， 基于机器视觉的长度测量发展迅速，技术比较成熟。特 别是测量精度高、速度快，对在线有形工件的实时 NG(No Good)判定、监控分检方面应用广泛。
直线间距离测量 线段长度测量
直线拟合的哈夫变换方法
点--线对偶性：
1. 图像空间XY中共线的点，对应在参数空间PQ中相交的线。 2. 参数空间PQ中相交于一点的所有直线，在图像空间XY里
都有共线的点与之对应。
结论：在PQ平面上相交直线最多的点，对应在XY平面上 的直线就是解。
问题：在XY平面中用斜率描述的直线存在斜率P无穷大(即 直线垂直)的情况，会给计算带来不便，一般采用点-正 弦曲线对偶。
它通过将源图像上的点映射到用于累加的参数空间， 实现对已知解析式曲线的识别。
由于Hough变换利用了图像全局特性，所以受噪声和 边界间断的影响较小，比较鲁棒(Robust)。
Hough变换常用来对图像中的直线和圆进行识别。
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
直线拟合的哈夫变换方法
直线拟合的哈夫变换方法
具体步骤：
1. 将r空间量化，得到二维矩阵M[r][]；
根据极坐标表示法，r是直线到原点的距离。设图像的对 角线长度为n，固定左上角为原点，则r的取值范围为[0, n]。
令以1度为增量，则的取值范围为[0, 359]。
此时，M是一个n行360列的二维矩阵。
矩阵中任一元素M[r][]所存储的值就是图像中由参数(r,)
直线函数：y=px+q
图像空间XY：(x, y) 参数空间PQ：(p, q)
Y (x2, y2)
(x1, y1)
O
X
Q
q=-x1p+y1
q’
q=-x2p+y2
O
p’
P
点--线对偶性：
图像空间中共线的点，对应在参 数空间中相交的线。
参数空间中相交于一点的所有直 线，在图像空间里都有共线的点 与之对应。
缺点：拟合出的两条直线可能不平行。一般采用一条直 线上多点到另一条直线的距离平均值来近似计算。
思考题：一张图上有多条直线，如何将离散的像素点分
到正确的直线类中？
直线拟合的哈夫变换方法
Hough变换[Hough，1962]是一种利用图像全局特征 将特定形状的边缘连接起来，形成连续平滑边缘的一种方 法。
子。
由于图像上任一像素可以同时属于多根直线，即可 看成每个棋子(像素)可以同时放在多个容器中(直线)。
Hough变换的基本思想：依次检查图像上的每个棋子(特定 像素)。对每个棋子，找到所有包含它的容器(直线)，并 为每个容器的计数器加1。遍历结束后，统计每个容器 所包含的棋子数量。当图像上某个直线包含的特定像素 足够多时，就可以认为直线存在。
第5章 尺寸测量技术
尺寸测量是机器视觉技术最普遍的应用行业，包括 物件的长度、角度、孔径、直径、弧度等都是典型的物件 待测几何参数。
传统尺寸测量精度低、速度慢、无法满足大规模自 动化生产的需要。
基于机器视觉的尺寸测量技术属于非接触性测量， 具有检测精度高、速度快、成本低、便于安装等优点。不 但可以获取在线产品的尺寸参数，同时可对产品作出在线 实时判定和分检。
L4
A L1
B L8
L6
L7
L2
L3
Hough变换时，依次对像素A、B进行处理
像素A的处理结果：L1、L2、L3、L4等直线的计数器加1； 像素B的处理结果：L2、L6、L7、L8等直线的计数器加1； 最终结果：除L2外，其余直线区域的计数器值均为1。
根据图像大小设定阈值T，规定若某个直线计数器内包含 的特定像素数量>T，则认为此直线存在。
5.1.1 距离测量
基本步骤：
1)对定位距离的两条直线进行识别和拟合。(关键步骤)
2)得到直线方程后，根据数学方法计算两线间的距离。
直线是图像的基本特征之一，研究直线检测算法具有重要意义 。 一般，物体平面图像的轮廓可近似为直线及弧的组合，因此，对 物体轮廓的检测与识别可以转化为对这些基元的检测与提取。 在运动图像分析和估计领域，也可以采用直线对应法实现刚体旋 转量和位移量的测量。
可以保证每个点的偏差都不会大。
i1
直线拟合的最小二乘法
问题归结为：确定y=ax+b中的常数a、b ，使F(a, b)最小
n
n
Fa,b i2 yiaxib2i1i1源自极值原理：F a
F
b
n
2
i1
n
2
i1
xi yi
yi axi b 0
axi
b
0 ①
③ ②
n
n
n
n xiyi xi yi
直线拟合的哈夫变换方法
直线的极坐标方程： r=xcos+ysin
参数空间r ：(r, )，(0, )，r(-R, R)
(x1, y1) (x2, y2)
r=x1cos+y1sin
r=x2cos+y2sin
点--正弦曲线对偶：图像空间中的点(x, y)映射到r参数空间
直线拟合的哈夫变换方法
假设：1)图像上的直线是一个容器； 2)直线上的点(图像中的特定像素)是放在容器中的棋
a
i1
i1 i1
n
n
xi2
n
2
xi
i1
i1
1n
an
b n
i1
yi
n
i1
xi
直线拟合的最小二乘法
直线函数：y=ax+b，a和b是待定常数。
极值原理：
n
nn
n xiyi xi yi
a
i1
i1 i1
n
n
i1
xi2
in1
xi
2
b1 n ni1
yi
a n ni1
xi
最小二乘法可以方便、快速地求解直线方程。