混合分数布朗运动下欧式回望期权定价

混合双分数布朗运动下期权的定价研究摘要：本文研究了混合双分数布朗运动下期权的定价。

首先，我们介绍了双分数布朗运动和混合双分数布朗运动的定义，分析了混合双分数布朗运动的性质，并给出了其表示式。

接着，我们介绍了Black-Scholes期权定价模型及其在标准布朗运动下的应用，然后将其扩展到混合双分数布朗运动下，并给出了相应的定价公式。

最后，通过实际数据的计算和模拟，验证了所得定价公式的正确性和可行性。

关键词：混合双分数布朗运动、双分数布朗运动、期权定价模型、Black-Scholes模型、定价公式Abstract：In this paper, we studied the pricing of options under the mixed fractional Brownian motion. Firstly, we introduce the definition of the fractional Brownian motion and the mixed fractional Brownian motion, analyze the properties of mixed fractional Brownian motion, and give its expression. Then, we introduce the Black-Scholes option pricing model and its application in the standard Brownian motion.Furthermore, we extend it to the mixed fractional Brownian motion and give the corresponding pricing formula. Finally, the correctness and feasibility of the obtained pricing formula are verified by calculating and simulating actual data.Keywords: mixed fractional Brownian motion, fractional Brownian motion, option pricing model, Black-Scholes model, pricing formulaOption pricing has become a critical issue in the financial market, as there is an increasing demand for financial instruments that can help manage and hedge financial risks. The Black-Scholes option pricing model is widely used to price financial derivatives such as options. The model assumes that the underlying asset follows a standard Brownian motion, which is characterized by its constant volatility and drift. However, in reality, the volatility and drift of financial assets may vary over time, and their behavior may not be accurately represented by standard Brownian motion.The fractional Brownian motion (fBm) offers a more flexible framework for modeling the behavior of financial assets. Compared to the standard Brownian motion, fBm allows for varying volatility and drift,and exhibits long-range dependence. The mixed fractional Brownian motion (m-fBm) is an extension of fBm that incorporates both long- and short-range dependence, and has been used to model the behavior of stock prices and other financial assets.In this paper, we present a pricing formula for options based on the Black-Scholes option pricing model, but with the underlying asset modeled by m-fBm. We derive the formula using Ito's lemma and the risk-neutral pricing approach, and show that it reduces to the standard Black-Scholes formula when the underlying asset is modeled by standard Brownian motion.To test the validity of the pricing formula, we apply it to actual data on stock prices and compare the results with those obtained using the standard Black-Scholes formula. We find that the pricing formula based on m-fBm provides a better fit to the observed prices, particularly in cases where the underlying asset exhibits long-range dependence.In conclusion, we have shown that the m-fBm provides a more flexible and accurate framework for modeling the behavior of financial assets, and can be used to develop pricing models for financial derivatives such as options. The pricing formula presented in thispaper demonstrates the feasibility and effectiveness of using m-fBm in option pricingIn addition to its applications in modeling financial assets, m-fBm has also been used in other fields such as image processing, speech recognition, and geology. Its ability to capture long-range dependence and multifractal properties makes it a valuable tool in studying complex systems.One potential future direction for m-fBm research isin the development of more complex and realistic models that incorporate additional factors such as jumps, stochastic volatility, and other forms of nonlinearity. These factors are often present in real-world financial markets and can have a significant impact on asset prices. Developing models that can accurately capture these dynamics could lead to better pricing and risk management strategies for financial instruments.Another potential area for future research is in the application of m-fBm to other types of financial instruments such as futures, swaps, and credit derivatives. While options are a popular focus for financial modeling research, there are many other types of financial instruments that can benefit fromaccurate pricing models.Overall, the use of m-fBm in financial modeling represents an important development in the field of quantitative finance. Its ability to capture long-range dependence and multifractal properties makes it a valuable tool for understanding and predicting the behavior of financial assets. While there are still many challenges to overcome in developing more accurate and realistic models, the potential benefits of using m-fBm in financial modeling make it a promising area for future researchOne area where the use of m-fBm in financial modeling could be particularly useful is in risk management. By accurately modeling the multifractal properties of financial assets, it would be possible to better understand the risk associated with different types of investments. This could help investors make more informed decisions and avoid potential losses.Another potential application of m-fBm in finance is in the development of trading strategies. By analyzing the long-range dependence of financial assets, it may be possible to identify patterns that can be exploited for profit. This could lead to the development of more effective trading algorithms and better investmentstrategies.However, there are also several challenges that needto be overcome in order to fully realize the potential of m-fBm in financial modeling. One major challenge is the lack of high-quality data. Multifractal analysis requires long and accurate time series data, which may be difficult to obtain in the financial markets. Additionally, there is a need for more sophisticated modeling techniques that can accurately capture the complex dynamics of financial markets.Despite these challenges, the use of m-fBm infinancial modeling has already shown promising results in several areas. Its ability to capture long-range dependence and multifractal properties make it a valuable tool for understanding and predicting the behavior of financial assets. As research in this area continues, it is likely that we will see further advancements in our understanding of financial markets and their underlying dynamicsIn conclusion, multifractional Brownian motions (m-fBm) have become an increasingly popular tool for modeling financial markets due to their ability to capturelong-range dependence and multifractal properties. While the use of m-fBm in financial modeling presentsseveral challenges, there have been promising results in predicting the behavior of financial assets. Further advancements in research are likely to provide a deeper understanding of financial markets and their underlying dynamics。

混合双分数布朗运动下欧式期权的定价徐峰【摘要】提出一种新的不具有平稳增量的随机过程—混合双分数布朗运动，用来刻画标的资产的价格，进行欧式期权定价的研究。

假设标的资产由混合双分数布朗运动驱动，运用对冲原理建立混合双分数布朗运动环境下的欧式期权价值所满足的偏微分方程，并采用边界条件和变量代换的方法得到该偏微分方程的解，即欧式期权的定价公式，其结果可看作是混合分数布朗运动和双分数布朗运动驱动下的一种推广。

%Assuming that the underlying asset is driven by the mixed bi-fractional Brownian motion,this paper proposes a partial differential equation formulation for valuing European option by hedge principle. Moreover, using the boundary condition and the method of variable substitution,we obtain the solution to this partial differential equation-the pricing formula for European option.【期刊名称】《苏州市职业大学学报》【年(卷),期】2015(000)001【总页数】4页(P50-53)【关键词】混合双分数布朗运动;欧式期权;定价;长记忆性【作者】徐峰【作者单位】苏州市职业大学商学院，江苏苏州 215104【正文语种】中文【中图分类】F830.9;O211.6传统的期权定价都是在假设标的资产服从几何布朗运动的基础上进行研究的，然而近年来大量的实证研究表明，金融资产的对数收益率并非服从正态分布，而是服从一种“尖峰厚尾”的分布，而且其价格之间也并非是随机游走的，存在着长记忆性和自相似性等分形特征，这导致了大量由布朗运动驱动的定价模型不符合真实的市场.分数布朗运动[1]已成为弥补上述模型缺陷最为简单的方法.但是，文献[2]指出分数布朗运动不是半鞅，许多研究者用不同的方法给出了分数布朗运动的离散逼近，并指出直接将分数布朗运动应用于金融环境将会产生套利机会[3-4]，这使得分数布朗运动似乎不适合用于刻画金融资产价格变化的行为模式.从而，部分学者开始研究修正的分数布朗运动，如混合分数布朗运动、双分数布朗运动等[5-6]，由于双分数布朗运动不仅具有自相似性和长记忆性的特征，而且在一定的限制条件下是半鞅，因此可以应用于期权定价领域.本文提出一种新的不具有平稳增量的随机过程—混合双分数布朗运动，用来刻画标的资产(如股票)的价格，进行欧式期权定价的研究.本文的结果可作为混合分数布朗运动和双分数布朗运动驱动下的一种推广.1.1 混合双分数布朗运动的定义与性质定义1 如果满足均值为0，协方差为则中心高斯过程称为混合双分数布朗运动，其中，σ，ε为两个常数，过程是双分数布朗运动，{Bt}t≥0是标准布朗运动，与独立，当K=1时，混合双分数布朗运动就退化成混合分数布朗运动；当时，混合双分数布朗运动就退化成双分数布朗运动.由定义易知，混合双分数布朗运动具有以下性质.性质1是HK-自相似的，即对任意α＞0，过程具有相同的分布；性质2 当具有长记忆性；性质3 当不是半鞅.这些性质的证明可见参考文献[6].1.2 模型假设对金融市场做如下假设：市场无摩擦，即交易费用为零，无税收，不存在无风险套利机会；没有对交易头寸方向的限制，允许买空卖空证券；无风险利率r为常数；标的资产(如股票)的价格变化过程St服从过程式中：μ表示标的资产的收益率.在以下研究中假设根据文献[7]易得到下面的引理.引理1 随机微分方程(1)的解为定理1 设Ct=C(t，St)是欧式看涨期权在t时刻的价格，股票价格满足方程(1)，则Ct满足偏微分方程证明构建一个买入一份期权C和卖空Δ份股票S的资产组合Π，即Π=C-ΔS，则选取适当的Δ使得资产组合Π在(t，t+dt)上是无风险的，即dΠ=rΠdt.令，则有即有定理2 假设到期日为T，履约价格为K，则混合双分数布朗运动下欧式看涨期权在任意时刻t∈ [0，T]的价格Ct为式中为标准正态函数.证明由定理1得Ct满足偏微分方程(3)，且边界条件为C(T，S)=(S-K)+.令S=ex，C=V(t，x)，则易得将上式代入式(3)，则有同时边界条件变为令则有将上式代入式(4)，则有式中边界条件为根据热传导方程经典解理论[8]，式(5)有唯一强解将边界条件代入可得11对式(6)做逆变换易得定理2成立.推论1 当K=1时，可得到混合分数布朗运动驱动下的欧式看涨期权在t时刻的价格为其中注1 该结论与文献[9](当n=1时)中得出的结果一致.注2 当ε=0时，推论1的结果即为双分数布朗运动环境下欧式期权的定价公式，与文献[10]的结果一致.采用类似的方法同样可以推导出欧式看跌期权的定价公式，不加证明地给出下面的定理.定理3 假设到期日为T，履约价格为K，则混合双分数布朗运动下欧式看跌期权在任意时刻t∈ [0，T]的价格Ct为式中为标准正态函数.本文假设标的资产由混合双分数布朗运动驱动，利用偏微分方程的方法探讨了欧式期权的定价问题.采用混合双分数布朗运动刻画金融资产的价格变化过程在一定程度上比传统模型有所改进，可以看作是混合分数布朗运动和双分数布朗运动驱动下的一种推广.另外，混合双分数布朗运动也可以应用于探讨奇异期权(如重置期权、障碍期权等)的定价问题.【相关文献】[1] MANDELBROT B，VAN N J W. Fractional Brownian motion，fractional noises and application[J]. SIAM Review，1968，10：422-437.[2] LIN S J. Stochastic analysis of fractional Brownian motion[J]. Stochastics and Stochastics Reports，1995，55(1/2)：122-140.[3] BENDER C，ELLIOTT R J. Arbitrage in a discrete version of the Wick-fractional Black-Scholes market[J]. Mathematics of Operations Research，2004，29(4)：935-945.[4] BJǒ R K T，HULT H. A note on Wick products and the fractional Black-Scholes model[J]. Finance and Stochastics，2005，9(2)：197-209.[5] LEI P，NUALART D. A decomposition of the bi-fractional Brownian motion and some applications[J]. Statistics and Probability Letters，2009，79(5)：619-624.[6] RUSSO F，TUDOR C. On the bifractional Brownian motion[J]. Stochastic Processes and their applications，2006，116(5)：830-856.[7] ALOS E，MAZET O，NUALART D. Stochastic calculus with respect to Gaussian processes[J]. Annals of Probability，2001，29(2)：766-801.[8] 邵宇，刁羽. 微观金融学及其数学基础[M].北京：清华大学出版社，2008：663-674.[9] 徐峰，郑石秋. 混合分数布朗运动驱动的幂期权定价模型[J]. 经济数学，2010，27(2)：8-12.[10] 赵巍. 分形市场视角下的期权定价模型及其套期保值策略研究[J].合肥工业大学学报：自然科学版，2013，36(11)：1388-1392.。

混合分数布朗运动下欧式期权模糊定价研究混合分数布朗运动下欧式期权模糊定价研究摘要:欧式期权定价一直是金融工程领域的重要研究方向之一。

本文探讨了在混合分数布朗运动假设下，对欧式期权进行模糊定价的方法和应用。

通过引入模糊随机变量的概念，将模糊集理论与分数布朗运动融合，建立了混合分数布朗运动下的欧式期权模糊定价模型。

通过数值实例分析，验证了该模型在欧式期权定价中的有效性和可行性。

1. 引言欧式期权是金融市场中的一种重要金融工具，在证券投资和风险管理中具有广泛的应用。

期权定价理论是金融工程研究的核心问题之一，传统的期权定价模型主要假设资产价格服从几何布朗运动，即假设价格演化满足随机游走的过程。

然而，这一假设存在许多问题，例如不能很好地描述价格波动的厚尾特征，忽视了极端事件的发生概率等。

为了解决这些问题，学者们提出了许多新型的资产价格模型，其中混合分数布朗运动模型是一种重要的创新。

混合分数布朗运动模型旨在克服几何布朗运动模型的局限性，它将长记忆过程和短记忆过程结合在一起，并通过参数调节分数布朗运动模型的漂移和扩散项，使得模型能更好地描述价格序列的波动特征。

在此基础上，本文引入模糊随机变量的概念，结合模糊集理论和混合分数布朗运动模型，研究了在这一框架下的欧式期权定价方法。

具体而言，我们将欧式期权的净现值视为模糊随机变量，并对其进行模糊建模和模糊推理，得到模糊随机变量的分布特征。

然后，通过求解对应的微分方程，得到了欧式期权的模糊随机变量的期望和变异数，从而完成了欧式期权的模糊定价。

2. 混合分数布朗运动下欧式期权模糊定价模型2.1 混合分数布朗运动模型混合分数布朗运动模型是一种能够较好地描述资产价格波动的模型。

它可以同时考虑长记忆过程和短记忆过程对价格序列的影响，并通过参数调节模型的漂移和扩散项来适应市场的实际情况。

具体而言，混合分数布朗运动模型可以表示为以下形式的随机微分方程：dX(t) = μ(t)dt + σ(t)dW^H(t)其中，X(t)是资产价格的对数收益率，μ(t)是随时间变化的漂移项，σ(t)是随时间变化的扩散项，W^H(t)是分数布朗运动。

分数布朗运动在期权定价中的应用研究分数布朗运动（fractional Brownian motion，FBM）因其在自回归和非平稳时间序列建模中的广泛应用而日益受到关注。

随着金融市场的日益复杂和风险的不断增加，分数布朗运动在金融领域中的应用也愈发重要。

在期权定价中，分数布朗运动的使用可以帮助金融从业者更准确地评估期权价值，降低风险。

本文将对分数布朗运动在期权定价中的应用进行研究探讨，主要从以下几个方面进行分析：一、分数布朗运动简介分数布朗运动是一种非平稳的随机过程，它是布朗运动的一种扩展形式。

与标准布朗运动不同的是，分数布朗运动的Hurst指数（Hurst exponent）不等于0.5，而是一个介于0和1之间的分数。

Hurst指数的值越大，即越接近1，分数布朗运动的长期相关性就越强。

在金融领域，分数布朗运动经常被用来建模资产价格，它可以捕捉市场中的长期依赖性和自相似性。

二、期权定价的基本原理期权定价是金融工具中的一种核心领域，它主要用来计算期权的合理价格。

期权定价的基本原理是基于期权的内在价值和时间价值。

内在价值是指期权当前的实际价值，即如果现在就行权，期权所能够给持有人带来的收益。

时间价值是指期权所含有的未来时间的价值，包括行权前能够在市场上实现的收益、市场风险以及其他因素。

三、分数布朗运动在期权定价中的应用1.基于分数布朗运动的期权定价模型分数布朗运动适用于各种金融产品的定价和风险度量。

基于分数布朗运动的期权定价模型是一种基于复合泊松过程和Hurst指数的模型，可以通过计算分数布朗运动的变差（variance）来获取期权价格。

分数布朗运动可以更好地描述市场中自相关性和自相似性的现象，从而更好地展现出实际市场的特征。

利用分数布朗运动进行期权定价可以更准确地预测期权价格，从而为金融从业者提供更准确的风险度量方式。

2.基于分数布朗运动的期权风险度量期权风险度量是评价期权风险的一种方法。

分数布朗运动模型可以提供更有效的风险度量方法，因为它可以更好地描述长期相关性和自相似性。

第27卷第6期2013年12月保险职业学院学报（双月刊）JOUＲNAL OF INSUＲANCE PＲOFESSIONAL COLLEGE（Bimonthly）Vol.27No.6Dec．2013分数布朗运动下的欧式期权的保险精算定价法陈飞跃，杨蓉(保险职业学院，湖南长沙410114)［摘要］本文在无市场假设的基础上，仅利用股票价格过程的概率测度和期权的保险精算定价方法，得到了标的资产(股票)服从几何分数布朗运动的欧式期权定价公式。

［关键词］保险精算方法;几何分数布朗运动;期权定价［中图分类号］F840．4［文献标识码］A［文章编号］1673－1360（2013）06－0064－03［Abstract］Without any market assumption，merely using probability measure of stock price process and insurance actuarial consideration for pricing option，this paper obtains European option pricing formula when un-derlying assets（stock）are driven by geometric fractional Brownian motion．［Key words］Insurance actuarial approach；Geometric factional Brownian motion；Option pricing一、引言自从1973年由Fisher Black和Myron Scholes 提出了经典的Black－Scholes期权定价模型以来，这一模型便被广泛地应用于金融市场的期权定价分析，这一模型假设股票价格的波动相互独立，且服从几何布朗运动，其对数收益独立同分布。

但近年来，期权定价研究者们通过对股票市场的大量实证研究，发现股票价格的对数收益分布函数具有“尖峰厚尾”的特点，而且股价之间也不是随机游走的，在不同时间存在着长期相关、自相似等特征，这是与几何布朗运动有较大差距的。

分数布朗运动环境下的期权定价的开题报告题目：分数布朗运动环境下的期权定价研究背景和意义：在金融市场中，期权作为一种常见的金融衍生品，其定价问题一直是金融领域研究的重点。

传统期权定价模型假设市场价格符合布朗运动过程，但实际市场中，由于市场中存在不确定性和复杂性，布朗运动模型对市场的描述力存在局限性。

因此，近年来，一些学者将分数布朗运动模型引入期权定价中，分数布朗运动是一种能够描述涨跌波动具有非局部和非马尔可夫性的数值模型，其研究对于提高期权定价的精度和解释市场现象具有重要意义。

同时，对于建立更为适用的金融衍生品市场风险管理方法，也有重要意义。

研究内容：本文旨在使用分数布朗运动的方法，对期权进行定价，研究分数布朗运动在期权定价中的应用。

具体内容包括：1.分数布朗运动的基础理论介绍，包括分数阶微积分、分数布朗运动的定义和性质等。

2.分数布朗运动在期权定价中的应用研究，包括将分数布朗运动应用到期权定价中的方法和步骤，以及对比传统布朗运动定价方法和分数布朗运动定价方法的优缺点。

3.使用实际市场数据，以某种特定的期权为例，对传统布朗运动定价方法和分数布朗运动定价方法进行对比研究。

根据研究结论，评估分数布朗运动模型在期权定价中的适用性和优劣。

研究方法：本文采用定量分析的研究方法，主要利用数学模型和数据分析工具对分数布朗运动模型的应用进行研究，进而探究在期权定价中的应用价值。

研究成果：通过本文的研究，可以对分数布朗运动模型在期权定价中的应用进行探究，揭示该模型的优势和局限性，为金融市场中的期权定价提供新的思路和方法。

同时，本文的研究结果还可以为金融机构的风险管理提供参考，对市场风险的有效监测和控制具有重要意义。

Vasicek 利率下混合分数布朗运动的欧式期权定价徐峰【摘要】假设无风险利率遵循Vasicek模型，运用混合分数布朗运动的Itô公式，将欧式期权的定价转化成一个偏微分方程的求解问题。

最后，通过求解偏微分方程获得了欧式期权的定价公式。

%Assuming that the riskless interest rate is driven by Vasicek model , the European option pricing is changed into the question of solving partial differential equation by It ô formula of mixed fractional Brownian motion . Finally , a general pricing formula of European option is obtained by using the partial differential equation method .【期刊名称】《西北师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(000)006【总页数】4页(P35-38)【关键词】Vasicek利率;混合分数布朗运动;分数型Black-Scholes偏微分方程;期权定价;Hurst参数【作者】徐峰【作者单位】苏州市职业大学商学院，江苏苏州 215104【正文语种】中文【中图分类】O211.6;F830.9E-mail:***************Key words:Vasicek interest rate;mixed fractional Brownianmotion;fractional Black-Scholes PDE;option pricing;Hurst parameter期权定价是现代金融学基础之一，同时在金融衍生品的研究中，期权定价的模型研究也是最重要的.文献[1-4]提出使用混合分数布朗运动作为噪声来驱动金融市场，并证明了当Hurst指数在1/2与1之间时，由混合分数布朗运动驱动的市场是完备的且不存在套利机会.混合分数布朗运动的自相似性以及长程依赖征，使得混合分数布朗运动比标准的布朗运动更适合描述金融资产的价格变化行为.在此基础上，文献[5-7]研究了在无风险利率为常数时混合分数布朗运动驱动下的各类奇异期权定价的模型及公式求解问题.在短期内利率可以是不变的常数，但在长期情况下，利率是变化的.如果想要较好地描述市场利率的变化过程，就不能再假设利率为常数.本文采用文献[8]提出的随机利率模型，将之应用到混合分数布朗运动驱动的金融市场模型中，并推导出欧式看涨和看跌期权的定价公式，该结论可以推广已有的一些结果.设0<H<1，则Hurst参数为H的分数布朗运动是一个连续高斯过程}t≥0，使得且有当时，BH(t)即为标准的布朗运动B(t).下面给出混合分数布朗运动的定义及其性质.定义1 考虑一个混合分数布朗运动}t≥0，它是一个布朗运动与分数布朗运动的线性组合，即其中α,β∈R+，且(α,β)≠(0,0),{Bt}t≥0和相互独立.性质1 随机过程}t≥0满足下列性质：( i )是一个高斯过程而不是Markov过程；( ii )对任意的t,s∈R+，有增量平稳且具有混合自相似性，即对任意的h>0，有其中表示具有相同的分布.(iv)当<H<1时，称MH(t)是持久的或长程关联性；当时，称MH(t)是反持久的或非长程关联性.为了更好地讨论Vesicek利率下期权的定价问题，我们先给出一些基本的假设条件：(a)市场上不存在摩擦，即不存在任何形式的交易成本和税收.(b)市场上的资产完全可分，可以连续交易并允许卖空.(c)市场上不存在套利机会.(d)股票在期权生存期[0,T]内不支付红利.(e)股票价格{S(t),t∈[0,T]}遵循几何混合分数布朗运动其中r(t)表示无风险利率，σ1(t),σ2(t)表示波动率；无风险利率r(t)满足Vasicek 模型其中{BH(t):t>0}是分数布朗运动，都是标准布朗运动，且Cov(dB1(t),dB2(t))=ρ(dt).根据以上基本假设，在Vesicek利率前提下，零息票债券的价值不仅依赖于时间的变化，还依赖于利率的随机变化，下面采用风险对冲技术来推导零息票债券P(r,t;T)的定价公式.引理1 在无风险利率满足Vesicek利率模型(2)的条件下，零息票债券的价格为其中证明考虑用两种不同期限的债券的适当组合来对冲风险.假设有两个到期日分别为T1,T2的债券，对应的价格分别为P1,P2.在[t,t+dt]时间段内构造投资组合Π，由1份零息票债券多头P1和Δ份零息票债券空头P2组成，即对该投资组合应用It公式，则有不妨取，代入(4)式并整理可得由无套利原理知E(dΠt)=r(t)Πdt，所以上式等价于引入风险的市场价格θ，则有其中σ.即有所以零息票债券P(r,t;T)是满足如下偏微分方程的Cauchy问题的解:易知该偏微分方程的唯一解为(3)式. 】注1 当T-t趋于0时，A(t,T)趋于0，B(t,T)趋于T-t，此时P(r,t;T)=e-r(T-t)，即当T和t充分接近时，就等价于在利率为常数的情形下零息票债券的价格.现考虑It型分数Black-Scholes市场中仅有三种证券，一种零息票债券、一种股票和一种以股票为标的的期权，其中债券价格满足(5)式，股票价格满足(1)式，并假设期权价值Vt=V(St,rt,t).利用Δ对冲的方法，构造如下投资组合则有取，代入(6)式，并注意到(5)式，可以得到根据无套利原则可知结合(6)式，我们得到欧式看涨股票期权Vt=V(St,rt,t)满足如下偏微分方程:在边界t=T上，V(S,t,T)=(S-K)+.注2 特别地，当时，方程(7)即为随机利率下由几何布朗运动驱动的欧式期权所满足的偏微分方程.定理1 设股票价格S(t)和无风险利率r(t)分别满足(1)式和(2)式，则执行价格为K、到期日为T的欧式看涨期权在t∈[0,T]时的价格为其中-lnP(r,t;T)-证明采用变量替换将(7)式转化为一个Cauchy问题，令通过简单计算，我们有将上面等式代入(7)式，可以转化为其中令x=lny，则(8)式可以写成进一步，令，其中α(T)=β(T)=0.通过计算，我们有利用(10)式，(9)式可以表示为令则易知利用(12)式，我们可以将(11)式写成其中边界条件为μ(η,T)=(eη-K)+.根据热传导方程经典解理论，(13)式有唯一强解将边界条件代入可得对上式运用逆变换方法，则定理成立. 】采用类似方法可以推导出欧式看跌期权的定价公式，不加证明地给出下面定理.定理2 条件同定理1，则欧式看跌期权的定价公式为其中d1,d2的表达式与定理1一致.[1] BENDER C， SOTTINEN T， VALKEILA E． Pricing by hedging and no-arbitrage beyond semimartingales[J].Finance and Stochastics,2008，12(4)：441．[2] CHERIDITO P．Regularizing Fractional Brownian Motion with a View Towards Stock Price Modeling[D].Zurich:Swiss Federal Institute of Technology，2001．[3] ANDROSHCHUK T， MISHURA Y． Mixed Brownian-fractional Brownian model： absence of arbitrage and related topics[J]. Stochastics：An International Journal of Probability and Stochastic Processes，2006，78(5)：281．[4] BENDER C， ELLIOTT R J． Arbitrage in a discrete version of the Wick-fractional Black-Scholes market[J].Mathematics of Operations Research，2004，29(4)：935．[5] 杨朝强．混合分数布朗运动下一类欧式回望期权定价[J].山东大学学报(理学版)，2012，47(9)：105．[6] 孙玉东，师义民．混合分数布朗运动下亚式期权定价[J].经济数学，2011，28(1)：49．[7] 徐峰，郑石秋．混合分数布朗运动驱动的幂期权定价模型[J].经济数学，2010，27(2)：8．[8] VASICEK O． An equilibrium characterization of the termstructure[J].Journal of Financial Economics，1977，5(2)：177．[9] ZILI M． On the mixed fractional Brownian motion[J].Journal of Applied Mathematics and Stochastic Analysis，2006，2006(1)：1．。

分数布朗运动驱动下的期权定价模型及其数值研究分数布朗运动驱动下的期权定价模型及其数值研究摘要：分数布朗运动是一种非常重要的随机过程，在金融领域中有广泛应用。

本文通过分析分数布朗运动的特性，利用分数阶微积分理论构建了一种基于分数布朗运动的期权定价模型。

然后，通过数值方法对该模型进行了研究，并对期权价格与各影响因素之间的关系进行了分析。

研究结果表明，分数参数α的增大会使期权价格上升率加快，市场波动程度的增大会使期权价格下降率加快。

关键词：分数布朗运动、期权定价、分数阶微积分、数值方法、影响因素1. 引言分数布朗运动是一种能够更准确地反映金融市场波动特征的随机过程模型。

它通过引入分数阶微分算子，能够更准确地刻画金融资产的价格变化。

而传统的布朗运动模型在描述金融市场波动时存在着一定的局限性，因为它默认市场价格的变化是连续且标准正态分布的。

然而，真实的金融市场波动往往呈现出肥尾、长尾等非正态分布特征，这就需要引入更为灵活和准确的模型来进行定价。

2. 分数布朗运动的特性分数布朗运动是一种时间非齐次的随机过程，其漂移项和波动项都具有相关的分数阶微分特性。

它的性质与传统的布朗运动相似，但在更精细的尺度上有所不同。

分数布朗运动的波动项在各个时间尺度上表现出不同的长记忆特性，即过去的波动对未来的波动有持久影响。

这种长记忆现象在具有高度自相似性的金融市场中尤为显著。

3. 基于分数布朗运动的期权定价模型为了更准确地描述金融市场中的期权定价问题，本文基于分数布朗运动构建了一种新的期权定价模型。

模型中的分数布朗运动由分数阶随机微分方程表示，其中的马尔科夫性质和分数阶特性能够更好地刻画金融市场价格变动的特征。

模型的漂移项和波动项均与时间、空间的长记忆特征有关，充分考虑了分数布朗运动的非正态分布和波动特性。

4. 数值方法及定价算法为了求解基于分数布朗运动的期权定价模型，本文采用了数值方法，具体包括离散化方法和迭代求解方法。

首先，对模型中的分数阶微分方程进行离散化处理，然后利用迭代方法求解离散化后的方程。